國立台中教育大學教育學系碩士論文
指導教授：游自達 博士
透過數感教學策略提升國小六年級低
成就學生數感能力之研究
研究生：龔琬婷 撰
中華民國九十七年七月
透過數感教學策略提升國小六年級低成就學生數感能力之研究
摘 要
本研究旨在探討國小六年級低成就學生的數感，並運用相關的教學策略協助學生， 討論學生在教學後數感能力的改變情形。根據研究目的，研究者設定了數感的五個向 度：瞭解數的基本意義、具有比較數大小的能力、瞭解運算對數的意義與影響、發展不 同的計算策略與判斷答案合理性的能力、和以多重方式表徵數的能力。依據本研究設 定，研究者選擇了三位學童來進行晤談。本研究屬於質性研究，運用教學晤談法來進行 個案探討，研究者參閱國內外文獻，選擇適合學童的教學策略，並視情況提供學童鷹架， 協助學童數感的發展。本研究根據研究結果得到以下的結論： 一、學童因數概念的不足影響其數感策略的運用。 二、學童的數感策略在教師的鷹架下到自主運用仍有一段差距。 三、研究中所使用的提示、圖示、認知衝突、簡化問題等策略，有助於提升學生數感， 並幫助其解題。 四、學童在比較數大小的能力進步較明顯，其次是了解數的基本意義及數的多重表徵能 力。 伍、判斷答案合理性的能力及了解運算對數的影響能力仍顯不足。 本研究最後根據研究結果，對日後數感教學及未來研究提出一些建議，以供參考。 關鍵詞：數感、低成就、教學晤談A Study of Promoting the Sixth-grade Low-achievers’ Number Sense
Through the Teaching Strategies
Abstract
The purpose of this study was to discuss the number sense of the sixth-grade low- achievers, and their improvement after accepting the researcher’s teaching strategies.
According to the purpose of this study, five components of number sense were set up:
1. understand the basic meaning of numbers 2. enable to compare the magnitude of numbers
3. understand number operations’ meaning and effects on numbers
4. develope different computation strategies and abilities of judging the rationality of the computing result
5. develope the ability of presenting numbers in multiple ways
The researcher chose three students to interview. This study was a qualitative study. The researcher studied students’ number sense through teaching interviews and chose some teaching strategies, as scaffolds, to promote students’ number sense. Based on the results, the conclusions were as following:
1. Students’ insufficient submultiple concepts influenced the utilization of number sense strategies.
2. There was still a distance in students’ number sense strategies from teacher’s scaffolds to their utilizing independently.
3. Any strategy, like a cue, a drawing, a cognitive conflict, or simplifying questions, was helpful to promote student’s number sense and enable them to solve the problems.
4. Students’ ability of comparing the magnitude of numbers was improved the most . The understanding of the basic meaning of numbers and multiple presentation in numbers were improved more.
5. Students’ abilities of judging the rationality of the computing result and realizing number operation’s effects on numbers were still insufficient.
Based on the results, the study provides some recommendations for number sense teaching and further studies.
目 次
第一章 緒論
……… 1 第一節 研究動機……… 1 第二節 研究目的與待答問題……… 2 第三節 名詞定義……… 3第二章 文獻探討
……… 5 第一節 數感的意涵及重要性 ……… 5 第二節 數感教學之相關研究 ……… 10 第三節 增進數感的教學方法 ……… 16第三章 研究方法
……… 23 第一節 研究者背景及角色 ……… 23 第二節 研究對象 ……… 24 第三節 研究流程及實施 ……… 26 第四節 研究工具 ……… 32 第五節 資料蒐集與分析方法 ……… 37 第六節 研究的信效度 ……… 39 第七節 研究倫理 ……… 40第四章 研究結果與討論
……… 43 第一節 國小六年級低成就學童數感能力的表現及其解題類型…… 43 第二節 協助發展數感的教學策略……… 68 第三節 教學前後數感能力的改變……… 103第五章 結論與建議
……… 135 第一節 結論……… 135 第二節 建議……… 137 第三節 研究限制……… 139參考文獻
……… 141 壹、中文部分……… 141 貳、英文部分……… 144附錄
……… 149 附錄一 國小高年級學童數字常識評定量表 ……… 149 附錄二 試探性研究 ……… 153 附錄三 晤談問題 ……… 159 附錄四 研究同意書 ……… 169表 次
表 2-1 美國五至八年級課程內容的轉變……… 10 表 2-2 數感相關研究……… 11 表 3-1 前測結果分析……… 25 表 3-2 晤談時間……… 32 表 3-3 教學晤談示例一……… 34 表 3-4 教學晤談示例二……… 35 表 3-5 教學晤談示例三……… 36 表 3-6 資料編碼方式……… 38圖 次
圖 3-1 研究流程……… 27 圖 4-2-1 S02 訪談問題 A（一）解題記錄 1……… 75 圖 4-2-2 S01 訪談問題 C（二）解題記錄 1……… 78 圖 4-2-3 S03 訪談問題 E（一）解題記錄 1……… 95 圖 4-2-4 S03 訪談問題 E（一）解題記錄 2……… 95 圖 4-2-5 S03 訪談問題 E（一）解題記錄 1……… 96 圖 4-2-6 S03 訪談問題 E（二）解題記錄 1……… 97 圖 4-2-7 S03 訪談問題 E（二）解題記錄 2……… 98 圖 4-2-8 S03 訪談問題 E（二）解題記錄 3……… 98 圖 4-2-9 S03 訪談問題 E（二）解題記錄 4……… 98第一章 緒論
