（一）AH_CHPH 學生：S5
S5 在自評自己整體的理解狀態時，認為自己大致上應該讀懂了證明題，雖 然S5 只說大致上讀懂，但 S5 在解釋證明時，能將證明區分為兩個階段來解釋，
概念非常清楚，研究者認為S5 是理解證明題的。
R 你讀完了 S5 嗯
R 那你覺得你有讀懂嗎?
S5 哦..大致應該懂
R 大致應該懂，好那好你可以稍微跟我說明一下你覺得這個證明在說 什麼嗎?
S5 欸...這個證明大致分兩階段，第一個階段，它想要把這個 Ax 當作是 一種線性變換，然後就是它，首先要先證明的就是Ax 確實是可以寫成一 個線性變換，然後第二件事情它想要說的是這個線性變換剛好就會是就 是你把x 向量作線性變換之後結果
R x 向量作線性變換之後結果 S5 嗯對
（引自S5 訪談 S5-03）
探究其原因，S5 在放聲思考的過程中，遇到不太理解的地方時，會重複讀 四次，如果讀了很多次還無法理解，會嘗試把他寫下來，並且，在思緒開始混亂 之後，會停下來先做整理，再繼續閱讀，非常清楚自己做了哪些事，以及要證明 的目標是什麼，所以在訪談過程中都能對答如流。
and so that and so T and the linear transformation TA given that on the standard basis 所以從 T， e1 到 en 這件事情都獲得欸寫一下好了，诶所以 e1 的 話，Ae1=Te1、Ae2=Te2……Aen=Ten 嗯然後 by theorem 2.7，and the comment following this theory，we know that then T(X)=TA(X)for every x 屬 於 Rn，comment following comment following this theory，we know that
132
T(X)=TA(X) for every x 屬於 Rn that is T(X)=AX for 還是翻一下好了。
（引自S5 放聲思考 S5-02）
現在我鎖定一個T(X)是一個 linear transformation 對所以它現在第一個是 說所以第一件事情是這樣 AX 是一個 linear transformation 好，第二件事 情是說這個linear transformation 這個 linear transformation 這個很不巧地 剛好跟linear transformationTAX 剛好等於 TX 然後它用的是 e1 它們如果 要把它們送出去的線性組合，是唯一的TA(e1)嗯?b1=en1 that 它可以寫成 它的線性組合它可寫成它的線性組合嗯...所以這個線性組合 and the comment following this theorem.嗯...
（引自S5 放聲思考 S5-02）
表4 - 2
學生
S5 自我與外在評估整體理解狀態的差異
評估者理解狀態 自我 外在
完全不理解
偏向不理解
理解與不理解各半
偏向理解 大致應該懂
完全理解 能將證明分段解釋
133
（二）AH_CHPH 學生：S6
S6 閱讀速度極快，只有在讀到定理 2.7 的時候有慢下來，因為不知道定理 2.7 的內容。
好，我應該不需要這個A 是一個 m by n，然後它的第 j 行是 Tej 然後 T 乘 這樣然後那麼Tx=x 對於說 x 在 R 裡面。然後唯一 A 跟 Aej 是第 j 行的 A，這表示 at once if A is the matrix described in equation2 equation2 then are the 喔，這個喔，那麼 Aej 的話就是 Tej，對 T 來說，那麼給這個這樣由 定理2.7，定理 2.7 是什麼鬼啊?那麼 the comment following this theorem，
we know that then 對、嗯就在講廢話，呵呵呵呵定理 2.7，這是第幾節的?2.3
（翻書）...定理 2.7 定理 2.7，會不會是有漏的那邊啊?沒有在這裡，我現 在其實已經邏輯上了解它在講什麼了耶~
（引自S6 放聲思考 S6-02）
不過，後來他用自己的邏輯理解整個證明題，很快的就自評自己整體是理解 的。研究者從S6 能陳述這個證明題的命題在說什麼，且用自己的方式把 T(x)=Ax 證明出來，判定他是理解的。
R 好，那可以用你的話告訴我這個定理在講什麼嗎?
S6 就是它說如果 T 是一個那個線性轉換嘛，然後它把它令成這個樣子 的話，那A 就會是 A 就是對應於 T 的矩陣的那個那叫什麼?standard 什麼 什麼matrix 的那個。
R standard matrix S6 是這樣嗎?
R 沒有就你認知的。
S6 反正就看到字我認得就好了嘛哈哈哈哈
R 你 是 問 讀 音是 不 是 這 樣唸?還是，你是問說那個名詞是不是叫 standard?
