各立體幾何圖形歸類類型分析

本次所獲得圖形，就整體有效樣本 495 位學生而言，依據實體情 境下正方體要求繪製一張，原應為 495 張，其餘各面體均繪製兩個視 角應為 990 張，扣除未畫、以及無效圖形樣本，本研究實體畫所得正 立方體、正四面體、正八面體與正十二面體分別為 470、963、938、

881 張，共計 3,252 張。想像畫每一面體要求畫一張，原應為 495 張，

去除未畫與無效畫後，依正立方體、正四面體、正八面體與正十二面 體分別為 490、471、451、383 張，共計 1,795 張。

壹、各立體幾何圖形類型呈現結果描述

一、各類型歸類次數與所佔比率

各立體幾何實體畫類型歸類後，各類型所佔比率以及各年段所佔 比率如表 4.4 所示。正立方體圖形 470 張分類結果：立體透視 7 (1.5%)、等角 Y 型 75 (16.0%)、等斜正面 329 (70.0%)、一面有誤 29 (6.2%)、兩三面誤 9 (1.9%)、平面展開 4 (.9%)、其他 17 (3.6%)。

正四面體 963 張圖，分類結果：單面三角 311 (32.3%)，兩面中 線左傾 183 (19.0%)，兩面中線右傾 222 (23.1%)，兩面中線垂直 220 (22.8%)，其他類型 27 (2.8%)。

正八面體 938 張圖，分類結果，矩形大叉 324 (34.5%)，左斜菱 形 107 (11.4%)，右斜三角 15 (1.6%)，倒置三角 312 (33.3%)，左斜三 角 18 (1.9%)，右斜菱形 121 (12.9%)，其他 41 (4.4%)。

正十二面體 881 張圖分類結果：依據系統分類表分為八類，倒五

中分 312 (35.4%)，倒五右斜 95 (10.8%)，倒五左斜 64 (7.3%)，中分 四面 190 (21.6%)，中分上蓋 11 (1.2%)，中分下盆 100 (11.4%)，中分 八面 32 (3.6%)，其他 77 (8.7%)。

二、各類型歸類次數與呈現視角關係

就上述結果，如果與繪圖情境與要求進行連結，除了正立方體僅 畫一次，且沒有特定視角供受試者畫外，正四、正八、正十二面體均 要求作畫兩次。受試者依據施測情境設計，先取一特別規定視角作 畫，完成後，再將立體幾何模型向左或向右旋轉 45°再作第二張畫。。

就以四面體來說，部分受試者第一次作畫被要求以單面三角作畫(視 角一)，而另一部分被要求以兩面中線垂直作畫(視角二)，兩部分受試 者作畫第二次時右轉或左轉(即為視角三與視角四)。依此施測情境正 四面體所得結果以視角一作畫單面三角 311(32.3%)張為最多，兩面中 線右傾 222(23.1%)視角三次之，第三是兩面中線垂直 220 (22.8%)為 視角二，第四為視角四兩面中線左傾 183(19.0%)張，至於其他類型 27(2.8%)多為未完成，或無法歸類之圖形。

表 4.4 各年段學生繪製立體幾何圖形類型分析次數及百分比

三、非施測情境視角所呈現圖形為錯誤類型之一

上述分類圖形所占比率大小與施測程序與情境相關。施測時已儘 量交換視角施測，然而於教室情境中施測，雖已作到每一受試者均單 獨有一觀察模型，但受試者身高與座椅高度不同，因此所畫圖形有各 種視角圖形出現。也因此討論大項類別之比率，欠缺比較的基礎，然 而，在此種初步歸類過程中，我們發現有些受試者所繪製的幾何圖 形，並非施測情境之幾何體呈現的視角，甚至是實際上絕不可能出現 的圖形，如正立方體一至多面有誤、平面展開都是錯誤類型，正十二 面體中分八面等等，此發現留待後續各面體錯誤類型時討論。

以下各面體之描述依據發生次數、比率，錯誤類型及畫虛線結果進行 分析與討論。

貳、正立方體繪製結果分析

一、正立方體使用透視圖法比率很低

由表 4.5 可知，470 張正立方體圖中，選擇以立體透視方式畫出 的僅 7 張，比率為 1.5%，比率偏低，即使施測題目已提示越立體越 好，學生仍不知使用透視圖法、前大後小等技巧。然而，此一結果與 文獻 Cox (1986)所得結果 10 歲及成人畫房子達 10%及 41%畫房子採 用透視法有明顯的不同，學生畫純粹幾何體，與由幾何構成的房子採

