第四章 研究結果與討論
第一節 國小六年級低成就學童數感能力的表現及其解題類型
本節就研究中所設定的數感五個向度，來探討三位個案在解題時的反應，並依照學 生反應背後的思維來分類。研究者發現，低成就學生不全然無數感能力的展現，在訪談 過程中，學生是具有部份的整數估算能力，例如在整數乘法的問題中，其具有估算能力。
但絕大部分的時候學生是無數感展現的，有時是因為數概念不足，有時是不懂得運用策 略來判斷，因此，以下研究者將先敘述學生具備數感能力的部份；再探討數感不足的部 份。研究者分析學生解題反應的背後思維後發現，學生的反應主要可歸為基本概念不 足、認知表徵不足而影響概念、及能記憶計算或判斷的規則但不懂運用的技巧三種類 型。當學生概念不清楚（如有迷思概念、或不懂分數的性質時）歸類為基本概念不足；
當學生因知覺受限於表徵形式，或無法適當的轉換表徵而影響其概念的運用時，研究者 將之歸類為認知表徵不足而影響概念；當學生只會記誦某些規則而無法將這些規則內化 成本身的能力來判斷答案的合理性時（例如知道被成數乘以比 1 小的數會越來越大，但 不知道原因時）則將其歸類為能記憶計算或判斷的規則但不懂運用的技巧。茲分述如后：
壹、數感能力的展現
以下分別敘述學生在乘法估算及整數數線上運用參考點的能力：
一、知道整數乘以比 1 的大的其值會變大
在乘法問題中，當乘數大於 1 時，乘積會比被乘數大。面對此問題 S01 和 S02 能肯 定的知道乘以比 1 大的數答案會變大，回答也較有自信【札 960503】。他們皆認為因為
乘數大於 1，所以乘積會大於 1 倍（如例 1-1，1- 2 所示）。
【例 1-1】
研：來！你先看第一題246×1.3 □ 246，不用算喔！答案是多少？
S01：大於。
研：為什麼？
S01：因為它乘以 1.3，然後 1.3 有超過 1。
研：所以比 1 倍還要怎麼樣？
S01：大。
研：所以是大於？
S01：嗯。【D10101-0108】
【例 1-2】
研：好！第一題，不用計算，在框框中填入大於小於或等於。
S02：大於。
研：為什麼？
S02：因為小數大於 1，所以越乘越大。
研：小數怎麼樣？
S02：小數超過 1。
研：誰超過 1？
S02：1.3 阿。
研：超過 1，所以會怎樣？
S02：越乘越小。
研：然後呢？
S02：ㄟ…不對…是越乘越大。
研：為什麼越乘越大？
S02：因為…因為…因為…1.1 的後面…ㄟ…等一下…後面就越來越大。
研：所以…
S02：就越乘越大。【D20101-0118】
由以上的例子，研究者可以發現學生在整數乘以帶小數的問題中，能將乘數的值當 作參考點，來判斷合理的答案，且能運用數與數間的關係，來判斷答案的大小。所以在 此問題中 S01 和 S02 學生是具有數感的。S03 雖然也回答答案是大於，但感覺較沒自信，
而且他解釋其原因為看起來比較大，因此，研究者判斷其回答的方式仍屬直觀反應。三
個個案中，S03 與 S01 和 S02 相較之下，其此部分能力較顯不足。
二、乘法問題具有估算能力
在估算的問題中，學童要能靈活運用使用重組、轉換和調整等估算策略，且要具 有判斷答案合理性的能力，能觀察數字間的關係，及察覺不合理的答案。研究者發現，
學生在面對整數問題時多能運用估算策略，雖然三位學童各有不同的解題策略，但無 論是那一種，皆有數感能力的展現。例如在估算 106×156 的問題中，S01 和 S02 出現了 重組策略（如例 1-3，1-4 所示），他們先將 106 看成 100 去乘以 156，估算出答案大約 是 15600；而且 S02 知道答案是介於一萬多到二萬多之間；S03 則是估算答案大概是一 萬多（如例 1-5 所示）。
【例 1-3】
研:那 106×156 答案大約是多少？
S01：15600。
研:怎麼來的？
S01：先把 100×156，然後再用 6×156，相加。【F10232-0235】
