理解狀態改變的來源與閱讀策略的關連

（一）AH_CHPH 學生：S5

1. 閱讀狀況描述

S5 一開始先看定理的敘述，大概理解敘述之後，再繼續看底下的證明。在 讀證明時，會先瞭解證明的目標，要做哪些事，然後有時候看到後來會忘記要證 明的東西，就會再回去看到底要證什麼。像證明裡面有談到定理 2.7，就會先回 去看定理 2.7 的敘述，看完敘述以後，再把現在 Cor 有的東西，代進去定理 2.7 的敘述裡面，看會得到什麼結論。S5 在閱讀的過程中，一開始只看到 T(v)可以 寫成T(b1)到 T(bn)的線性組合，然後證到後來，覺得得到一個奇怪的結論，再回 頭看是不是有漏看什麼，才發現漏看了「唯一」這件事。S5 認為證明的第三段寫 得很醜，沒再特別強調為什麼，就說T(x)=TA(x)，所以在看這部分時有一點點困 難。S5 在讀證明時，會把證明分段，有用到以前的定理會去想，一開始看到 n 和 m 分不太清楚時，會先在旁邊把圖畫下來。平時如果遇到比較難理解的也會先把 它畫下來，以備不時之需。不過S5 認為這個圖在後來的幫助好像也不大。

除了分段、畫圖以外，S5 在讀證明時，會邊紀錄做了哪些事，最後有哪些結 論得證。例如：Cor 的證明是先說 ( )T_A

x 

A

x 再說

T_A( )

x 

T( )

x ，所以由這兩個得

證 ( )T

x 

A

x。平常 S5 在讀證明時，就會用自己的想法再寫一次，一定會記錄現

在得到1、得到 2 這樣。然後都會稍微寫一下目前做到哪裡，有哪些事情得證，

這樣會比較清楚推論的過程如何，為什麼可以馬上知道他是對的，或是可以繼續 往下推。

一開始找不到equation2 時，S5 選擇先放著，用波浪標註，如果證明看不懂，

再回來看。後來是因為要翻課本查定理2.7，就順便找一下，S5 擔心可能 equation2 沒有被印在白紙上。結果 S5 在定理 2.7 發現有用到 equation1，但他也找不到 equation1 在哪裡，後來翻回 Cor 的那一頁，意外發現 equation2，有可能是因為 課本的equation2 是藍色的字，比較明顯所以有看到。但是雖然找到了 equation2，

S5 認為對於理解整個證明的幫助也不大。在不懂 ( )T

x 

A

x 這個等式時，S5 會嘗

試把用到的定理2.7 的敘述寫下來，反覆操作、慢慢釐清，直到懂了為止。

152

S5 認為若有同學讀不懂可能有一些問題點要釐清，例如：第二段的 Aej=Tej，

應該會有同學不清楚 ej 這個符號是什麼意思，還有 Aej 的矩陣乘法可能會不知 道怎麼乘，如果他可以舉一個例子去說明為何A

e

_j



T( )

e ，表示他真的理解了。

_j 2. 理解狀態改變的來源與閱讀策略

從研究結果第一節S5 的理解與不理解之處可知，S5 只有在 ( )T_A

x 

A

x 發生

了理解狀態改變，而這個改變的來源是外在的介入，請見表表4 - 9。當研究者詢 問S5 那個T 是突然冒出來的東西嗎？S5 才重新思考，利用「多讀幾次」的策略_A 理解它。

表4 - 9

學生

S5 理解狀態改變的來源

來源

理解狀態改變 自我 外在

理解至不理解

不理解至理解 T_A( )

x 

A

x

（二）AH_CHPH 學生：S6

1. 閱讀狀況描述

S6 在閱讀證明題時，是重頭開始閱讀，但沒有看標題。在兩次的放聲思考 練習中，第一次沒看標題、第二次有看，S6 認為，如果他看完敘述，就知道在講 什麼，就不會很注重標題，除非是有名字的定理才會去記，例如：費馬小定理。

或者如果有時候，遇到敘述很冗長的，就會看一下標題，知道它在講什麼。而S6 在閱讀的過程中，會選擇性的跳著看，例如：從let T:Rn→Rm 開始讀，這句只是 看過去、念過去而已；which we denote 這句會覺得不重要，就只會注意到 denote。

S6 說通常他看過去時，只會看到自己比較熟的字，或者從動詞著手。這種閱讀 方式有缺點，就像在做放聲思考練習時，有一個單字 distinct 沒注意到。因為是 跳著看，只看到重要的數學代號，有些字沒看到，就變成看到後面有問題，再回 來檢視自己是不是條件沒看到。