表 4.5 各年段學生繪製正立方體類型次數與百分比

六年級 八年級 十年級 合計

次數 百分比 次數 百分比 次數 百分比 次數 百分比

立體透視 2 (1.6) 2 (1.3) 3 (1.6) 7 (1.5) 等角Y型 12 (9.4) 34 (22.5) 29 (15.1) 75 (16.0) 等斜正面 83 (65.4) 98 (64.9) 148 (77.1) 329 (70.0) 一面有誤 12 (9.4) 10 (6.6) 7 (3.6) 29 (6.2) 兩三面誤 6 (4.7) 0 (.0) 3 (1.6) 9 (1.9) 平面展開 2 (1.6) 2 (1.3) 0 (.0) 4 (.9) 其他 10 (7.9) 5 (3.3) 2 (1.0) 17 (3.6) 小計 127 (100.0) 151 (100.0) 192 (100.0) 470 (100.0)

二、絕大多數使用等斜法，且遠多於等角法

畫出「等角 Y 形」的 75 張約占 16.0%，「等斜正面」的 329 張占 70.0%，此一結果支持過去文獻所言，絕大多數的學生選擇採用正面 朝前的方式畫立方體。

三、畫出錯誤類型的比率不高

正立方體於視覺上最多可同時看見三面，其中畫出一面有錯的 29 張，比率為 6.2%，而且正面、側面、上面三個面均可能產生這樣 的錯誤。 代表性圖形如圖 4.1 所示。

圖 4.1 正立方體單面錯誤類型圖例

畫出兩面或三面有誤共計 9 張，代表性圖形如圖 4.2 所示。

圖 4.2 正立方體多面錯誤圖例

畫成四面成展開形式的圖有四張，如圖 4.3 所示。似乎是多視點觀察 的移動所導致，也可能是繪圖技巧缺乏所導致。

圖 4.3 正立方體展開錯誤類型圖例

其它錯誤類型，除了未完成外，多是畫成單一面矩形或兩面，這 可能是繪畫採單一、多視點或是個人技巧不足所致。此外，從其畫虛 線來看，也可能顯示受試者之空間視覺能力可能隱含缺陷，至於畫成 三明治狀則更令人匪夷所思。這些特別現象需進一步進行個案研究芳 能釐清。

圖 4.4 正立方體其他錯誤類型圖例

四、畫虛線正確比率逐年段增加

施測要求受試者對於看不見的面要以虛線標出，正立方體所得結 果如表 4.6 所示。全體受試者能夠正確畫出的共計 363 張(占 77.2%)，

由六年級到十年級逐漸升高(60.6%、80.1%、85.9%)。

表 4.6 各年段學生繪製正立方體虛線類型次數與百分比

底部虛線畫錯誤的類型，如圖 4.5 所示。其他錯誤類型多為未完 成，其中較特別的圖形如下圖 4.6 所示。

圖 4.5 正立方體畫虛線產生底部錯誤類型圖例

圖 4.6 正立方體畫虛線產生其他錯誤類型圖例

五、繪製深度技巧缺乏

當一個正方形(四個角均 90 度)並非垂直於觀察者時，所呈現於 受試者的眼前應為菱形(平行四邊形，四個角非為 90 度)，學生畫出 單面錯誤或多面錯誤類型這類圖形，致使非垂直於受試者的面體，轉 朝正面的形成，而接近 90 角的原因，除了學生對於實際視覺上所應 感知的形狀視而未見，畫他所知的外，也可能來自於學生在畫圖時受 到原認知為正方形的干擾，即使視覺上看見非呈現正四角形，卻畫出 直角，這種看見了，卻無法畫出所看見的圖形，正是因為深度的表現 技巧缺乏所致，這正是美術及繪圖教育重要的地方所在。

參、正四面體繪製結果分析

一、各分類類形正確比率多於錯誤比率

正四面體 963 張依據受試者視角，分為「單面三角」、「中線左 傾」、「中線右傾」、「中線垂直」及「其他類別」五大類，分別為

311、183、222、220、27 張。各類別中判斷屬於正確比率的均在第 一類型(每類第一行編號 1)，由表 4.7 可以發現均大於其他各類，以 單面三角此一大類而言，屬於正確畫出的「底平對稱」(224 張)遠大 於「底線斜」(40)、「右肩斜」(30)、「左肩斜」(16)等錯誤類型，中 線左傾與右傾兩大類，屬於正確圖形的「底上揚」(152、176)遠大於