本研究主要目的是在運用數感教學策略，幫助低成就學生發展數感能力。本章節首 先說明研究動機，接著對研究目的及問題作陳述，最後對研究過程中幾個重要的相關名 詞做意義上的詮釋。第一節 研究動機
關於數感的教學，近二十年來已受到國外數學教育學者的重視。美國國家數學教師 協會(National Council of Teacher of Mathematics [NCTM], 1989）在「學校數學課程與評量標 準」中明確的將數感列入數學教育課程標準之一。甚至在 2000 年公布的「學校數學課 程原則與標準」（The principles and standards for school mathematics）在數與計算（Number and Operations）的標準中也明白地指出「數與計算的標準主要是在發展兒童的數感」（Central to the Number and Operations Standard is the Development of Number Sense）（p.32）。張漢宜（1997）指出數感的重要性大致有以下三點：一、引發學習數學的興趣。二、 協助發展心算技巧；三、增進解題過程中的後設認知能力。Doougherty 與 Crites（1989） 亦指出有良好數感的解題者在解題過程中，一開始會根據題意而預設合理答案的可能類 型與數目，並能據以拒絕不合理的答案。一些學者觀察台灣數學課上課情形，發現台灣 數學教育較重視計算的精確性，而美國的數學教學則給學生較多的估算練習(Stigler, Lee & Stevenson, 1990)，太過重視標準算則的練習及答案的精確性，會阻礙學生有意義的思 考。Markovits 與 Sowder（1994）的研究中曾指出：經驗過傳統教學法的學生，在許多 數字情境表現中，常常無法表現出數感。而研究者現在所教的六年級學生中，常有些人 搞不清楚 3 1 加 4 1 會小於 1，導致計算結果錯誤，而不自知。因為太拘泥於公式解題，所 以學生在學習數學時常有「知其然，而不知其所以然」的現象，不能進行有意義的思考， 此現象正與上述的研究相符。
「數感」的主題在我國過去的數學教材中並未被特別強調出來，九年一貫的課程中， 雖含有「數感」相關之能力指標，但未具體提及「數感」一詞，不像國外明白的列入課 程標準中。目前許多研究亦顯示，學生缺乏數感的情形不僅普遍，而且非常嚴重（支毅 君，1997；楊德清，1998；Markovits & Sowder, 1994；Reys & Yang, 1998；Reys et al., 1999）， 因此就目前我國國小的數學教學而言，數感的教學顯然有其必要性，它不但能增進學生 學習數學的興趣，也能提升學生解決問題的能力（許清陽，2001）。楊德清、黃芳玉和 林美如（2002）的研究也指出數感應該被考慮為數學課程中主要的組成成分，成為小學 教育一個主要教學目標。因此為了讓學生有意義學習，數感教學在課堂上是相當必要的。 以國內現行九年一貫數學領域課程內容來看，現行教材中針對學培養童數感能力的 部份並不多，以至於在教學現場的教師無法確切掌握及培養學童數感之相關能力。而從 過去國內外的研究文獻來看，大多進行班級實驗教學後，來探討學生的數感能力是否有 提升，較少針對低成就的學生來進行研究。基於九年一貫課程「把每個孩子帶上來」的 理念，研究者更深感提升低成就學童數感的迫切性，它能增進學生學習數學的興趣，也 能提升學生解決問題的能力（許清陽，2001）。因此，本研究以低成就學童為研究對象， 深入探討低成就學童數感能力表現，並嘗試教導學生運用數感策略，以期能幫助低成就 學童發展數感能力，並作為教師指導低成就學童數感能力發展之參考。
第二節 研究目的與待答問題
壹、研究目的 本研究目的在於探討低成就學生數感策略的實際應用情形，並透過教學晤談，瞭解 學生數感的問題跟盲點，並找出數感教學的可行策略及學生在數感鷹架教學下，數感能 力的改變與運用情形，希望藉由研究過程的省思與研究的發現，能提出一些建議，提供 數學教師做參考。貳、待答問題 依據研究目的，研究者針對以下的問題作深入的探討： 一、探討國小六年級低成就學童數感能力的表現，並了解學生的解題類型為何？ 二、協助低成就學生發展數感能力的教學策略為何？ 三、訪談前後，學生回答問題時所用的數感策略及能力改變為何？
第三節 名詞定義
壹、低成就學生 本研究的低成就學生係指九十五學年度國小六年級學生，在許清陽所編製的「數感 評定量表」中，得分為全班的後 27%的學生。 貳、數感 本研究將所指的數感為對數所產生的直覺，及多樣化的思考方式，並能彈性的運用 數以解決與數有關的問題。包含了五個向度： 一、瞭解數的基本意義。 二、具有比較數大小的能力。 三、瞭解運算對數的意義與影響。 四、發展不同的計算策略與判斷答案合理性的能力。 五、以多重方式表徵數的能力。 叁、數感教學策略 研究者根據本研究所定義的數感五大向度「瞭解數的基本意義」、「具有比較數大小 的能力」、「瞭解運算對數的意義與影響」、「發展不同的計算策略與判斷答案合理性的能 力」、「以多重方式表徵數的能力」當作本研究的理論基礎，並參考數感教學活動的相關 文獻，選擇適合本研究之研究對象的教學策略稱之。例如提示、圖示、情境轉換、簡化 問題、認知衝突等策略，期望能幫助學生發展其數感能力。肆、教學晤談法
本研究採取教學晤談法（teaching interview; Ning, 1992）來蒐集並歸納學童數感的能 力及運用策略。教學晤談法的實施，訪談時首先由研究者向兒童提出問題，再由兒童表 現出其解題方式及想法；接著研究者可針對兒童的表現，再提出進一步的問題，以便釐 清兒童的解題方式及相關意圖。如此研究者與兒童彼此間的互動，一直持續到研究者提 出另一類問題或訪談時間終止為止。其與其他訪談法的不同處在於，當研究者發現兒童 面臨解題困難時，可調整問題，適當的給予協助，以免兒童受挫。 當研究者布題後，若孩童不了解問題的情境時，研究者適時解釋題意幫助學童瞭 解；一旦察覺孩童確實無法解決問題時，在晤談中並適當給予學生鷹架（scaffolding）。 例如，口語提示、圖示等，來探索學生的可能發展區（zone of proximal development, ZPD）。 研究者首先以設計好的訪談問題依序對孩童進行布題，確定孩童理解問題的情境後要求 他加以解題，並解釋自己的解題策略及心中的想法；接著研究者以孩童的解題表現及回 答的答案為基礎提出進一步的問題，用以釐清孩童的解題方法。
第二章 文獻探討
本章分為三個部分，首先探討數感的意義及重要性，再來探討數感教學的相關研 究，最後提出能增進數感能力的教學方法。第一節 數感的意涵及重要性
數感在數學教育中日漸受重視，本節分為數感的意義、數感的向度及數感的重要性 三方面來探討。 壹、數感的意義 數感研究在美、澳國家近二十年，在國外的研究已行之有年，台灣在近十年來才慢 慢有研究，對於數感的定義數學教育家們各有其主張，表面上看來各家說法不同，其實 內涵大同小異。以下為研究者經過資料蒐集，分析整理後，歸納出數感的意義有三大類。 一、數感是一種直覺 根據美國數學教師學會（NCTM, 1989）出版的「學校數學課程與評量標準」中指出， 數感是一種對數的直覺，它源自於兒童對數各種意義的理解。Howden（1989）在他的研 究經驗中也發現：數感就是對於數與數或數與周遭的世界相關的一種直覺。國內學者支 毅君（1997）亦認為具有數感的人對於數所代表的意義大小及一些生活常見量的合理範 圍能有直覺與瞭解。 二、數感是一種較高層次的思考過程 Resnick（1989）認為數感是一種較高層次的思考過程，即使無法精確地定義數感， 我們亦可以從他提出的一些主要的特徵知道數感是一種思考方式。Resnick 列舉主要特徵 有：數感是一種非算則式的、是傾向於一種較複雜的表現方式、經常產生一種多樣化的 解題方式而不僅是單一的解題方式、是一種思考過程中的自我調整、是一種精緻化的心 智思考…等。Sowder（1992a）也同意數感是數的一種思考方式，而非知識本身。三、數感是指對數的運算與瞭解
