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大學生閱讀線性變換標準矩陣表示法證明題之研究

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Academic year: 2021

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授:楊凱琳. 博士. 大學生閱讀線性變換標準矩陣表示法證明題之研究. 研 究 生:褚 雪 惠. 撰. 中 華 民 國 一 ○ 六 年 七 月.

(2) 致謝 四年轉瞬即逝,這一路上要感謝的人很多。首先,要感謝的是我的指導教授 楊凱琳老師。謝謝老師給我很大的空間去做很多事,當我需要老師的時候,老師 都在。記得當初第一次進到老師研究室的那天,老師說:「當你畢業以後回想這 兩年,你要留下些什麼?」這句話深深的打動我,當下就決定要跟著老師學習。 但後來,因為自己的外務繁重,要當助教、要當老師,導致一直無法專心在自己 的研究上。謝謝老師在這最後一年的最後幾個月督促我完成論文。 「你要拿東西來給我看,我才要簽口試申請書」 「如果星期一妳的論文還未完成,就要取消口試了」 甚至在最後幾天您很忙碌、很疲倦的時候還要幫我看論文。 為了我,在登機前提供我修改建議; 為了我,即使是開會到晚上十點,回到飯店還是幫我修論文; 為了我,在國外的最後一天超時工作到半夜一點; 為了我,在最後一天早晨去機場前還幫我看論文。 種種許多,是一頁 A4 紙都無法訴說;謝謝老師,還好有您在。 感謝口試委員鄭英豪老師和曹博盛老師在百忙之中願意撥空蒞臨指導,提 出很多具體修改建議,讓我的論文能更加完善。 感謝胡舉卿老師和郭君逸老師幫助我理解論文中最核心的證明題。 謝謝電腦教室 M411,有你超強的冷氣,讓我寫論文不煩躁。 謝謝佑萱在最後一天的凌晨,熬夜幫我做三角校正。 謝謝因口試認識的薇吏,一起撐過這段日子。 謝謝我最棒的好同學們:怡彣、梅芳、桂安、泳欣、金尚、藝芳、國裕、 育瑋、筠茜、怡廷、香鈞、韋霖、良聿、政和、家豪、秉君、昶宏、崇峰、睿 紘、俊廷,一起度過前兩年美好的時光。. i.

(3) 謝謝資優教程的好夥伴:怡彣、韋霖、宗倫、巧璇、偉琳,一起度過了充 實的後兩年。 謝謝我的好室友:孟青、佩珊、楊娃、璧瑜,陪伴在我的生活中。 謝謝附中的老師幫我 cover 工作,讓我不會負荷太重。 謝謝附中 1383、1384、1386、1393、1406、1409、1410、1418 和 1427 的 每一位學生,因為論文,無法用更多的力氣照顧你們。 最後,謝謝我的家人讓我沒有後顧之憂往前邁進,完成學業;尤其是我的 妹妹上儀,在我最崩潰的時光陪在我身邊。. 褚雪惠 謹至於 師大 中華民國 106 年 7 月. ii.

(4) 摘要 本研究旨在探討大學生閱讀線性變換標準矩陣表示法證明題的閱讀行為,包 含外在評估不同先備知識學生對此證明的理解與不理解之處為何?不同先備知 識學生對此證明整體理解狀態,在自我評估與外在評估上有什麼差異?不同先備 知識學生閱讀證明時,理解狀態改變的來源是自我還是外在?並且其和學生運用 了哪些閱讀策略有何關連? 為了回答以上的研究問題,本研究以某國立綜合型大學修習線性代數(二) 課程的學生為對象,施予了關於此證明題的先備知識測驗。施測完以後,從中挑 選出六位研究對象進行半結構式訪談。訪談過程共分為三個階段,第一階段是放 聲思考,讓研究對象閱讀證明題文本。因放聲思考法有其研究限制,學生可能無 法完全將自己的想法透過聲音表達出來,故第一階段完成以後需要有第二階段的 追問;第二階段是具體提問,讓研究對象自己評估自己理解與不理解之處,以及 用什麼策略來促進自己理解、解決自己不理解的部分。但有時候,學生評估自己 理解與真正是否理解是有落差的,因此,需要有第三階段的訪談問題;第三階段 是檢驗閱讀理解,由研究者去評估研究對象的證明理解狀況,檢驗學生是否真正 理解。 最後根據研究結果,本研究提供了學生學習數學證明的四點建議,以及未來 研究的三個方向供研究者參考。. 關鍵詞:證明理解、線性變換、閱讀理解、閱讀策略. iii.

(5) 目錄 致謝.................................................................................................................................i 摘要.............................................................................................................................. iii 目錄...............................................................................................................................iv 表目錄...........................................................................................................................vi 圖目錄........................................................................................................................ viii 第壹章. 緒論............................................................................................................ 1. 第一節. 研究動機 ............................................................................................................... 1. 第二節. 研究目的與研究問題 ........................................................................................... 4. 第三節. 名詞界定 ............................................................................................................... 5. 第貳章. 文獻探討.................................................................................................... 7. 第一節. 大學數學證明的閱讀理解 ................................................................................... 7. 第二節. 學生解讀證明的閱讀特徵 ................................................................................. 10. 第三節. 大學數學證明的相關研究 ................................................................................. 13. 第參章. 研究方法.................................................................................................. 17. 第一節. 研究設計 ............................................................................................................. 17. 第二節. 研究對象 ............................................................................................................. 19. 第三節. 研究工具 ............................................................................................................. 22. 第四節. 資料處理與分析 ................................................................................................. 45. 第肆章. 研究結果.................................................................................................. 59. 第一節. 理解與不理解之處 ............................................................................................. 59. 第二節. 整體理解狀態在自我與外在評估上的差異 ................................................... 131. 第三節. 理解狀態改變的來源與閱讀策略的關連 ....................................................... 151. 第伍章. 討論與建議............................................................................................ 161. 第一節. 結果與討論 ....................................................................................................... 161. 第二節. 建議 ................................................................................................................... 164. 參考文獻.................................................................................................................... 167 附錄一. 證明題文本............................................................................................ 171 iv.

(6) 附錄二. 先備知識測驗卷.................................................................................... 172. 附錄三. 專家修改建議與修改內容.................................................................... 174. 附錄四. 雙向細目表............................................................................................ 184. 附錄五. 證明題文本引用的定理........................................................................ 190. 附錄六. 第一個放聲思考練習文本.................................................................... 191. 附錄七. 第二個放聲思考練習文本.................................................................... 192. v.

(7) 表目錄 表 2 - 1 評估證明理解的模型 ..................................................................................... 9 表 2 - 2 國中生之各組閱讀特徵 ............................................................................... 10 表 2 - 3 高中生之各組閱讀特徵 ............................................................................... 11 表 3 - 1 研究對象描述 ............................................................................................... 19 表 3 - 2 本校等級制定義(12 級)與百分制、績分之換算方式................................ 20 表 3 - 3 證明題的命題內容與簡記 ........................................................................... 24 表 3 - 4 證明題的命題內容分析 ............................................................................... 24 表 3 - 5 證明題的證明內容與簡記 ........................................................................... 25 表 3 - 6 證明題的命題內容分析 ............................................................................... 25 表 3 - 7 證明題文本理解內容 ................................................................................... 26 表 3 - 8 先備知識測驗卷題目設計架構 ................................................................... 28 表 3 - 9 先備知識測驗卷之雙向細目表 ................................................................... 31 表 3 - 10 自我評估的訪談問題 ................................................................................. 37 表 3 - 11 評估證明理解的訪談問題 ......................................................................... 40 表 3 - 12 策略類別與內涵說明表 ............................................................................. 42 表 3 - 13 證明題使用的策略類別與內涵說明表 ..................................................... 43 表 3 - 14 先備知識測驗卷作答情況編碼表 ............................................................. 45 表 3 - 15 半結構式訪談時程 ..................................................................................... 46 表 3 - 16 理解狀態的判準 ......................................................................................... 47 表 3 - 17 自我與外在評估理解狀態的差異 ............................................................. 48 表 3 - 18 自我與外在評估整體理解狀態的判準與編碼表 ..................................... 50 表 3 - 19 理解狀態改變的來源 ................................................................................. 51 表 3 - 20 從不理解至理解使用的策略類別編碼表 ................................................. 52 表 3 - 21 從理解至不理解使用的策略類別編碼表 ................................................. 54 表 3 - 22 不理解時使用的策略類別編碼表 ............................................................. 55 表 3 - 23 促進理解時使用的策略類別編碼表 ......................................................... 56 表 4 - 1 不同先備知識學生理解與不理解之處 ..................................................... 129 表 4 - 2 學生 S5 自我與外在評估整體理解狀態的差異 ....................................... 132 表 4 - 3 學生 S6 自我與外在評估整體理解狀態的差異 ....................................... 136 vi.