【例 1-4】
研：好下ㄧ題 106×156 答案大約是多少？
S02:1…等一下喔！先把它看成 100 的話…156×100+156×6。
研：你再講ㄧ次。
S02:156×100+156×6。
研：什麼意思？
S02:我把 106 看成 100 然後先乘以 156。
研：嗯！
S02:然後 156 再乘以 6。
研：你把 106 看成 100，然後 100 再去乘以 156，那出來答案是…
S02:15600。
研：那然後呢？156×6 是哪裡乘以哪裡？
S02:乘數乘以被乘數的個位。
研：好那你覺得答案大概是多少？
S02:1 萬多到 2 萬多吧！【F20632-0640】
【例 1-5】
研：好再來，106 乘以 156 答案大約是多少？
S03：嗯…【想了好ㄧ會】
研：你先告訴我你覺得答案大概是多少？
S03：答案大概是…
研：大約是多少？
S03：大約是…1 萬多。
研：為什麼呢？
S03：因為…因為…因為 2 個數字都很大。【F30437-0504】
由上述例子可知，三位個案在回答問題時皆會大略估算答案，但是當研究者進一步 請他們解釋想法時，卻出現直式算則的想法，可見的他們雖有估算能力出現，但是並不 會解釋原因。值肯定的是，三位個案沒有一開始就要求計算，願意大約的去估測答案，
因此，他們在整數方面是有數感能力的展現的，可以找最接近且容易相乘的整數來做估 算，並估計大約的答案。此情形與 Sowder 和 Wheeler（1989）的研究結果不太相同，他 們認為要求學生做估算的時候，沒有一位學生可以拋棄傳統的計算模式，學生們很難忽 略不影響結果的數字，也很難將這些數字視為零。但本研究顯示，學生能重組或轉換該 數字來進行估算，而不需使用傳統的計算模式。由此可知學生在整數的估算上較無困 難，若能以此為根基，則能進一步幫助學童發展更進階的概念，如小數及分數的估算策 略。
三、整數數線題型中學生能主動運用參考點，找出數線中間的參考值
研究者發現，學生在回答整數數線的問題時，較能主動運用參考點【札 960424】，
會利用 50 來判斷答案的合理性，如例 1-6 所示，S01 以 50 為參考值，再找出 50 到 100 的一半是 75。
【例 1-6】
研：好！第一題【如右】答案是多少？
S01：75【很快的回答出來】
研：為什麼？
0 50 100
S01：因為這一段距離就是他的一半…
……
研：你剛剛說這段距離怎樣？
S01：這段距離..阿..中間好像就是他的一半（指 50 到 100 的中間是一半）。 研：誰跟誰的一半？
S01：50 到這個箭頭（指 100）的地方。
S01：就一半一半去看阿… 25..50..75。【B10108-0205】
S03 的反應也與 S01 相同，但 S02 雖然也運用 50 來當參考值，他卻回答框框裡的 答案是 60（如例 1-7），顯示他並不了解數線的相對位置，亦不會判斷答案的合理性。
【例 1-7】
研：好！來先看第一題，然後告訴我框框裡面答案是多少？
S02：60。
研：為什麼？
S02：因為 50 的後面是 60…ㄟ..50 前面是 60【不知如何表示數線上的說法】。
研：到底是前面還是後面？
S02：前面。
研：50 再來是多少？
S02：是 60。
研：那這應該叫右邊，不是前面。
研：50 的右邊是誰？
S02：50 的右邊是 40。
研：對呀！你覺得這個位置剛好 60 嗎？
S02：嗯！【B201001-0202】
由以上的情形來看，除了 S02 外，其他兩位學生對於整數數線上的數值表示較無問 題，可以運用參考點來判斷該數值在數線上的位置。
壹、 數感能力的不足
經過訪談，研究者發現學生數感不佳的原因主要可分為三大部分，首先是基本概念 不足而影響數感發展；其次是因為認知表徵不佳而影響其概念；最後一類為能記憶計算 或判斷的規則但不懂運用的技巧。以下依照研究者在訪談時學生解題反應的不同，分成