部分學者對數感的意義，則強調對數概念的瞭解及彈性操作與判斷數的重要性。 Reys, Reys, McIntosh, Emanuelsson, Johansson 與 Yang（1999）認為數感是指對數與運算的 瞭解，有能力與願意去利用這種理解進行數學的判斷，並發展出有用有效率的策略來處 理環境中的各種數。Sowder（1988）認為數感是一個良好組織化的概念網，讓人可以連 結數與運算概念，來判斷數的質與量、並辨認計算結果的不合理以及使用非算式型態來 進行心算。楊德清（2000b）將數感解釋為對數字、運算以及數字和運算的所產生之情 境的一般性瞭解。Hope（1989）則認為數感可以說是一種對於數與數在使用與解釋上的 感覺、計算時對正確程度的瞭解，以及使用數來支持論證的常識；也可以是產生合理估 算、偵測算數錯誤、選擇最有效的計算程序和辨識數字組織型態的能力。 綜合上述學者對數感的定義，研究者將數感定義為對數所產生的直覺、多樣化的思 考方式，並能彈性的運用數以解決與數有關的問題及判斷數的合理性。 貳、數感的向度 學者對於數感的意義有不同的闡述，對於探討數感包含哪些向度也不盡相同，以下 分別敘述之。 一、NCTN 的觀點 美國數學教師學會（NCTM, 1989）出版的「學校數學課程與評量標準」中提出數感 具有五種成份： （一）瞭解數的意義。 （二）操作實物來探索數之間的關係。例如，利用具體物或實物來進行數的合成與分 解活動，使兒童理解 10 的涵意。 （三）瞭解數的相對大小。例如，25 比 4 大和 21 很接近，大概是 50 的一半。 （四）對於數運算的相對效果能發展出良好的直覺。例如，知道整數乘以一個小於 1 的數，其積會小於被乘數。
（五）發展出測量物體的參照標準。 二、Sowder 的觀點
Sowder (1992a)定義數感的範圍是基於其他學者所鑑定出來的數感（Behr, 1989; Greeno, 1989; Howden, 1989; Markovits, 1989; Resnick, 1989; Silver, 1989; Trafton, 1989）其範 圍包括:ġ ġ （一）能夠合成或分解數。例如：12×25=3×4×25=3×100。 （二）能夠辨別數的大小。例如：瞭解 9.991>9.99 或 3 1 ＞ 4 1 。 （三）能夠處理數的合理範圍。例如：教室中不可能容納 1000 人。 （四）會使用參考點。例如：使用 1 為參考點， 9 8 ＋ 8 7 的和接近 2。 （五）能夠用有意義的方法去連結數與運算和相關符號。例如：算 100-65 的差可以分 成 100-60=40 和 40-5=35 兩個步驟來計算。 （六）了解運算在數上的效用。例如：469-179=190，那麼 469-279 等於多少。 （七）能夠發展有利的數和運算屬性的策略來執行運算。例如：要算 1000-796 等於多 少可以運用往上加的策略，知道 796 再加 4 就 800 了，再加 200 就是 1000，因此答案是 204。 （八）能夠靈活的使用數來估算算式的答案，並且辨識估算的適切性。例如：200÷18 等於多少，能將題目改成 200÷20 的形式。 （九）能夠理解數的意義。 三、楊德清的觀點 國內學者楊德清（1997，1998，2000b，2003）根據相關的文獻與研究報告也發展出 一個基本的數感架構，研究者經過整理後，歸納出六個要素： （一）瞭解數的基本意義 有意義化的了解數系統（整數、分數、小數），它所代表的意義以及它的結構關係，
包括數型態與位值觀念。 （二）具有比較數大小的能力 能夠認知一個數的大小，能夠去比較數的大小。例如，知道 4 3 大於 2 1 ；並將數排序。 例如，能將 0.5、 5 2 、 7 4 、0.9 等數由小到大依序排出；及了解數的稠密性等。例如，知 道 5 2 和 5 3 之間有多少個分數等。 （三）運用參考點的能力 參考點是指可依賴以作為檢驗其他數的參照值。例如利用 1 作為參考點，進而知道 9 8 和 8 7 相較之下，誰較接近 1。 （四）瞭解運算對數的意義與影響 認知運算對數的影響，就是了解運算在不同的數系統下（包括整數與有理數）和不 同情境下所產生的影響。例如，知道 750÷0.9 答案比 750 大或小。 （五）發展不同的計算策略與判斷答案合理性的能力 在不同的情境下，作適當的選擇，來決定什麼型態的答案是適當的（正確的或大概 的），並據以決定哪一種計算工具是直接有效的且方便可得（如估算、心算、或計算器 等）進而運用此種工具以解決問題，並檢驗運算結果的合理性。 （六）瞭解和應用數的多重表徵 其中包括分解和合成數的能力，亦即認知數能夠以不同的型態去表達與呈現以便於 數的運算。包括能夠以彈性的方式適當的組合或分解數以方便執行運算。例如在心算 12 ×9，先算 10×9，再算 2×9，最後再加總。 數感的向度雖因不同的詮釋角度而有所不同，但各學者的論點是大致都已有意義的 理解數和運算為基礎，因此研究者綜合上述的觀點，以國內學者---楊德清的定義為主， 建立本研究數感教學的架構： 一、瞭解數的基本意義。例如，知道 109 所代表的意義。
二、具有比較數大小的能力。例如：會比較 4 3 和 2 1 的大小。 三、瞭解運算對數的意義與影響。例如，知道 100×0.9 答案比 100 小。 四、發展不同的計算策略與判斷答案合理性的能力：包括心算及估算、知道數字和運 算推理的結果是否合理。例如，能在不同情境下做適當的選擇，如估算、新算或計算器 等方法來解決問題。 五、以多重方式表徵數的能力。例如，知道 4 3 等於 0.75。 本研究依上述所定義的數感元素設計教學晤談題目，因「運用參考點的能力」，可 能會在其他題目中出現重複出現。例如，請學生估算 246×1.3 的乘積會比 246 大或是小， 目的是要測學生「了解運算對數的影響」能力，但學生會運用參考點來判斷乘積是大於 1 倍還是小於 1 倍；另外，在請學生比較 7 4 和 5 2 的大小時，目的是在瞭解學生「比較數 大小」的能力，學生還是會運用到參考點的策略來判斷。因此，研究者將運用參考點的 能力視為解題策略之ㄧ，僅採其他五項數感的要素，做為本研究之數感定義。 貳、數感的重要性
National Research Council（1989）在出版的 Everybody Counts 中主張數感教學應為小 學數學教育的主要目標。美國數學教師學會（NCTM），1989 年「學校數學課程與評量 標準」（Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics ）中也明確的將數感列 入數學教育課程標準之一。在 2000 年所公佈的「學校數學課程原則與標準」（The Principles and Standards for School Mathematics）在數與計算（Number and Operations）的標準中也明 白地指出「數與計算的標準主要是在發展兒童的數感」（Central to the Number and Operations Standard is the development of number sense），其中涵蓋三個教學目標：一、了解 數、數的表徵方式、數與數之間的關係和數字系統；二、了解計算的意義和它們之間的 相關；三、能流暢的計算並合理的估算（p.32）。此三個目標皆與數感有關。
Bruckheimer 等人所編著的「發展中年級數感」（Developing Number Sense in The Middle Grades）中，提到了美國課程內容的轉變，如下表： 表 2-1 美國五至八年級課程內容的轉變（引自 NCTM, 1991, p.13） 漸受重視的課程內容 漸被忽略的課程內容 發展數感 記憶規則和演算法 發展運算常識 練習冗長的紙筆計算 發明演算法及程序 找出固定型式的答案 使用估算解決問題及檢驗答案合理性 記憶程序而不理解，如使用交叉相乘 探求整數、分數、小數和有理數的不同表徵 型式及運算之間的關係 不考慮題意地練習將數字化為整數與 發展計算技巧 發展對比率、比例及百分率的理解 學習單獨的主題 我們可由「漸受重視的課程內容」中發現，其重視的內容如發展數感、運算常識、 使用估算解決問題及檢驗答案合理性等，大部分與數感有關，課程改革的重心已越來越 重視發展學生們的數感，傳統的紙筆計算已逐漸被忽略了。 另外，我國九年一貫課程標準（教育部，2003）數學領域國民小學第二階段的目標 亦明白列出「培養流暢的數字感」，可見數感能力的培養也受到國內課程的重視。
第二節 數感教學之相關研究