S6 認為在讀這個證明題時，會建議同學自己把英文轉成數學，這樣複習也

153

比較容易，例如： ( )T

x 

A

x, x  

ⁿ，如果x 屬於 Rn 漏寫，那就是他的問題，

沒有說x 是什麼，那是不是可以任意擺，也可以放敘述，這些都是自己必須思考 過的地方。除了能把證明的語句轉換成自己理解的數學式以外，也要知道數學式 是由什麼東西推論來的。萬一已經把英文轉換成數學式了還不懂，那可能是邏輯 上的問題，如果還讀不懂，可能就是基礎上的問題，例如：以這個證明為例，線 性變換最大的優點就是把一個複雜的東西拆開變簡單。

2. 理解狀態改變的來源與閱讀策略

從研究結果第一節S6 的理解與不理解之處可知，S6 在 linear transformation、

j ( )j

A

e 

T

e 發生了理解狀態改變，改變來源請見表

4 - 10。當 S6 不確定 linear transformation 的定義時，他選擇使用「查看課本」的策略去理解它，不過因為 S6 平常沒有閱讀課本的習慣，所以後來他還是沒找到，但研究者請他說出 linear transformation 的定義時，S6 有正確說明。

在研究者詢問 S6 證明內容裡的A

e

_j



T( )

e 為什麼會對時，一開始

_j S6 誤把 定理的結論 ( )T

x 

A

x 拿來用，後來使用了「多讀幾次」的策略以後便理解它。

表4 - 10

學生

S6 理解狀態改變的來源

來源

理解狀態改變 自我 外在

理解至不理解

不理解至理解 linear transformation

j ( )j

A

e 

T

e

（三）AH_CHPL 學生：S1

1. 閱讀狀況描述

S1 在閱讀證明題的過程中，最常出現的是「多讀幾次」、「檢視相關定理」的 策略。如果讀不懂的時候，會看例子，如果沒有例子可以看，就先記下定理的結 論。在看定理 2.7 時，S1 是反覆地確認 Cor 和定理 2.7 的共通性，哪裡有連貫 或相似處。這個策略和S5 不太一樣，S1 只是看哪裡相似，但 S5 會去找 Cor 的

154

條件，看能不能代進定理2.7 裡面。S1 會建議同學，若讀不懂，可以先去看跟這 題有關的定理、理論、定義去做連結。

2. 理解狀態改變的來源與閱讀策略

從研究結果第一節 S1 的理解與不理解之處可知，S1 在證明的第三段、

j ( )j

A

e 

T

e 發生了理解狀態改變，改變來源請見表

4 - 11。研究者請 S1 解釋證 明的第三段時，S1 使用了「動筆寫」和「多讀幾次」的策略來理解。

研究者請S1 舉例說明為何A

e

_j



T( )

e 時，S1 寫出一個奇怪的算式。當研究

_j 者對S1 使用「外在澄清」的策略時，他才正確舉例。

表4 - 11

學生

S1 理解狀態改變的來源

來源

理解狀態改變 自我 外在

理解至不理解

不理解至理解 證明的第三段 A

e

_j



T( )

e

_j

（四）AH_CLPL 學生：S3

1. 閱讀狀況描述

S3 是訪談對象裡，唯一一個遇到看不懂的單字會直接用手機查的學生。他 本來不是很懂 Cor 裡面的 T(e1)是什麼東西，後來跟定理 2.7 對照後才理解，認 為T(e1)上下方的一槓是省略的記號。S3 平常讀書不一定會仔細理解每個定理的 證明步驟，但如果遇到那種看完命題敘述，不知道怎麼下手的證明，就會特別去 把它記下來、或是特別寫寫看。在A

e

_j



T( )

e 這個等式中，原本

_j S3 第一眼看不 出來為何是對的，當他在腦海中把矩陣乘法思考過以後，就理解了。

2. 理解狀態改變的來源與閱讀策略

從研究結果第一節S3 的理解與不理解之處可知，S3 在A

e

_j



T( )

e 、

_j : ^{n m}

T



發生了理解狀態改變，改變來源請見表4 - 12。S3 提到他在閱讀

155

時，曾經對A

e

_j



T( )