(8) 表 4 - 4 學生 S1 自我與外在評估整體理解狀態的差異 ....................................... 139 表 4 - 5 學生 S3 自我與外在評估整體理解狀態的差異 ....................................... 142 表 4 - 6 學生 S4 自我與外在評估整體理解狀態的差異 ....................................... 147 表 4 - 7 學生 S2 自我與外在評估整體理解狀態的差異 ....................................... 149 表 4 - 8 不同先備知識學生自我與外在評估整體理解狀態的差異 ..................... 150 表 4 - 9 學生 S5 理解狀態改變的來源 ................................................................... 152 表 4 - 10 學生 S6 理解狀態改變的來源 ................................................................. 153 表 4 - 11 學生 S1 理解狀態改變的來源 ................................................................. 154 表 4 - 12 學生 S3 理解狀態改變的來源 ................................................................. 155 表 4 - 13 學生 S4 理解狀態改變的來源 ................................................................. 156 表 4 - 14 學生 S2 理解狀態改變的來源 ................................................................. 156 表 4 - 15 學生 S5 理解狀態改變的來源與閱讀策略的使用 ................................. 157 表 4 - 16 學生 S6 理解狀態改變的來源與閱讀策略的使用 ................................. 157 表 4 - 17 學生 S1 理解狀態改變的來源與閱讀策略的使用 ................................. 157 表 4 - 18 學生 S3 理解狀態改變的來源與閱讀策略的使用 ................................. 158 表 4 - 19 學生 S2 理解狀態改變的來源與閱讀策略的使用 ................................. 158 表 4 - 20 不同先備知識學生理解狀態改變的來源與閱讀策略的使用 ............... 158. vii.

(9) 圖目錄 圖 3 - 1 研究設計流程圖 ........................................................................................... 18 圖 3 - 2 研究對象分類 ............................................................................................... 21. viii.

(10) 第壹章. 第壹章. 緒論. 緒論. 線性代數是大學理工科中一門重要且基礎的課程,它是高中課程的延續,在 理論與計算方面,被廣泛地應用在自然科學、工程、計算機科學和社會科學中。 在線性代數裡,我們經常需討論很多不同的抽象函數空間,如果能將這些函數轉 換成我們熟悉的矩陣,我們將可以更容易的瞭解。本章共分為三節,第一節描述 研究者的研究動機,第二節提出研究目的與研究問題,第三節為名詞界定,針對 本研究中的相關名詞加以說明。. 第一節. 研究動機. 聯合國教科文組織出版的《學會生存—教育世界的今天和明天》 (Learning to Be: The World of Education Today and Tomorrow)書中指出「未來的文盲,不再是 不識字的人,而是沒有學會怎樣學習的人。」西元 2000 年,全球超過 40 個國家 開始推動「國際學生能力評量計劃」(The Programme for International Student Assessment,簡稱 PISA) ,藉此評鑑學校培育學生面對未來挑戰的效能,研究結 果發現,閱讀讀寫能力程度高低,可以明顯預測其未來發展,顯示閱讀能力的提 升對國家競爭力有極大的影響(Yu、Wu、吳育雅與于曉平,2013) 。經濟合作與 發展組織(Organization for Economic Cooperation and Development,簡稱 OECD) 指出,國民閱讀水準高低深刻影響國家經濟表現和社會發展,閱讀能力愈高的國 家,國民所得越高,其國家競爭力也愈高(Tuijnman,2000) 。可見閱讀不僅能開 拓心靈視野,更能厚植國家的知識力量與競爭基礎(林巧敏,2009)。 高等教育要使學生知道自學的重要性、激發他們的自學意識、養成良好的自 學習慣(王俊紅,2004)。培養自學能力的其中一個方法是透過閱讀,在高等數 學課程中,學生需要花大量的時間閱讀證明。他們讀他們數學課本和他們教授講 義裡的證明,他們讀和聽他們教授呈現在課堂上的證明。學生若可以閱讀(read) 和研究(study)這些證明,將有助於他們瞭解證明,並從中學習(Mejia-Ramos、 Fuller、Weber、Rhoads 與 Samkoff,2011)。. 1.

(11) 第壹章. 緒論. 在證明相關的文獻中,有四個概念分別是證明理解(proof comprehension) 、 證明建構(proof construction)、證明判讀(proof validation)和證明評估(proof evaluation) 。Annie Selden John Selden(2015)指出,在閱讀證明的過程中,這四 個概念是交互影響的。證明理解指的是瞭解教科書或講義裡的證明;證明建構是 在大學數學系學生的層級下,建構一個正確的證明;證明判讀是讀出、反思和企 圖去確定證明的正確性;證明評估包括看證明是否清晰、上下文的連結如何、說 服力強不強、美不美麗、優不優雅和有沒有深度。在 Inglis 與 Alcock(2012)的 研究也指出數學家和大學生閱讀數學證明的方法有所不同,簡單來說,數學家會 去尋找邏輯結構和確保隱含內容的正確性,大學生會去檢查證明的表面特徵。 在大多數國家,科學為導向的課程中,前兩年的大學課程包含兩個主要科目, 即微積分與線性代數(Dorier,2003) 。線性代數是第一個學生碰到具有高度概念 的數學課程(Uhlig,2002) 。線性代數在大學階段上的教學,幾乎普遍地被教師 和學生認為是一個令人挫折的經驗(Hillel,2000) 。而研究者本身也曾受線性代 數所苦,修了四次才過。學生會覺得他們好像來到了另一個星球,被新定義的數 量以及缺乏先備知識的連結擊垮(Dorier,2003) ,而且掌握線性代數的概念,需 要抽象的高水平(Thomas,2012) 。特別的是,研究者在擔任某班微積分助教時 期,該班同學在微積分的課程上有 25 人通過,但在線性代數上卻只有 8 人,其 餘都被當掉。由此可見,無論線性代數是如何教的,它仍然是一個在認知和概念 上很困難的科目(Dorier、Sierpinska,2002)。 Hillel(2000)將線性代數課程分為三大模式,分別是抽象模式、代數模式和 幾何模式。抽象模式是使用一般正規化理論的語言和概念,包括:vector spaces、 subspaces、linear span、dimension、operators、kernels;代數模式是使用 Rn 空間 更具體理論的語言和概念,包括:n-tuples、matrices、rank、solutions of systems of equations、row space;幾何模式是使用 2 維和 3 維空間的語言和概念,包括 directed line segments、points、lines、planes、geometric transformations。以變換 (Transformations)為例,在抽象模式中,線性變換指的是向量空間之間保持加 法和係數乘法的映射(mappings) ;在代數模式中,變換指的是 m×n 的矩陣;在 幾何模式中,變換指的是簡單的幾何描述,像是旋轉(rotations) 、投影(projections) 、 鏡射(reflections) 、推移(shears) 。在課程內容中,這三種模式並不一定互相獨 立,一個概念也可以包含兩種模式,例如: OP 用坐標表示就是代數模式,如果 看成從原點 O 出發連接到 P 點的有向線段就是幾何模式。. 2.

(12) 第壹章. 緒論. Hillel(2000)在研究中指出,無論是在相同的模式下或不同模式間,瞭解向 量和變換如何不同被表示的能力是至關重要的。由於表示法在不同基底的選擇或 不同坐標系下通常不唯一,瞭解基底間的關係是學生的一大挑戰,他們需要能夠 找到一個給定基底線性變換的矩陣表示法。因此,代數—抽象模式中的線性變換 矩陣表示法(The basis-dependent representation)是學生在入門線性代數課程困難 的主要原因。在線性變換矩陣表示法學習內容中,包含理論證明的理解,以及純 粹計算的應用。既然學習證明如此重要,而且學習證明其中一個很重要的手段是 透過閱讀,數學系的學生也需要學會利用「閱讀」這項能力去學習證明。因此, 本研究選定學生在入門線性代數課程感到困難的線性變換標準矩陣表示法證明 題給學生閱讀,探討不同先備知識的學生在閱讀此證明時,理解與不理解之處為 何,以及運用哪些閱讀策略來促進自己理解,或解決自己不理解此證明的情形。. 3.