關於數感的實徵研究，國外早已行之有年，國內也慢慢有相關研究出現，在國外的 教學研究上，從幼稚園到八年級的學生，皆有學者進行相關研究，國內則以小學中高年 級為對象居多，為了便於了解各相關研究，研究者將其整理成表 2-2，並加以說明：表 2-2 數感相關研究一覽表 研究者 研究對象 研究方法 研究內容 研究結果 Markovits, Hershkowitz & Bruckheimer （1989） 六、七年 級學生 328名 教學實驗 設計一些估計與推理的 教學活動以發展學生的 數感。 成效良好，並建議最好從 一年級開始教學，且少給 學生機械式的知識。 Markovits & Sowder (1994) 七年級學 生12名 教學實驗 針對「數字的大」小、 「心算」和「估算」三 個方面進行教學設計， 提供豐富的機會去探索 數字、數字關係、和數 字運算，並且去發現規 則和創造算法。 教學過後，學生傾向於使 用數感的策略以解決問 題。 Hopkins （1995） 五年級學 生 教學實驗 透過六星期的爆米花教 學活動，以具體物和實 際操作，計算一百萬。 成功的引導學生了解大 數的意義，並提升兒童的 數感。 Plemons （1996）， 引自杜宜 展） 幼幼班學 生 87 名 準實驗 探討數感教學組、直接 教學組和非引導式探索 組，三組學前幼兒的差 異。 經由教學能促進幼兒瞭 解「多」或「少」的數學 概念，數感教學組和非引 導式探索組有顯著差異。 支毅君 （1997） 三年級學 生 42 名 教學觀察 個別訪談 探討如何增進國小數感 教學。 發現學生數感不夠，無法 連結符號表徵與結構意 義，學生發表能力無法與 紙筆測驗驗之成就配合。 黃明章 （2001） 六年級學 生 41 名 教學實驗 個別訪談 探討國小六年級學童在 數感教學前後的數感表 現，進一步探討建構式 的教學活動在數字常識 教學上的應用情形。 採取建構主義的教學方 式，學生可以經由小組討 論、產生質疑、辯證的方 式，造成認知上的衝突， 重構自己的觀念，增進反 省思考的能力，提升多元 的解決策略，對於數感的 成長具有正面的意義。
表 2-2 數感相關研究一覽表（續） 研究者 研究對象 研究方法 研究內容 研究結果 徐俊仁 （2001） 六年級學 生 30 名 教學實驗 個別訪談 探討數感教學活動可否 提升國小六年級學生的 數感能力。藉由數感紙 筆 測 驗 ， 以 瞭 解 教 學 前、後，學生在數感整 體表現情形，並由所設 計的數感問題深入訪談 國小六年級的學生，以 瞭解教學前、後，學生 回答數感訪談問題所使 用的方法。 在 數 感 各 部 分 的 成 績，均有普遍的成長， 但以數字大小及估算 兩方面的表現，成長較 大。學生用以判斷數字 問題的架構較以往成 熟而完整，不再過度依 賴算則運算，思考方式 也較為彈性更注重於 數字本身的意義。 吳明玲 （2003） 二年級學 生 36 名 教學實驗 以自編之數感紙筆測驗 及教學活動來進行。 在生活情境問題中能 察覺「數與運算的關 係」，也能理解並運用 概數用語描述估算後 的結果，但運用參考點 進 行 估 算 的 能 力 不 佳。學童接受數感教學 活動之後，數感紙筆測 驗以「數的合成分解」 和「數與運算的關係」 進步最為顯著，其中以 中分組的學童進步最 顯著。 張盈盈 （2003） 珠心算達 段位的高 年級學生 12 名 個別訪談 研究者自編之數感試題 進行訪談，分析具珠心 算能力之學童的數感能 力，以提供教育工作者 在課程設計及教學上之 參考。 結果發現珠心算段位 學童相當缺乏數字常 識能力，其中又以估算 能力最為薄弱。
表 2-2 數感相關研究一覽表（續） 研究者 研究對象 研究方法 研究內容 研究結果 王玉珍 （2003） 三年級學 生 6 名 個案研究 採「教師介入教學活動」 和「異質分組」的方式， 從比較數字的大小、瞭 解數的意義、熟悉數的 多重表徵、明瞭數與運 算的關係、運用參考點 做合理的估算五方面來 探 討 國 小 三 年 級 低 、 中、高程度學童數感的 表現。 小組的討論使學生們 有機會傾聽其他同學 對於數字的看法，對學 童數感的學習遷移幫 助很大；教師適時地介 入，鼓勵、引導學生討 論，引導學生做有意義 的思考，有助於學童數 感的學習；三年級學童 仍處具體操作期，教學 活動中宜多使用教具。 侯淑芬 （2003） 四年級學 生 34 名 準實驗設 計、個別 訪談 探討「了解整數的意義 與大小」、「了解運算屬 性 與 運 算 對 數 的 影 響」、「分解或合成數以 進行運算」、「使用參考 值以解決運算問題」融 入國小四年級束學科教 學之實踐情形及成效。 估測活動和遊戲能加 強學生對整數位值概 念與大小的了解；遊戲 和生活布題有助於學 生了解運算性質與運 算對數的影響與促使 學生使用參考值來解 題；討論與分享。也使 不會使用參考值的學 生，從同儕成功的經驗 中了解參考值的便利 性。 陳慶林 （2004） 三年級學 生 31 名 教學實驗 個別晤談 以建構式教學法發展出 的數感實驗教學活動， 探討學童數感改變之情 形。 以「整數基本意義及大 小之能力」和「整數的 合成與分解」兩項進步 最為顯著。以中分組之 學童表現進步最為顯 著，高分組學童次之， 低分組學童進步情況 並不明顯。
表 2-2 數感相關研究一覽表（續） 研究者 研究對象 研究方法 研究內容 研究結果 黃莉雯 （2004） 六年級學 生 946 名 調查研究 個別訪談 探究國小六年級學童之 數感能力、後設認知能 力與性別三者之間的關 係。 男女學生在數感評定 量表各組成成分之分 數上無顯著差異。只有 在後設認知「目標設 定」分量表項目無顯著 差異存在，其餘分量表 如：「自我監控」、「自 我評鑑」和「自我修正」 均有顯著差異，而且女 生的表現優於男生。 吳宛儒 （2006） 三年級學 生 30 名 行動研究 將數感情境活動融入課 室中，藉此了解兒童解 數感情境問題之表現， 同時對數學課室之教學 歷程進行探討。 過程導向教學有助於 學生數學概念的發展， 透過數感教學活動能 建立學生的數概念，亦 能提升學生的數常識 能力，同時培養學生閱 讀題目的習慣，增進學 生對題意的理解。 陳霈頡 （2007） 三年級學 生 6 名 教學實驗 個別訪談 三年級學生為對象進行 數感補救教學活動 學生在補救教學實施 前、後測成績差異達顯 著水準，訪談結果亦說 明學生在後測時採用 數感策略解題的比例 大為提升，顯然數感補 救教學活動模組確實 提升了學生之數常識 能力。 根據上述相關研，研究者究所得到的發現及啟示如下： 壹、研究對象方面 綜觀上述的研究，對象以中高年級居多。多數的研究為經過教學實驗後，比較低中 高程度學生的數感能力差異，部分輔以個別訪談以了解學童的想法。相關研究中較少專
門針對低成就學生的數感研究，基於我國九年一貫課程「把每一位學生帶上來」的理念， 應該讓每個學生都有權利受到良好的數學訓練，並學習重要的數學概念以及能力。因 此，研究者選擇六年級數感能力表現為低分組的學童為研究對象，期望協助學童數感能 力的發展。 貳、研究方法方面 國內外對於數感的研究大致可分為兩個方向，其一為以紙筆測驗調查某階段學童的 數感能力及表現，分析出學童數感能力的優劣；其二為設計一連串的數感教學活動，進 行教學後，分析學童數感能力的改變情形。有些研究則採質量並重的方式，在教學實驗 的前後進行個別訪談，以深入了解學生數感能力的發展情形。 紙筆測驗雖能蒐集到大量的資料，但卻無法深入探討學童的數感發展情形；而個別 晤談的研究方式，可以瞭解學生使用的數感策略及發展，但卻無法大量的實施。 本研究除了欲瞭解學童的數感能力外，更希望幫助學童提升其數感能力，因此選擇 教學晤談法來進行研究。本研究的對象為國小六年級學童，研究者認為他們已具備相當 程度的口語表達能力，故適合使用晤談方式。 叁、研究結果方面 從過去相關的研究的結果中發現，小組討論、建構式教學、估測、遊戲和生活布題 皆有助於學生數感的發展。從小組討論的觀點來看，王玉珍（2003）的研究結果中提到 小組的討論對提升數感能力具有正面的肯定。侯淑芬（2003）認為討論與分享，也能使 原本不會使用參考值的學生，從同儕的成功經驗中了解使用參考的便利性。 從建構式教學的觀點觀之，黃明章（2001）研究指出經由小組討論、產生質疑、辯 證的方式，造成認知上的衝突，重構學生的觀念，增進其反省思考的能力，對提升學生 數感有幫助。陳慶林（2004）的研究也指出，建構式教學法對學生「了解整數基本意義 及大小」及「整數的合成與分解」兩項能力有幫助。 從估測、遊戲和生活布題的面向來看，侯淑芬（2003）提出估測活動和遊戲能加強
