研究背景與動機

學習障礙學生在數學學習上經常有數量及算術上的問題，教師在教學時，必須 考量學生的學習特質、感覺體系特徵和已習得的學業成就去選擇適當的教學方法（楊 坤堂，2008）。本研究的目的在了解運用多感官為基礎的「觸覺式數學」（Touch Math）

教學方法，對於資源班學習障礙的學生在乘除法計算能力上的影響，期望利用視覺、

聽覺、動覺、觸覺的多感官的管道協助學生學習乘除法運算，並能增進答題的正確 率，改善解題的速度，使學生在學習的過程當中，慢慢累積成功的經驗，無形中也 能增進學生對數學的學習興趣，引發正向的學習態度。本章共分三節，分別就研究 動機、研究目的與待答問題及名詞釋義加以說明。

第一節 研究背景與動機

數學是一切科學的基礎，在日常生活中，我們隨處可見數學的蹤影。從幼兒開 始，生活中就充滿了「數」，舉凡算術糖果、餅乾、唱數字兒歌或是表現出買東西的 能力（常孝貞、鍾志從，2009）。在我們的日常生活中，數學可以說是佔了極重要的 角色，早晨起床看鬧鐘得知時間、買早餐付錢時的錢幣計算、汽機車加油的容量單 位、市場買魚肉的重量單位以及基本的判斷長短、大小、順序、遠近等概念，數學 的概念幾乎無所不在。因此，數學教育的重要性及價值性能夠從我國國民教育基礎 課程內容對數學課程的編纂當中窺探一二。數學被納入國民教育的基礎課程之一有 其三個重要的原因（教育部，2012）：

一、數學是人類最重要的資產之一

數學被公認為科學、技術及思想發展的基石，文明演進的指標與推手。數學結 構之精美，不但體現在科學理論的內在結構中及各文明之建築、工技與藝術作品上，

自身亦呈現一種獨特的美感。

二、數學是一種語言

簡單的數學語言，融合在人類生活世界的諸多面向，宛如另一種母語。精鍊的 數學語句，則是人類理性對話最精確的語言。從科學的發展史來看，數學更是理性 與自然界對話時最自然的語言。

三、數學是人類天賦本能的延伸

人類出生之後，即具備嘗試錯誤、尋求策略、解決問題的生存本能，並具備形 與數的初等直覺。經過文明累積的陶冶與教育，使這些本能得以具體延伸為數學知 識，並形成更有力量的思維能力。

而在我們培養學生各種數學的能力時，到底是解題能力重要還是演算能力重要 呢？這個問題至今仍讓許多數學教育學家爭論不休。早在 20 多年前的美國加州，就 曾經發生了其數學歷史上有名的「數學戰爭」（Math Wars），起因為美國中小學生的 數學能力在國際數學的評比中排名低落，因此在 1989 年美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics, NCTM）公布中小學的《學校數學課程與評量標 準》(Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics)當中便提及，學生為 教學過程中的主體，從學生本身經驗中所建構的知識，有助於培養其解決問題的能 力，才是有意義的學習，但接著許多家長和團體卻發現接受了新的課綱之後，學生 的基本計算能力出現了問題，過分強調概念的理解，而忽略了計算能力的養成，貶 低計算能力的結果，未來學生在學習代數時將會產生困難，至此開始後的幾年，不 同支持派系的學者，先後調整及修正課綱內容，試圖在概念理解與計算能力當中尋 求平衡點（劉柏宏，2004）。專業的數學家也認為，不能輕忽數學運算的重要性，

若是缺乏足夠的運思練習，則是不可能達到真正的概念理解（Schmid,2000）。國民 中小學九年一貫課程綱要（2012）在數學學習領域當中也提到了演算能力的重要性，

教育的主軸，且這三項能力並不是各自獨立分開的，須掌握其綜合性的能力及對數 具有整體性的感覺，但傳統數學經常將觀念與演算截然二分，雖然說演算是學習數 學的基礎，但它並非只是機械式的計算操作而已，學生能夠從具體的計算過程獲得 一個新的經驗，此經驗能夠幫助其形成新主題學習時所需的具體經驗，例如傳統的 直式乘法，經過計算後，學生能充份運用他的加法能力以及個位數乘法的練習；進 而養成其具備簡單的心算能力，累積更多位數的計算經驗，這樣的能力能讓學生對 數字運算的邏輯上有較流暢的感覺，經過正向的回饋後，也更能增強學生的自信心 和成就感；反之，沒有效率、容易造成學生錯誤的演算，只會加深學習數學的沮喪 感，使學生逐漸放棄學習。由此可知，在學習數學的過程當中，計算能力是很基本 也很重要的。

乘法的概念來自於加法的累進，學生學習加法的運算歷程可分為三階段：從群 聚數（counting-all）將所有實物全部數出來、順接數（counting-on）利用數序概念 依序往上數，到憑記憶去做心算（Carpenter & Moser,1984）。根據國民中小學九年一 貫課程綱要數學學習領域分年細目的詮釋，最早的乘法概念出現在一年級的分年細 目 1-n-07，教導學生進行 2 個一數、5 個一數、10 個一數的活動，為乘法的前置概 念做準備，二年級時所學的加、減法直式運算當中的「直式」概念，也是日後乘法 直式計算的基礎。真正進入到乘法的教學是在二年級的分年細目 2-n-06，開始運用 排列花片的方式引導學生學習九九乘法的概念，當中結合一年級所學的連加、幾個 一數的前置經驗，讓學生認識乘法的意義。例如：有 4 個 2，可以記成 2+2+2+2=8，