(13) 第壹章. 第二節. 緒論. 研究目的與研究問題. 基於上述的研究動機,本研究的研究目的如下: 大學一年級的第一學期學過「線性變換標準矩陣表示法證明題」的學生,在 一年級的第二學期自行閱讀此證明時,不同先備知識學生對此證明的理解與不理 解之處為何,以及運用哪些閱讀策略來促進自己理解或解決自己不理解此證明的 情形。 依據研究目的,本研究將聚焦於下列的研究問題: 一、外在評估不同先備知識學生對此證明的理解與不理解之處為何? 二、不同先備知識學生對此證明整體理解狀態,在自我評估與外在評估上有什麼 差異? 三、不同先備知識學生閱讀證明時,理解狀態改變的來源是自我還是外在?並且 其和學生運用了哪些閱讀策略有何關連?. 4.

(14) 第壹章. 第三節. 緒論. 名詞界定. 一、線性變換標準矩陣表示法證明題 Hillel(2000)指出代數—抽象模式中的線性變換矩陣表示法(The basisdependent representation)是學生在入門線性代數課程困難的主要原因。但 The basis-dependent representation 此名詞,研究者在學習線性代數的過程中從未看過, 經由上下文推敲得知,此名詞即為 Fraleigh 與 Beauregard(2013)教科書中談到 的線性變換矩陣表示法(Matrix Representation of a Linear Transformation)。在此 教科書中,關於線性變換矩陣表示法的證明內容有兩部分,第一部分是證明在 Rn 空間底下成立,第二部分是證明它可以適用於任何有限維向量空間。 本研究選定的是在 Rn 空間底下成立的線性變換矩陣表示法,Fraleigh 與 Beauregard(2013)稱為線性變換標準矩陣表示法(Standard Matrix Representation of a Linear Transformation),定義如下: Let T :. n. . m. be a linear transformation, and let A be the m × n matrix whose jth. column vector is T (e j ) , which we denote symbolically as. |  |  A  T (e1 ) T (e2 )  | | Then T (x)  Ax for each column vector x . |  T (en )  . |  n. (2). .. The matrix A in Eq. (2) is the standard matrix representation of the Linear Transformation T. 為方便描述,本研究有時將「線性變換標準矩陣表示法證明題」簡稱為「證 明題」、「Cor」。. 5.

(15) 第壹章. 緒論. 二、理解狀態 根據教育部(2015)重編國語辭典修訂本,理解一詞有兩義: 1. 了解、明白事理。《宋史.卷四三三.儒林傳三.林光朝傳》:「然未嘗著書, 惟口授學者,使之心通理解。」 2. 能以自己的口語、文字或其他符號,將已知的事實與原理、原則作成解釋,稱 為「理解」。 本研究中所指的理解狀態是指學生對於證明題文本內容「理解」或「不理解」 , 理解面向是參考 Mejia-Ramos 等人(2011)評估證明理解的模型,該模型有七個 面向來評估學生的理解狀態。而理解的內容是指證明題文本內容中的專有名詞、 符號與敘述。評估學生理解和不理解是透過外在評估,外在評估是指研究者針對 各內容訂定能力指標,分析學生在專有名詞、符號與敘述的理解狀態。若能達成 能力指標,則稱學生「理解」該物件;反之,稱為「不理解」。. 三、整體理解狀態 本研究指的是研究對象閱讀完證明題以後,對整個證明題的理解狀態。整體 理解狀態的評估來源有兩種,一種是自我評估,另一種是外在評估。研究者分別 在這兩個評估來源底下,將整體理解狀態分為完全不理解、偏向不理解、理解與 不理解各半、偏向理解、完全理解這五種類別,並針對這十種類別給出操作型定 義。另外,此名詞中的整體與 Mejia-Ramos 等人(2011)評估證明理解模型裡的 整體含意不同。. 四、理解狀態改變 在閱讀文本的過程中,對於某字詞或段落的理解狀態可能會隨時改變,本研 究中的理解狀態改變是指學生閱讀文本時,出現的「從不理解至理解」或者「從 理解至不理解」的過程。. 6.

(16) 第貳章. 第貳章. 文獻探討. 文獻探討. 為了瞭解大學生對於證明的閱讀理解,本章共分為三節,第一節是大學數學 證明的閱讀理解,探討大學數學證明理解的面向有哪些,該怎麼評量學生是否理 解等等;第二節是學生解讀證明的閱讀特徵,由文獻上已談到的閱讀特徵,作為 研究學生的參考。第三節是大學數學證明的相關研究,瞭解既有的相關研究,最 後可以與本研究對照並提出建議。. 第一節. 大學數學證明的閱讀理解. Mejia-Ramos 等人(2011)參考 Yang 與 Lin(2008)的幾何證明閱讀理解模 型,將其修改後提出關於大學數學的證明理解評量模型,此篇文獻以數論為例, 將大學數學的證明理解分為七個面向,分述如下: 第 1 個面向,專有名詞(terms)和敘述(statements)的意義:主要是用來 衡量學生對證明裡關鍵的專有名詞和敘述的理解狀態。 第 2 個面向,敘述(statements)和證明架構(proof framework)的邏輯定位: 這些問題是用來評估學生是否知道證明裡語句間的邏輯關係,知不知道某個句子 的用途,如果少了這個句子會有什麼影響。學生經常沒有考慮他們正在閱讀的證 明的架構,導致學生不確定要證明什麼,無法確認證明是否正確(Weber,2009) 。 第 3 個面向,宣稱(claims)的合理性:通常一個證明要被證出來可能需要 以前學過的數學原理,但是如果每個證明都把所有以前用到過的東西再敘述一次, 證明會非常的冗長,所以多數的證明都只會說,在這裡因為某某定理的關係,所 以我們得知以下的情況。例如:「由畢氏定理可知,……。」如果學生根本不知 道什麼是畢氏定理,那他當然會讀不懂。因此,我們需要去確認學生是否理解這 個證明所需的數學原理。 第 4 個面向,透過高層次的想法摘要:理解是有不同的層次的,一種層次是 知道證明裡的邏輯、知道為什麼是對的。另一種層次是看到證明的大概念,作者 為什麼想這樣證,他想要去做些什麼,他怎麼做。Leron(1983)還說,要檢驗學 生是否理解,就是給他十頁的證明,用一頁來描述。 7.

(17) 第貳章. 文獻探討. 第 5 個面向,辨認模組結構:有些數學家談到,要理解證明需要將證明分成 幾個區塊,而且要瞭解這幾個區塊間的邏輯關係(Mejia-Ramos 等人,2011)。 第 6 個面向,轉移一些基本概念(general ideas)或方法(methods)到其它 上下文(context):瞭解證明的一個重要面向是知道這個證明可以如何應用,或 用來解決其它證明。有時候我們在讀書,可能某個問題一直不太理解,但某天, 你突然發現這個問題的關鍵,就是使用某個證明來解釋,那麼,你對於這個證明 又有更深一層的理解了。 第 7 個面向,舉例說明:有時候,能用例子來說明證明,也是一個不可或缺 的工具。Mejia-Ramos 等人(2011)訪談的數學家提到,我總是用例子來確認定 理是有意義的,證明是有效的。如果學生沒有畫一張圖,就不能理解單調有界數 列收斂的證明。 在這七個面向中,前三個面向是用來評估學生對於證明的局部理解,後四個 面向是用來評估學生對於證明的整體理解。特別的是,Mejia-Ramos 等人(2011) 認為這七個面向都是用來衡量不同的理解面向,他們不把這些不同類型的理解面 向分層次,而是去衡量學生在不同維度上的證明理解。 該模型可以用來檢驗學生證明理解的發展方式,並評估改進方法。使用此模 型也可以讓老師具體的知道學生理解了什麼,以及不瞭解的地方在哪。當老師知 道了學生的問題點,就可以改進他們的課堂,而且老師也可以運用這個模型,讓 學生知道老師希望他們有什麼樣的理解。 評估證明理解的模型可參閱表 2 - 1。. 8.

