第四章 研究結果與討論
第五節 綜合討論
本節旨在針對研究結果進行綜合討論與分析，以獲得研究之結論。以下分別探 討觸覺式數學教學法對於提升整數乘除法評量計算正確率及縮短整數乘除法評量計 算時間還有增進學習態度正向改變三個部份。
壹、 觸覺式數學教學法提升整數乘除法評量正確率
三名研究參與者在基線期至介入期階段間，整數乘除法評量計算正確率皆有明 顯的提升，甲生平均正確率進步 15.83%，乙生平均正確率進步 25.42%，表示介入 效果顯著，觸覺式數學教學法對提升國小學習障礙學生整數乘除法計算正確率具有 學習的立即成效；而丙生因持續不斷觀察其整數乘除法計算正確率的變化，故未進 入介入期 II，但研究者觀察丙生於基線期至介入期 I 階段平均正確率也進步了
1.39%，雖然進步幅度看起來不高，但在介入期 I 最後四次，丙生的正確率皆維持在 80%以上，由此可知，丙生能將基線期前所學的觸覺點、加減法運算及介入期 I 階 段學習的跳數技能，經過吸收統整後，有助於其在整數乘除法直式計算正確率的提 升。
介入期 II 與維持期階段，甲生及乙生於維持期正確率的表現不僅具有維持成 效，還不斷的進步當中，甲生平均正確率進步 10.84%，最後在維持期達到 66.67%
的平均水準；乙生平均正確率進步 24.58%，最後在維持期達到 93.33%的平均水準。
由此可知，甲生與乙生的維持效果顯著，觸覺式數學教學法對提升國小學習障礙學 生整數乘除法計算正確率具有學習的維持成效。
值得注意的是，甲、乙、丙三位研究參與者在基線期的資料點都是呈現穩定退 步的趨勢，和介入期 I 的資料點相比較正確率是偏高的，而乙生和丙生的計算正確 率第一點皆在最高點，甲生的第二點也是最高點，研究者為探究原因，尋找相關控 制變項後發現，造成此現象的因素可能為基線期施測時所採用的整數乘除法評量卷 題目偏易所導致，研究者在編撰題目時，雖已利用雙項細目表將題目內所含不同類 型的概念做分類，但數字方面並未考慮，使得基線期的題目數字偏小，影響了研究 參與者的作答表現，因此未來安排實驗設計時，除了確保題目的難易度相當之外，
還須謹慎安排題目當中每個數字平均出現的次數，以確保實驗的效度。
綜合以上教學實驗資料結果得知，觸覺式數學教學法對增進國小學習障礙學生 整數乘除法評量計算正確率具有學習立即效果，且在維持期仍能保留學習維持成效
，而研究者發現，觸覺式數學教學法分別對於三位不同的研究參與者達到不同的學 習成效，甲生的短期記憶力較弱、注意力短暫且學習處理速度較慢，因此無論是在 學習數字的觸覺點或是跳數技能時皆需要較長時間反覆練習方能達到精熟，教學介 入後正確率確實有明顯的提升，但整體計算時間也是三位研究參與者當中花費最多
的，由此可知，甲生需要更多時間去消化吸收新的概念和技能；乙生在學習的特質 上則是後設認知能力不足，因此在運算上時常需要教師協助監控錯誤和檢核作答結 果，而跳數技能介入後乙生便能夠在除法直式運算時獨立偵錯，並隨時修正錯誤，
也大幅減少忘記加上進位數字的情形；而丙生在數與量的概念上較有缺陷，且對於 乘法和除法的概念不甚理解，透過觸覺式數學教學法將數字與數量具象化以及實際 的觸覺點觸摸後，丙生較能掌握乘除法算式的意義，理解乘法和除法的概念後，也 更加深了九九乘法的背誦，因此反而不須學習跳數的技能，便能提升乘除法的計算 正確率。由此可見，採多感官的觸覺式數學教學法的學習方式能符合多數學習障礙 學生的數學學習特質，達到良好的學習效果。
研究者撰寫第二章文獻探討中提及，於 2000 年至 2016 年，國內外使用觸覺式 數學教學法學習整數乘除法的相關實證研究僅止於加減法的計算，並無整數乘除法 的教學實驗研究，事實上在國小數學課本中的四則運算教學程序中也有提及，乘法 與除法實為加法與減法概念的延伸，故近年來許多學者對於加減法計算的教學相關 研究結果（林例蓉，2013；曾于娟，2009；蘇柏旭，2010；Dulgarian, 2000；Green, 2009；Jhaveri, Verma & Imam, 2010；Rudolph, 2008；Simon & Hanrahan, 2004；
Wisniewski & Smith, 2002）也能支持本研究的實驗結果。
研究者於教學歷程中發現，觸覺式數學教學法能提升研究參與者在整數乘除法 評量計算上的正確率可能原因如下：
一、 數值視覺化
在觸覺式數學教學法當中，與傳統教學方是最大的不同在於，學生只要看到數 字，就能馬上連結相對應的數量，協助學生有效建立數與量的概念，並提供了實體 學習至符號學習之間的橋梁。學生從一開始的點數畫記，到書空點數，甚至乙生在
甲生則是漸漸的不再需要使用手指頭做計算，因數字 1-9 的觸覺點簡單易學，觸覺 點可以幫助他們將焦點集中在數字本身，計算時根本無需使用到雙手，大大減少看 錯或數錯的情況。三位研究參與者也只花了兩節課的時間就能將觸覺點全部精熟，