e 感到疑惑，但後來使用了「檢視命題資訊」的策略以後

_j 就理解了。

S3 在訪談過程中，能說出 :T ⁿ



^m是n 維送到 m 維，但當研究者使用

「外在澄清」的策略請他舉例時，發現他不理解n 維送到 m 維的含意。

表4 - 12

學生

S3 理解狀態改變的來源

來源

理解狀態改變 自我 外在

理解至不理解 T: ⁿ



^m

不理解至理解 A

e

_j



T( )

e

_j

（五）AL_CHPL 學生：S4

1. 閱讀狀況描述

S4 在證明題裡面遇到不懂的單字時，會去跟自身經驗連結，判斷單字的意 思。但因為他都把英文看錯，所以即使有嘗試著分辨單字的意思，還是無法正確 理解。S4 談到他自己有很多本來以為懂，然後又不懂的地方。但在研究者細問 之後發現，S4 所謂的本來懂，然後不懂的意思是說本來以為他好像看得懂整個 證明題包含命題敘述，也覺得T(x)=Ax 是很理所當然的，但是在閱讀證明的過程 中，遇到不知道從哪裡冒出來的TA(x)，導致看不懂 T(x)=Ax 是怎麼證出來的，

所以就覺得不懂，而他也沒有策略來幫助自己弄懂。S4 覺得自己沒有從「不理 解到理解」的過程，不過他其實在閱讀證明題時，本來第一次看不懂，等到讀完 證明後再看一次，就知道要證明什麼了。

S4 認為當同學若讀不懂，建議他先把前面的東西看過，例如：Cor 的證明有 提到定理2.7 還有例題 2，如果把這兩個看懂了，說不定就會懂了。事實上 S4 自 己也有這樣做，但他就因為單字看錯，所以即使他有去看檢視相關定理，還是無 法理解。

156

2. 理解狀態改變的來源與閱讀策略

因為S4 英文能力的關係，導致他在閱讀過程中沒有發生理解狀態改變。

表4 - 13

學生

S4 理解狀態改變的來源

來源

理解狀態改變 自我 外在

理解至不理解 無 無

不理解至理解 無 無

（六）AL_CLPH 學生：S2

1. 閱讀狀況描述

S2 在閱讀證明題的第二段時，對於突然出現的 TA 這個符號不是很理解，後 來經由多讀幾次以後，便猜測它是先設一個變換 TA，然後再證明這個變換就是 T(x)，雖然 S2 不清楚自己理解的是否正確，但從研究者的角度來說，S2 理解了 TA 出現的意義。

2. 理解狀態改變的來源與閱讀策略

從研究結果第一節S2 的理解與不理解之處可知，S2 只有在符號 x 發生了 理解狀態改變，改變來源請見表4 - 14。S2 提到他自己對符號 x 的表徵有障 礙，不過在訪談過程中，S2 使用了「檢視命題資訊」的策略，思考矩陣相乘的 運算規則，成功理解符號

x。

表4 - 14

學生

S2 理解狀態改變的來源

來源

理解狀態改變 自我 外在

理解至不理解

不理解至理解 符號

x

157

（七）比較

從上面的結果可知，除了S4 以外，其它學生在閱讀過程中都有發生理解狀 態改變。研究者將五位學生理解狀態改變的來源與閱讀策略的使用整理成表格，

如表4 - 15～表 4 - 19 所示。接著，再利用表 4 - 15～表 4 - 19 統整出不同先備知 識學生理解狀態改變的來源與閱讀策略的使用，如表4 - 20。

表4 - 15

學生

S5 理解狀態改變的來源與閱讀策略的使用

來源

理解狀態改變 自我 外在

理解至不理解

不理解至理解 多讀幾次

表4 - 16

學生

S6 理解狀態改變的來源與閱讀策略的使用

來源

理解狀態改變 自我 外在

理解至不理解

不理解至理解 查看課本

多讀幾次 表4 - 17

學生

S1 理解狀態改變的來源與閱讀策略的使用

來源

理解狀態改變 自我 外在

理解至不理解

不理解至理解 動筆寫

多讀幾次 外在澄清

158

表4 - 18

學生

S3 理解狀態改變的來源與閱讀策略的使用

來源

理解狀態改變 自我 外在

理解至不理解 外在澄清

不理解至理解 檢視命題資訊

表4 - 19

學生

S2 理解狀態改變的來源與閱讀策略的使用

來源

理解狀態改變 自我 外在

理解至不理解

不理解至理解 檢視命題資訊

表4 - 20

不同先備知識學生理解狀態改變的來源與閱讀策略的使用

不同先備知識學生理解狀態改變的來源與閱讀策略的使用

在文檔中 大學生閱讀線性變換標準矩陣表示法證明題之研究 (頁 160-170)