(18) 第貳章. 文獻探討. 表2-1 評估證明理解的模型 1-t-1 描述證明裡給定專有名詞的定義。 專有名詞和敘 述的意義. 1-t-2 找出例子說明證明裡給定的專有名詞。 1-s-1 用不同但等價的方式去描述一個給定的敘述。 1-s-2 找出一個給定敘述的顯然推論。 1-s-3 找出例子說明一個給定的敘述。. 局部. 理解 敘述和證明架 2-1 找出證明架構內一個句子的用途。 構的邏輯定位 2-2 找出證明架構的種類。 3-1 提出使證明明確的隱含保證。 宣稱的合理性 3-2 找出特定數據支持一個給定的宣稱(claim)。 3-3 找出特定的宣稱去支持給定的敘述。 透過高層次的 4-1 找出或提供這個證明一個好的摘要。 想法摘要. 4-2 找出證明裡一個關鍵子證明的一個好摘要。 5-1 要求學生把證明分割成幾個模組。. 辨認模組結構 5-2 找出證明中一個模組的用途。 5-3 找出證明裡模組間的邏輯關係。 6-1 轉移方法。 (能成功的應用該方法去解決不同的任務). 整體. 理解 轉移一些基本 6-2 找出方法。(能知道原本的證明方法可以在不同的證 概念或方法到 明任務中使用) 其它上下文. 6-3 體會該方法的範圍。(能解釋為何用在某定理證明的 某方法,不能用來證明另一個敘述). 舉例說明. 7-1 用一個具體的例子說明一系列的推論。 7-2 解釋一個敘述或其證明的關係圖。. 9.

(19) 第貳章. 第二節. 文獻探討. 學生解讀證明的閱讀特徵. 閱讀理解的程度和其閱讀過程中所使用的思考、推理和策略息息相關,沒有 思考的閱讀只能建構表層的意義,沒有推理的閱讀會喪失預測資訊的機會,沒有 策略的閱讀造成理解歷程的負擔(楊凱琳、林福來與王繹婷,2006)。 楊凱琳等人(2006)依據學生對幾何證明閱讀推論理解之表現,分析他們解 讀證明的閱讀特徵,該研究發現國中生、高中生的閱讀特徵如下: 表2-2 國中生之各組閱讀特徵 組. 閱讀特徵. 別. 均 1. 每一證明題都先大略看過,從第一題開始寫。 優 2. 會搭配先備知識去思考證明。 3. 證明過程、幾何圓形、性質補充與題目會相互搭配著看。 4. 當看不懂時,會再回憶先備知識思考證明過程﹔若仍舊不會則先做其他 題,之後再思考不會的問題。 5. 認為每一步驟皆是重要的,特別是已知與結論的部份。 6. 會依照證明步驟對幾何圓形做記號。 整 1. 每一證明題都先大略看過,從第一題開始寫。 體 2. 證明過程、幾何圓形、性質補充與題目會相互搭配著看。 尚 3. 當看不懂題目時,會從證明步驟中尋找答案﹔最後,再回來看不會的問 可 題。 4. 容易將顯而易見的步驟視為多餘,但是有其存在之必要性的。 5. 對於題目有相當的想法,但不知道該如果陳述才能清楚表達題意。 微 1. 每一證明題都先大略看過。 觀 2. 認為性質補充有看與否影響並不大。 尚 3. 當看不懂時,會再回憶先備知識思考證明過程、幾何圓形﹔若仍舊不會 可 則先做其他題,之後再思考不會的問題。 4. 容易將顯而易見的步驟視為多餘,但是有其存在之必要性的。 局 1. 每一證明題都先大略看過。 10.

(20) 第貳章. 文獻探討. 部 2. 證明過程、幾何圓形、性質補充與題目會相互搭配著看。 特 3. 依先備知識配合幾何圓形及證明過程以理解思考。 優 4. 不容易抓到已知條件與欲證目標。 5. 認為每一個步驟都是必要的。 均 1. 先找自認為喜歡的證明題做。 弱 2. 不會臆測下一步驟可能為何。 3. 想不出來時,會在幾何圓形上依據自己的先備知識作記號。 4. 步驟過於冗長的證明不會想看。 5. 不容易抓到證明過程的重點。. 表2-3 高中生之各組閱讀特徵 組. 閱讀特徵. 別. 均 1. 閱讀順序為證明過程而後題目。 優 2. 性質補充感覺熟悉,所以未仔細閱讀。 3. 以先備知識搭配證明過程便容易思考出答案。 4. 認為每一步驟都是必要的。 5. 認為沒有困難或者不了解的地方。 局 1. 認為沒有不必要的步驟。 部 2. 以先備知識容易推導。 尚 3. 認為步驟冗長且圖形不熟悉,所以閱讀起來困難重重。 可 4. 當看不懂時,再回頭看一次若仍舊看不懂時,就試圖把空格填滿或放棄。 均 1. 每一證明題都先大略看過,憑感覺寫。 弱 2. 隨便寫且性質補充沒看。 3. 當看不懂時,會先做其他題,最後再回頭思考不會的問題。. 11.

(21) 第貳章. 文獻探討. 由表 2 - 2 可看到,不管是均優、整體尚可、微觀尚可或局部特優的學生都 會將每一證明題先大略看過;均優、整體尚可、局部特優的學生會把證明過程、 幾何圖形、性質補充與題目相互搭配著看;均優、整體尚可、微觀尚可的學生, 當看不懂時,會再回憶先備知識思考證明過程或從證明步驟中尋找答案。若仍舊 不會則先做其他題,之後再思考不會的問題;均優和局部特優的學生會搭配先備 知識去思考證明;均優和均弱的學生會依照證明步驟或自己的先備知識在幾何圖 形上做記號;特別的是,均優和局部特優的學生認為每一個步驟是重要或必要的, 這點與整體尚可和微觀尚可的學生不同,整體尚可和微觀尚可的學生容易將顯而 易見的步驟視為多餘,但這是有其存在之必要性的。因此,研究者認為,國中生 在閱讀推論理解表現的差別,可能是來自於對每一步驟的看法不同。 另外,我們由表 2 - 3 可看出,均優的學生性質補充感覺熟悉,所以未仔細 閱讀。均弱的學生隨便寫且性質補充沒看;均優和局部尚可的學生認為每一步驟 都是必要的,且以先備知識搭配證明過程便容易思考出答案。因此,研究者認為, 高中生在閱讀推論理解表現的差別,可能是來自於對每一步驟的看法不同。 綜上所述,不管是國中生或高中生,造成他們閱讀推論理解表現懸殊的可能 原因是對每一步驟的看法不同。若學生視每一步驟是重要或必要的,則在閱讀推 論理解有較佳的表現。另外,在閱讀推論理解表現較差的學生上也可以看到較粗 糙的閱讀特徵,例如:找喜歡的證明題做、憑感覺寫等等。因此,研究者猜測, 大學生或許也有類似的閱讀特徵。. 12.

(22) 第貳章. 第三節. 文獻探討. 大學數學證明的相關研究. 在大學數學課堂上幾乎都是由定義、定理、證明所組成,學生需要花費大量 的時間閱讀教授呈現給他們的證明。如果學生需要透過跟教師學習證明來學數學, 教師會認為學習一個證明有什麼樣的特徵?教師(專家)與學生(生手)閱讀證 明的方式有什麼不同? Weber(2001)讓主修代數的四位博士生(專家)與四位大學生(生手)建 構七個命題的證明,這七個命題的主題與群同構(Group homomorphisms)有關。 研究對象在建構證明的過程中會放聲思考,他不僅可以查閱大學代數課程的教科 書,建構證明也沒有時間限制。如果研究對象使用複雜的技術完成證明,研究者 會詢問研究對象為何使用這種技術。在證明完命題以後,研究者會要求研究對象 說明那七個命題是真還是假。判斷完以後,要用 0~2 分去表示自己對自己答案 的信心程度,0 分表示「用猜的」 ,2 分表示「非常肯定」 。接著,Weber(2001) 將專家與生手在這七個命題中證明建構的表現分為四項,分別統計符合該項目條 件的人數,這四項包括: 正確的證明(Correct proof):研究對象生成有效的證明。 未能引用語法知識(Failure to invoke syntactic knowledge):研究對象在生成 證明的過程中陷入僵局。 語法知識庫不足(Insufficient syntactic knowledge base):同上,研究對象在 生成證明的過程中陷入僵局。 證明有邏輯錯誤(Proof with logical error) :研究對象生成他自己認為是有效 的證明,但實際上是無效的。 結果發現,生手無法建構證明是因為他們未能應用其語法知識。當他們被明 確告知可以用哪些事實證明這些命題時,他們就能建構證明。這些數據表明,理 解數學證明和領域事實的語法知識不足以成為一個有能力的定理證明者。那為什 麼擁有語法知識的生手在證明時會有困難?Weber(2001)認為知道有這些事實 不足夠,必須回顧這些事實。他認為證明建構是一個解決問題的任務,而解決問 題任務需要策略知識。他從專家和生手的表現與他們為什麼使用複雜技術完成證 13.