因此當觸覺點的位置、順數、倒數及跳數技能皆熟悉後，自然就能提高計算的正確 率。
二、 九九乘法表去公式化
研究者發現，傳統乘法的教學即背誦九九乘法表，但三位研究參與者不但背的 不熟，也不了解乘法的意義，只把九九乘法表當作一種公式來背誦，因此使學生在 不理解乘法意義的情況下利用大量複誦來精熟，造成學生的學習負擔，進而影響往 後學習應用問題時的困難，無法理解應用問題所要運用的是哪一個四則運算，常常 會問老師：「這題要用乘法還是除法？」，原因就是不理解四種運算符號的概念與意 義，而觸覺式數學教學法不將九九乘法當成是一種公式，而是一種過程，例如：9×9
＝81，依照九九乘法表的口訣只能得出：「九九八十一」，而跳數卻必須從 9、18、
27、36、45、54、63、72、81，在跳數的過程中，學生能夠理解原來 9×9 就是從 1 個九，一直往上再加一個九，總共要有 9 個九相加的意思，每每在這樣的跳數過程 時，便無形中強化了學生對於乘法概念的認識。
三、 多感官學習
觸覺式數學教學法當中蘊涵了多感官的學習，學生在動手操作教材的過程當中，
同時運用了視、聽、動、觸等大量的感官線索，在進行四則運算教學時透過視覺提 示，觸覺摸索並大聲複述過程及答案，以協助學生將所學儲存在長期記憶中（Vinson, 2004），針對學習障礙學生的學習特質，以多感官的理論基礎去設計課程，避免使 用單一感官學習，能幫助學習障礙學生更容易吸收進而做更廣泛的應用。
綜合上述討論，由於觸覺式數學教學法蘊含了多感官的學習、能將數值視覺化 且釐清九九乘法表的概念不流於公式，確實使研究參與者能重新認識並建構乘法與 除法的基本概念，也提升了乘法與除法的計算技能，增進學習成效。
貳、 觸覺式數學教學法影響整數乘除法評量計算時間
在基線期與介入期 I 階段，甲生的 C 統計值為 0.61，Z 值為 2.44，達.01 顯著水 準，且效果量指標為 f 2= 0.06，超過 0.02 小效果量，表示觸覺式數學教學法對甲生 在整數乘除法評量縮短計算時間上具有成效且達小效果量；乙生的 C 統計值為 -0.26，Z 值為-1.03，未達.01 顯著水準，且效果量指標為 f 2=0.0003，未超過 0.02 小 效果量，表示觸覺式數學教學法對乙生在整數乘除法評量計算時間雖然有減少但趨 勢不明顯；另外丙生較為特別，由於研究者於介入期 I 便持續不斷觀察其整數乘除 法計算正確率的變化，故未進入介入期 II，不過一樣可以觀察其由基線期進入介入 期 I 的變化，C 統計值為 0.50，Z 值為 2.42，達.01 顯著水準，表示從基線期至介入 期 I，計算時間有減少趨勢且效果量指標為 f 2= 0.5908，且超過 0.35 大效果量，表示 觸覺式數學教學法對丙生在整數乘除法評量計算時間具有大效果量，顯示計算時間 上有明顯減少故具有學習的成效。
在介入期 I 與介入期 II 的階段，甲生的 C 統計值為 0.11，Z 值為 0.53，未達.01 顯著水準，且效果量指標為 f 2=0.0002，未超過 0.02 小效果量，表示觸覺式數學教 學對於甲生在整數乘除法評量的計算時間有持續上升的趨勢雖不明顯，但仍不具有 立即成效；乙生的 C 值為 0.24，Z 值為 1.21，未達.01 顯著水準且效果量指標為 f
2=0.08，且超過 0.02 小效果量，表示觸覺式數學教學對於乙生在整數乘除法評量的 計算時間雖然沒有減少但增加的趨勢也不明顯，故也不具有學習的立即成效。
在基線期與維持期階段，甲生的效果量指標為 f 2= 6.17，超過 0.35 大效果量，
表示觸覺式數學教學對於甲生在整數乘除法評量縮短計算時間上就基線期與維持期 相較之下是有縮短的，具有維持成效；乙生的效果量指標為 f 2= 0.18，且超過 0.15 中效果量，表示觸覺式數學教學對於乙生在整數乘除法評量縮短計算時間有減少的 趨勢且達中效果量，故也具有維持成效。
綜合以上結果，觸覺式數學教學法對於縮短整數乘除法評量的計算時間雖具有 部分成效，但其水準穩定度偏低，資料點起伏大，這與多筆的相關教學實證研究結 果相牴觸（林例蓉，2003；Dulgarian, 2000；Jhaveri, Verma & Imam, 2010；Wisniewski
& Smith, 2002），故研究者將於以下探討觸覺式數學教學法無法全面有效縮短整數乘 除法評量計算時間的可能原因：
一、 介入時間過短
研究者將整套觸覺式數學教學法的四則運算授課完成後發現，需要一段很長的 教學時間，從一開始的認識觸覺點、順數技能、逆數技能，接著學習運用至加法和
研究者將整套觸覺式數學教學法的四則運算授課完成後發現，需要一段很長的 教學時間，從一開始的認識觸覺點、順數技能、逆數技能，接著學習運用至加法和