在大學數學課堂上幾乎都是由定義、定理、證明所組成，學生需要花費大量 的時間閱讀教授呈現給他們的證明。如果學生需要透過跟教師學習證明來學數學，
教師會認為學習一個證明有什麼樣的特徵？教師（專家）與學生（生手）閱讀證 明的方式有什麼不同？
Weber（2001）讓主修代數的四位博士生（專家）與四位大學生（生手）建 構七個命題的證明，這七個命題的主題與群同構（Group homomorphisms）有關。
研究對象在建構證明的過程中會放聲思考，他不僅可以查閱大學代數課程的教科 書，建構證明也沒有時間限制。如果研究對象使用複雜的技術完成證明，研究者 會詢問研究對象為何使用這種技術。在證明完命題以後，研究者會要求研究對象 說明那七個命題是真還是假。判斷完以後，要用0～2 分去表示自己對自己答案 的信心程度，0 分表示「用猜的」，2 分表示「非常肯定」。接著，Weber（2001）
將專家與生手在這七個命題中證明建構的表現分為四項，分別統計符合該項目條 件的人數，這四項包括：
正確的證明（Correct proof）：研究對象生成有效的證明。
未能引用語法知識（Failure to invoke syntactic knowledge）：研究對象在生成 證明的過程中陷入僵局。
語法知識庫不足（Insufficient syntactic knowledge base）：同上，研究對象在 生成證明的過程中陷入僵局。
證明有邏輯錯誤（Proof with logical error）：研究對象生成他自己認為是有效 的證明，但實際上是無效的。
結果發現，生手無法建構證明是因為他們未能應用其語法知識。當他們被明 確告知可以用哪些事實證明這些命題時，他們就能建構證明。這些數據表明，理 解數學證明和領域事實的語法知識不足以成為一個有能力的定理證明者。那為什 麼擁有語法知識的生手在證明時會有困難？Weber（2001）認為知道有這些事實 不足夠，必須回顧這些事實。他認為證明建構是一個解決問題的任務，而解決問 題任務需要策略知識。他從專家和生手的表現與他們為什麼使用複雜技術完成證
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明的解釋中猜測，生手似乎缺乏三種策略知識，包括：瞭解該領域的證明技巧、
知道哪些定理是重要的且它們何時是有用的、知道何時可以且何時不可以使用語 法策略。但該研究並沒有在策略知識上著墨，這是可以延伸探討的。
Annie Selden 與 Selden（2003）以半結構的方式訪談八位具有數學和中學數 學專業的大學生，訪談過程有四個階段：第一階段，給一個關於數論的定理，要 求他們用自己的話解釋定理並證明；第二階段，讓學生閱讀四個證明，要求閱讀 時需放聲思考，並判斷哪個可以用來證明第一階段的定理。如果認為該證明無法 證明第一階段的定理，盡量說出哪些部分有問題；第三階段，仔細觀察並思考四 個證明，學生們可以重讀證明並思考要不要改變第二階段的答案，但在這個階段，
不能說不確定這個證明是否可以證明定理，一定要做出決定；第四階段，學生被 問到跟證明有關的八個問題，以及他們如何閱讀、理解與檢驗證明是否有效。研 究結果發現，大學生會花比較長的時間在關注證明的表面特徵，例如：代數符號 和計算上，而不是注意證明的基本邏輯結構。
Weber（2008）將 Annie Selden 與 Selden（2003）研究中的四個證明拿給八 位數學家（大學教授）判斷證明的有效性，這八位數學家的研究領域包含拓樸、
分析、代數、組合和應用數學。每位研究對象都會進行三個階段的訪談，訪談流 程和Annie Selden 與 Selden（2003）的研究類似。第一階段，閱讀那四個證明並 判斷證明是否有效；第二階段，每位研究對象都會被告知，他將會閱讀到一位數 學家可能會提交到數學雜誌上面的幾個證明，例如：美國數學月刊（American Mathematical Monthly），並再次被要求確認這些證明是否有效；第三階段，每位 研究對象都會被問到一組關於他們如何決定一個證明是否有效的問題。研究結果 發現，數學家在判讀證明時使用了幾種不同的推理方式，包括：正式推理（formal reasoning）、建立嚴格的證明（the construction of rigorous proofs）、非正式演繹推 理（informal deductive reasoning）和根據例子的推理（example based reasoning）。