(23) 第貳章 文獻探討. 明的解釋中猜測,生手似乎缺乏三種策略知識,包括:瞭解該領域的證明技巧、 知道哪些定理是重要的且它們何時是有用的、知道何時可以且何時不可以使用語 法策略。但該研究並沒有在策略知識上著墨,這是可以延伸探討的。 Annie Selden 與 Selden(2003)以半結構的方式訪談八位具有數學和中學數 學專業的大學生,訪談過程有四個階段:第一階段,給一個關於數論的定理,要 求他們用自己的話解釋定理並證明;第二階段,讓學生閱讀四個證明,要求閱讀 時需放聲思考,並判斷哪個可以用來證明第一階段的定理。如果認為該證明無法 證明第一階段的定理,盡量說出哪些部分有問題;第三階段,仔細觀察並思考四 個證明,學生們可以重讀證明並思考要不要改變第二階段的答案,但在這個階段, 不能說不確定這個證明是否可以證明定理,一定要做出決定;第四階段,學生被 問到跟證明有關的八個問題,以及他們如何閱讀、理解與檢驗證明是否有效。研 究結果發現,大學生會花比較長的時間在關注證明的表面特徵,例如:代數符號 和計算上,而不是注意證明的基本邏輯結構。 Weber(2008)將 Annie Selden 與 Selden(2003)研究中的四個證明拿給八 位數學家(大學教授)判斷證明的有效性,這八位數學家的研究領域包含拓樸、 分析、代數、組合和應用數學。每位研究對象都會進行三個階段的訪談,訪談流 程和 Annie Selden 與 Selden(2003)的研究類似。第一階段,閱讀那四個證明並 判斷證明是否有效;第二階段,每位研究對象都會被告知,他將會閱讀到一位數 學家可能會提交到數學雜誌上面的幾個證明,例如:美國數學月刊(American Mathematical Monthly) ,並再次被要求確認這些證明是否有效;第三階段,每位 研究對象都會被問到一組關於他們如何決定一個證明是否有效的問題。研究結果 發現,數學家在判讀證明時使用了幾種不同的推理方式,包括:正式推理(formal reasoning) 、建立嚴格的證明(the construction of rigorous proofs)、非正式演繹推 理(informal deductive reasoning)和根據例子的推理(example based reasoning) 。 除此之外,Annie Selden 與 Selden(2003)還提到數學家有能力就證明的正 確性和定理的真實性達成一致,但 Weber(2008)研究數學家判讀證明時發現, 八位數學家的判斷並沒有一致,這也表示 Annie Selden 與 Selden(2003)和 Weber (2008)的研究需要證據證明。另一方面,Weber 與 Mejia-Ramos(2011)建議 閱讀證明時可以採用兩種策略:微觀(zooming in)和鉅觀(zoom out) 。微觀又 稱為逐行閱讀(line-by-line reading),這個過程可以填補每行之間的邏輯差距; 鉅觀又稱為模塊閱讀(modular reading) ,若數學家使用鉅觀策略,則不會專注於 14.

(24) 第貳章 文獻探討. 論證的邏輯細節。該研究使用了兩個數據來支持,第一個是 Weber(2008)訪談 八位數學家的研究,第二個是 Weber 與 Mejia-Ramos(2011)與九位數學家進行 半結構式的訪談資料,該訪談目的主要是瞭解數學家閱讀其同事發表的證明的原 因和方法。但是上述研究的過程,通常是依賴學生和數學家的反思或利用他們放 聲思考得知。這些方法會有缺點,並非所有的判讀過程都是有意識的。因此,Inglis 與 Alcock(2012)透過眼動儀紀錄 12 位數學家(專家)與 18 位大學生(生手) 閱讀證明時眼球運動的差異,為上述研究提供證據。 Inglis 與 Alcock(2012)的研究有三個階段,第一階段,研究對象會被告知 要閱讀 Annie Selden 與 Selden(2003)和 Weber(2008)使用過的那四個證明, 並判斷這四個證明是否有效。每個證明都會顯示在電腦螢幕上,研究對象可以長 時間思考直到他們判斷出有效性。判斷完有效性以後,要用 0~4 分去表示自己 對自己答案的肯定程度,0 分表示「用猜的」,4 分表示「我非常確定」;第二階 段跟第一階段類似,研究對象會被要求閱讀兩個從報紙摘錄下來的非數學段落, 這個階段主要是要讓研究對象休息的;第三階段,研究對象會被告知,要閱讀兩 個已經提交到普及數學刊物上的證明,例如:The Mathematics Gazette。其中一個 證明是 Weber(2008)有使用到的,另一個證明是新的,是與微積分有關的證明。 研究結果發現,數學家在判斷其中三個證明的有效性結果不一致,這個支持了 Weber(2008)的研究。 再來,Inglis 與 Alcock(2012)從每位研究對象在每個式子上的停留時間發 現,生手在判讀證明時,確實花費較多的時間在證明的表面特徵上,支持了 Annie Selden 與 Selden(2003)的研究。不過,沒有任何證據顯示專家與生手在開始判 讀證明時會先使用鉅觀策略,這跟 Weber(2008)的假設不符。但是,研究發現 專家比生手多出了將近 50%在不同式子上的掃視,而這些額外的掃視大多在連 續的式子之間,也就是說專家比生手投入更多的時間來回的在證明語句間察看, 來推斷句子間隱含的保證。 雖然文獻裡面有談到專家和生手建構證明與閱讀數學證明的差別,但都只是 大方向,沒有細部針對他們在閱讀證明時理解了什麼,以及運用了哪些閱讀策略。 因此,本研究以線性代數裡面的證明題為例,分析學生理解狀態,以及運用了哪 些閱讀策略來改變理解狀態。. 15.

(25)

(26) 第參章. 第參章. 研究方法. 研究方法. 本研究採質性與量化並行的方式進行線性變換標準矩陣表示法證明題的分 析。在量化研究上,本研究在訪談前施予先備知識測驗,確定學生的基本概念和 起點行為,作為分層取樣的依據;在質性研究上,本研究透過先備知識測驗選定 研究對象,利用放聲思考法以及半結構式訪談來進行研究。. 第一節. 研究設計. 本研究之研究設計分為三個階段,第一階段為準備階段,在確立研究主題後, 研究者依據研究目的與研究問題擬定研究計畫,並設計研究所需之研究工具進行 前置研究。在前置研究中,研究者找了兩位研究生進行試測及訪談,根據這兩位 研究生的訪談結果,作為資料分析的依據。 第二階段為實行階段,使用自編之「線性變換標準矩陣表示法證明題先備知 識測驗卷」對大學生進行先備知識測驗,並根據測驗結果,從中挑選出六位學生 來進行半結構式訪談。 第三階段為資料處理與分析階段,將第二階段所蒐集到的資料作分析,再進 行研究結果與討論。 茲將研究設計流程圖呈現如下:. 17.

(27) 第參章. 研究方法. 確立研究主題. 準備階段. 擬定研究計畫. 先備知識測驗卷. 發展研究工具. 觀察紀錄表 訪談大綱. 前置研究. 研究生試測及訪談. 先備知識測驗. 放聲思考. 半結構式訪談. 具體提問. 先備知識測驗卷. 檢驗閱讀理解. 實行階段. 資料處理與分析 逐字稿資料 圖 3 - 1 研究設計流程圖. 18.

(28) 第參章. 第二節. 研究方法. 研究對象. 本研究對象為某國立綜合型大學數學系一年級的學生,此系的線性代數課程 為大一學生必修課,共開設三個班,分別由不同的老師授課,但使用的教科書、 期中期末考試內容與學期成績的評定標準都是統一的。 研究者在學期中對三個班做先備知識測驗,測驗時間為 15 分鐘,參與施測 的學生共 62 人,施測日期為民國 105 年 5 月 26 日。這些學生正在修習 104 學年 度第 2 學期的線性代數(二)課程,而線性變換標準矩陣表示法證明題的學習內 容包含在 104 學年度第 1 學期線性代數(一)的課程中。 研究者根據 104 學年度第 1 學期線性代數(一)的學期成績與先備知識測驗 結果挑選了六位學生作為研究對象,這六位研究對象在 104 學年度第 1 學期線 性代數(一)課程的學期成績與先備知識測驗的作答情況如表 3 - 1(該校成績百 分制的換算請見表 3 - 2)。記號○表示該學生在那一類的試題全對;若不是以記 號○表示,直接寫出數字,則該數字表示該學生答對的題號。例如:研究對象 S4 概念性知識試題全對,程序性知識試題答對的題目有第 7 題。(先備知識測驗卷 共有 9 題,前 3 題為概念性知識試題,後 6 題為程序性知識試題) 表3-1 研究對象描述 先備知識 研究對象. 線代學期成績. 概念性知識. 程序性知識. (共 3 題). (共 6 題). S1. A+. ○. 4. 5. 7.. S2. B-. 2. 3.. ○. S3. A+. 2.. 4.. S4. B-. ○. 7.. S5. A+. ○. ○. S6. A+. ○. ○. 19.

