國小整數乘除法的概念

數學是一門注重循序漸進、邏輯推理的學科，因此其教材的編排從國小一年級 開始至國小六年級，數學概念上皆有一定的邏輯順序，並且經過縝密、嚴謹的結構 設計，而本研究欲探討的乘除法計算，分別是由加法累進及減法的連減所產生的，

學生必須先具備乘除法相關的基礎能力方能正確學習，因此本節將分為三個部分去 探討整數乘除法的概念，第一部分為整數乘除法的意義，第二部分為國小整數乘除 法的能力指標，第三部分為學習障礙學生在整數乘除法計算的錯誤類型。

壹、整數乘除法的意義

在國小數學課程當中，依據學生學習整數的概念，依序為加、減、乘、除，一 年級學習加法與減法，二年級開始接觸乘法，三年級學習除法，如此循序漸進的學 習四則運算（胡永崇，2011）。而整數的乘除法單元在國小數學學習階段當中更是佔 了相當大的比例，而乘除法是加減法的的延伸學習，也屬於更高層次的概念與計算，

同時也是未來學習其他主題如：面積、比例、機率等等的基礎（曾淑芬，2010）。由 此可知，學習整數乘除法的課程對國小階段的學生來說，是一個相當重要且必備的 技能，因此本研究探討利用多感官方式來學習整數乘除法的計算，而首先乘法計算 其實是加法的連續運算，也可以說是一種簡短的加法方式，如：6+6+6+6+6，可用 乘法表示為 6×5=30，學生所學習到的新的符號便是「×」（張世彗，2015）。與加法 明顯不同的是，加法計算中的例子皆為同一單位量，例如：6 顆蘋果加上 3 顆蘋果 等於 9 顆蘋果，單位量一樣是「顆」；而乘法問題則需依照題目的情境適時的轉換單 位量，意即單位量是不一樣的，例如：一包餅乾有 3 片，四包餅乾有 12 片，單位量

「包」與「片」的轉換，對學生來說變是一個全新的概念；而除法也可以說是減法 的連減運算，一開始學生接觸除法時，可以用減法方式來引導教學，如：6 ÷ 3，概

念上可以解釋為，一包餅乾有 6 片，分給三個人，全部分完一個人可以得到幾片？

因此列式 6 - 3= 3，代表三個人每人分為一片之後，還剩下 3 片，因此還可以再繼續 分，列式為 3 - 3= 0，總共分了兩次，代表三個人每人得到了 2 片，如此不同的情境 反覆練習，待學生理解除法即為平分的概念時，進而教導其除法列式為 6 ÷ 3＝ 2。

此教學流程也呼應了國小數學能力指標 N-1-05 能在具體情境中，進行分裝與平分 的活動，未來才能接續教導除法的直式計算。

在乘法的教學上，教師常常會要求學生背誦九九乘法表，事實上，所有的數學 符號在一開始時都只是一個紀錄的方式，這些紀錄方式必須經由吸收、整理、內化 後才能適當的運用且形成工具，因此乘法教學尚未開始之前是否就應該先讓學生背 誦九九乘法表？在教育部臺灣省國民學校教師研習會出版的國小數學教材分析（蔣 治邦，2000）當中，針對整數的乘法運算教學方式及流程明確的表示，所有的數學 運算過程皆是由具體表徵開始學習，以加法問題做範例：爸爸有 3 顆蘋果，媽媽有 5 顆蘋果，兩個人共有幾顆蘋果？對於還沒正式學習過加法計算方式的學生來說，

可以用畫出圖像的方式，再透過點數得到共有 8 蘋果的答案，因此學生縱使不會以 加法符號（＋）去做運算一樣能夠解決問題；接著教師進而教導學生寫出加法算式

「3+5=8」，理由是讓學生告訴別人他是怎麼算出答案的，最重要的是，希望學生透 過不斷的練習紀錄，能夠熟習加法算式的運用，最後能成功使用加法算式來替代點 數，當學生累積許多成功解決加法問題以及使用加法算式紀錄解題活動的經驗後，

當學生再次遇到某個加法問題時，可能會忽然發現，點數好麻煩，就直接使用記憶 中的加法算式來替代點數最後成功得到答案，此時，加法算式開始具有雙重的意義，

是解題的工具也是解題的紀錄，意即學生能夠正確使用加法算式做為解題的工具。

以此類推，教師在教導學生乘法概念時，也不應急著要求學生背誦九九乘法表，因 為在學生尚未接觸乘法計算時，一樣能透過點數來解決乘法的問題，例如：一包餅

乾有 3 塊，四包餅乾有幾塊？學生可以畫出一包餅乾的圖像，並在裡面畫三個圓圈 代表餅乾，接著畫出四包一模一樣的，待學生畫出四包餅乾及四個 3 塊的圖像時，

一樣可以透過點數有幾塊餅乾的方式得到答案有 12 塊餅乾，教師也能進而引導已學 過加法基礎的學生，將加法做為工具來解決問題，並使用算式「3+3+3+3」，引導學 生 3 有 4 個，因此可將之紀錄為「3 × 4」，同樣的，此時的「×」符號也只是解題的 摘要記錄，實際上學生是以加法當作工具去解決問題，對學生來說，乘法是新的紀 錄格式，必須重複且大量的練習和使用，當學生經常使用乘法算式紀錄解題活動，