研究者所歸納出的三大類型來分別敘述。
S03：對！【A30101-0110】
S03因為不瞭解分數的意義，而認為分母比較大，分數就比較大，忽略了分母與分
S01：哎呀！我不知道怎麼講嘛！（害羞的笑笑）【A10101-0109】
由以上的例子中，研究者發現 S01 已知道分的意義，並能說明
並敘述分割後的單位分數大小，以及部分和全體的關係。
（二）有小數稠密性的迷思
在發展小數稠密性的能力前，學生要能理解小數的位值關係、小數是除的結果，並 知道兩個小數間有無限個小數，意即小數間可以無限分割。認知到達此層次的學生，即 可知道小數和小數之間會有無限多個小數。當學生具備此能力時，便能大略的將數排 序。因此具備小數稠密性概念能讓學生進一步對數系統有所瞭解。
研究者發現三位個案在小數稠密性的概念方面皆顯不足【札960501】。例如在「9.4 和 9.5 之間有多少個小數？為什麼？」這道題目中，三位個案的答案各異。S01認為9.4和9.5 之間只有一個小數，他的想法為9.5減9.4等於0.1，所以有1個小數，顯示其運用小數加減 的方法來解釋。S02認為9.4跟9.5中間沒有小數，顯然在判斷時受到整數性質的影響，未 具有小數稠密性的概念。而S03認為9.4跟9.5中間有0.1個小數，一樣是用小數加減的問題 來解釋（例1- 10，1-11，1-12所示）。
【例 1-10】
研：那現在問你喔！9.4 跟 9.5 這兩個數的中間有多少個小數？
S01：一個。
研：為什麼？
S01：一個，因為算出來是 1。
研：哪裡算出來是 1？
S01：9.4 跟 9.5。
研：9.4 跟 9.5？
S01：差 0.1【C10508-0516】
【例 1-11】
研：來！9.4 和 9.5 之間有多少個小數？
S02:1…差一個而已…9.4 跟 9.5…0.1 個小數。
研：0.1 個小數？
S02:就是 1 個而已。
研：1 個？為什麼？
S02:9.4 跟 9.5…嗯..應該差 0 個吧！0 個小數。
研：0 個小數喔！為什麼？
S02:9.4 再來就是 9.5 了
研：所以你覺得他中間沒有小數了喔？
S02:對阿！【訪 C21323-1332】
【例 1-12】
研：再來第二題，9.4 跟 9.5 之間有多少個小數！為什麼？
S03:嗯…【想了一會】0.1 個。
研：9.4 跟 9.5 中間有…
S03:0.1 個。
研：為什麼？
S03:因為…0.4 再加 0.1 就等於 0.5。【C30534-0540】
根據 S02 的反應，他認為 9.4 和 9.5 中間沒有小數，極有可能是因為小數的學習在 整數之後，因此受整數性質的影響，將整數概念過度類推到小數上，認為相鄰的兩個整 數間沒有數字。而 S01 和 S03 皆認為 9.4 和 9.5 中間有一個小數，其思考方式都是用小數 的加減來回答，未建立小數稠密性的概念，因而產生迷思。劉曼麗（1998）及 Hart 等人
（1981）的研究中發現不少學童缺乏小數稠密性的概念，本研究三位學童的反應亦有類 似的現象。
由以上三位個案的反應中可知，三位皆未認清小數具有稠密性的性質，不知道任意 兩個小數之間有無限多個小數存在，皆具有小數稠密性的迷思。此現象將會影響學生的 數感能力，學生可能無法利用稠密性這個概念來排序數的大小。
由第二章文獻探討中可知，比較數大小的能力包括了比較整數、分數、小數等不同 數系中不同數值，依照大小將不同的數加以排序、以及了解數的稠密性等。因此，可以 得知，如果能建立學生數的稠密性概念，對於學生發展比較數大小的能力會有相當的重
由第二章文獻探討中可知，比較數大小的能力包括了比較整數、分數、小數等不同 數系中不同數值，依照大小將不同的數加以排序、以及了解數的稠密性等。因此，可以 得知，如果能建立學生數的稠密性概念，對於學生發展比較數大小的能力會有相當的重