學生對整數位值概念與大小的了解；遊戲和生活布題有助於學生了解運算性質與運算對 數的影響與促使學生使用參考值來解題。Markovits et al.（1989）進行估測的教學實驗亦 發現對提升學生數感能力有幫助。 由上可知，不同研究及教學方式對各類數感能力的提升皆不盡相同，綜觀過去之研 究大部分皆屬於班級實驗教學的形式，較缺乏針對低成就學生的數感教學研究，本研究 探討的是不同的教學策略對低成就學生的數感有何幫助。 本研究採取一對一的教學晤談方式，因此，上述的一些班級教學模式並不能完全適 用在本研究中，但可取其部份方法加以轉化成適用本研究情境的方法。例如，本研究將 黃明章（2001）、王玉珍（2003）所提方式稍作變化，將小組討論改變成教師和學生討論， 讓學生產生質疑，造成其認知上的衝突，以重構學生的觀念。
第三節 增進數感的教學方法
有些學者認為數感的教學與評量非常不容易進行（Resnick, 1989；Sowder, 1992）。在 國外，已有許多數學教育工作者紛紛投入大量的心血與努力，希望整合數感教學於課程 中。如果數感是一種思考方式，那麼就必須整體發展有意義的數感教學活動。簡單的說， 想要提升學生的數感能力，就是努力使數學教學有意義。教師不僅要著重學生數學概念 的發展，同時也要鼓勵學生探究並討論問題（Sowder, 1992a）。因此，一個好的老師應該 培養好奇、探究的學習環境，使學生真正能夠親自「操作」數學，才是發展數感最佳的 方法。 研究者參考了相關的數感教學文獻，發現數感的教學多是以班級教學為主，方法多 為小組討論、提供過程導向的活動、生活化的練習等；部分融入建構主義的教學方式， 透過討論、質疑、辯證的方式造成學生的認知衝突，來增進學生反省思考的能力。無論 是何種方式，在研究上皆對發展學生數感有正面的幫助。本研究因為採一對一教學訪談 的方式，故大班教學的數感教學方式並不完全適用於本研究，因此，研究者乃加以微調。本研究以低成學生為對象，在研究過程中選擇適合低成就學生的教學鷹架來輔助學生。 以下就各個學者所提出有關數感及對低成就學生的教學建議，以方法來分類，作一 有系統的分析整理，並作為本研究之參考： 壹、藉由教師的發問來發展數感 老師所出的問題與學生的討論結果，能在問題解決的情境下，創造一種溝通數感概 念的環境。在教師的引導下，可以幫助學生成功地與適時地應用他們所須的技巧 (Dougherty & Crites, 1989)。
在習慣使用數與計算的推論於處理問題解決時，有些學生可能需要協助，老師可藉 由發問來引導學生適當的思考，並協助學生發展明確的解決問題。老師可以發問如下的 問題： 一、我們將得到什麼類型的答案？ 二、在此答案中最大的數字是多少？ 三、你能猜猜看答案是多少嗎？ 藉由教師的發問來培養學生不斷地自省，鼓勵其去思索答案的合理性，是協助學生 發展數感並瞭解數所必備的。 貳、提供生活化的練習，設計與生活情境相結合的課程 Thornton 與 Tucker（1989）認為欲發展學生的數感，老師必須提供生活化的練習， 並鼓勵學生由具體經驗自行建構數學知識，並強調教師應設計與真實生活經驗相結合的 課程。另外，Yang（2006）在透過真實情境發展數感的教學研究中也指出，教學者扮演 關鍵性的角色，設計挑戰性的活動，提供學生有價值且能引發學習興趣的數學問題，來 促進其思考及解決問題的能力。若學生能運用和連結生活中的數學概念時，他們就能理 解數學的重要性與實用性。由此可知，當數學問題能與生活情境相連結時，便能幫助學 生發展數感。 參、採用提示、認知衝突與簡化問題等鷹架策略 Kamii 與 Jones（1991）的研究報告說明，學生在初等數學課程的學習中，建構式
教學比傳統教學，在較高層次的思考、解決非例行性的問題（nonroutine problems）及心 算方面有較好的發展。黃明章（2001）針對國小六年級學童進行數感教學研究，也發現 學童經由小組討論、產生質疑、辯證的方式，造成認知上的衝突，重新建構自己的觀念， 增進反省思考的能力，提升多元的解決策略，對數感的成長具有正面的意義。 從建構主義的觀點來看，Driver 和 Oldham(1986，引自郭重吉)所發展的建構式主義 的教學模式有五個階段：（一）澄清和交換；（二）置於衝突的情境；（三）建構新的想 法；（四）評鑑；（五）回顧想法的改變。這也說明衝突的情境和反省在數感教學的概念 改變上，有很大的功用。因此，研究者在教學過程中一開始先布題引導學生思考，再針 對學生的反應給予「提示」，並製造其「認知衝突」，讓其反思自己的想法，重新建構新 的數學想法。 再者，教師在建構主義的研究裡有六個基本功能：示範、教練、鷹架和嗜好、橋樑、 反省、探索等（引林永喜，1998）。在教育情境上，鷹架可能包括示範、給線索、提示、 暗示、分解提問、放聲思考的示範和直接教學（Stuyf, 2002）。故研究者在研究過程中 視學生不同的反應，採取不同的鷹架策略。 根據Palincsar 與Campione（1993）所提到用以支持學習互動情境的四個具體策略分 別為提問、摘要、澄清與預測（引自蔡敏玲，2002，頁29），也可以發現，運用語言對 談做為教室教學的鷹架策略時，對談多以「提問」的型態出現，提問扮演教學鷹架的角 色實不容忽視。透過問題的提問，不但能引發學生對學習的興趣，也能引導學習方向， 還可透過問題的拆解，以問題「提示」問題，逐步「簡化」學習活動，同時，也能增加 問題的層次或具體性，作為學生學習狀況或已具備能力的評估。綜合上述，在研究過程 中，研究者依據學生當時不同的反應給予適當的鷹架。 肆、教學必須是具有意義及目的的 Howden（1989）認為提升數感，教學必須是具有意義、有目的，且能融入生活情境 的。他認為在教學的過程中，善用具體物與圖形可以提升學童數的概念，開放式的問題
亦可增進數感。
在解題過程中，低成就學童最常遇到的困境是問題表徵形成的困難，而國內外許多 研究指出，圖示表徵策略可協助低成就學童理解題意，形成內在表徵、降低認知負擔， 增進數學問題解決的成效（古明峰，1997；林秀燕，2004；徐文鈺，1992: 魏君芝，2003； Fuson ＆ Willis,1989: Xin, Jitendra ＆ Deatline-Buchman, 2005）。
Empson（2002）也認為符號、繪圖、圖表及操作具體物等表徵工具能夠支持或協助 孩子發展他們的解題策略，也為這些解題策略提供了與別人溝通的視覺化基礎相同。另 外，教師本身應多使用多樣的表徵，同時也多鼓勵學生運用或選擇不同的表徵作為解題 策略，這樣才能促進不同的思考以建立數概念，並進而建立良好的數感。 表徵的運用使得解題過程意義化、合理化、生動化，學生的認知發展和操作不同的 表徵是相輔相成的（陳霈頡，楊德清，2005）。學生如果能用表徵和他人溝通，說明解 題過程和理由，才算是真正的理解。因此，在研究過程中，研究者採用適當的「圖示」 表徵來協助學生問題的轉譯，降低學生的認知負擔，以幫助其順利解題及理解。 伍、提供學生探索數的機會 Markovits 與 Sowder（1994）在一個為發展七年級學生數感的教學研究中，在教學 設計上，將重點放在提供豐富的探索數與數之間的關係及運算的機會上，使學生們可以 去發現規則、發明演算的方法及發展彈性使用數的策略。由上述可知，教師適當地設計 教學活動，以提升學生們的數感，是相當重要的。 Markovits 與 Sowder（1988）提到，教師在教數、數的大小、心算和估算時，若能 鼓勵孩子討論和探索不同的解題策略，將會幫助學生發展數感能力。 Howden（1989）曾提出兩個教學原則：1.對數友善：在發展數感之前須先對數產生 友善的感覺。這可從認識周遭的具體事物所具有的數開始。2.有技巧的教師與鼓勵好奇 與探索的環境：教師本身對數的敏銳與覺察，並營造出鼓勵學生探索數意義的環境，是 協助學生發展數感的關鍵因素。
