研究工具

本研究在發展研究工具前曾經先以開放式的問題詢問大二已學過線性代數 課程的學生，在學習線性代數的過程中，有沒有遇到什麼困難做為參考。在 27 位學生中，有13 位學生表示因為第一次看原文課本不習慣，英文能力不足，導 致需要花很多時間查字典，有時候翻譯的過程可能會誤解意思，不過也有學生雖 然英文不好，但是因為有看過原文書的經驗，可以靠上下文去推斷一些專有名詞 的。而在英文閱讀沒問題的學生中，也提到：

「我覺得線代和過去國高中的數學系統不一樣，像是證明題，就不知道如何 下手，而且有很多很直觀的證明，根本不知道如何起筆。況且有很多新的概念，

感到陌生、且不熟練，跟上大學之前所學的數學有很大的差異，起初真的很不適 應。還有一點，對於定義、定理與證明結果的運用，不太熟悉，也是導致證明題 寫不太出來的原因。」

「證明證明~~~~讓人容易迷失」

為了排除學生因為英文閱讀的問題，導致學習成效不佳的狀況，研究者設計 了先備知識測驗卷，確認學生具備了哪些閱讀該證明題的先備知識。在證明題文 本的選擇上，參考文獻與專家的意見作挑選，最後則是自我評估的訪談問題與評 估證明理解的訪談問題。

23

一、證明題文本

（一）文本取材

在影響學生數學閱讀理解的環境因素裡，數學文本設計會影響學生的閱讀理 解成效（秦麗花，2007），但因數學文本是學校數學教育中的唯一資源（Cloer，

1981），且學生對文本內容沒有選擇權（秦麗花，2006）。因此，研究者從研究對 象修習線性代數課程所使用的教科書中，挑選了 Hillel（2000）研究中提到學生 入門線性代數課程時，感到困難的線性變換矩陣表示法，作為研究對象閱讀的證 明題文本，此文本也是校內專家認為具有代表性的證明題，可參閱附錄一。

（二）文本分析

數學證明過程中的論點，有些是具有前後邏輯次序的，也就是之前的結論可 能是接下來的前提；有些是沒有邏輯次序的平行關係，也就是各有不同的子前提 或子結論（楊凱琳，2004）。瞭解這些論點的邏輯關係有助於設計先備知識測驗 卷與分析學生的理解狀態。因此，研究者將文本分為兩大部分，第一部分是命題 內容，第二部分是證明內容。第一部分的命題內容分為四個段落，簡記為 C1～

C4，可見表 3 - 3；第二部分的證明內容分為七個段落，簡記為 R1～R7，可見表 3 - 5。

在表3 - 3 中，C1 是文本的標題，C2 和 C3 是命題給的前提，在這兩個前提下，

會有C4 的結論，可參閱 表3 - 4 的整理。

在表3 - 5 中，R1 是先前已學過的內容、R2 是命題內容中的假設，以這兩個條 件為前提，則可推得R3 這個結論，可參閱

表3 - 6 的整理。

24

表3 - 3

證明題的命題內容與簡記

命題內容 簡

記 COROLLARY Standard Matrix Representation of a Linear Transformation . C1 Let T: ⁿ



^m be a linear transformation, ……… C2

and let A be the m × n matrix whose jth column vector is ( )T e_j , which we denote symbolically as

1 2

| | |

( ) ( ) ( )

| | |

A T T T n

 

 

  

 

 

e e e

. (2) …... C3

Then ( )T

x 

A

x for each column vector

x ⁿ. ……… C4

表3 - 4

證明題的命題內容分析

內容 分析

C1 標題。

C2 C2, C3 → C4

以C2 和 C3 為前提，推得結論 C4。

C3 C4

25

表3 - 5

證明題的證明內容與簡記

證明內容 簡

記 Recall that for any matrix A, Ae_j is jth column of A. ………... R1

This shows at once that if A is the matrix described in Eq. (2), ………... R2 then A

e

_j



T( )

e

_j , ………... R3

and so T and the linear transformation T given by _A T_A( )

x 

A

x

agree on the standard basis {

e ,

₁

e , … ,

₂

e } of

_n ⁿ. ………... R4

By Theorem 2.7, and the comment following this theorem, ………... R5 we know that then ( )T

