觸覺式數學對學習障礙學生乘除計算能力之成效

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(1)國立屏東大學特殊教育學系碩士班碩士論文指導教授：黃玉枝博士. 觸覺式數學對學習障礙學生乘除計算能力之成效 The Effects of TouchMath on Multiplication and Division for Elementary School Students with Learning Disabilities. 研究生：劉旻君撰. 中. 華. 民. 國. 105 年. 7 月. 13 日.

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(4) 謝誌兩年的研究生涯終於在今天畫下一個完美的句點，無疑的這將會是我求學生涯中最難忘的一段日子，除了教職和進修蠟燭兩頭燒之外，每週還需固定往返屏東高雄上課，雖然時常有心力交瘁、不堪負荷的感覺，但最終我還是堅持過來了，如今回想過去兩年的生活，內心感到無比充實和感動，對於做研究這件事有了更深一層的體悟與認知。這本論文能夠如此有效率的在兩年內完成，首先最需要感謝的絕對是我的指導教授－黃玉枝老師，從撰寫計畫開始便給予我許多方向及具體的建議，起初我因為擔心國內的相關文獻較少，對於我的論文主題無法提供足夠的支持，不過玉枝老師卻大大的鼓勵我勇於嘗試新的教學實驗，使我在論文口考時也得到了其他兩位教授的肯定，於既有的研究中做創新的延伸，承蒙侯雅齡主任和鈕文英老師的從旁指導，提出盲點並給予具體修正的方法，使這本論文能更臻完備，衷心感謝三位教授的辛勤指導。另外，在實際撰寫論文的過程當中，也是屢屢遭遇困難，由於自己對於文書軟體的格式和排版不夠熟悉，導致撰寫時無法流暢的進行，非常感謝學校的好同事們，盈瑩老師以及玄清的幫忙，時常提醒我要注意論文的格式與排版，不惜犧牲自己的時間幫我校稿檢查，真的非常感謝你們。最後要感謝的是我未來的另一半，同時也是擔任本研究中研究參與者班級導師的伯勇老師，在這辛苦撰寫論文的兩年，時常與我討論教學實驗的進度、釐清乘除法教學時的重要概念，協助我分析與解讀實驗研究的結果，除此之外還要聽我吐苦水，包容我有時的情緒不穩，總是給予我精神上的支持和實質的陪伴，令我覺得非常溫暖，每當遭遇挫折後總能很快的再次打起精神繼續完成，由衷感謝你的付出。 i.

(5) 能夠順利完成這本論文的感動真的無法言喻，除了列名感謝的人之外，還有好多想要感謝的大家，在撰寫的過程當中，可能只是回答了我小小的問題或者是給予我一些建議又或是安撫我焦慮的情緒、、、等等，但這些種種都是這本論文能夠誕生的基礎，沒辦法在這裡一一道謝，但在我心中會永遠記得你們曾經的幫忙，未來我也希望能夠就我所能的範圍之內，協助其他仍然處於研究階段的朋友們，因為有你們大家，才能豐富這兩年的研究所生涯，衷心感謝每個人的付出。劉旻君謹誌. ii. 于高雄美濃. 民國一百零五年七月.

(6) 觸覺式數學對學習障礙學生乘除計算能力之成效摘要本研究旨在探討觸覺式數學教學法對國小學習障礙學生增進整數乘除計算能力及縮短計算時間之成效，採單一個案研究法中的撤回設計，以三位國小學習障礙學生為研究參與者，蒐集量化與質性資料進行分析。本研究分為基線期、介入期 I、介入期 II 和維持期四個階段。研究者在基線期前提供觸覺點和加減法的先備能力教學。基線期時蒐集研究參與者在跳數教學介入之前的整數乘除法評量作答正確率及計算時間。介入期 I 則一邊進行跳數教學，一邊蒐集研究參與者作答正確率及計算時間。介入期 II 正式將跳數技能運用於整數乘除法的直式計算上，並蒐集研究參與者在作答正確率和計算時間之立即成效；介入期 II 結束後一週進入維持期，評量研究參與者在作答正確率及計算時間之維持成效。本研究透過目視分析、Ｃ統計、效果值、Pearson 積差相關的方式，獲得以下結果： 1. 觸覺式數學教學法對國小學習障礙學生在整數乘除法作答正確率具有立即成效和維持成效。 2. 觸覺式數學教學法對國小學習障礙學生縮短整數乘除法計算時間具有立即成效和維持成效。 3. 觸覺式數學教學法對國小學習障礙學生的數學學習態度具有正向的改變。 4. 學習障礙學生在整數乘除法評量上計算正確率和計算時間並沒有呈現負相關。 5. 多感官學習及數值視覺化的數學教學設計能協助學習障礙學生在四則運算上進行有效的學習。 6.關鍵字：學習障礙、觸覺式數學、整數乘除法 iii.

(7) The Effects of TouchMath on Multiplication and Division for Elementary School Students with Learning Disabilities Abstract The purpose of the study was to enhance the ability of the multiplication and division and reduce the calculation time for three elementary school students with learning disabilities. Reversal design across four subjects of single-case research design adopted. The researcher collected quantitative and qualitative data during the research. The research contained baseline, intervention I, intervention II and maintenance phases. Before the baseline phase, the researcher provide prior knowledge about touch point, and addition and subtraction, In the baseline phase, the participants accepted pre- test about calculation on multiplication and division, to. collect the data which is before skip. counting course. In the intervention I phase, the researcher taught skip counting, at the same time, the researcher had to be sure that the correction rate and the calculation time were unchanged to get into the next step.In the intervention II phase, the participants were taught how to use the skip counting on calculation of multiplication and division, and assessed the immediate effects on the correction rate and calculation time. After the intervention phase is the maintenance phase, which is one week later, the participants were accepted post-test to assess the maintenance effect on the calculation of multiplication and division. Through the visual analysis, C ststistics, effect size and Pearson Product-Moment Correlation Coefficientand, please refer to the summary of the result below: (a) The TouchMath instruction had immediate, maintenance effects on the correction on multiplication and division for elementary students with learning disabilities. (b) The TouchMath instruction had immediate, maintenance effects on the calculation time on multiplication and division for elementary students with learning disabilities. iv.

(8) (c) The TouchMath instruction could positively change the learning attitude for mathematics of elementary students with learning disabilities. (d) Elementary students with learning disabilities did not appear negative relation between the correction rate and time of calculation on multiplication and division. (e) The mathematic teaching design of multi-sensory learning and numerical visualization could help elementary school students with learning disabilities learn effectively on addition, subtraction, multiplication and divison.. Keywords: Learning Disabilities, the TouchMath instruction, Calculation on multiplication and division. v.

(9) 目次謝誌 .................................................................................................................. i 摘要 ...............................................................................................................iiii 目次 ............................................................................................................... vii 表次 .............................................................................................................. ixx 圖次 ................................................................................................................. x 第一章. 緒論 ................................................................................................. 1. 第一節研究背景與動機 ......................................................................... 1 第二節研究目的與問題 ......................................................................... 9 第三節名詞釋義 ................................................................................... 10 第二章. 文獻探討 ....................................................................................... 15. 第一節學習障礙學生的數學學習特質 ............................................... 15 第二節國小整數乘除法的概念 ........................................................... 22 第三節觸覺式數學教學法對學習障礙學生乘除法教學的應用與相關研究 ........................................................................................................... 30 第三章. 研究設計與實施 ........................................................................... 48. 第一節研究方法 ................................................................................... 48 第二節研究參與者 ............................................................................... 55 第三節研究工具 ................................................................................... 60 vi.

(10) 第四節教學方案 ................................................................................... 64 第五節研究流程 ................................................................................... 69 第六節資料處理與分析 ....................................................................... 72 第四章. 研究結果與討論 ........................................................................... 79. 第一節研究參與者在整數乘除法計算正確率分析 ........................... 79 第二節研究參與者在整數乘除法計算時間分析 ............................... 92 第三節研究參與者學習態度變化、滿意及接受度之分析 ............. 104 第四節研究參與者的整數乘除法評量計算正確率和計算時間之關聯性分析 ..................................................................................................... 111 第五節綜合討論 ................................................................................. 112 第五章. 結論與建議 ................................................................................. 120. 第一節結論 ......................................................................................... 120 第二節研究建議 ................................................................................. 122 參考文獻 ..................................................................................................... 126 壹、中文部分 ......................................................................................... 126 貳、英文部分 ......................................................................................... 130. vii.