(29) 第參章. 研究方法. 表3-2 本校等級制定義(12 級)與百分制、績分之換算方式 等級分法. 教學與學習目標的定義. (Grade). 百分制. 單科成績轉換. 分數區間. 百分制分數. A+. 所有目標皆達成且超越期望. 90~100. 95. A. 所有目標皆達成. 85~89. 87. A-. 所有目標皆達成,但需一些精進. 80~84. 82. B+. 達成部分目標,且品質佳. 77~79. 78. B. 達成部分目標,但品質普通. 73~76. 75. B-. 達成部分目標,但有些缺失. 70~72. 70. C+. 達成最低目標. 67~69. 68. C. 達成最低目標,但有些缺失. 63~66. 65. C-. 達成最低目標,但有重大缺失. 60~62. 60. D. 未達成最低目標. 50~59. 55. E. 未達成最低目標,且令人失望. 1~49. 49. X. 因故不核予成績. 0. 0. 研究者由表 3 - 1 的線性代數學期成績、概念性知識、程序性知識進一步的 將六位學生分為 5 類。 在線性代數學期成績為 A+的四位學生中,S5 和 S6 的概念性知識與程序性 知識試題全對,研究者將這兩位學生歸類為 AH_CHPH(學期成績高、概念性知 識高、程序性知識高) 。而 S1 為 AH_CHPL(學期成績高、概念性知識高、程序 性知識低) 、S3 為 AH_CLPL(學期成績高、概念性知識低、程序性知識低) ;在 線性代數學期成績為 B-的兩位學生中,S4 為 AL_CHPL(學期成績低、概念性知 識高、程序性知識低)、S2 為 AL_CLPH(學期成績低、概念性知識低、程序性 知識高),如圖 3 - 2 所示。. 20.

(30) 第參章. 圖 3 - 2 研究對象分類. 21. 研究方法.

(31) 第參章. 第三節. 研究方法. 研究工具. 本研究在發展研究工具前曾經先以開放式的問題詢問大二已學過線性代數 課程的學生,在學習線性代數的過程中,有沒有遇到什麼困難做為參考。在 27 位學生中,有 13 位學生表示因為第一次看原文課本不習慣,英文能力不足,導 致需要花很多時間查字典,有時候翻譯的過程可能會誤解意思,不過也有學生雖 然英文不好,但是因為有看過原文書的經驗,可以靠上下文去推斷一些專有名詞 的。而在英文閱讀沒問題的學生中,也提到: 「我覺得線代和過去國高中的數學系統不一樣,像是證明題,就不知道如何. 下手,而且有很多很直觀的證明,根本不知道如何起筆。況且有很多新的概念, 感到陌生、且不熟練,跟上大學之前所學的數學有很大的差異,起初真的很不適 應。還有一點,對於定義、定理與證明結果的運用,不太熟悉,也是導致證明題 寫不太出來的原因。」 「證明證明~~~~讓人容易迷失」 為了排除學生因為英文閱讀的問題,導致學習成效不佳的狀況,研究者設計 了先備知識測驗卷,確認學生具備了哪些閱讀該證明題的先備知識。在證明題文 本的選擇上,參考文獻與專家的意見作挑選,最後則是自我評估的訪談問題與評 估證明理解的訪談問題。. 22.

(32) 第參章. 研究方法. 一、證明題文本 (一)文本取材 在影響學生數學閱讀理解的環境因素裡,數學文本設計會影響學生的閱讀理 解成效(秦麗花,2007),但因數學文本是學校數學教育中的唯一資源(Cloer, 1981) ,且學生對文本內容沒有選擇權(秦麗花,2006) 。因此,研究者從研究對 象修習線性代數課程所使用的教科書中,挑選了 Hillel(2000)研究中提到學生 入門線性代數課程時,感到困難的線性變換矩陣表示法,作為研究對象閱讀的證 明題文本,此文本也是校內專家認為具有代表性的證明題,可參閱附錄一。. (二)文本分析 數學證明過程中的論點,有些是具有前後邏輯次序的,也就是之前的結論可 能是接下來的前提;有些是沒有邏輯次序的平行關係,也就是各有不同的子前提 或子結論(楊凱琳,2004)。瞭解這些論點的邏輯關係有助於設計先備知識測驗 卷與分析學生的理解狀態。因此,研究者將文本分為兩大部分,第一部分是命題 內容,第二部分是證明內容。第一部分的命題內容分為四個段落,簡記為 C1~ C4,可見表 3 - 3;第二部分的證明內容分為七個段落,簡記為 R1~R7,可見表 3 - 5。 在表 3 - 3 中,C1 是文本的標題,C2 和 C3 是命題給的前提,在這兩個前提下, 會有 C4 的結論,可參閱 表 3 - 4 的整理。 在表 3 - 5 中,R1 是先前已學過的內容、R2 是命題內容中的假設,以這兩個條 件為前提,則可推得 R3 這個結論,可參閱 表 3 - 6 的整理。. 23.

(33) 第參章. 研究方法. 表3-3 證明題的命題內容與簡記 簡. 命題內容. 記. COROLLARY Standard Matrix Representation of a Linear Transformation . Let T :. n. . m. be a linear transformation, …………………………………. C1 C2. and let A be the m × n matrix whose jth column vector is T (e j ) , which we denote symbolically as. |  | A  T (e1 ) T (e2 )  | |. |  T (en )  . | . Then T (x)  Ax for each column vector x . n. 表3-4 證明題的命題內容分析 內容 C1 C2 C3. 分析 標題。 C2, C3 → C4 以 C2 和 C3 為前提,推得結論 C4。. C4. 24. (2) …...................... C3. . …………………………… C4.

(34) 第參章. 研究方法. 表3-5 證明題的證明內容與簡記 簡. 證明內容. 記. Recall that for any matrix A, Ae j is jth column of A. ……………..................... R1 This shows at once that if A is the matrix described in Eq. (2), ……….............. R2 then Ae j  T (e j ) , ……………………………………………………………... R3 and so T and the linear transformation TA given by TA (x)  Ax agree on the standard basis { e1 , e2 , … , en } of. n. . ………………………... R4. By Theorem 2.7, and the comment following this theorem, …………………... R5 we know that then T (x)  TA (x) for every x  —that is, T (x)  Ax for every x . n. n. ………………………….. R6. . ……………………………………… R7. 表3-6 證明題的命題內容分析 內容. 分析. R1. R1, R2 → R3. R2. 由先前已知結論 R1 和已知條件 R2 為前提,推得結論 R3。但未表明. R3. R1 是前提。. R4. R3 → R4 再以 R3 為前提,推得結論 R4。但未表明 R3 是前提。. R5. R5 → R6. R6. 再以先前已知結論 R5 為前提,推得結論 R6。. R7. R4, R6 → R7 再以 R4 和 R6 為前提,推得結論 R7。但未表明 R4 和 R6 是前提。 25.

(35) 第參章. 研究方法. 在這個文本中,如果單看證明的手法,研究者認為學生會在兩個地方碰到困 難。第一個是 TA (x) ,證明的目標其實很簡單,就是去證明線性變換可以用矩陣 來表示。不過在這個證明中,不是直接去證明 T (x) 和 Ax 是相同的,而是藉助了 第三者 TA (x) ,所以學生會疑惑為什麼要出現 TA (x) 。 第二個是 Theorem 2.7,在這個文本中,證明是無法自我完備的。所謂無法 自我完備是指,在證明的過程中,會用到以前學過的定理。所以當學生閱讀到 By Theorem 2.7 時,如果他不懂 Theorem 2.7 的內容,可能就會影響到他閱讀 Cor 這 個文本。雖然 Theorem 2.7 在理解 Cor 這個證明中,也扮演了重要角色,但是研 究者並沒有強迫學生要理解 Cor,一定要去讀 Theorem 2.7。如果學生理解 Cor 需 要去閱讀 Theorem 2.7,他就會主動去翻,這跟他使用的閱讀策略有關。 其它重要需理解的物件,請見表 3 - 7。 表3-7 證明題文本理解內容 項目 專有名詞 符號. 物件 linear transformation. T:. n. . m. T (x)  Ax. Ae j  T (e j ). TA (x)  Ax x. n. x | T (e1 ) |. 敘述. let A be the m × n matrix whose jth column vector is T (e j ) Recall that for any matrix A, Ae j is jth column of A 證明的第三段(見附錄一) Theorem 2.7(見附錄五). 26.