Hope（1989）認為數感的提升，有賴於有意義與有目的的教學活動，此活動包含 計算、測量與估計。因本研究著重處理數與計算的部分，故只針對數與計算來說明： 一、計算與數感： 學校教的計算常脫離日常生活的經驗，例如圓桌半徑為 10 公尺之類的問題，設計 的題目常不符合學生的生活情境。因此，應該讓學生明白計算的幾個觀念： （一） 計算通常是因某種目的而產生的。學生應該為了解決實際生活上的問題而計 算，不應只是流於機械式的計算。 （二） 依情境來選擇採用何種計算過程。應該鼓勵學生在計算前，根據實際情境仔 細考慮計算的方法。例如， 4 100 ，當在金錢情境時，可想成 100 元分給 4 人，學生很快 就可以知道每人分到 25 元。 （三） 計算通常可以簡化。思考數與其間的關係正是數感的要點。要讓學生不再依 賴紙筆計算，可用口語發問的方式，例如，109×9 可以看成 100×9＋9×9。 （四） 情境可以幫助判斷計算出來的答案是否合理。例如，當你去大賣場購物，挑 了三項不到 100 元的物品，結帳時卻要付 1000 元 ，馬上就會知道這是不合理的價錢。 （五） 必須能解釋計算出來的結果。例如，對生意人而言，1855÷12＝154.58333，代 表 1855 顆糖果可大約分裝成 155 打；對某些情況而言，可能需要精確的求至小數第二位。 二、估計與數感： 可以合理的估計數就是數感的表現。老師需在教學中強調以下幾點觀念： （一） 估計包含比較數量：學生必須對「之間」、「大約」，「接近」等詞有感覺，可透 過比較常用的數量來學習。 （二） 可用不同的方式作為計算的答案：一旦學生學會運算的意義，並能組合數字時， 便可進行估計和、差、積、商。 （三） 估計的精確程度依使用目的而定： 必須告訴學生沒有任何一種估計一定是對 的，估計的精確程度完全視實際情境而定。
Sowder (1992b)的研究亦顯示，一個好的估計者擁有以下三種策略： （一）重組（reformulation）：改變數字資料以方便心算。例如 0.24×439 改成 0.2×400＝ 80。 （二）轉換（translation）：把原來結構轉成更易處理的形式。例如將 0.24×439 改成 4 1 × 440＝110。 （三）調整（compensation）：是指將因為重組或轉換過程中改變了型式，所產生的「或 多」「或少」的差距做一些調整，可調整估計值至較接近的近似值。例如，將 0.24×439 改成 0.2×439 會呈現低估的現象，所以將其調整將 439 改為 450，變成 0.2×450＝90，估 計大約為 90。 由此可知，要提升學生的數感，需透過良好的估計策略來增進估計能力。因此，在 教學中老師應提供學生數字重組、轉換、調整的機會，發展學生估計能力，以達到提升 數感的目標。在估測之前，老師應花時間多讓學生對數量作敏銳的判斷，例如：應該多 讓學生在解題前自己判斷 5999+4880 與 9000 那個較大，而非只是機械式地求出精確總 和。估測是決定答案是否合理的一種能力，這也是數感的特徵之一。 陸、計算機有助於發展數感 Howden（1989）認為計算機是發展數感良好的工具，因為它能鼓勵學生自由探究相 關數字。若能適當的引起學生重視，計算機將會在中年級成為發展數感的有用工具。另 外，根據楊德清和陳育聖（2004）的研究結果顯示，個案在經過計算機輔助教學後，在 數感的相關能力，如「使用參考點解決問題與發現數字樣式的能力」、「瞭解運算對數 的意義和影響（除法）之能力」與「瞭解運算對數的意義和影響（乘法）之能力」皆有 明顯的進步。 綜合上述，數感的發展與提升，並不是只靠一套設計完善的教材就可達成，老師的 角色與教學的情境才是重要的關鍵。根據上述學者看法及研究文獻，配合本研究設計， 歸納出以下幾點大原則，為研究者提供教學介入之參考，而詳細的數感教學策略將於第
三章中陳述： 一、教學時採用圖示、口語提示、簡化問題等鷹架策略，以幫助學生達到有意義的學 習。 二、鼓勵學生探究使用不同解題策略，並發表各種不同的解題方法，教師適時的介入 指導，以製造學童認知衝突。 三、教師多提問具挑戰性的問題，激發學生好奇心，並鼓勵學生多發問、進行 反思， 增進後設認知能力。 四、看到題目先要求學生估算，答案「大約」、「大概」是多少，不要求精算。
第三章 研究方法
本章共分七節，主要內容依序為研究者背景及角色、研究對象、研究流程與實施、 研究工具、資料蒐集與分析方法、研究的信效度、研究倫理等。第一節 研究者背景及角色
研究者畢業於靜宜大學觀光系，修畢教育學程，實習一年後，曾代課半年，代課期 間擔任四年級導師。目前服務於台中市某國小，任教年資五年，期間擔任過低年級導師， 目前任教於高年級。自從接了高年級級任後，察覺班上學生的數學程度落差很大，低成 就的學生常作出一些不合理的答案，而不自知；有時研究者急於幫助學生釐清概念，卻 總是發現學生的眼神越來越空洞，表現出不了解的眼神。因此，研究者常思考著如何增 進學生的數學能力。 研究者在研究所進修期間除了「教育研究法」及「質的研究」課程的訓練外，也曾 修習「數學科教學研究」課程，對於數感方面的議題以及兒童在學習數學的情形有更深 的瞭解。另外了選修「教學心理學研究」、「教育心理學研究」的課程，對學生的知識 學習方式及學習心理方面有所涉獵，使研究者對教育有更深一層的了解並具備教學原理 與教學方法的知能。一連串的訓練，相信對研究實務很有幫助。 研究者本身非數學系畢業，對於數學方面的知識背景可能較缺乏，因此研究者在研 究前中後，閱讀數學教育及學科知識的相關書籍，並多與有經驗的老師討論，增加研究 的敏感度。 本研究採質的研究方法，研究者本身即為研究工具，從事設計教學活動、進行教學 晤談、錄音錄影及其他相關資料的蒐集、整理和分析。研究者從蒐集到的資料中進行反 省及改進教學，在研究歷程中扮演著多元的角色，有教學者、觀察者、資料蒐集及分析 者。因為身兼多重角色，可能會影響資料蒐集的客觀性，除了定期的反省札記之外，研究者本身也會依教學晤談錄影的內容，隨時調整教學策略，同時與指導教授、研究所同 學及校內具有豐富教學經驗的老師作討論，以還原最真實的教學場景於研究中，增加研 究的參考價值。
第二節 研究對象
研究者任教的六年五班中包括男生十七名，女生十五名，共計三十二名學生。就數 學課的課堂表現看來，口語表達能力較佳，較常主動舉手發言的，多為班上前幾名的學 生，從五年級開始即為考私校作準備，且在外面補習班參加資優數學課程。而多數學生 通常是屬於被動的一群，若老師不請他發言，就會冷眼旁觀、始終沈默。從學習成就來 分析，本班學生素質分布不均，課堂表現亦呈現兩極化現象。 研究者選擇班上在「數感評定量表」中表現低成就的學生為研究對象，原因為研究 者擔任該班級任老師，熟悉學生的狀況，且容易掌握，方便依情況隨時調整研究的實施， 再者，從文獻中發現極少以低成就學生為對象的研究。因此研究者選定低成就學生為研 究對象，期望能幫助低成就學生發展數感能力。 礙於研究者的時間與精力有限，故選擇最需提升數感的學生，即在「數字常識評定 量表」中得分為低分組，且沒有參加課後補習的學生參與教學晤談，分別是小祥（S01）、 小茹（S02）和小珍（S03）。以下為三位研究對象的背景描述： 壹、小祥（S01） 小祥在家中排行老么，口語表達能力佳，平時與同學師長應對靈活，但遇到課業， 特別是數學，就不靈光，媽媽也曾多次向老師反應，希望能加強其數學能力。在前測結 果中，在判斷答案合理性的能力及數的多重表徵能力表現最差。 貳、小茹（S02） 小茹是家中的老大，六年級才轉到研究者班上就讀，因為程度不佳，所以媽媽刻意 讓他延後就讀一年，與妹妹同年以便互相照應。平時上數學課較少發言，在前測結果中，在瞭解數的基本意義、判斷答案合理性及瞭解和數的多重表徵能力最差。 參、小珍（S03） 小珍亦是家中老大，平日乖巧伶俐，表達能力不錯，但數學能力不佳。在前測結果 中，在瞭解數的基本意義、判斷答案合理性的能力和數的多重表徵能力最差。 為便於了解三個研究對象的得分，故將此三個學生在五個數感向度的答對題數整理 如表 3-1： 表 3-1 前測結果分析表 答對題數 研究對象 瞭 解 數 的 基 本 意 義 （5 題） 具有比較數 大小的能力 （9 題） 瞭解運算對 數的意義與 影響的能力 （10 題） 發 展 不 同 計 算 策 略 與 判 斷 答 案 合 理 性 的能力（7 題） 以 多 重 方 式 表 徵 數 的能力 （6 題） 班排名 （總人 數 32 人） 小祥（S01） 5（100％） 6（66％） 5（50％） 3（42％） 2（33％） 25 小茹（S02） 2（40％） 5（55％） 5（50％） 2（28％） 2（33％） 29 小珍（S03） 1（20％） 7（77％） 8（80％） 2（28％） 1（16％） 26 前測結果顯示，學生的「瞭解數的基本意義」除了小祥全數答對外，其餘皆表現不 佳。其中以「發展不同計算策略與判斷答案合理性」及「以多重方式表徵數的能力」最 差；其次是「瞭解運算對數的意義與影響的能力」，而「具有比較數大小的能力」較平 均。值得注意的是在「瞭解數的基本意義」能力上，三位個案的落差很大，當中只有小 祥五題全數答對，小茹跟小珍答對率皆低於 50％。
