第壹章 緒論
線性代數是大學理工科中一門重要且基礎的課程，它是高中課程的延續，在 理論與計算方面，被廣泛地應用在自然科學、工程、計算機科學和社會科學中。
在線性代數裡，我們經常需討論很多不同的抽象函數空間，如果能將這些函數轉 換成我們熟悉的矩陣，我們將可以更容易的瞭解。本章共分為三節，第一節描述 研究者的研究動機，第二節提出研究目的與研究問題，第三節為名詞界定，針對 本研究中的相關名詞加以說明。
第一節 研究動機
聯合國教科文組織出版的《學會生存—教育世界的今天和明天》（Learning to Be: The World of Education Today and Tomorrow）書中指出「未來的文盲，不再是 不識字的人，而是沒有學會怎樣學習的人。」西元2000 年，全球超過 40 個國家 開始推動「國際學生能力評量計劃」（The Programme for International Student Assessment，簡稱 PISA），藉此評鑑學校培育學生面對未來挑戰的效能，研究結 果發現，閱讀讀寫能力程度高低，可以明顯預測其未來發展，顯示閱讀能力的提 升對國家競爭力有極大的影響（Yu、Wu、吳育雅與于曉平，2013）。經濟合作與 發展組織（Organization for Economic Cooperation and Development，簡稱 OECD）
指出，國民閱讀水準高低深刻影響國家經濟表現和社會發展，閱讀能力愈高的國 家，國民所得越高，其國家競爭力也愈高（Tuijnman，2000）。可見閱讀不僅能開 拓心靈視野，更能厚植國家的知識力量與競爭基礎（林巧敏，2009）。
高等教育要使學生知道自學的重要性、激發他們的自學意識、養成良好的自 學習慣（王俊紅，2004）。培養自學能力的其中一個方法是透過閱讀，在高等數 學課程中，學生需要花大量的時間閱讀證明。他們讀他們數學課本和他們教授講 義裡的證明，他們讀和聽他們教授呈現在課堂上的證明。學生若可以閱讀（read）
和研究（study）這些證明，將有助於他們瞭解證明，並從中學習（Mejia-Ramos、
Fuller、Weber、Rhoads 與 Samkoff，2011）。
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在證明相關的文獻中，有四個概念分別是證明理解（proof comprehension）、 證明建構（proof construction）、證明判讀（proof validation）和證明評估（proof evaluation）。Annie Selden John Selden（2015）指出，在閱讀證明的過程中，這四 個概念是交互影響的。證明理解指的是瞭解教科書或講義裡的證明；證明建構是 在大學數學系學生的層級下，建構一個正確的證明；證明判讀是讀出、反思和企 圖去確定證明的正確性；證明評估包括看證明是否清晰、上下文的連結如何、說 服力強不強、美不美麗、優不優雅和有沒有深度。在Inglis 與 Alcock（2012）的 研究也指出數學家和大學生閱讀數學證明的方法有所不同，簡單來說，數學家會 去尋找邏輯結構和確保隱含內容的正確性，大學生會去檢查證明的表面特徵。
在大多數國家，科學為導向的課程中，前兩年的大學課程包含兩個主要科目，
即微積分與線性代數（Dorier，2003）。線性代數是第一個學生碰到具有高度概念 的數學課程（Uhlig，2002）。線性代數在大學階段上的教學，幾乎普遍地被教師 和學生認為是一個令人挫折的經驗（Hillel，2000）。而研究者本身也曾受線性代 數所苦，修了四次才過。學生會覺得他們好像來到了另一個星球，被新定義的數 量以及缺乏先備知識的連結擊垮（Dorier，2003），而且掌握線性代數的概念，需 要抽象的高水平（Thomas，2012）。特別的是，研究者在擔任某班微積分助教時 期，該班同學在微積分的課程上有25 人通過，但在線性代數上卻只有 8 人，其 餘都被當掉。由此可見，無論線性代數是如何教的，它仍然是一個在認知和概念 上很困難的科目（Dorier、Sierpinska，2002）。
Hillel（2000）將線性代數課程分為三大模式，分別是抽象模式、代數模式和 幾何模式。抽象模式是使用一般正規化理論的語言和概念，包括：vector spaces、
subspaces、linear span、dimension、operators、kernels；代數模式是使用 Rn空間 更具體理論的語言和概念，包括：n-tuples、matrices、rank、solutions of systems of equations、row space；幾何模式是使用 2 維和 3 維空間的語言和概念，包括 directed line segments、points、lines、planes、geometric transformations。以變換
（Transformations）為例，在抽象模式中，線性變換指的是向量空間之間保持加 法和係數乘法的映射（mappings）；在代數模式中，變換指的是 m×n 的矩陣；在 幾何模式中，變換指的是簡單的幾何描述，像是旋轉（rotations）、投影（projections）、 鏡射（reflections）、推移（shears）。在課程內容中，這三種模式並不一定互相獨 立，一個概念也可以包含兩種模式，例如： OP 用坐標表示就是代數模式，如果 看成從原點O 出發連接到 P 點的有向線段就是幾何模式。
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Hillel（2000）在研究中指出，無論是在相同的模式下或不同模式間，瞭解向 量和變換如何不同被表示的能力是至關重要的。由於表示法在不同基底的選擇或 不同坐標系下通常不唯一，瞭解基底間的關係是學生的一大挑戰，他們需要能夠 找到一個給定基底線性變換的矩陣表示法。因此，代數—抽象模式中的線性變換 矩陣表示法（The basis-dependent representation）是學生在入門線性代數課程困難 的主要原因。在線性變換矩陣表示法學習內容中，包含理論證明的理解，以及純 粹計算的應用。既然學習證明如此重要，而且學習證明其中一個很重要的手段是 透過閱讀，數學系的學生也需要學會利用「閱讀」這項能力去學習證明。因此，
本研究選定學生在入門線性代數課程感到困難的線性變換標準矩陣表示法證明 題給學生閱讀，探討不同先備知識的學生在閱讀此證明時，理解與不理解之處為 何，以及運用哪些閱讀策略來促進自己理解，或解決自己不理解此證明的情形。
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