(36) 第參章. 研究方法. 二、先備知識測驗卷 秦麗花(2007)指出影響學生數學閱讀理解的個人因素包含數學閱讀特殊技 能,例如:數學先備知識與數學詞彙理解。學習者在新的學習情境前,本身已經 具備之舊有的認知與技能,稱為先備知識(prior knowledge) 。McKenna 與 Robinson (2014)認為文本的讀與寫是一種溝通的歷程。在此溝通的歷程中,文本撰寫者 要以有限的文字進行編碼,藉以傳達所要溝通的概念,而閱讀者則以其先備知識 來解讀文本的內涵,進而重整文本意義。張景媛(2011)指出學習數學的心理歷 程,都是以先備知識為基礎,具有豐富學科背景知識的學習者,較容易以精緻化 的策略來提升閱讀成效,尤其數學涉及很多內在與外在連結的問題。Kavale(1982) 說明影響閱讀理解的因素有三,分別是文章的適合性、文章結構和內容的背景知 識、理解策略的使用。由此可見,文本閱讀理解的能力,會受到學生先備知識的 影響。 因此,本研究參考了美國教育進展評量(National Assessment of Educational Progress,簡稱 NAEP)的方式,設計先備知識測驗卷,其中較為不同的是,NAEP 將數學能力分為概念性理解(Conceptual Understanding) 、程序性知識(Procedural Knowledge)和問題解決(Problem Solving)三個層次,而本研究聚焦於瞭解學生 閱讀證明題文本先備知識的多寡,因此,將測驗題目分為概念性知識與程序性知 識,不含問題解決能力,測驗卷內容可參閱附錄二。. (一)設計流程 研究者先分析文本內容,從文本中擷取出學生需具備之概念性知識與程序性 知識,題目完成以後與指導教授討論,再請校內教授線性代數課程的教師協助檢 驗內容效度,提高測驗題目的合宜性與用字遣詞的流暢性。設計完成後,研究者 找了 8 位已學過線性變換標準矩陣表示法證明題的研究生進行試測,在同儕的協 助下分析題目的合宜性,進一步修正完成線性變換標準矩陣表示法證明題之先備 知識測驗卷。設計完成以後,研究者將測驗卷發給 103 學年度修習線性代數課程 的學生試測,接著以 SPSS 22 進行內部一致性 Cronbach 的 α 係數考驗,信度分 析結果為 0.692。最後,將測驗卷發給 104 學年度修習線性代數課程的學生進行 正式施測。. 27.

(37) 第參章. 研究方法. (二)測驗目標 本試題欲瞭解學生是否具備閱讀「Standard Matrix Representation of a Linear Transformation」此證明的基本能力。. (三)設計架構 本研究將證明題文本中可能會影響閱讀表現的符號擷取出來,依照測驗目標 將測驗內容分為線性變換、矩陣、向量三種,知識向度分為概念性知識和程序性 知識,如表 3 - 8。 表3-8 先備知識測驗卷題目設計架構 測驗內容 知識向度 概念性知識. 程序性知識. 線性變換. 矩陣. 向量. 能辨識函數符號 能辨識矩陣符號 能辨識向量符號 的意義。. 的意義。. 的意義。. 能正確使用函數 能正確使用矩陣 能正確使用向量 的運算規則。. 的運算規則。. 28. 的運算規則。.

(38) 第參章. 研究方法. (四)試題設計說明 1. 編製過程 先前在開放式問題中,多數學生都提到在英文閱讀會有困難,因此,研究者 在設計試題時,除了考量試題中需有閱讀證明題的概念性知識以外,試題也以中 文敘述呈現。在概念性知識的部分,研究者將文本內容所需具備的概念性知識分 為三塊,分別是線性變換、矩陣、向量。以試題 1 為例:. 1. 下列哪些選項可以表示 T :. 2. . 3. ?. (A) T ([ x1, x2 ])  [ x1  x2 , x1 ] (B) T ([ x1, x2 ])  [ x1  x2 , x1, x1  x2 ] (C) T ([ x1 , x2 ])  [ x1, x2 , x3 ] (D) T ([ x1, x2 ])  [ x1  x2 , x2 , x3 ]. 在研究者的學習經驗中,每次看到 T : 但其實在這句話裡面,. 2. . 3. 都不覺得這句話有什麼重要,. 上面的 2 和 3,告訴我們此函數空間,是將 2 維空間裡. 面的元素轉換到 3 維空間。這種 n 維轉換到 m 維的概念是學習者需具備的,也 是多數證明題的一開始,題幹敘述會率先說明的。因此,研究者將此題放置在第 1 題,測驗學生是否具備能瞭解 T 函數是把二維的向量送到三維,而不是把二送 到二、三送到二,或三送到三的能力。其它設計理念請見附錄三專家修改建議與 修改內容。 不過,在第一版的試題中,研究者發現有些試題,要用中文敘述呈現有困難, 於是便將部分試題改為英文敘述。以試題 2 為例:. 29.

(39) 第參章 研究方法. . 試題 2(修改前). Let A be an 3 2 matrix. 下列哪些選項可以表示 A? 1 2 1 4 1 2 3  1 3 5      (A)   (B) 3 4 (C)  2 4 6  (D)  2 5  4 5 6     5 6   3 6 . . 試題 2(修改後). Which of the following are 3 2 matrix? 1 2 1 2 3    (A)   (B) 3 4 4 5 6   5 6 . 在此題中,除了題幹敘述從中文變成英文以外,選項也從四個變為兩個。原 本研究者的設計理念是要確認學生是否能正確判斷列是橫的、行是直的,而且想 知道學生是不是能知道 3  2 表示矩陣的尺寸,只需關注列數和行數,跟矩陣裡的 元沒有關係,於是增加了(C)、(D)選項。另外,整份試卷包含單選題與多選題, 要不要提示學生哪題是單選、哪題是多選題也是一種考量。最後研究者決定將整 份試卷的選擇題都以單選呈現,因此,(C)、(D)選項就被拿掉了。 在第一版的整份試題中,原本只有概念性知識的試題,測驗學生看不看得懂 符號,知不知道某些符號的運算規則。指導教授建議,雖然我們看的是學生的閱 讀狀況、理解不理解之處、使用哪些閱讀測驗,但會不會有些學生是讀得懂,但 卻用不出來,或者是會用,但是卻讀不懂。因此,研究者在試題的最後增列了一 題跟證明題有關的計算題,如下所示:. Let T :. 2. . 3. be a linear transformation such that T (e1 )  [2, 1, 4] and T (e2 )  [3, 0,  2].. Find the standard matrix representation A of T and find a formula for T ([ x1 , x2 ]) .. 30.

(40) 第參章. 研究方法. 2. 內容效度 經由與指導教授、同儕討論後,測驗題已大致確定,接著便是要請校內教授 線性代數課程的專家教師檢驗其內容效度。先備知識測驗卷中的各題目對應至 「測驗內容」與「知識向度」之雙向細目表,如表 3 - 9 所示。 表3-9 先備知識測驗卷之雙向細目表 測驗內容. 線性變換. 矩陣. 向量. 概念性知識. 1.. 2.. 3.. 程序性知識. 4. 6. 7. 8(2).. 5. 8(1).. 知識向度. 以下以試題 1 作為範例,說明試題在修改前的具體目標,專家有哪些修改建 議,以及研究者參考專家修改建議後,對試題作了什麼樣的修正。其餘測驗題目 的專家修改建議與修改內容請見附錄三。另外,研究者參考專家建議將試題修正 後,也一併將原本的雙向細目表修正,放置於附錄四,供未來的研究者參考用。. 31.

(41) 第參章 研究方法. . 試題 1(修改前). 1. Let T :. 2. . 3. be a linear transformation , which of the following options is. correct? (A) T ([ x1, x2 ])  [ x1  x2 , x1 ] (B) T ([ x1, x2 ])  [ x1  x2 , x1, x1  x2 ] (C) T ([ x1 , x2 , x3 ])  [ x1, x2 ] (D) T ([ x1 , x2 , x3 ])  [ x1  x2 , x2 , x3 ]. . 具體目標. 能瞭解 T 函數是把二維的向量送到三維,而不是把二送到二、三送到二,或三 送到三。 . 專家修改建議. P1:題目有提 linear,是否要求學生知道 linear 概念。  1   1   2  建議增加 T        ,求 T     =?  0  1  0   1   1   0   8    2  或 T        and T        , then T     =? 之試題。  0  1   2  6  1  . P2:行向量或列與 3, 4, 5 題改成一致。. 32.