進而引導為 2 × 4＝8，在連加的過程中慢慢培養心算的習慣，最後開始練習九九乘 法表；而除法的概念最早也是出現在二年級的分年細目 2-n-07 當中，利用「分裝」

與「平分」兩種不同的情境中，理解除法的意義，並知道除式的記法（教育部，2012）。 Bruner 於 1964 年提出認知表徵系統論，指出學生的認知發展可分為三個學習階段，

分別為（1）動作表徵（enactive representation）：藉由動作與實體獲得經驗和知識；

（2）形像表徵（iconic representation）：經由物體知覺留在記憶中的心像就能獲得知 識；（3）符號表徵（symbolic representation）：直接運用符號、語言文字來獲取知識

（引自張春興，2013，第 214、215 頁）。

研究者在教學場域的觀察發現，一般的學生皆能遵循認知表徵系統論的順序，

能夠很容易的從實物連加練習順利進展至符號乘法的概念，且能清楚理解被乘數與 乘數的意義和區別，教師的主要工作只需協助學生將其思維由具體過渡到抽象。而 特殊學生則受限於認知功能的缺陷和訊息處理困難，從具體過渡到抽象的學習歷程 較一般學生長，不但運算過程慢且容易出錯，計算完成後更無法自我檢核須仰賴教 師。當一般學生已學習完加法運算的同時，特殊生則仍然在熟悉及練習從順接數過 渡到心算，此時教師又即將進入到乘法的教學活動，特殊生只能繼續用連加的方式 去做乘法的計算，當數字開始變大時，錯誤率也跟著提高，又因為不理解乘法的意 義，九九乘法表無法精熟，例如：9×8，都必須從 9×1=9、9×2=18 開始背到 9×8=72，

既耗費時間且運算的過程和結果也無法檢核自己是否正確，以至於在乘法文字解題 時，增加了困難度，當乘法概念不夠熟悉時，除法的意義對於學生來說更是難上加 難，由於九九乘法不夠精熟，每每找商都需要花很長一段時間，或是除法直式當中 出現九九乘法背錯的狀況，使學生在屢次的失敗當中漸漸喪失對數學的興趣，甚至 開始對數學學習感到害怕抗拒，直接影響了學生的數學學習態度。因此，研究者欲 探討應用多感官的觸覺數學教學方法去協助教導特殊學生克服其生理因素而產生的 乘除法學習困難，此為本研究的動機之一。

多感官學習策略在特殊教育當中一直是常用的教學法之一，所謂的多重感官學 習法（multisensory approaches）即利用不同的感官管道接收進行學習，使學生可以

可以同時運用聽覺、觸覺、動覺進行刺激的接收，也能用來做為學習成果的表達，

傅娜（Fernald）於 1921 年所發展出來的方法稱為視聽動觸法（visual,auditory, kinesthetic,and tactile,VAKT）（陳麗如，2007）。

在《七招趕超優等生》（向陽天，2009）當中一個有趣的研究顯示，各種感官吸 收知識的比率有很大的差異，一個健全的人利用視覺、聽覺、嗅覺、觸覺、味覺五 種感官吸收知識的比率如下：視覺佔 83%、聽覺佔 11%、嗅覺佔 3.5%、觸覺佔 1.5%、

味覺佔 1%。從記憶的效率來看：單靠聽覺獲得的知識，3 小時能記住 60%，3 天後 只記住 15%；但靠視覺獲得的知識，3 小時候能記住 70%，3 天後記住 40%；而視 覺和聽覺同時並用獲得的知識，3 小時候能記住 90%，3 天後仍可記住 75%。這研 究說明了多種感官同時並用的記憶效果好，原因是多種感官同時接收知識時，可以 在大腦皮層上建立多種通路，留下多種痕跡，因此即便某一感官的痕跡淡薄了，還 有其感官感官的痕跡存在，可以使記憶重現。此外，多種感官運用多維度、多層次 的方式去記憶，使我們能夠在腦中更真實呈現所接收的知識，透過不同的神經感覺 通路傳達至大腦，用不同角度去複述及強化，更加深了印象。

研究者在某次研究所的課堂中認識觸覺式數學教學法，並與一位已在資源班課 堂中運用此種教學法進行小型介入計畫來教授學生數學減法的教師交流，因而對此 教學法產生了興趣。觸覺式數學教學法正是一種多感官的教學策略（曾于娟，2008；

劉慧玲，2012；Bos & Vaughn, 1998；Bullock, 1989；Tamer, 2015）。該策略於西元 1975 年源自美國，創始人為 Bullock，是一名國小教師，其協會 Innovative Learning

劉慧玲，2012；Bos & Vaughn, 1998；Bullock, 1989；Tamer, 2015）。該策略於西元 1975 年源自美國，創始人為 Bullock，是一名國小教師，其協會 Innovative Learning