S6 對。
R 喔好。
S6 因為如果說沒有記很熟，就是看到會知道。
R 嗯好，然後再來勒?所以你認為定理就這樣而已。
134
S6 沒有，定理的部分到這裡啊，證明當然不是這樣啊，我的想法證明 裡面不是這樣啊。
R 好，那你說說。
S6 因為你對於任意的 x 嘛，你一定可以拆成幾倍的 e1 幾倍的 e2 啊，
然後再linear transformation 裏面也全部都是可以拆開啊。
R 嗯。
S6 加減法跟純量乘積全部可以拆開。
R 嗯嗯嗯。
S6 然後你就可以用這些來組成啊。
R 用那個Te1、Te2、Ten。
S6 對，然後就結束了。
R 就結束了?
S6 對啊。
（引自S6 訪談 S6-04）
探究原因，為何S6 理解證明這麼迅速，S6 自己談到，因為他自己發現在結 論裡，最重要的是「對所有的x 都對」這句話。那該怎麼把陌生的 x，這個很大 的範圍縮小。S6 想到在 linear transformation 裡運作的、最熟悉的就是 e，而且證 明裡面也提到Te1、Te2 到 Ten，所以自然而然會想把 x 拆成 e1、e2…。因此，
他也不需要知道定理2.7 的內容，就可以理解證明了。
R OK，那證明的話你也是這樣一行一行的讀下來嗎?邏輯上都沒有遇 到困難的地方?
S6 沒有。
R 而且你剛剛跟我分享的，你說一個 x 可以寫成某倍的 e1 跟某倍的 e2。
S6 嗯 。
R 這個是你其實還沒在看筆記之前就知道，大概是用到這個?
S6 嗯。
R 2.7 可能是用到這個嗎?
S6 嗯，我的想法是這樣啊。
R 為什麼你會想到這個關鍵?
S6 這個證明就是這個關鍵啊。
135 R 是因為你曾經讀過這個證明嗎?
S6 嗯...我有經讀過這個證明嗎?
R 不然你怎麼會有那個這個關鍵的想法跑出來?因為有些人會讀不懂，
就是他可能沒有辦法聯想到這樣子的東西，他就必須要去查定理2.7 是什 麼，確確實實的知道才有辦法讀懂這個證明。
S6 應該是這樣著手，就是在這個結論裡面最重要的就是對於所有的 x 啊。
R 你說T(x)=Ax?
S6 對於所有的 x，啊你要怎麼樣把對於所有的 x 轉換到你熟悉的東西 啊，就這樣。
R 那你怎麼會想到把它拆成e1 跟 e2 的倍數去作相加?
S6 嗯...
R 你要處理x 可能有很多方法嘛。
S6 但我們熟悉的能在 linear transformation 裡面運作最簡單的就是 e 啊，
嗯，應該是這樣，而且更何況定理裡面它已經提及Te1、Te2 到 Ten。
R 然後你自然而然就想到把它拆成e1、e2? OK，好，那你剛剛在讀的 過程中你有沒有運用哪些策略來幫助你讀懂?
S6 挑重點看吧。
R 挑重點看，那什麼是你說的你覺得的重點?
S6 我覺得的重點嗯....
R 例如說，你就會特別跟我說對所有的x 就是重點，啊這裡符號、啊 名詞這麼多為什麼你認為對所有的x 就是重點?
S6 因為它不是只是就是它已經、它已經是一個很大的範圍了，那我們 必須縮小範圍啊!
R 一個很大的範圍必須縮小範圍?
S6 縮小範圍到 e1、e2 到 en 然後我才能進一步作成這個證明。
R 好。
S6 你對於一個 x，陌生的 x 來沒有 e1 到 en 當然沒辦法做事啊。
（引自S6 訪談 S6-11）
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表4 - 3
學生
S6 自我與外在評估整體理解狀態的差異
評估者理解狀態 自我 外在
完全不理解
偏向不理解
理解與不理解各半
偏向理解 能用自己的邏輯證明命題
能抓到證明的核心 完全理解 我現在其實已經邏輯上了
解它在講什麼了耶
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（三）AH_CHPL 學生：S1
S1 在自評自己整體的理解狀態時，認為 Cor 的命題很顯然，但當 S1 跟研究 者解釋Cor 的內容，解釋到一半，研究者聽不太懂，向 S1 發問，S1 重看 Cor 的 命題以後卻說有點困惑了，不知道Cor 想要我們證明什麼。
R 所以妳現在在看證明嗎？還是在看這個？
S1 就剛看完證明，因為它這個有用到這個。就再看一次這個證明，
是...，恩，Ae，A 乘以 ej 等於 T(ej) (喃喃自語) R 妳讀了差不多了嗎？
S1 我只能用前...