x 

T_A( )

x for every

x ⁿ ………. R6

—that is, ( )T

x 

A

x for every

x ⁿ. ……… R7

表3 - 6

證明題的命題內容分析

內容 分析

R1 R1, R2 → R3

由先前已知結論 R1 和已知條件 R2 為前提，推得結論 R3。但未表明 R1 是前提。

R2 R3

R4 R3 → R4

再以R3 為前提，推得結論 R4。但未表明 R3 是前提。

R5 R5 → R6

再以先前已知結論R5 為前提，推得結論 R6。

R6

R7 R4, R6 → R7

再以R4 和 R6 為前提，推得結論 R7。但未表明 R4 和 R6 是前提。

26

專有名詞 linear transformation 符號 T: ⁿ



^m

Theorem 2.7（見附錄五）

27

二、先備知識測驗卷

秦麗花（2007）指出影響學生數學閱讀理解的個人因素包含數學閱讀特殊技 能，例如：數學先備知識與數學詞彙理解。學習者在新的學習情境前，本身已經 具備之舊有的認知與技能，稱為先備知識（prior knowledge）。McKenna 與 Robinson

（2014）認為文本的讀與寫是一種溝通的歷程。在此溝通的歷程中，文本撰寫者 要以有限的文字進行編碼，藉以傳達所要溝通的概念，而閱讀者則以其先備知識 來解讀文本的內涵，進而重整文本意義。張景媛（2011）指出學習數學的心理歷 程，都是以先備知識為基礎，具有豐富學科背景知識的學習者，較容易以精緻化 的策略來提升閱讀成效，尤其數學涉及很多內在與外在連結的問題。Kavale（1982）

說明影響閱讀理解的因素有三，分別是文章的適合性、文章結構和內容的背景知 識、理解策略的使用。由此可見，文本閱讀理解的能力，會受到學生先備知識的 影響。

因此，本研究參考了美國教育進展評量（National Assessment of Educational Progress，簡稱 NAEP）的方式，設計先備知識測驗卷，其中較為不同的是，NAEP 將數學能力分為概念性理解（Conceptual Understanding）、程序性知識（Procedural Knowledge）和問題解決（Problem Solving）三個層次，而本研究聚焦於瞭解學生 閱讀證明題文本先備知識的多寡，因此，將測驗題目分為概念性知識與程序性知 識，不含問題解決能力，測驗卷內容可參閱附錄二。

（一）設計流程

研究者先分析文本內容，從文本中擷取出學生需具備之概念性知識與程序性 知識，題目完成以後與指導教授討論，再請校內教授線性代數課程的教師協助檢 驗內容效度，提高測驗題目的合宜性與用字遣詞的流暢性。設計完成後，研究者 找了8 位已學過線性變換標準矩陣表示法證明題的研究生進行試測，在同儕的協 助下分析題目的合宜性，進一步修正完成線性變換標準矩陣表示法證明題之先備 知識測驗卷。設計完成以後，研究者將測驗卷發給103 學年度修習線性代數課程 的學生試測，接著以SPSS 22 進行內部一致性 Cronbach 的 α 係數考驗，信度分 析結果為0.692。最後，將測驗卷發給 104 學年度修習線性代數課程的學生進行 正式施測。

28

（二）測驗目標

本試題欲瞭解學生是否具備閱讀「Standard Matrix Representation of a Linear Transformation」此證明的基本能力。

（三）設計架構

本研究將證明題文本中可能會影響閱讀表現的符號擷取出來，依照測驗目標 將測驗內容分為線性變換、矩陣、向量三種，知識向度分為概念性知識和程序性 知識，如表3 - 8。