(11) 附錄附錄一數字的觸覺手法及口訣 ............................................................. 133 附錄二基線期：整數乘除法計算能力評量卷範例 ............................. 135 附錄三介入期 I：整數乘除法計算能力評量卷範例 .......................... 137 附錄四介入期 II：整數乘除法計算能力評量卷範例 ......................... 139 附錄五維持期：整數乘除法計算能力評量卷範例 ............................. 142 附錄六數學學習態度量表 ..................................................................... 144 附錄七觸覺式數學教學法回饋問卷 ..................................................... 145 附錄八家長同意書 ................................................................................. 146 附錄九觸覺式數學教學回饋問卷專家意見回饋表 ............................. 147 附錄十數學學習態度量表專家意見回饋表 ......................................... 148. viii.

(12) 表次. 表 2-1. 假想的數學焦慮階層表........................... 18. 表 2-2. 九年一貫整數乘除法運算能力指標彙整表........... 26. 表 2-3. 九年一貫整數乘除法運算分年細目表............... 27. 表 2-4. 觸覺點與 Bruner 認知表徵論的結合................. 35. 表 2-5. 國內觸覺數學應用於四則運算之實證研究........... 43. 表 2-6. 國外觸覺式數學教學法應用於四則運算之實證研究... 44. 表 3-1. 研究參與者基本資料表........................... 56. 表 3-2. 整數乘法計算評量卷之雙項細目表................. 61. 表 3-3. 整數除法計算評量卷之雙項細目表................. 62. 表 3-4. 教學單元內容及評量............................. 65. 表 4-1. 三位研究參與者整數乘除法計算正確率原始資料點... 80. 表 4-2. 甲生整數乘除法評量計算正確率目視分析和統計分析. 82. 表 4-3. 乙生整數乘除法評量計算正確率目視分析和統計分析. 86. 表 4-4. 丙生整數乘除法評量計算正確率目視分析和統計分析. 90. 表 4-5. 三位研究參與者整數乘除法計算時間原始資料點..... 93. 表 4-6. 甲生整數乘除法評量計算時間的目視分析和統計分析. 95. 表 4-7. 乙生整數乘除法評量計算時間的目視分析和統計分析. 99. 表 4-8. 丙生整數乘除法評量計算時間的目視分析和統計分析. 103. 表 4-9. 三位研究參與者在教學實驗前後數學學習態度量表得分結果......................................... 105. 表 4-10 三位研究參與者在觸覺式數學教學法回饋問卷評量結果............................................. 109. ix.

(13) 圖次. 圖 1-1. 觸覺點數標示圖................................. 11. 圖 2-1. 觸覺點數標示圖................................. 37. 圖 2-2. 全部計數....................................... 38. 圖 2-3. 相接計數....................................... 38. 圖 2-4. 不進位加法..................................... 38. 圖 2-5. 進位加法....................................... 38. 圖 2-6. 個位減法....................................... 39. 圖 2-7. 不需借位減法................................... 39. 圖 2-8. 需借位減法..................................... 39. 圖 2-9. 乘法跳數....................................... 40. 圖 2-10. 除法算式....................................... 41. 圖 2-11. 短除法算式..................................... 41. 圖 3-1. 研究架構....................................... 48. 圖 3-2. 實驗設計圖..................................... 53. 圖 3-3. 研究流程圖..................................... 69. 圖 4-1. 甲生整數乘除法評量計算正確率曲線圖............. 81. 圖 4-2. 乙生整數乘除法評量計算正確率曲線圖............. 85. 圖 4-3. 丙生整數乘除法評量計算正確率曲線圖............. 89. 圖 4-4. 甲生整數乘除法評量計算時間曲線圖............... 94. 圖 4-5. 乙生整數乘除法評量計算時間曲線圖............... 98. 圖 4-6. 丙生整數乘除法評量計算時間曲線圖.............. 102. x.

(14) xi.

(15) 第一章緒論學習障礙學生在數學學習上經常有數量及算術上的問題，教師在教學時，必須考量學生的學習特質、感覺體系特徵和已習得的學業成就去選擇適當的教學方法（楊坤堂，2008）。本研究的目的在了解運用多感官為基礎的「觸覺式數學」（Touch Math）教學方法，對於資源班學習障礙的學生在乘除法計算能力上的影響，期望利用視覺、聽覺、動覺、觸覺的多感官的管道協助學生學習乘除法運算，並能增進答題的正確率，改善解題的速度，使學生在學習的過程當中，慢慢累積成功的經驗，無形中也能增進學生對數學的學習興趣，引發正向的學習態度。本章共分三節，分別就研究動機、研究目的與待答問題及名詞釋義加以說明。. 第一節研究背景與動機數學是一切科學的基礎，在日常生活中，我們隨處可見數學的蹤影。從幼兒開始，生活中就充滿了「數」，舉凡算術糖果、餅乾、唱數字兒歌或是表現出買東西的能力（常孝貞、鍾志從，2009）。在我們的日常生活中，數學可以說是佔了極重要的角色，早晨起床看鬧鐘得知時間、買早餐付錢時的錢幣計算、汽機車加油的容量單位、市場買魚肉的重量單位以及基本的判斷長短、大小、順序、遠近等概念，數學的概念幾乎無所不在。因此，數學教育的重要性及價值性能夠從我國國民教育基礎課程內容對數學課程的編纂當中窺探一二。數學被納入國民教育的基礎課程之一有其三個重要的原因（教育部，2012）：一、數學是人類最重要的資產之一數學被公認為科學、技術及思想發展的基石，文明演進的指標與推手。數學結構之精美，不但體現在科學理論的內在結構中及各文明之建築、工技與藝術作品上，自身亦呈現一種獨特的美感。 1.

(16) 二、數學是一種語言簡單的數學語言，融合在人類生活世界的諸多面向，宛如另一種母語。精鍊的數學語句，則是人類理性對話最精確的語言。從科學的發展史來看，數學更是理性與自然界對話時最自然的語言。三、數學是人類天賦本能的延伸人類出生之後，即具備嘗試錯誤、尋求策略、解決問題的生存本能，並具備形與數的初等直覺。經過文明累積的陶冶與教育，使這些本能得以具體延伸為數學知識，並形成更有力量的思維能力。而在我們培養學生各種數學的能力時，到底是解題能力重要還是演算能力重要呢？這個問題至今仍讓許多數學教育學家爭論不休。早在 20 多年前的美國加州，就曾經發生了其數學歷史上有名的「數學戰爭」（Math Wars），起因為美國中小學生的數學能力在國際數學的評比中排名低落，因此在 1989 年美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics, NCTM）公布中小學的《學校數學課程與評量標準》(Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics)當中便提及，學生為教學過程中的主體，從學生本身經驗中所建構的知識，有助於培養其解決問題的能力，才是有意義的學習，但接著許多家長和團體卻發現接受了新的課綱之後，學生的基本計算能力出現了問題，過分強調概念的理解，而忽略了計算能力的養成，貶低計算能力的結果，未來學生在學習代數時將會產生困難，至此開始後的幾年，不同支持派系的學者，先後調整及修正課綱內容，試圖在概念理解與計算能力當中尋求平衡點（劉柏宏，2004）。專業的數學家也認為，不能輕忽數學運算的重要性，若是缺乏足夠的運思練習，則是不可能達到真正的概念理解（Schmid,2000）。國民中小學九年一貫課程綱要（2012）在數學學習領域當中也提到了演算能力的重要性，除了基本的數學知識以外，計算能力、抽象能力、邏輯推演能力的培養是整個數學 2.

(17) 教育的主軸，且這三項能力並不是各自獨立分開的，須掌握其綜合性的能力及對數具有整體性的感覺，但傳統數學經常將觀念與演算截然二分，雖然說演算是學習數學的基礎，但它並非只是機械式的計算操作而已，學生能夠從具體的計算過程獲得一個新的經驗，此經驗能夠幫助其形成新主題學習時所需的具體經驗，例如傳統的直式乘法，經過計算後，學生能充份運用他的加法能力以及個位數乘法的練習；進而養成其具備簡單的心算能力，累積更多位數的計算經驗，這樣的能力能讓學生對數字運算的邏輯上有較流暢的感覺，經過正向的回饋後，也更能增強學生的自信心和成就感；反之，沒有效率、容易造成學生錯誤的演算，只會加深學習數學的沮喪感，使學生逐漸放棄學習。由此可知，在學習數學的過程當中，計算能力是很基本也很重要的。乘法的概念來自於加法的累進，學生學習加法的運算歷程可分為三階段：從群聚數（counting-all）將所有實物全部數出來、順接數（counting-on）利用數序概念依序往上數，到憑記憶去做心算（Carpenter & Moser,1984）。根據國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域分年細目的詮釋，最早的乘法概念出現在一年級的分年細目 1-n-07，教導學生進行 2 個一數、5 個一數、10 個一數的活動，為乘法的前置概念做準備，二年級時所學的加、減法直式運算當中的「直式」概念，也是日後乘法直式計算的基礎。真正進入到乘法的教學是在二年級的分年細目 2-n-06，開始運用排列花片的方式引導學生學習九九乘法的概念，當中結合一年級所學的連加、幾個一數的前置經驗，讓學生認識乘法的意義。例如：有 4 個 2，可以記成 2+2+2+2=8，進而引導為 2 × 4＝8，在連加的過程中慢慢培養心算的習慣，最後開始練習九九乘法表；而除法的概念最早也是出現在二年級的分年細目 2-n-07 當中，利用「分裝」與「平分」兩種不同的情境中，理解除法的意義，並知道除式的記法（教育部，2012）。 Bruner 於 1964 年提出認知表徵系統論，指出學生的認知發展可分為三個學習階段， 3.