R 哈?妳可以說沒關係，妳有什麼想法？
S1 我就是好像那時候我讀這個的時候，我就把它感覺它有點像是...
R 有點像是什麼？
S1 像是 trivial 的感覺。
R trivial！怎麼說怎麼說？分享看看。
S1 因為那時候定理 2.7 有講到，我們假設 B 是這樣子的 basis，所以，
然後他就會讓它，把這個basis 放到這個線性變換裡面呢，一樣也會是線 性，也會形成一個線性變換，然後這個就是它的 vector 這樣，所以就感 覺，再把它放到一個新的A 矩陣，然後長這樣。
R 妳的意思是說：它其實也是把很多向量放到...是指這個嗎？我有一 點不懂妳剛剛說的意思，可以再說明一下嗎？
S1 Ax...(沉默)，T...。
R 妳現在是在看哪裡？看到哪裡？
S1 現在喔？
R 妳現在在看哪一塊，因為妳沒有指著哪裡，我就不太確定妳在看哪 裡。
S1 因為我現在是有點困惑，這個。
R 困惑？妳困惑了什麼？可以告訴我嗎？
S1 就是有點不太懂它，它想要我們證明什麼？
R 有點不太懂要證什麼，好，所以妳現在在確認？
S1 因為它上面就給了一個矩陣 A，然後它是，它的行是從 T 的變 T(ej)
138
形成，所以T(x)會等於 Ax，對所有 k 屬於 Rn，x...A...(喃喃自語)
（引自S1 訪談 S1-05）
研究者詢問S1 在確認什麼，S1 開始自言自語想一些東西，研究者請 S1 將 思考的東西寫下來，於是，S1 開始在白紙上寫上一些式子的運算過程，檢驗他 的想法。過了一陣子以後，S1 說他還是不知道該怎麼辦，他有點不懂 Cor 在講 什麼。
R 我可以問一下妳剛剛有稍微比了一下，妳是比了什麼東西？妳可以 把它寫下來嗎？
S1 (沉默思考)因為雖然這個 x 和這個 x 應該是代表同一個東西。
R 妳覺得它們是一樣的？
S1 對，所以這個 A 和 T 應該，就是把 T 用 A 表示。
R 所以妳目前在思考這個？
S1 恩，然後...
R 所以妳剛剛在畫東西，是畫一個A 是不是？
S1 恩，A...然後 A 是長這樣，x...等於...(在白紙寫上式子) R 如果不夠寫的話，這邊還有。
S1 好，T...A inverse B 18:29...恩，感覺就是把它展開。
R 妳感覺怎麼樣？
S1 就先把 x 寫成寫成一個向量，一個行向量。
R x 是這個粗體的 x？
S1 對，把它寫成行向量，然後就把它乘開來，這邊就是 Ax，然後前面 如果T(x)的話，那就應該 T 到 T(x)...，所以定理是說這個等於這個。
R 妳說定理是講T，然後把 x1 到 xn 會等於後面 T(e1x1)到 T(enxn)，
是不是這樣？
S1 對。
R 就是妳覺得它在講這兩個東西是一樣的。
S1 恩。然後因為 A 又是這個，A...T...(沉默) R 妳現在在想什麼？
S1 我也不知道我該怎麼辦耶，我現在有點不懂它在講什麼。
R 有點不懂它在講什麼？妳是說證明有點不知道它在講什麼？還是整 個都不知道它在講什麼？
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S1 恩，應該是說，我知道這 T 的線性變換可以用 x 來表示，來呈現出 來，可是現在，有點。
R 哪邊不太懂啊？
S1 (沉默)
（引自S1 訪談 S1-06）
研究者認為在訪談的過程中，S1 有懂到不懂→自我解釋→動筆在紙上澄清 證明內容→到後來還是覺得不懂的狀態改變，研究者認為S1 其實沒有理解這個 證明，為什麼自我評估與外在評估會有差異，S1 的理解狀態這麼容易被改變，
研究者認為在訪談的過程中，S1 有懂到不懂→自我解釋→動筆在紙上澄清 證明內容→到後來還是覺得不懂的狀態改變，研究者認為S1 其實沒有理解這個 證明，為什麼自我評估與外在評估會有差異，S1 的理解狀態這麼容易被改變，