第三節 研究流程及實施
壹、研究流程 本研究的實施流程可以分為五個階段，說明如下: 一、95 年 7 月至 12 月底，進行文獻探討、確定研究問題與撰寫論文計畫。 二、95 年 12 月中，進行前測，選擇數感評定量表中低成就學生為研究樣本。 三、96 年 2 月初，進行試探性研究，評估方法是否可行。 四、96 年 4 月至 5 月，針對個案進行教學晤談，了解教學活動及採用的策略對學生數 感的影響，在晤談過程中會將全程錄影、錄音，並輔以研究者札記學生文件等資料，以 利事後分析與檢討，做為下一次訪談的改進參考。 五、96 年 6 月至 97 年 6 月，撰寫報告。 本研究的實施流程如圖 3-1 所示:貳、試探性研究之實施 研究者為了增進本身研究能力，並作為正式研究的參考，因此，在九十六年二月 確定研究主題 擬定研究問題 選擇樣本 試探性研究 資料蒐集 正式研究 評估 資料分析與討論 教學晤談、文件資 料、文件紀錄、研究 者札記、錄影、錄音 轉錄、編碼、歸類、 分析、歸納結果 修正 否 是 圖 3-1 研究流程圖 文 獻 探 討 撰寫研究報告 教學晤談、文件資 料、文件紀錄、研究 者札記、錄影、錄音 95.07~08 95.12 96.02 96.04~05 96.06~97. 06
間進行試探性研究（詳見附錄二）。試探性研究的題目由研究者參考相關文獻後所編製， 重點在測試研究者所設計的題目是否適宜，瞭解研究者所使用的引導策略、晤談的方式 是否適當，並增加研究者教學晤談的經驗，藉此以提供反省與檢討。 試探性研究的題目的設計，乃針對學生在數感評定量表中表現最差的向度（發展不 同計算策略與判斷答案合理性的能力）進行題目設計，共八題（參閱附錄三）。研究者 事先規畫好引導的策略，逐題進行訪談。在經歷試探性研究後，研究者從試探性研究的 過程中，發現了幾個問題值得重新檢討與思考，以下就訪談的場所時間、研究方法、訪 談問題上所得到的啟示說明如下： 一、訪談的場所及時間 研究者所任教的學校，習慣將高年級安排在最高樓層。本班教室位於五樓，研究者 考慮到空教室離班級教室太遠，來回至少要花上五分鐘時間，故在進行試探性研究時， 選定佈置在班級後面的棋桌進行晤談。晤談後發現在教室後面容易受到其他學生的干 擾，有時教室電話響起或其他學生問話會使得訪談中斷，研究對象的情緒也較不能集中。 有鑒於試探性研究的情況，因此，研究者在進行正式研究時向輔導室商借諮商室進 行晤談。諮商室位於同一棟大樓的二樓，安排在大樓的最角落，寬敞安靜，二樓只安排 輔導室、電腦教室及校史室，比較不會受到其他學生干擾，或其他教學活動的影響。 另外，試探性研究設計的題目稍多，晤談時間約50分鐘，比一般上課時間多了10分 鐘，正式研究時則視情況，分成兩次晤談，或刪減題目。 二、研究方法上 在試探性研究中，一開始選擇以小組的方式進行研究，原本希望以小組討論的方 式，藉由同儕的分享與討論，讓學生產生質疑和辯證，形成認知衝突，來些修正或重構 自己的觀念，以增進學生的數感。但在經過訪談後，研究者發現以下的問題： （一）學生無法進行討論 在訪談過程中研究對象不太習慣表達自己的想法，有時回答不出來時就以「不知道」
或「用猜的」來當作答案，所以很難有討論的情形出現，更別說希望學生藉由討論來修 正或重構自己的觀念了。因為低成就的學生很難幫助對方，或成為同學的鷹架，因此在 正式研究中，研究者進行了調整，取消原本設想的小組討論形式，改採一對一的方式訪 談。 （二）學生不斷的想計算 研究對象因為在數學問題上長期接受傳統的算則作為解決方式，阻礙了數感的發 展，所以在面對題目時仍然會不知不覺地使用計算來解決問題。因此，在正式研究時， 研究者要求對象不能帶筆，以減少學生計算的機會。 （三）研究者的敏銳度 在訪談過程中，研究者對於訊息的掌握及敏銳度還不夠，設定訪談的題目也稍多。 因此，在正式研究時，研究者加強相關文獻的閱讀與分析，以求更正確掌握訪談中的訊 息。在訪談當中，能依研究對象當下的反應，繼續追問，或加問不同類型的題目，以求 充分掌握訊息。 （四）研究對象的心理建設 研究對象對於錄音筆似乎有恐懼的感覺，當研究者將錄音筆靠近研究對象時，發現 他們回答的音量會越來越小，不太敢說話。另外，架設錄影機也造成了個案的心理壓力， 他們擔心會有其他人看到影帶，表現得有點膽怯。因此，在做正式研究時，研究者先幫 學生做好心理建設，告知影帶不會外流，並讓他們習慣錄音筆及攝影機的存在。將以上 的問題解決，以免影響研究之效度。 （五）訪談的語氣 研究者聽完訪談錄音檔後，發現研究者訪談的語氣可以改善，訪談之語氣再再委婉 一點，學生比較不會緊張。在訪談過程中，候答時間也需要再長一點，不需急著幫學生 回答，以免影響學生的看法。
三、訪談問題的省思 在經過試探性研究後，研究者歸納出學生幾個問題類型，這些發現有助於正式研究 的進行，並提供研究者參考與改進，以下為研究者的發現及修正。 （一）學生對分數基本概念及數線的基本性質不甚理解，所以無法處理分數數線的問 題。因此，在正式研究時，研究者改以從整數數線開始訪談，再進一步呈現分數數線問 題。接著，視學生表現的情形從中幫學生釐清分數的基本觀念、以及數線的概念。 （二）對於分數乘除的運算概念模糊。因此，在進行分數題目時，研究者先幫學生複 習分數的等值及乘除概念。 （三）無法運用參考點來進行估算，尤其是在分數比大小的題型中，表現最差。在正 式研究時，研究者利用圖示及討論的方式，提供反例來增加學童的認知衝突。因研究對 象相當依賴傳統算則，因此，研究者引導學生多進行估算的活動，發展其估算策略。 （四）解題時無法與生活經驗連結。在正式研究時，研究者盡量加強學生與生活經驗 的連結，多舉一些生活上的實例。 （五）多重表徵能力較弱。在正式研究時，研究者提供多種不同形式的表徵方式，如 畫圖、數線、實物等等，解決學生概念表徵的困難。 （六）前測結果顯示，學生的「瞭解數的意義和關係的能力」、「數的多重表徵能力」 及「發展計算策略與判斷答案的合理性」表現最差，故正式研究時，以發展此能力為重 點考量。 参、正式研究之實施 本研究旨在了解目前國小六年級低成就學生數感能力，以及研究者參考文獻後，設 計一系列數感相關的題目，並運用數感教學策略，提升國小六年級數感能力。由於要評 估兒童的數感能力是否改變，最主要的方法，就是深入地去個別訪談每一位兒童，所以 本研究以教學晤談的方式，蒐集資料。以下就教學晤談的時間、場所及方法分別敘述之：
一、晤談的時間 研究者服務的學校，安排每週一、三、五為學生升旗典禮，二、四為晨光教學時間， 因考慮到升旗佔用太多時間的因素，故選擇每週二、四早上七點五十分到八點三十分為 晤談時間，下午時段則視情選擇一、二、五的午休時間來進行晤談，或是利用週一放學 後的時間。每次晤談時間以四十分鐘為原則。研究者於九十六年四月開始進行正式晤談。 二、研究方法 本研究採取教學晤談法（Ning, 1992）來蒐集並歸納學童數感能力及運用策略。訪 談時，首先由研究者向兒童提出問題，再由兒童表現出其解題的想法；接著研究者以兒 童的表現為基礎，再提出進一步的問題，以便釐清兒童的解題方法。教學晤談法與其他 訪談法的不同處在於，當研究者發現兒童面臨解題困難時，可調整問題，適當的給予協 助，以免兒童受挫。因研究者想瞭解學生的數感解題類型故選擇採用此策略。 在教學晤談的過程中，全程予以錄影錄音，作為資料分析的來源，而學童的語言 表達、肢體動作、符號的運用等，都是研究者資料蒐集的重點。在晤談過程中，研究者 藉由學童的外顯活動來判斷其可能的活動類型假設，進而提出下一個問題來檢驗研究者 先前的假設。此外，研究者也依據學生的反應，隨時調整問題，使兒童的解題活動能更 真實的反應他的真正想法。 當研究者佈題後，若學童不了解問題的情境時，研究者適時的解釋題意幫助學童理 解，一旦察覺孩童確實無法解決問題時，在晤談中並適當給予學生鷹架（scaffolding）。 例如口語提示、圖示等，來探索學生的可能發展區（zone of proximal development, ZPD）。 研究者首先以設計好的訪談問題依序對學童進行布題，確定學童理解問題的情境後要求 他加以解題，並解釋自己的解題策略及心中的想法；接著研究者以孩童的解題表現及回 答的答案為基礎提出進一步的問題，用以釐清孩童的解題方法。