(18) 分別為（1）動作表徵（enactive representation）：藉由動作與實體獲得經驗和知識；（2）形像表徵（iconic representation）：經由物體知覺留在記憶中的心像就能獲得知識；（3）符號表徵（symbolic representation）：直接運用符號、語言文字來獲取知識（引自張春興，2013，第 214、215 頁）。研究者在教學場域的觀察發現，一般的學生皆能遵循認知表徵系統論的順序，能夠很容易的從實物連加練習順利進展至符號乘法的概念，且能清楚理解被乘數與乘數的意義和區別，教師的主要工作只需協助學生將其思維由具體過渡到抽象。而特殊學生則受限於認知功能的缺陷和訊息處理困難，從具體過渡到抽象的學習歷程較一般學生長，不但運算過程慢且容易出錯，計算完成後更無法自我檢核須仰賴教師。當一般學生已學習完加法運算的同時，特殊生則仍然在熟悉及練習從順接數過渡到心算，此時教師又即將進入到乘法的教學活動，特殊生只能繼續用連加的方式去做乘法的計算，當數字開始變大時，錯誤率也跟著提高，又因為不理解乘法的意義，九九乘法表無法精熟，例如：9×8，都必須從 9×1=9、9×2=18 開始背到 9×8=72，既耗費時間且運算的過程和結果也無法檢核自己是否正確，以至於在乘法文字解題時，增加了困難度，當乘法概念不夠熟悉時，除法的意義對於學生來說更是難上加難，由於九九乘法不夠精熟，每每找商都需要花很長一段時間，或是除法直式當中出現九九乘法背錯的狀況，使學生在屢次的失敗當中漸漸喪失對數學的興趣，甚至開始對數學學習感到害怕抗拒，直接影響了學生的數學學習態度。因此，研究者欲探討應用多感官的觸覺數學教學方法去協助教導特殊學生克服其生理因素而產生的乘除法學習困難，此為本研究的動機之一。多感官學習策略在特殊教育當中一直是常用的教學法之一，所謂的多重感官學習法（multisensory approaches）即利用不同的感官管道接收進行學習，使學生可以選擇其較優勢的學習管道而有較好的學習成效，除了我們經常使用的視覺以外，還 4.

(19) 可以同時運用聽覺、觸覺、動覺進行刺激的接收，也能用來做為學習成果的表達，傅娜（Fernald）於 1921 年所發展出來的方法稱為視聽動觸法（visual,auditory, kinesthetic,and tactile,VAKT）（陳麗如，2007）。在《七招趕超優等生》（向陽天，2009）當中一個有趣的研究顯示，各種感官吸收知識的比率有很大的差異，一個健全的人利用視覺、聽覺、嗅覺、觸覺、味覺五種感官吸收知識的比率如下：視覺佔 83%、聽覺佔 11%、嗅覺佔 3.5%、觸覺佔 1.5%、味覺佔 1%。從記憶的效率來看：單靠聽覺獲得的知識，3 小時能記住 60%，3 天後只記住 15%；但靠視覺獲得的知識，3 小時候能記住 70%，3 天後記住 40%；而視覺和聽覺同時並用獲得的知識，3 小時候能記住 90%，3 天後仍可記住 75%。這研究說明了多種感官同時並用的記憶效果好，原因是多種感官同時接收知識時，可以在大腦皮層上建立多種通路，留下多種痕跡，因此即便某一感官的痕跡淡薄了，還有其感官感官的痕跡存在，可以使記憶重現。此外，多種感官運用多維度、多層次的方式去記憶，使我們能夠在腦中更真實呈現所接收的知識，透過不同的神經感覺通路傳達至大腦，用不同角度去複述及強化，更加深了印象。研究者在某次研究所的課堂中認識觸覺式數學教學法，並與一位已在資源班課堂中運用此種教學法進行小型介入計畫來教授學生數學減法的教師交流，因而對此教學法產生了興趣。觸覺式數學教學法正是一種多感官的教學策略（曾于娟，2008；劉慧玲，2012；Bos & Vaughn, 1998；Bullock, 1989；Tamer, 2015）。該策略於西元 1975 年源自美國，創始人為 Bullock，是一名國小教師，其協會 Innovative Learning Concepts Inc.所出版的觸覺數學教師訓練手冊（Teacher Training Manual）當中提供了完整的數學課程，包含教導數與量的概念、加法、減法、乘法、除法、時間、金錢、分數概念，與一般的教學法最大的差別在於，觸覺數學將數字 1-9 加上觸覺點，使學生能夠透過視覺、聽覺和觸覺的感官來認識數與量概念，進而執行計算操作。其 5.

(20) 架設的觸覺數學學習專屬網站：（https://www.touchmath.com/）也提供了許多教學相關資源，指導教師和家長如何運用觸覺點增進學生的計算能力。目前對於觸覺式數學教學法的實證研究多數為國外為主，其對象包含特殊學生、普通生，在特殊學生方面，已運用於智能障礙（Avant & Heller, 2011；Calik & Kargin, 2010；Flectcher、Boon & Cihak, 2010；Mays, 2008；Wisniewski & Smith, 2002）、學習障礙（Dulgarian, 2000；Green, 2009；Jhaveri, Verma & Imam, 2010；Rudolph, 2008；Simon & Hanrahan, 2004；Wisniewski & Smith, 2002）、自閉症（Berry, 2009； Cihak & Foust, 2008）、肢體障礙（Duris, 2003）及其他障礙等等；在普通生方面，有針對幼兒園學生利用觸覺式數學教學法來增進其加法計算能力的研究，結果顯示經過觸覺式數學教學法學習的組別，其後測成績明顯比其他使用傳統方式教學的組別成績要來的高（Velasco, 2009）。對象除了針對學生以外，也有少數幾篇為調查一般成人（Vinson, 2005）是否曾經使用觸覺式數學教學法或是類似的數學學習策略來協助自己學習，研究結果顯示 722 的成人中共計有 505 人曾經使用觸覺式數學教學法或是類似的數學學習策略，佔 68%；另外，還有普查某所高效能教學績優學校的教師（Jarrett & Vinson, 2005），對觸覺式數學教學法的看法，研究發現大多數的教師普遍認為觸覺式數學教學法在學習數學概念上扮演著重要的角色，使教師能夠提供鷹架協助學生學習，也讓數學的計算變得更準確及流暢。就學習內容和學習成效來看，目前的研究目的皆為觸覺式數學教學法運用於加、減法計算的成效，結果顯示能使自閉症學生運算時更流暢且能有效掌握加、減法的計算技巧（Berry, 2009）；學習障礙學生經教學後，原先只會利用手指頭做群聚數或相接數的計算，教學實驗後學生能獨立進行兩位數的加法，且能類化至其他尚未介入題型做計算，提升了學生的自信心，獲得良好的學習維持成效（Simon ＆ Hanrahan, 2004）；智能障礙學生透過觸覺式數學教學法和傳統數線教學策略來進行 6.

(21) 加法教學，兩者結果比較後發現，觸覺式數學教學法的學習成效比使用傳統數線教學策略來的有效，且更容易類化至公共場所使用，能增進學生的基本計算技能，降低錯誤率，增加學習成就感（Flectcher, Boon & Cihak, 2010）。另外 Duris（2003）亦針對視覺障礙、肢體障礙及語言障礙的學生教導觸覺式數學，且因應不同障別的特質和需求去做調整，結果發現，由於擴大與替代溝通系統（Augmentative and Alternative Communication，AAC）取得不易，而觸覺式數學教學法能夠協助學生建立基本概念，並能穩固學生的點數技能，進而類化至其他情境中，具有學習遷移的效果。研究者搜尋教育資料庫：EBSCO Information Services，發現在 2015 年 12 月以前皆沒有搜尋到將觸覺式數學教學法運用於乘除法的相關實證研究，且從 Aydemir （2015）整理 2014 年以前的觸覺式數學教學法相關文獻中可以得知，目前的應用尚停留於加、減法的計算教學，並未出現乘法或除法的教學實證研究，而乘法和除法為加、減法概念的延伸和進階，同時對於學習障礙學生來說也是較難跨越的障礙，因此研究者將觸覺式數學教學法運用於乘除法計算上，協助學習障礙學生透過多感官的刺激和經驗能夠更清楚乘除法概念的意涵。國內對於觸覺式數學的相關文獻，最早於教科書當中曾提及「接觸式數學」（楊坤堂，2007）與「觸摸式數學」（呂翠華譯，2008），但僅有小篇幅的介紹。實證研究的對象包括有智能障礙學生（曾于娟，2009；蘇柏旭，2010）、自閉症學生（曾于娟，2009；劉慧玲，2012）及低成就學生（林例蓉，2013），研究目的則包含運用觸覺式數學教學法來教導學生認識數與量的概念（劉慧玲，2012）以及提升加、減法的運算能力（林例蓉，2013；曾于娟，2009；蘇柏旭，2010），研究結果顯示，除了劉慧玲（2012）因教學介入時間較短，不足以說明是否具有維持的成效，其於學生經過教學後，不但能有效提升加、減法運算的正確率、有良好的立即和維持成效之外，也能縮短學生的答題計算時間（林例蓉，2013），提升了學生的自信心與成就感， 7.