表3 - 8

先備知識測驗卷題目設計架構 測驗內容

知識向度 線性變換 矩陣 向量

概念性知識 能 辨 識 函 數 符 號 的意義。

能 辨 識 矩 陣 符 號 的意義。

能 辨 識 向 量 符 號 的意義。

程序性知識 能 正 確 使 用 函 數 的運算規則。

能 正 確 使 用 矩 陣 的運算規則。

能 正 確 使 用 向 量 的運算規則。

29

（四）試題設計說明

1. 編製過程

先前在開放式問題中，多數學生都提到在英文閱讀會有困難，因此，研究者 在設計試題時，除了考量試題中需有閱讀證明題的概念性知識以外，試題也以中 文敘述呈現。在概念性知識的部分，研究者將文本內容所需具備的概念性知識分 為三塊，分別是線性變換、矩陣、向量。以試題1 為例：

1. 下列哪些選項可以表示T: ²



³？ (A) T x x([ , ]) [_{1 2}



x₁



x₂, ]x₁

(B) T x x([ , ]) [_{1 2}



x₁



x₂, , x x_{1 1}



x₂] (C) T x x([ , ]) [ , , ]_{1 2}



x x_{1 2} x₃

(D) T x x([ , ]) [_{1 2}



x₁



x₂, , ]x₂ x₃

在研究者的學習經驗中，每次看到T: ²



³都不覺得這句話有什麼重要，

但其實在這句話裡面， 上面的2 和 3，告訴我們此函數空間，是將 2 維空間裡 面的元素轉換到3 維空間。這種 n 維轉換到 m 維的概念是學習者需具備的，也 是多數證明題的一開始，題幹敘述會率先說明的。因此，研究者將此題放置在第 1 題，測驗學生是否具備能瞭解 T 函數是把二維的向量送到三維，而不是把二送 到二、三送到二，或三送到三的能力。其它設計理念請見附錄三專家修改建議與 修改內容。

不過，在第一版的試題中，研究者發現有些試題，要用中文敘述呈現有困難，

於是便將部分試題改為英文敘述。以試題2 為例：

30

31

2. 內容效度

經由與指導教授、同儕討論後，測驗題已大致確定，接著便是要請校內教授 線性代數課程的專家教師檢驗其內容效度。先備知識測驗卷中的各題目對應至

「測驗內容」與「知識向度」之雙向細目表，如表3 - 9 所示。

表3 - 9

先備知識測驗卷之雙向細目表 測驗內容

知識向度 線性變換 矩陣 向量

概念性知識 1. 2. 3.

程序性知識 4. 6. 7. 8(2). 5. 8(1).

以下以試題1 作為範例，說明試題在修改前的具體目標，專家有哪些修改建 議，以及研究者參考專家修改建議後，對試題作了什麼樣的修正。其餘測驗題目 的專家修改建議與修改內容請見附錄三。另外，研究者參考專家建議將試題修正 後，也一併將原本的雙向細目表修正，放置於附錄四，供未來的研究者參考用。

32

33 linear 概念的試題，linear 的概念在閱讀證明題時，也是重要的一環，因此研究 者參考了P1 的建議，增列了此題目於先備知識測驗卷中。

34

在其它建議的部分，P2 再次強調 e 應為粗體且非斜體、 ( )T x 與 x 在

corollary 中是 column vector，建議寫成 1 2 3

   

   

 

，而非[1, 2, 3]，避免混淆。P1 則是

無其它建議。

在參考專家的建議修正後，研究者再次與指導教授討論試題，此次修正因 考量到之後讓學生閱讀的是全英文敘述的證明題，且學生已經是大一下，應具 備閱讀英文試題的能力，因此，將整份試卷修改為全英文敘述。修正完以後，

首先，先請八位已學過線性變換標準矩陣表示法證明題的研究生進行試測，主 要是看英文敘述有沒有需要修正的地方，是不是能正確判讀。試測完沒問題以 後，便進行大樣本的試測，研究者找了97 位在 103 學年度修習線性代數課程的 學生試測，測驗日期為民國104 年 3 月 12 日。

將樣本回收後，研究者先進行批改，接著以SPSS 22 進行資料分析，是否 具有內部一致性。在使用Cronbach 的 α 係數考驗後，信度分析結果為 0.692，

顯示此份試卷很可信，可以採用。另外，研究者批改試卷的過程中，發現很多

顯示此份試卷很可信，可以採用。另外，研究者批改試卷的過程中，發現很多

在文檔中 大學生閱讀線性變換標準矩陣表示法證明題之研究 (頁 31-54)