第四節 研究工具
本研究在教學晤談前，先進行紙筆測驗（參閱附錄一）、訪談等，來了解學生數感 的程度。再針對學生較缺乏能力的進行題目設計，這些題目在正式研究時使用。題目設 計的方向根據研究目的而來，並參考相關文獻設計出教學晤談題目（參閱附錄三）。表 3-2 為晤談時間表： 表 3-2 晤談時間表 對象 次別 小祥 （S01） 小茹 （S01） 小珍 （S01） 數感主題 1 96 年 4 月 10 日 （A1） 96 年 4 月 12 日 （A2） 96 年 4 月 10 日 （A3） 具有比較數大小 的能力（A） 2 96 年 4 月 24 日 （B1） 96 年 4 月 17 日 （B2） 96 年 4 月 13 日 （B3） 發展不同計算策 略與判斷答案的 合理性（B） 3 96 年 5 月 1 日 （C1） 96 年 4 月 26 日 （C2） 96 年 4 月 24 日 （C3） 瞭解數的基本意 義（C） 4 96 年 5 月 3 日 （D1） 96 年 5 月 1 日 （D2） 96 年 4 月 30 日 （D3） 瞭 解 運 算 對 數 的 影響的能力（D） 5 96 年 5 月 8 日 （E1） 96 年 5 月 4 日 （E2） 96 年 5 月 7 日 （E3） 以多重方式表徵 數的能力（E） 6 96 年 5 月 15 日 （F1） 96 年 5 月 10 日 （F2） 96 年 5 月 11 日 （F3） 6-1 96 年 5 月 14 日 （f3） 瞭解運算對數的 影響的能力（F） 7 96 年 5 月 21 日 （G1） 96 年 5 月 17 日 （G2） 96 年 5 月 18 日 （G3） 總結性訪談一（G） 8 96 年 5 月 24 日 （H1） 96 年 5 月 22 日 （H2） 96 年 5 月 25 日 （H3） 總結性訪談二（H） 8-1 96 年 5 月 28 日 （h3） 備註 1. S01 和 S02 訪談八次，S03 在第六次及第八次時，研究者視需要各增加 了一次晤談，所以共十次。 2.括號中的 A1 代表對 S01 所訪談的數感主題 A（具有比較數大小的能力） 的文字稿。教學晤談的方式及所運用教學策略，依所欲增進的數感能力之不同而有些微差別， 以下先說明教學晤談的原則，再依題目的類型及所欲培養的數感能力，舉出三個教學晤 談示例，其餘教學晤談題目及運用的相關策略請參閱附錄三： 壹、 教學晤談原則 根據第二章的文獻探討，歸納出幾項教學晤談時的大原則： 一、盡量設計與真實生活經驗相結合的活動 Thornton 與 Tucker（1989）認為教師多給予學生生活化的練習有助於數感的提升。 Hope（1989）亦認為情境可以幫助學生判斷答案的合理性，故當學生無法理解題目意思 時，研究者轉換問題情境，以求符合學生的生活經驗，來幫助學生判斷。例如學生無法 估算512×0.5大約等於多少時，研究者便會轉化問題情境，將原問題轉化成你有500元分 一半給家人還剩多少，研究者協助學生將問題轉化成其熟悉的金錢情境，以協助學生思 考解題。 二、多利用圖形表徵 研究者參考 Howden（1989）的建議，在教學的過程中多善用具體物與圖形來提升 學童數的概念。另外，Sowder 與 Markovits（1989）的研究亦顯示，學生使用圖示和操 作的方式來比較分數的大小，學生會以 2 1或１為參考點比較分數大小，成功的比較不同 分母或不同分子分數的大小，因此，研究者在進行晤談時選擇採用大量的圖示策略來進 行研究。 三、教導學生運用估算策略 Sowder（1992b）認為一個好的估算者擁有重組、轉換、調整這三種策略，故研究者 在進行研究時，若數字太大對學生造成困擾，則教導學生運用重組策略，即將數字變小 以方便計算；若學生對問題結構不理解，則轉換問題結構幫助學生理解；在計算過程中， 對估算有困難時，則教導學生調整估計值。
四、教學過程多使用口語提示、製造認知衝突等策略 在訪談過程中，研究者視學生的反應來決定採取何種鷹架策略，教師在建構主義的 研究裡有六個基本功能：示範、教練、鷹架和嗜好、橋樑、反省、探索等（引林永喜， 1998）。而鷹架可能包括示範、給線索、提示、暗示、分解提問、放聲思考的示範和直 接教學（Stuyf, 2002）。 貳、 教學晤談示例 以下以發展不同計算策略與判斷答案的合理性及具有比較數大小的能力，舉例說明 教學晤談時的引導重點、運用策略及目的，如表 3-3、3-4 及 3-5 所示。 一、發展計算策略與判斷答案的合理性 表 3-3 和 3-4 為研究者進行晤談時的引導重點及相關的運用策略，研究者把學生可 能遇到的問題，及可能的解決策略一一列出，以做為研究時的參考。在進行研究時，研 究者視學生的不同反應，來決定採用何種策略。 表 3-3 教學晤談示例一 題目：大雄用計算機算 512× 0.45 的時候，小數點按錯了，結果出現答案 2304，請用 估計的方法，幫他填上小數點的正確位置。 引導重點（問話舉例） 運用策略 目的 口述布題，要求學生不用紙筆計算，說出自己的想法。 當學生還是依賴紙筆計算時，提問：乘數 0.45 接近多 少？ 提示 鼓勵學生用 參考點估算。 若學生還是無法回答出答案，便以具體的事例轉化問 題，並協助學生理解原問題，與新問題的簡化關係。例 如將本問題的數字及情境轉化並簡化為：當你有 500 元，分一半給妹妹你還剩多少元？ 轉換情境 生活經驗 利用生活經 驗幫助其解 題 研究者依上述的比喻，請學生回頭看題目，提問乘數 0.45 可看成多少？小數點的位置應該點在哪裡比較合理？ 問題分析 請學生判斷 答案的合理 性
( ) 10 1 0 表 3-4 教學晤談示例二 題目：下列哪個選項最能代表下圖（）中的數？（○1 10 5 ○2 5 1 ○3 20 1 ○4 2 1 ）。 引導重點（問話舉例） 運用策略 目的 請學生看完題目後，發表自己的想法。 依照其回答 的問題當作 起點來進行 概念的澄 清。 當學生回答 5 1時，表示其分數的乘除概念不清，可幫學 生複習分數的基本概念。 認為一半是分母除 10 以 2，此時可以提問：有哪些分數 比 0 大比 10 1 小？ 口語提示 請學生判斷 答案的合理 性 研究者接著再提問： 5 1和 10 1 哪一個數比較大？ 製造認知衝 突 若學生還是無法回答出答案，接著再請學生（或老師） 畫數線表示出 5 1和 10 1 ，讓其了解哪個數比較大。 圖示 改變表徵方 式幫助其解 題 當學生回答 2 1 時，表示其數線概念不清楚，忽略了數線 上所標示的數值，此時可以提醒學生先看清處數線上的 數值，再回答問題。 口語提示
二、 比較數大小的能力 表 3-5 中是辨認數大小的能力的相關題型，研究者把晤談時所引導重點及相 關的策略、學生可能遇到的問題，及可能的解決策略一一列出。 表 3-5 教學晤談示例三 題目： 17 16 和 19 18哪一個分數比較大？ 為什麼？ 引導重點（問話舉例） 運用策略 目的 口述佈題，要求學生不用紙筆計算，說出自己的想法。 若學生回答，因為 19 18的分子和分母都比 17 16大，所以 19 18比 較大時，表示其對分數產生迷思概念，研究者可將數字 變小來協助學生理解：如 3 2和 4 3那一個分數比較大？ 簡化問題 當學生仍無法比較時，請學生畫圖表示出 3 2和 4 3，藉以 比較何者較大。 圖示 改變表徵方 式幫助其解 題 研究者接著提示： 3 2再差多少就等於 1？ 4 3再差多少就 等於 1？ 3 1和 4 1誰比較大？ 補 1 策略 利用參考點 來幫助解題 當學生釐清以上觀念時，研究者接著回到原來問題： 19 18 再差多少就等於 1？ 17 16再差多少就等於 1？ 19 1 和 17 1 誰 比較大？ 補 1 策略 利用參考點 來幫助解題