(22) 在數學學習態度上也有正向的變化。由於觸覺式數學教學法是一套結構化、有組織、有系統的教材，涵蓋完整的四則運算教學方法（劉慧玲，2012），根據上述國內外文獻發現大多數的研究仍局限於加法和減法的教學，目前尚無針對乘法或除法教學的實證研究。上述的國內研究者在未來的教學建議中，也期許能夠朝其他項目的數學學習方向接續研究，以累積更多的教學成功經驗。由於四則運算應用於日常生活中的頻率極高，除了加減法的運算外，乘除的計算及其他應用層面也是相當重要（林例蓉，2013；蘇柏旭，2010）。本研究期望了解觸覺式數學教學法在乘除法教學應用上的成效為何，此為本研究的動機之二。綜合以上所述，本研究透過多感官為基礎的觸覺式數學教學法，以資源班學習障礙學生為研究參與者，以探討觸覺式數學教學法在學習障礙學生乘除法計算能力的教學成效以及學生數學學習態度的改變情形。. 8.

(23) 第二節研究目的與問題有鑑於上述之研究動機，本研究探討觸覺式數學教學法對增進國小資源班學習障礙學生乘除法計算能力之成效，本研究之研究目的與待答問題如下。. 壹、研究目的 1. 探討觸覺式數學教學法對增進學習障礙學生乘除法計算正確率之學習成效。 2. 探討觸覺式數學教學法對學習障礙學生解乘除法計算題縮短解題時間之成效。 3. 探討觸覺式數學教學法介入後，學習障礙學生數學學習態度的改變。. 貳、研究問題根據上述的研究目的，本研究提出下列待答問題： 1-1. 觸覺式數學教學法對增進學習障礙學生乘除法計算的正確率是否具有立即成效？. 1-2. 觸覺式數學教學法對增進學習障礙學生乘除法計算的正確率是否具有維持成效？. 2-1. 觸覺式數學教學法對學習障礙學生縮短乘除法計算題解題時間是否具有立即成效？. 2-2. 觸覺式數學教學法對學習障礙學生縮短乘除法計算題解題時間是否具有維持成效？. 3-1. 觸覺式數學教學法介入後，學習障礙學生的數學學習態度是否有正向的改變？. 9.

(24) 第三節名詞釋義本研究的重要相關名詞包括「國小學習障礙學生」、「觸覺式數學的乘除法教學」、「數學乘除法計算能力」、「學習成效」、「數學學習態度」，分別定義如下：. 壹、國小學習障礙學生依據教育部（2013）所頒布的《身心障礙及資賦優異學生鑑定辦法》中對學習障礙定義為「神經心理功能異常而顯現出注意、記憶、理解、知覺、知覺動作、推理等能力有問題，致在聽、說、讀、寫或算等學習上有顯著困難者；其障礙並非因感官、智能、情緒等障礙因素或文化刺激不足、教學不當等環境因素所直接造成之結果。」其鑑定基準如下：一、智力正常或在正常程度以上。二、個人內在能力有顯著差異。三、聽覺理解、口語表達、識字、閱讀理解、書寫、數學運算等學習表現有顯著困難，且經確定一般教育所提供之介入，仍難有效改善。本研究所稱之學習障礙學生係指就讀於高雄市某國小，經「高雄市特殊教育學生鑑定及就學輔導委員會」（以下簡稱「鑑輔會」）鑑定為學習障礙學生，目前就讀國小普通班，於分散式資源班接受部分外加課程之特教服務，並無伴隨嚴重情緒困擾，經普通班導師及資源班教師觀察其數學乘法概念尚未精熟在計算方面有困難，且基礎數學概念評量九九乘法分測驗成績在切截分數以下，數學段考成績為普通班上的後 15%者。. 貳、觸覺式數學的乘除法教學觸覺數學最早的發想是在 1973 年由 Kramer 和 Krug 所設計的一種點標式（dot-notation）的數學教學策略，專門運用在有特殊需求的學生上（Bullock, 10.

(25) 1989），而後經由 Bullock 等人（1989），將此教學策略重新整合，使其步驟化及結構化，形成一套有系統、組織的數學學習教材。以多感官的方式為基礎，設計了基本的四則運算（加、減、乘、除）、錢幣、時間、分數等課程，統稱「觸覺式數學（The Touch Math）」，其特色在於使學生學習時能夠感受到數學並非高深莫測而是觸手可及，觸覺式數學所出版的教師指導手冊當中便有說明，每個數字上皆有其對應的觸覺點，剛開始教學時，先利用實體物品的擺放加上手指的觸摸去點數數量，幫助學生認識數字並做記憶，待學生熟悉後可將實體物品換成平面的圓點圖形繼續練習點數，最後當學生已大量練習且精熟，即褪除上述刺激提示，僅留下無任何提示的數字，學生必須將此技能熟練至自動化。其數字上觸覺點的位置如圖 1-1 所呈現，每個數字上的觸覺點在點數時皆有固定的順序，不可隨意變換。數字 1 到 5 皆由單一的點組成；6 到 9 則會有部分觸覺點需要重複點數。其教導學生觸覺點數的口訣如附錄一。. 圖 1-1. 觸覺點數標示圖. 本研究所運用的觸覺數學教學法將先從教導精熟數字點數標記，利用觸覺點的學習，先認識 1-9 的觸覺點位置，接著進行加法教學，學生了解其原理原則和應用方式後，再進行本研究的主軸，跳數、乘法及除法的教學，詳細教學流程列述於本章第四節中。. 叁、數學乘除法計算能力在教學現場我們時常發現許多兒童在還未學習乘法時，就已經會使用乘算了，. 11.

(26) 但實際上他們只是先背過「九九乘法表」而已，卻完全不理解乘法的意義，也不代表他已懂得如何進行乘法的計算（吳新華，1992），因此在乘法意義不熟悉的情況下，更難以進行除法概念的學習。國民中小學九年一貫課程綱要（教育部，2012）包含五大數學學習領域，其中一個佔有大量比例的就是「數與量」，而乘法和除法正是涵蓋在內的一項重要技能，是小學階段整數的教學重點，其中的能力指標清楚說明了完整的乘除法計算能力需要具備：N-1-04 能理解乘法的意義，解決生活中簡單整數倍的問題、N-1-05 能在具體情境中，進行分裝與平分的活動。N-1-06 能理解九九乘法、N-2-05 能理解乘、除直式計算、N-3-01 能熟練整數乘、除的直式計算。因此乘除法的計算能力並不是一項單一技能，而是多項概念理解的累積。而本研究所指乘除法計算能力主要是聚焦在利用觸覺式數學教學法教導學生理解九九乘法的意義後，進而學會乘除法的直式計算，研究者會依據每堂課的教學內容和目標自編整數乘除法的評量卷，分別有：「二位乘以二位」3 題、「三位乘以二位」3 題、「四位乘以一位」3 題、「二位除以一位」3 題、「三位除以一位」4 題、「四位除以一位」4 題，共計 20 題，每次教學介入結束後須完成一張評量卷，範例如附錄二至附錄四所示。將研究參與者作答的正確題數除以總題數計算正確率（百分比），以此來說明觸覺式數學教學法對增進學習障礙學生乘除法計算能力的成效。. 肆、學習成效所謂的「學習」是經過一段時間的持續練習及經驗累積所導致行為改變的過程，並非因年齡、成長或成熟的關係（張春興，2013）。學習成效會受到老師的教學方式、學生的學習風格、教學課程的設計、教學環境的安排等等因素的影響，同時也能給予教師在教學上的立即回饋。而本研究所指的學習成效可分為兩個部分，一是研究參與者經過觸覺式數學教. 12.