「底平」(27、37)、「底下傾」(2、7)兩類。中線垂直此大類，屬於 正確類型的「左右相等」(155)，大於「右大左小」(35)與「左大右小」

(29)。

就各年段而言，各大類型中，除了單面三角外，屬於正確畫法的 第一類型(底上揚、左右相等)各年段比率均逐漸提升，也就是十年級 畫出第一類型比率大於八年級，而八年級又大於六年級。

表 4.7 各年段學生繪製正四面體分類類型次數與百分比

圖4.7正四面體中線左傾與中線右傾之底平錯誤類型圖例

研究者推測繪製者繪出此種圖形的可能性有二：繪圖者改變正四 面體幾何物體位置，將幾何體斜置於左前方或右前方，並以斜視的方 式來繪圖，此狀況與施測要求將幾何體放置於繪製者之正前方規定不 符。另一個可能性，繪圖者以兩個不同的視點繪製，也就是繪製者繪 圖時並非是以其所看見的來畫，而是畫完一個面之圖形(正三角形) 後，為了畫出另外一個面，移動視點所致，目的是為了清楚表達另一 斜面，依據前人研究，繪製者若以被畫物為中心，為了清楚表達所知，

會主動移動視點，而忽略實際上所見形體。

三、正確畫虛線比率大於錯誤畫

繪製正四面體虛線結果如表 4.8 所示。

表 4.8 各年段學生繪製正四面體虛線類型次數與百分比

六年級 八年級 十年級 合計

次數 百分比 次數 百分比 次數 百分比 次數 百分比

正確畫出 138 (55.0) 211 (69.4) 326 (79.9) 675 (70.1) 未畫虛線 42 (16.7) 33 (10.9) 42 (10.3) 117 (12.1) 底部錯誤 43 (17.1) 28 (9.2) 20 (4.9) 91 (9.4) 隱晦錯誤 4 (1.6) 7 (2.3) 3 (.7) 14 (1.5) 其他錯誤 24 (9.6) 25 (8.2) 17 (4.2) 66 (6.9) 小計 251 (100.0) 304 (100.0) 408 (100.0) 963 (100.0)

四、出現底部為四角形之錯誤比率偏高

正四面體畫虛線畫出底部錯誤共計 91 張，占全體比率達 9.4%，

代表如圖 4.8。

圖 4.8 正四面體畫虛線產生四角形底部錯誤類型圖例

受試者將正四面體之底部視為四角形的錯誤比率不低。會畫出此 類圖形，按畫所知而非畫所見之現象探討，可見部分受試者心中長期 持有的四面體形體，是類似埃及金字體的形狀，而真正的正四面體形 體是個陌生的形體，這些錯誤類型，是受到典型例的影響所致。本研 究發現，典型例會影響立體幾何圖形的繪製。此支持陳創義(2003)在 平面幾何概念上的研究，學生存有迷思概念之發現。人們對於形狀辨 認原具有所謂靈巧與恆常性(鄭昭明，2004)，而 Biederman (1987)提 出所有物體都可以由其所謂的幾何子來組成，對於各類立體幾何的正 確認識，應是拓展學生辨認物體的重要基礎之一。

五、正四面體概念不清、必須於小學加強教導

以畫出此種錯誤形態的學生而言，對於正四面體幾何形體錯誤認 知概念的國小、國中及高中職受試者分別占了 17.1%、9.2%、4.9%。

比例雖逐漸降低，國小五年級及六年級教導立體幾何形體顯然有必要 將此一形體列入。從施測過程來說，學生手握該形體，且置於其正前 方，仍無法畫出正確的底來，顯然數學、美術與生活科技教育上，對 於形體的細微觀察，也有加強的空間。

肆、正八面體繪製結果分析

正八面體選擇「視角」、「外輪廓」、「長寬高比例」三個指標來分 析。正八面體的形體因視角的不同會產生完全迥異的圖形，可見面可 能是兩面、三面或者四面，理論上其外形輪廓應由兩組平行線組成，

以「矩形大叉」而言，輪廓線是由平行線與垂直線所構成。然而，實 際上各面體受到光線明暗之影響，實際輪廓大小會有些微的改變，加

以「矩形大叉」而言，輪廓線是由平行線與垂直線所構成。然而，實 際上各面體受到光線明暗之影響，實際輪廓大小會有些微的改變，加