且能夠利用乘法來代替連加的運算最後透過九九乘法表的背誦得知「3 × 4= 12」時，

乘法的符號，也同時具有了解題紀錄和解題工具兩種意義。

在除法的教學應用上，可分為兩個種不同的概念，一個是等分除；一個是包含 除，等分除為解決單位量未知的問題，如：姊姊有 12 顆糖，平分裝成 3 盒，1 盒有 幾顆糖？而包含除則用來解決單位數未知的問題，如：姊姊有 12 顆糖，4 顆裝成一 盒，可以裝成幾盒？不過此兩種概念只有在應用題時因單位量的不同，才會需要作 單位量的轉換與區辨，純粹處理計算問題時並無影響，而本研究所要探討的部分僅 止於計算能力，故不加贅述兩種概念的教學與應用。在教育部臺灣省國民學校教師 研習會出版的國小數學教材分析（蔣治邦，2000）當中，針對整數的除法運算教學 方式及流程明確的表示，學生一開始學習除法概念時，教師會透過「一輪一次分一 個」的方法來進行引導，教導學生運用減法的技能做除法的運算，此階段學生尚不 需列出完整的除法算式，待學生概念養成且熟練後繼而進行除法的列式，舉例來說：

學生使用減法方式解決「20 ÷ 5＝( )」的問題時，使用「一輪一次分一個」的過 程記錄為「20 - 5＝ 15，15 - 5＝ 10，10 - 5＝ 5，5 - 5＝ 0」，當使用除法算式記錄 時則變成「20 ÷ 5＝ 1…15，20 ÷ 5＝ 2…10，20 ÷ 5＝ 3…5，20 ÷ 5＝ 4…0」，運

進而直接學習「20 ÷ 5＝ 4」，因此，同時使用乘法與減法的概念來記錄除法問題的 解題過程，可以幫助學生理解乘除互逆的概念，更能確實理解除號的意義。

綜上所述，教師必須幫助每位學生掌握乘法除法的意義（正確使用乘法代替連 加；除法代替連減），或許每位學生將乘法與除法算式由紀錄轉為工具的時間不一定 相同，但是這樣的學習歷程每位學生都應該經歷，使九九乘法表在前述的導引下，

最後成為解題工具，如此才是有意義的乘除法教學，下一部分將探討國小整數乘除 法的能力指標。

貳、國小整數乘除法的能力指標

在現今 21 世紀高度文明化的世界中，數學知識及數學能力已漸漸成為日常生活 及職場中應具備的基本能力，因此，國民數學課程教育的目標必須能反映下列理念：

(1)數學能力是國民素質的一個重要指標；(2)培養學生正向的數學態度，瞭解數學是 推進人類文明的要素；(3)數教學(含教材、課本及教學法)應配合學童不同階段的需 求，協助學童數學智能的發展；(4)數學作為基礎科學的工具性特質（引自教育部，

2012）。我國目前現行的數學教學是以九年一貫的課程綱要為基準，主要將數學領域 分為四個階段，第一階段為一、二年級，教學重點主要著重於數、量、形的概念及 運算、長度、簡單圖形的認識；第二階段為三、四年級，此階段需培養流暢的數字 感，運用於四則和混合的計算，便初步學習分數與小數以及常用的單位和計算；第 三階段為五、六年級，須熟練小數和分數的四則運算，並認識平面與立體的幾何性 質和面積與體積的計算；第四階段為國中一到三年級，至此階段開始所學習的數學 概念也較為抽象，學生須綜合國小時期所學的數、代數、幾何、統計，進而學習更 高層次的課程；數學教學的內容部分則分為數與量（N）、幾何（S）、代數（A）、統 計與機率（D）、連結（C）五大主題。

根據教育部（2012）的九年一貫課綱「整數乘除法運算」應歸類於「數與量」

的主題，因此將與整數乘除法運算相關的能力指標整理如表 2-2：

表 2-2 九年一貫整數乘除法運算能力指標彙整表 能力指標 指標內容

N-1-04 能理解乘法的意義，解決生活中簡單整數倍的問題。

N-1-05 能在具體情境中，進行分裝與平分的活動。

N-1-06 能理解九九乘法。

N-1-07 能在具體情境中，解決加、減、乘之兩步驟問題(不含連乘)。

N-2-05 能理解乘、除直式計算。

N-2-06 能在具體情境中，解決兩步驟問題(含除法步驟)。

N-2-07 能做整數四則混合運算，理解併式，並解決生活中的問題。

N-3-01 能熟練整數乘、除的直式計算。

N-3-02 能熟練整數四則混合運算，並解決生活中的三步驟問題。

註：取自教育部，2012，第 13、14、16 頁。

階段能力指標僅代表學生須學習的概念，實際的課堂上教師仍須將能力指標做 更細緻的演繹為分年細目，使教師能更精準的評估能力指標下的分年細目學生的學 習情況，方能掌握教學的目標。分年細目採三碼編排，第一碼表示「年級」，分別以 1 到 9 表示一年級至九年級；第二碼表示「主題」，分別以小寫的字母 n、s、a、d 表示四個主題「數與量」、「幾何」、「代數」和「統計與機率」；第三碼則是分年細目 的「流水號」，表示該細項下分年細目的序號。以下為主題「數與量」中與整數乘除 法計算有關的分年細目彙整，如表 2-3：

表 2-3 九年一貫整數乘除法運算分年細目表

表 2-3 九年一貫整數乘除法運算分年細目表