(27) 學法的教學後，透過研究者的自編整數乘除法評量卷持續不斷練習，累積正確的經驗，增進乘除法計算能力的學習成效；二是在熟練觸覺式數學點數的運算過程後能有效縮短學生在整數乘除法計算上的解題時間。. 伍、數學學習態度 Rahimi 和 Hassani（2012）認為「態度」在學習中能發揮非常關鍵的效用，甚至影響學習的成功與失敗，通常較積極的態度有利於學習；反之，消極的態度容易產生學習上的困難。張春興（2013）則定義態度為個體對人、事、周遭事物所持有一致性與持久性的傾向，包含認知、情感、行為三種成分，須分別探討及測量。本研究所稱之「數學學習態度量表」，則參考了黃娟茹（2012）所編製的數學學習態度量表，研究者自編態度量表總題數共計 8 題（附錄五），量表探討的內容包含了張春興（2013）的認知、情感、行為三向度，並於教學前、後請研究參與者協助填答，每題依照程度不同分為「非常同意」、「同意」、「普通」、「不同意」、「非常不同意」五個等級，本量表符合的程度越高，表示學生數學學習態度越好，另外研究者同時在實驗教學前及教學後對其重要他人進行訪談及觀察，結果內容以質性描述方式呈現。. 13.

(28) 14.

(29) 第二章文獻探討本章探討觸覺式數學教學法對國小學習障礙學生整數乘除法計算學習成效的相關文獻，以建立本研究之理論基礎。文獻探討共分為三節，首先第一節呈現學習障礙學生的數學學習特質；接著第二節探討國小整數乘除法的概念；最後第三節討論觸覺式數學教學法對學習障礙學生乘除法教學的應用與相關研究。. 第一節. 學習障礙學生的數學學習特質. 本節重點在討論學習障礙學生的定義、在數學學習上的特質及相關的數學教學策略。. 壹、學習障礙學生的學習特質特殊教育中所提到的「個別化」意即針對每個身心障礙學生的學習能力做個別的診斷，教材的設計及教學的內容也能考量學生的真實能力，並且訂定個別的評量方式和進步幅度；縱使是在數學學習上有困難的學生，其每個學生的學習特性和學習困難處異質性很大，身為一個教學者，的確必須了解學生的優弱勢能力及學習特質在教學上才能事半功倍。因此研究者綜合國內外文獻資料，整理歸納出以下六項學習障礙學生在數學學習上經常出現的特質與困難，以作為教學上的參考：［何華國，2009；呂翠華（譯），2008；洪儷瑜，1996；許天威、徐享良與張勝成，2009；張世彗，2015；陳麗如，2007；楊坤堂，2003］。. 一、記憶力缺陷對於學習的整體過程來說，記憶是非常重要的。訊息處理的歷程可分為感覺記憶、短期記憶和長期記憶（張春興，2013）。學習障礙的學生在短期記憶方面經常忘記老師剛剛教過的數學概念或是運算方法，對於剛剛才看過或是聽過的訊息複誦有 15.

(30) 困難；長期記憶方面對於回憶過去教過的基本概念感到困難，如：九九乘法，運算時容易忘記學過的步驟，對符號的意象記憶表現不佳，因此較不容易對數學符號產生有意義的連結，經常老師與家長感覺已經學會的概念，隔天卻完全忘記，導致數學計算的流程與步驟不熟練，大幅降低作答的正確率。. 二、知覺、動作協調能力缺陷知覺能力能幫助我們將所學的事物形成概念，建立抽象化的能力。而知覺失常則會導致學生在數學學習較不容易正確抄寫數字或是呈現上下左右顛倒的情況、立體空間概念不佳、分辨左右有困難、在一張考卷中找不到正在寫的題目、對於數字如 9 和 6、數學符號+和×辨認不清、計算題在運算時，時常因為沒有將數字對齊導致答案錯誤、數線使用上不知道數字間的關係；動作協調能力則經常出現精細動作上有困難，如使用直尺、剪刀或圓規時須教師協助，書寫動作緩慢且容易超出邊界，計算習題時數字經常時大時小導致錯誤率增加。. 三、注意力缺陷多數的學習障礙學生在教學過程中難以維持長時間的注意力，且較難將注意力正確使用在解題中，時常出現粗心而導致的計算錯誤，或者是對問題的反應太過衝動，未經思考而產生錯誤答案，除了注意力維持時間短之外，注意的廣度也較窄，無法區辨重要的和不重要的刺激，容易被外界不相干的刺激吸引而分心，對一件工作難以保持長久的注意力，對數學的學習造成影響。. 四、後設認知能力缺陷後設認知指的是個人對自己認知歷程的認知，意即能明確了解自己所學的知識，進一步能運用知識去解決問題（張春興，2013）。學習障礙學生在後設認知上的缺陷如：遇到數學題目時，經常無法從各種已學習過的策略當中選擇一個適當的解決 16.

(31) 方式，對於舊經驗和新經驗的連結有困難，也缺乏計畫、組織、監控等能力，而後設認知在數學解題中扮演著重要的角色，解題能力佳通常表現出較高的後設認知能力，能主動監控自己的運算及隨時修正錯誤；反之，則沒有辦法有效的監控自己的學習歷程和自我檢核作答結果是否正確，更無法將此策略類化至其他學習情境中使用。. 五、數學概念的缺陷學習障礙學生經常在一開始接觸數與量的觀念時，因對數字的不敏感，很難迅速將數字與數量的概念做結合，得花費比一般學生較多的時間去建立概念，例如題目 5 × 3，學生無法經由眼睛所看到的題目內容直接理解題目的意思，教師教學時需藉由實物的操作和演練，將 5 個花片放成一堆，再堆成 3 堆，引導學生將其列成 5+5+5 的算式，有 3 個 5，可以寫成 5 × 3=15，因此共有 15 個花片，同時提供學生視覺、聽覺、觸覺各種的感官回饋，較能有效的協助學生學習。. 六、社會情緒能力缺陷許多學習障礙學生因長期的數學學習問題，產生焦慮、恐懼的心情，導致學習動機低落，較難從學習當中獲得成就感，且挫折壓力忍受度較低、建立良好的自我概念有困難、學習時容易產生焦慮情緒、過度依賴教師或大人，但是並非所有的學習障礙學生皆有社會情緒的缺陷，而學業成就低落確實會影響其與同儕間的互動，導致自信心不足，更加害怕失敗而產生數學學習焦慮，進而阻礙數學的學習。將這些數學學習焦慮繪製成一個階層表，如表 2-1，可以做為教師在數學課程設計和學時的參考（劉秋木，2004）。. 17.

(32) 表 2-1. 假想的數學焦慮階層表焦慮階層. 內涵 1.聽到數學兩個字. 最輕微的. 2.看到數學老師 3.看到數學課本 4.想到明天有數學課 5.今天有數學課 6.數學課時老師已進教室 7.老師交代做數學習題 8.想到明天要考數學 9.老師問問題要小朋友舉手發言 10.老師指明我回答而我不會 11.拿到數學考試題目 12.數學題目不會做. 最焦慮的. 13.今天老師發回考試卷. 註：取自劉秋木（2004），國小數學科教學研究，第 157 頁。. 貳、學習障礙學生數學教學策略學習障礙學生的數學成就，雖然受到認知及情緒缺陷的特徵影響，但從課程的安排、教材的選用、呈現的方式、情境的布置到教師教學策略的運用，對學習障礙學生的學習歷程來說也具有深遠的影響，因此教育者應該採取適當的教學方式以協助學生有效的學習，進而滿足學生的個別學習需求。通常在設計教學課程時，會依據不同的教學理論而有不同的教學方法，以下將分別闡述適合學習障礙學生的數學教學理論及應掌握的教學原則：. 18.

(33) 一、教學理論（一）循序漸進的教學數學是一種連續性的知識，在教導學習障礙學生一個數學的新概念時，往往會先從具體實物的操作開始，透過真實材料使學生能夠親自移動、觸摸，以增進其理解，例如：錢幣，待概念建立後則可以透過圖像表徵，如：圖片，最後則進展至抽象的符號概念，如：＋、－、×、÷或代數的應用等等，此為解決數學問題的最高層次。教學時，教師應依照學生發展的歷程即具體表徵→圖像表徵→符號表徵，配合學生的能力循序漸進的教學（劉秋木，2004；Lerner, 2012；Miller & Mercer, 1997）。（二）直接教學 Rosenshine 於 1978 提出「直接教學法」，其內涵為教師作為主導，透過明確的教學步驟，給予大量範例，協助學生將數學概念達到精熟，而數學的學習本就具備順序性，因此直接教學法特別適合應用在數學的教學上，其特色為教學當下能夠隨時給予學生回饋，並強調充分的學習時間及大量的練習，最終期望將學習的主導權由教師轉為學生獨立學習（引自許天威、許享良與張勝成，2009；張世彗，2015）。（三）建構教學建構教學的基本理論是學習必須建構在學生身上，他們必須在學習的歷程中主動發掘並建立自己的數學概念（Lerner, 2012）。採「發現式」的學習活動來進行，強調學習是一種主動的過程，鼓勵學生利用身邊的媒材透過自己的操作去探究數學概念，而這些媒材能幫助他們建構概念，創造自己的經驗，也就是一種「做中學」的主動歷程（張世彗，2015；楊坤堂、鄧國彬，2005）。（四）認知教學學習障礙學生在學習時因缺乏後設認知的技能，經常無法選擇適當的策略來解決問題，而認知教學是透過一些認知策略，鼓勵學生主導並監控自己的學習（何華 19.