除此之外，Annie Selden 與 Selden（2003）還提到數學家有能力就證明的正 確性和定理的真實性達成一致，但Weber（2008）研究數學家判讀證明時發現，
八位數學家的判斷並沒有一致，這也表示Annie Selden 與 Selden（2003）和 Weber
（2008）的研究需要證據證明。另一方面，Weber 與 Mejia-Ramos（2011）建議 閱讀證明時可以採用兩種策略：微觀（zooming in）和鉅觀（zoom out）。微觀又 稱為逐行閱讀（line-by-line reading），這個過程可以填補每行之間的邏輯差距；
鉅觀又稱為模塊閱讀（modular reading），若數學家使用鉅觀策略，則不會專注於
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論證的邏輯細節。該研究使用了兩個數據來支持，第一個是Weber（2008）訪談 八位數學家的研究，第二個是Weber 與 Mejia-Ramos（2011）與九位數學家進行 半結構式的訪談資料，該訪談目的主要是瞭解數學家閱讀其同事發表的證明的原 因和方法。但是上述研究的過程，通常是依賴學生和數學家的反思或利用他們放 聲思考得知。這些方法會有缺點，並非所有的判讀過程都是有意識的。因此，Inglis 與Alcock（2012）透過眼動儀紀錄 12 位數學家（專家）與 18 位大學生（生手）
閱讀證明時眼球運動的差異，為上述研究提供證據。
Inglis 與 Alcock（2012）的研究有三個階段，第一階段，研究對象會被告知 要閱讀Annie Selden 與 Selden（2003）和 Weber（2008）使用過的那四個證明，
並判斷這四個證明是否有效。每個證明都會顯示在電腦螢幕上，研究對象可以長 時間思考直到他們判斷出有效性。判斷完有效性以後，要用0～4 分去表示自己 對自己答案的肯定程度，0 分表示「用猜的」，4 分表示「我非常確定」；第二階 段跟第一階段類似，研究對象會被要求閱讀兩個從報紙摘錄下來的非數學段落，
這個階段主要是要讓研究對象休息的；第三階段，研究對象會被告知，要閱讀兩 個已經提交到普及數學刊物上的證明，例如：The Mathematics Gazette。其中一個 證明是Weber（2008）有使用到的，另一個證明是新的，是與微積分有關的證明。
研究結果發現，數學家在判斷其中三個證明的有效性結果不一致，這個支持了 Weber（2008）的研究。
再來，Inglis 與 Alcock（2012）從每位研究對象在每個式子上的停留時間發 現，生手在判讀證明時，確實花費較多的時間在證明的表面特徵上，支持了Annie Selden 與 Selden（2003）的研究。不過，沒有任何證據顯示專家與生手在開始判 讀證明時會先使用鉅觀策略，這跟Weber（2008）的假設不符。但是，研究發現 專家比生手多出了將近 50％在不同式子上的掃視，而這些額外的掃視大多在連 續的式子之間，也就是說專家比生手投入更多的時間來回的在證明語句間察看，
來推斷句子間隱含的保證。
雖然文獻裡面有談到專家和生手建構證明與閱讀數學證明的差別，但都只是 大方向，沒有細部針對他們在閱讀證明時理解了什麼，以及運用了哪些閱讀策略。
因此，本研究以線性代數裡面的證明題為例，分析學生理解狀態，以及運用了哪 些閱讀策略來改變理解狀態。
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第參章 研究方法
本研究採質性與量化並行的方式進行線性變換標準矩陣表示法證明題的分 析。在量化研究上，本研究在訪談前施予先備知識測驗，確定學生的基本概念和 起點行為，作為分層取樣的依據；在質性研究上，本研究透過先備知識測驗選定 研究對象，利用放聲思考法以及半結構式訪談來進行研究。