(34) 國，2009）。運用在數學學習時常用的方式有：自我監控、自我教導、複誦記憶、畫下關鍵字、時間分配，運算數學題目時也常使用「放生思考」的方式，教導學生解題步驟，可不斷在過程中與自己對話，如：「我接下來要做什麼？」，透過不斷的練習協助學習障礙學生成為有效的學習者。（五）問題解決教學 Montague 於 1997 指出文字數學題是學習障礙學生感到最困難的部分，而教師可以透過教導學生文字題的解題步驟和方法，了解題目的意思後便能自行作答，因此學生必須學習如何將語言及與數學概念連結，才能改善數學應用題的解題能力，過程當中學生需要分析和解釋資料，使其能夠運用正確的數學概念進行計算；且目前數學問題解決策略教學對於小學中高年級學生也已證實是有效的教學策略（引自張世彗，2015）。. 二、學習障礙學生學習數學的教學原則王淑惠（2008）建議教師在進行數學課程教學時可以結合一些有效的教學策略和學生日常生活經驗，不但能使課程多樣化，也能增進學生的學習興趣，在任何教學之前最重要的是必須評估學生的起始能力，以確認學生目前的基礎數學概念或是計算能力，並發掘學生的優勢學習管道，讓每位學生依自己的能力水準去做學習，課程上可做「簡化」、「減量」、「分解」、「替代」的彈性調整，創造充分的成功經驗，建立學生的自信心；再者是多利用視覺回饋以及從生活中學數學，由於數學除了基礎的計算能力之外，還要能靈活運用數學概念來解決日常生活中遇到的問題，如：購買火車票，則需具備日期及時間的概念，車站至車站間也能學習距離和相對位置的概念；或是給學生一筆固定的預算去採買物品，練習列清單、算折扣，這些都是我們在生活中經常使用到的數學概念；另外，還能透過日新月異的網路科技，使用電腦輔助教學媒材，提供學生多感官的刺激，能夠維持學生注意力和引發學習動 20.

(35) 機，除了使學生藉由電腦輔助軟體自學之外，學生還可以針對自己不熟的部分重複、大量的練習，使其更了解自己的學習歷程，有助於後設認知技能和自我監控能力的提升。 Lerner（2003）也建議教師在教導學習障礙學生數學概念時，應掌握以下五個原則： 1. 確認學生的數學基礎先備能力。 2. 掌握具體→半具體→抽象的學習歷程，學生較容易理解數學概念。 3. 搭配增強制度，提供學生大量且有趣的練習經驗，使學生能自動化的使用數學概念。 4. 教導學生將數學概念類化至新的學習情境中。 5. 教導學生數學的詞彙，使專門的術語能夠和運算技能做連結。 6. 適當的利用科技輔具，如：計算機、電腦，使學習更具吸引力。綜合上述可知，學習障礙學生在數學學習上的特質及風格多元，很難僅使用單一種的教學理論或策略便能解決學生的問題，教師除了要精準掌握學生的先備能力之外，還必須搭配學生的優勢學習管道，並且設計生活化的課程，提供學生自主學習的機會，教師的教學策略運用得當便能幫助學生有效能的學習。先前所提到的數學教學理論中，如：建構教學法提及「做中學」的概念，利用實體的媒材使學生透過視覺、觸覺的操弄中慢慢建立起數學概念；又如循序漸進教學法，強調教師教學時須由具體實物過渡到抽象符號的歷程，學生同時也是先透過具象物體的操作、觸摸，慢慢提升至抽象概念的層次，過程也是運用到不同感官同時進行學習，由此可知，部分的教學理論其實都運用了多感官學習的內涵，因此本研究的目的即欲探討屬於多感官學習方式的觸覺式數學，對於學習障礙學生在數學乘除法計算上的成效，下節將探討國小乘除法的概念及學習障礙學生乘除法計算上的錯誤類型。 21.

(36) 第二節. 國小整數乘除法的概念. 數學是一門注重循序漸進、邏輯推理的學科，因此其教材的編排從國小一年級開始至國小六年級，數學概念上皆有一定的邏輯順序，並且經過縝密、嚴謹的結構設計，而本研究欲探討的乘除法計算，分別是由加法累進及減法的連減所產生的，學生必須先具備乘除法相關的基礎能力方能正確學習，因此本節將分為三個部分去探討整數乘除法的概念，第一部分為整數乘除法的意義，第二部分為國小整數乘除法的能力指標，第三部分為學習障礙學生在整數乘除法計算的錯誤類型。. 壹、整數乘除法的意義在國小數學課程當中，依據學生學習整數的概念，依序為加、減、乘、除，一年級學習加法與減法，二年級開始接觸乘法，三年級學習除法，如此循序漸進的學習四則運算（胡永崇，2011）。而整數的乘除法單元在國小數學學習階段當中更是佔了相當大的比例，而乘除法是加減法的的延伸學習，也屬於更高層次的概念與計算，同時也是未來學習其他主題如：面積、比例、機率等等的基礎（曾淑芬，2010）。由此可知，學習整數乘除法的課程對國小階段的學生來說，是一個相當重要且必備的技能，因此本研究探討利用多感官方式來學習整數乘除法的計算，而首先乘法計算其實是加法的連續運算，也可以說是一種簡短的加法方式，如：6+6+6+6+6，可用乘法表示為 6×5=30，學生所學習到的新的符號便是「×」（張世彗，2015）。與加法明顯不同的是，加法計算中的例子皆為同一單位量，例如：6 顆蘋果加上 3 顆蘋果等於 9 顆蘋果，單位量一樣是「顆」；而乘法問題則需依照題目的情境適時的轉換單位量，意即單位量是不一樣的，例如：一包餅乾有 3 片，四包餅乾有 12 片，單位量「包」與「片」的轉換，對學生來說變是一個全新的概念；而除法也可以說是減法的連減運算，一開始學生接觸除法時，可以用減法方式來引導教學，如：6 ÷ 3，概 22.

(37) 念上可以解釋為，一包餅乾有 6 片，分給三個人，全部分完一個人可以得到幾片？因此列式 6 - 3= 3，代表三個人每人分為一片之後，還剩下 3 片，因此還可以再繼續分，列式為 3 - 3= 0，總共分了兩次，代表三個人每人得到了 2 片，如此不同的情境反覆練習，待學生理解除法即為平分的概念時，進而教導其除法列式為 6 ÷ 3＝ 2。此教學流程也呼應了國小數學能力指標 N-1-05 能在具體情境中，進行分裝與平分的活動，未來才能接續教導除法的直式計算。在乘法的教學上，教師常常會要求學生背誦九九乘法表，事實上，所有的數學符號在一開始時都只是一個紀錄的方式，這些紀錄方式必須經由吸收、整理、內化後才能適當的運用且形成工具，因此乘法教學尚未開始之前是否就應該先讓學生背誦九九乘法表？在教育部臺灣省國民學校教師研習會出版的國小數學教材分析（蔣治邦，2000）當中，針對整數的乘法運算教學方式及流程明確的表示，所有的數學運算過程皆是由具體表徵開始學習，以加法問題做範例：爸爸有 3 顆蘋果，媽媽有 5 顆蘋果，兩個人共有幾顆蘋果？對於還沒正式學習過加法計算方式的學生來說，可以用畫出圖像的方式，再透過點數得到共有 8 蘋果的答案，因此學生縱使不會以加法符號（＋）去做運算一樣能夠解決問題；接著教師進而教導學生寫出加法算式「3+5=8」，理由是讓學生告訴別人他是怎麼算出答案的，最重要的是，希望學生透過不斷的練習紀錄，能夠熟習加法算式的運用，最後能成功使用加法算式來替代點數，當學生累積許多成功解決加法問題以及使用加法算式紀錄解題活動的經驗後，當學生再次遇到某個加法問題時，可能會忽然發現，點數好麻煩，就直接使用記憶中的加法算式來替代點數最後成功得到答案，此時，加法算式開始具有雙重的意義，是解題的工具也是解題的紀錄，意即學生能夠正確使用加法算式做為解題的工具。以此類推，教師在教導學生乘法概念時，也不應急著要求學生背誦九九乘法表，因為在學生尚未接觸乘法計算時，一樣能透過點數來解決乘法的問題，例如：一包餅 23.

(38) 乾有 3 塊，四包餅乾有幾塊？學生可以畫出一包餅乾的圖像，並在裡面畫三個圓圈代表餅乾，接著畫出四包一模一樣的，待學生畫出四包餅乾及四個 3 塊的圖像時，一樣可以透過點數有幾塊餅乾的方式得到答案有 12 塊餅乾，教師也能進而引導已學過加法基礎的學生，將加法做為工具來解決問題，並使用算式「3+3+3+3」，引導學生 3 有 4 個，因此可將之紀錄為「3 × 4」，同樣的，此時的「×」符號也只是解題的摘要記錄，實際上學生是以加法當作工具去解決問題，對學生來說，乘法是新的紀錄格式，必須重複且大量的練習和使用，當學生經常使用乘法算式紀錄解題活動，且能夠利用乘法來代替連加的運算最後透過九九乘法表的背誦得知「3 × 4= 12」時，乘法的符號，也同時具有了解題紀錄和解題工具兩種意義。在除法的教學應用上，可分為兩個種不同的概念，一個是等分除；一個是包含除，等分除為解決單位量未知的問題，如：姊姊有 12 顆糖，平分裝成 3 盒，1 盒有幾顆糖？而包含除則用來解決單位數未知的問題，如：姊姊有 12 顆糖，4 顆裝成一盒，可以裝成幾盒？不過此兩種概念只有在應用題時因單位量的不同，才會需要作單位量的轉換與區辨，純粹處理計算問題時並無影響，而本研究所要探討的部分僅止於計算能力，故不加贅述兩種概念的教學與應用。在教育部臺灣省國民學校教師研習會出版的國小數學教材分析（蔣治邦，2000）當中，針對整數的除法運算教學方式及流程明確的表示，學生一開始學習除法概念時，教師會透過「一輪一次分一個」的方法來進行引導，教導學生運用減法的技能做除法的運算，此階段學生尚不需列出完整的除法算式，待學生概念養成且熟練後繼而進行除法的列式，舉例來說：學生使用減法方式解決「20 ÷ 5＝(. )」的問題時，使用「一輪一次分一個」的過. 程記錄為「20 - 5＝ 15，15 - 5＝ 10，10 - 5＝ 5，5 - 5＝ 0」，當使用除法算式記錄時則變成「20 ÷ 5＝ 1…15，20 ÷ 5＝ 2…10，20 ÷ 5＝ 3…5，20 ÷ 5＝ 4…0」，運算過程中，學生可以發現，記錄的方式太繁瑣，並且違反餘數要比除數小的規定， 24.

(39) 進而直接學習「20 ÷ 5＝ 4」，因此，同時使用乘法與減法的概念來記錄除法問題的解題過程，可以幫助學生理解乘除互逆的概念，更能確實理解除號的意義。綜上所述，教師必須幫助每位學生掌握乘法除法的意義（正確使用乘法代替連加；除法代替連減），或許每位學生將乘法與除法算式由紀錄轉為工具的時間不一定相同，但是這樣的學習歷程每位學生都應該經歷，使九九乘法表在前述的導引下，最後成為解題工具，如此才是有意義的乘除法教學，下一部分將探討國小整數乘除法的能力指標。. 貳、國小整數乘除法的能力指標在現今 21 世紀高度文明化的世界中，數學知識及數學能力已漸漸成為日常生活及職場中應具備的基本能力，因此，國民數學課程教育的目標必須能反映下列理念： (1)數學能力是國民素質的一個重要指標；(2)培養學生正向的數學態度，瞭解數學是推進人類文明的要素；(3)數教學(含教材、課本及教學法)應配合學童不同階段的需求，協助學童數學智能的發展；(4)數學作為基礎科學的工具性特質（引自教育部， 2012）。我國目前現行的數學教學是以九年一貫的課程綱要為基準，主要將數學領域分為四個階段，第一階段為一、二年級，教學重點主要著重於數、量、形的概念及運算、長度、簡單圖形的認識；第二階段為三、四年級，此階段需培養流暢的數字感，運用於四則和混合的計算，便初步學習分數與小數以及常用的單位和計算；第三階段為五、六年級，須熟練小數和分數的四則運算，並認識平面與立體的幾何性質和面積與體積的計算；第四階段為國中一到三年級，至此階段開始所學習的數學概念也較為抽象，學生須綜合國小時期所學的數、代數、幾何、統計，進而學習更高層次的課程；數學教學的內容部分則分為數與量（N）、幾何（S）、代數（A）、統計與機率（D）、連結（C）五大主題。. 25.

(40) 根據教育部（2012）的九年一貫課綱「整數乘除法運算」應歸類於「數與量」的主題，因此將與整數乘除法運算相關的能力指標整理如表 2-2：表 2-2. 九年一貫整數乘除法運算能力指標彙整表. 能力指標. 指標內容. N-1-04. 能理解乘法的意義，解決生活中簡單整數倍的問題。. N-1-05. 能在具體情境中，進行分裝與平分的活動。. N-1-06. 能理解九九乘法。. N-1-07. 能在具體情境中，解決加、減、乘之兩步驟問題(不含連乘)。. N-2-05. 能理解乘、除直式計算。. N-2-06. 能在具體情境中，解決兩步驟問題(含除法步驟)。. N-2-07. 能做整數四則混合運算，理解併式，並解決生活中的問題。. N-3-01. 能熟練整數乘、除的直式計算。. N-3-02. 能熟練整數四則混合運算，並解決生活中的三步驟問題。. 註：取自教育部，2012，第 13、14、16 頁。. 階段能力指標僅代表學生須學習的概念，實際的課堂上教師仍須將能力指標做更細緻的演繹為分年細目，使教師能更精準的評估能力指標下的分年細目學生的學習情況，方能掌握教學的目標。分年細目採三碼編排，第一碼表示「年級」，分別以 1 到 9 表示一年級至九年級；第二碼表示「主題」，分別以小寫的字母 n、s、a、d 表示四個主題「數與量」、「幾何」、「代數」和「統計與機率」；第三碼則是分年細目的「流水號」，表示該細項下分年細目的序號。以下為主題「數與量」中與整數乘除法計算有關的分年細目彙整，如表 2-3：. 26.

(41) 表 2-3. 九年一貫整數乘除法運算分年細目表. 分年細目. 細目內容. 1-n-07. 能進行 2 個一數、5 個一數、10 個一數等活動。. 2-n-06. 能理解乘法的意義，使用×、＝作橫式紀錄，並解決生活中的問題。. 2-n-07. 能在具體情境中，進行分裝與平分的活動。. 2-n-08. 能理解九九乘法。. 2-n-09. 能在具體情境中，解決兩步驟問題（加、減與乘，不含併式）。. 3-n-03. 能熟練三位數乘以一位數的直式計算，並解決二位數乘以二位數的乘法問題。. 3-n-05. 能理解除法的意義，運用÷、＝做橫式紀錄(包括有餘數的情況)，並解決生活中的問題。. 3-n-06. 能在具體情境中，解決兩步驟問題(加、減與除，不含併式)。. 3-n-07. 能在具體情境中，解決兩步驟問題（加、減與除，不含併式）。. 4-n-02. 能熟練整數加、減、乘、除的直式計算。. 4-n-04. 能作整數四則混合計算（兩步驟）。. 5-n-02. 能熟練整數四則混合計算。. 註：取自教育部，2012，第 21、23、25、27、29 頁。. 從上述的能力指標可以得知，計算能力是學習所有數學概念的基礎，而加、減法是乘、除法的進階概念，因此本研究將研究目的著重於學生的基本運算能力，欲探討觸覺式數學教學法對增進學習障礙學生乘除法計算能力的學習成效，下一部分將討論學習障礙學生在進行整數乘除法直式計算時常見的錯誤類型。. 叁、學習障礙學生在整數乘除法計算的錯誤類型教師在教學的過程當中，應該保持敏銳的觀察力，並且隨時注意學生的學習情況，學習障礙的學生在學習乘除法計算時所遇到的困難通常有跡可循，教師可針對其錯誤類型做歸納及分類，幫助教師在教學時能夠提供有效的教學策略，提升學生 27.

(42) 的學習成效。研究者綜合各個研究所提出對於學習障礙學生乘除法計算的錯誤類型分析，針對「計算」能力分為三個部分，第一部分為數學概念不足導致錯誤，第二部分為計算過程所導致的錯誤，第三部分為學習態度所導致的錯誤，引述文獻分述如下（王雪瑜，2006；王淑惠，2008；秦麗花，1995；郭靜姿、許慧如、劉貞宜、張馨仁和范成芳，2001；黃瑋苓，2006；楊坤堂，2003；鄭博信、林穎義和詹勳國， 2002）：. 一、數學概念不足導致錯誤 1. 運算符號或專用術語不清楚：無法理解加、減、乘、除所代表的意義，數學專用術語混淆無法根據四則運算的原則計算或隨意的使用運算符號。 2. 沒有數字的概念：對於數與量的概念不清楚，認識數字卻無法用數字比大小，沒有基本的數序概念，例如：第二個和最後一個的差別。. 二、計算過程所導致的錯誤 1. 位值的錯誤：對於個位、十位、百位、千位等缺乏正確的認識，無法理解同一數字但擺放於不同位置的差別，因此計算時位置擺放錯誤或沒有對齊，導致運算錯誤。 2. 基本計算的錯誤：不理解加、減、乘、除的運算法則，也不理解九九乘法表的意涵，使用心算時計算錯誤，抄寫數字錯誤。 3. 運用錯誤的程序：無法正確使用數學運算程序或規則，例如先乘除後加減，以及遇到括號時，括號內的數字要先算；解題時，不知如何應用正確符號做計算。 4. 計算方向錯誤：計算時沒有按照正確的方向即由右至左進行，隨意使用無準則的方式來計算而導致錯誤。. 28.

(43) 三、學習態度所導致的錯誤 1. 缺乏作答動機：看到題目還未經思考，便覺得題目太難、太多了、自己不會做，錯誤的歸因最後放棄作答，久而久之對數學便產生消極的態度。 2. 數學焦慮感：學習障礙學生在數學學習的過程當中可能因屢屢的挫敗或是擔心被大人處罰，產生焦慮和恐懼的心情，因此每當接觸數學時便擔心、害怕甚至哭泣來逃避學習。綜觀上述的錯誤類型，研究者參閱許多針對學習障礙學生數學計算困難的研究發現，大多數研究的確都能有效提升計算能力，如使用繪本融入、線段表徵、自我指導等等，但介入的方式不夠多元，常採用單一感官，且多半著重於視覺及聽覺，較不符合學習障礙學生需多感官並行的學習特質，因此本研究運用多感官為基礎的觸覺式數學教學法，以增進學習障礙學生的乘除法計算能力。綜合本節所述，分別探討了國小整數的乘除法概念以及學習障礙學生在乘除法計算上可能發生的錯誤類型，本研究採用觸覺式數學教學法，利用多感官的學習方式，讓學生透過不同的感官去認識乘法及除法的意義並將之與九九乘法做結合，使學生能獨立完成乘除法的計算，觸覺式數學教學課程採較活潑及多元的節奏進行，也期望增進學生的學習動機，下一節將詳細闡述觸覺式數學教學法的內涵及其在乘法及除法教學上的應用。. 29.

(44) 第三節觸覺式數學教學法對學習障礙學生乘除法教學的應用與相關研究觸覺式數學教學法出自於多感官教學理論，強調透過各種感官同時學習能夠獲得較大的學習成效，因此本節將分為三部分做探討，第一部分為多感官教學理論，第二部分為觸覺式數學教學法的理論基礎和教學應用，第三部分為觸覺式數學教學法在乘除法教學的相關研究。. 壹、多感官教學理論 Carolyn & Rosemary 於 1998 年指出，當人類一出生，便開始透過不同的感官去認識新事物，例如：眼睛分辨明暗、耳朵聽童謠、嘴巴吸奶嘴、伸手抓玩具，長大後之所以對於某件事物有感知，正是因為通過了各種感官同時對事物產生知覺後所得到的結果［引自丁凡（譯），1998］。而多感官教學（multisensory approaches）是一種「學習管道」教學的方法（洪儷瑜，1996）。顧名思義指在學習的過程當中，運用各種不同感官做為學習的管道，進行知識的接收，而各種感官的刺激彼此強化了在腦中記憶的深度，因此提高了學習時的成效；又因多感官教學的運用是給予學生多重感官的學習刺激，故亦稱「刺激轟炸法」（何華國，2009）。多感官教學有數種不同的教學方法，如 the Fernald 法、Orton-Gillingham 法、the Wilson Reading 法，雖然由不同的學者所提出，但其主要概念皆是透過多種感官同時進行學習，張世彗（2015）歸納出這些多感官教學法都有下列類似的特性：1.藉由提供視覺、聽覺、觸覺、動覺等管道的連通來協助語文學習；2.運用高度結構化的程序來教導字母和拼讀；3.給予充分的練習；4.縝密規劃的課程；5.有系統且明確的教授語言規則，以引導閱讀和拼音。. 30.

(45) 其中 Fernald 於 1921 年所提出的 VAKT 法即視覺（visual）、聽覺（auditory）、動覺（kinesthetic）、觸覺（tactil），為最早運用於閱讀障礙的教學模式，主要因體察傳統認字方式過度仰賴視覺或聽覺的學習，尤其是視覺的學習觀點，但這卻剛好是閱讀障礙者最弱勢的學習管道（洪儷瑜，1996）。與其他教學法差異較大的部分為， Fernald 的視、聽、動、觸法增加了「動覺」和「觸覺」，為此法的特色所在，又被稱為「Fernald 指觸法」，因此是目前多感官教學中較具代表性的教學方式（何華國， 2009；許天威、徐享良及張勝成，2009）。在一開始學習生字時，學生可自己選出一個想學的字，並將之寫在黑板上；接著學生以手指接觸紙面或特殊的學習材料，如：砂紙，摹寫文字，此部分為觸覺及動覺；摹寫過程中用眼睛看著這個字，此部分為視覺；嘴巴同時將這個字大聲的讀出來，此部分為聽覺，所有的生字教學皆採此步驟進行，並且須反覆、大量的練習，直到學生不需要看到字也能獨力寫出為止，如此學生便能經由不同的感官通道來增強其對該生字的記憶與保留［何華國，2009；洪儷瑜，1996；洪儷瑜（譯），2012；張世彗，2015；許天威、徐享良及張勝成，2009；楊坤堂，2003］。因此也印證了 Carolyn & Rosemary 於 1998 年所指出教導生字時讓學生一面寫一面念出來，他們同時必須聽、看、做、感覺，靠著多種感官的刺激及重複練習，使學生增加了處理深度（depth of processing），便更能了解並記住學習內容［引自丁凡（譯），1998］。多感官學習策略雖然一開始是被運用於閱讀障礙學生的教學，但近年來其應用的範圍非常廣泛，在使用的對象上，可用來教導普通生音樂學習（李麗芬，2005；李宛倫，2006）、英語教學（許雅雯，2006；蔡瓊玲，2004）、國語文教學（徐麗玲， 2007；廖淑伶，2006），皆透過多感官的學習方式增進其學習成效及學習動機；特殊教育學生的部分障礙類別廣，有智能障礙、自閉症、腦性麻痺、注意力缺陷過動、聽覺障礙等等，學習內容則有實用語文（林玫君，2004；鄭靜秋，1998）及英語教 31.

(46) 學（范曉菁，2007；許惠菁，2004；許瑞蓮，2007；楊乃燕，2008）。參閱國內文獻，幾乎沒有針對數學教學為主題使用 Fernald 的 VAKT 法的研究，不過，研究者整理了與本研究主題相關的文獻發現，針對學習障礙學生四則運算能力做教學時，所使用的教學法其實部分的流程和實施方式皆蘊含多感官教學的精隨，如：朱雅萍（2014）運用繪本融入數學減法教學；范揚素（2012）將直接教學法運用於乘法運算；楊馥如（2012）使用線段表徵策略進行加減法文字題教學；蔡美琴（2014）將自我教導策略運用於乘除法文字題的教學，其中如繪本和線段表徵，皆為學生提供了豐富的視覺提示，正符合 VAKT 法當中視覺（visual）的要素；而自我教導法中強調學生可經由外在言語將自我指導的歷程大聲陳述出來，提供學生聽覺的回饋，也正符合 VAKT 法當中聽覺（auditory）的要素；另外，直接教學法運用高度的結構教學以及教學中使用的同聲反應，其實也與 VAKT 法當中高度結構化的程序及縝密安排的課程相呼應，並同樣提供聽覺（auditory）上的刺激，而上述研究結果皆顯示對於學生的數學學習成效帶來正向的影響，由此可以合理推測，多感官的教學運用於數學課程，能為學生帶來與傳統課程教學不一樣的學習經驗。本研究所欲使用的觸覺式數學教學法，須同時運用視覺、聽覺、動覺和觸覺等感官來接收資訊，因此其內涵正符合 VAKT 法的學習要領，便是多感官學習最佳的範例，下一部分將詳細探討觸覺式數學教學法的理論基礎和教學應用。. 貳、觸覺式數學教學法的理論基礎和教學應用本節主要探討觸覺式數學教學法的相關概念，共分成四個部分，第一部分為觸覺式數學教學法的意涵；第二部分為觸覺式數學教學法的相關理論基礎；第三部分為觸覺式數學教學法的教學程序和原則；第四部分為觸覺式數學教學法的特色，分別敘述如下：. 32.