(42) 第參章 研究方法. . 試題 1(修改後). 1. Let T :. 2. . 3. be a linear transformation, which one of the followings is. correct?. .   x   x  x  (A) T   1     1 2    x2    x1 . x  x    x1    1 2  (B) T       x1  x  2    x  x   1 2.   x1     x  (C) T   x2     1      x    x2   3.   x1    x1  x2    (D) T   x2     x2       x   x  3 3      . 修改內容 研究者在設計題目時,確實沒考慮到試題中未包含檢驗學生是否瞭解. linear 概念的試題,linear 的概念在閱讀證明題時,也是重要的一環,因此研究 者參考了 P1 的建議,增列了此題目於先備知識測驗卷中。 另外,P2 建議,在同一份試卷中,向量的表示法應該要統一,不要同時有 列向量的表示也有行向量的表示法,可能會造成學生混淆。對此,研究者深深 覺得專家教師切中研究者學習線性代數的痛,確實研究者自身在學習線性代數 的過程中,常常也因為向量一下子寫橫的、一下子寫直的被搞混,那為什麼在 研究者的試卷中也出現了不統一的狀況,其實是因為某些題目是直接參考學生 的教科書,在教科書中,寫法是表示成列向量,所以為了忠實呈現,研究者也 將題目表示為列向量。但其實研究者較習慣直的寫法,所以若該題是由研究者 自創,則會出現直的寫法。因此,才會出現同一份試卷中,寫法不統一的情況。 不過,研究者最後參考了 P2 的建議,將所有題目中的向量皆用行向量表示。. 33.

(43) 第參章. 研究方法. 在其它建議的部分,P2 再次強調 e 應為粗體且非斜體、 T ( x) 與 x 在. 1  corollary 中是 column vector,建議寫成  2  ,而非[1, 2, 3],避免混淆。P1 則是    3  無其它建議。. 在參考專家的建議修正後,研究者再次與指導教授討論試題,此次修正因 考量到之後讓學生閱讀的是全英文敘述的證明題,且學生已經是大一下,應具 備閱讀英文試題的能力,因此,將整份試卷修改為全英文敘述。修正完以後, 首先,先請八位已學過線性變換標準矩陣表示法證明題的研究生進行試測,主 要是看英文敘述有沒有需要修正的地方,是不是能正確判讀。試測完沒問題以 後,便進行大樣本的試測,研究者找了 97 位在 103 學年度修習線性代數課程的 學生試測,測驗日期為民國 104 年 3 月 12 日。 將樣本回收後,研究者先進行批改,接著以 SPSS 22 進行資料分析,是否 具有內部一致性。在使用 Cronbach 的 α 係數考驗後,信度分析結果為 0.692, 顯示此份試卷很可信,可以採用。另外,研究者批改試卷的過程中,發現很多 學生在試題 8 漏寫了一個答案,研究者猜測,可能是因為題目的排版不佳,造 成學生漏答。因此,將試題修正如下:. 34.

(44) 第參章. . 研究方法. 試題 8(修改前). Let T :. 2. . 3. be a linear transformation such that. 2 3   T (e1 )  1  and T (e2 )   0  .  2  4  x  Find the standard matrix representation A of T and find a formula for T   1   .   x2  . . 試題 8(修改後). Let T :. 2. . 3. be a linear transformation such that. 2 3   T (e1 )  1  and T (e2 )   0  .  2  4  (1) Find the standard matrix representation A of T. x  (2) Find a formula for T   1   .   x2  . 此次修正完成後,便將測驗卷發給 104 學年度修習線性代數課程的學生進行 正式施測。. 35.

(45) 第參章. 研究方法. 三、半結構式訪談 從先備知識測驗中,研究者挑出六位研究對象進行半結構式訪談,訪談過程 共分為三個階段,第一階段是放聲思考,讓研究對象閱讀證明題文本;第二階段 是具體提問,讓研究對象自己評估自己理解與不理解之處,以及用什麼策略來促 進自己理解、解決自己不理解的部分;第三階段是檢驗閱讀理解,由研究者去評 估研究對象的證明理解狀況。. (一)第一階段 放聲思考 本研究的目的是想要瞭解學生對此證明的理解與不理解之處,以及運用哪些 閱讀策略來促進自己理解或解決自己不理解此證明的情形。研究者認為閱讀是一 種動態的歷程,理解與不理解的狀況可能會隨時改變,有可能一開始看到某個句 子不理解,但讀到後面突然理解了,或者是本來理解的句子,可能讀一讀又不理 解了。這樣動態的歷程,必須透過觀察才能得知,但有大部分的歷程可能都只在 研究對象的腦中運轉,研究者無法得知。研究者想起自身家教的經驗,曾經遇過 在閱讀時會放聲思考的學生,透過學生放聲思考的內容,研究者更能瞭解學生的 想法,在教學的過程中也更為順利。因此,研究者希望研究對象以放聲思考的方 式閱讀,若研究對象本身沒有放聲思考的習慣,可以帶他練習,而且在研究對象 閱讀的過程中,研究者也會從旁觀察研究對象的眼睛、手部動作,例如:眼睛是 否出現了快速掃視(略讀) 、凝視(停頓) 、來回檢視(再度確認)的動作,手是 否在哪裡畫底線、圈關鍵字,又或者扶著下巴思考。觀察這些動作都可以幫助研 究者更瞭解研究對象閱讀的歷程,也為接下來第二階段的具體提問作準備。 在選擇放聲思考的練習文本時,研究者考量的是盡量能找到與正式要閱讀的 證明題相似的定理形式,但翻閱了整本教科書,找不到形式接近的定理,後來便 選擇了研究對象尚未學過的定理 6.2,在教科書的第 338 頁。原本研究者只打算 讓研究對象練習讀一個定理,但研究者在訪談第一位學生時,發現練習一次太少, 無法讓研究對象習慣放聲思考,再加上學生自己要求想要再多練習一次,於是, 研究者從教科書中再選定一個定理讓學生練習,在教科書中第 308 頁的定理 5.3。 接下來的研究對象為求一致,也都讓他們練習兩次(放聲思考練習文本可參閱附 錄六與附錄七)。在學生閱讀的過程中,除了放聲思考以外,研究者也請學生在 36.

(46) 第參章. 研究方法. 閱讀的過程中,用手或筆指著閱讀的內容,若學生不小心忘記放聲思考,研究者 也能得知學生讀到哪裡。 在放聲思考的練習後,正式進行證明題文本的閱讀,文本的閱讀時間約為 8~10 分鐘,視學生閱讀速度而定。為了可以回收學生閱讀過的文本,研究者將 證明題打在 A4 紙上,也請學生攜帶自己的教科書或任何平常唸書時需要的筆記 供查閱,盡量忠實呈現學生平時讀書的環境。在學生閱讀的過程中,研究者除了 觀察眼睛與手部動作以外,也會特別注意嘴巴有沒有說出「為什麼會這樣」 、 「這 是什麼意思啊」 ,或者是「嗯哼」 、 「哦」 、 「原來如此」 、 「soga」這種不理解與理解 的聲音。. (二)第二階段 具體提問 因為在放聲思考階段,只能得到研究對象在閱讀時的片段思考,所以在研究 對象閱讀完文本以後,研究者提出一些問題來確認研究對象在閱讀文本時的閱讀 理解歷程與使用的閱讀策略,詳細訪談問題請參閱表 3 - 10。 表 3 - 10 自我評估的訪談問題 訪談目的 自評自己. 訪談問題 1-1 你已經讀完了?讀懂了嗎?. 整體的理 解狀態 2-1 可以用你的話說說看這個證明題在講什麼嗎? 學生理解 什麼、不 理解什麼. 2-2 為什麼你覺得自己讀不懂呢?可以說說看哪些地方讀不懂嗎? 2-3 在你讀的過程中,有沒有本來不懂,但後來懂的地方?你是怎 麼從不懂變成懂的呢? 2-4 在你讀的過程中,有沒有本來覺得懂,但後來又不懂的地方? 你是怎麼從懂變成不懂的呢?. 學生不理 解時使用 哪些策略. 3-1 你讀不懂時,會做什麼呢? 3-2 你讀不懂時,會想什麼呢? 3-3 你讀不懂時,會用什麼方法讀懂呢? 3-4 依你的經驗,若同學讀不懂時,你會建議他怎麼做? 37.

(47) 第參章. 研究方法. 學生使用 4-1 你是怎麼讀的? 哪些策略 4-2 你用了什麼策略? 來促進理 4-3 還有其他策略嗎? 解. 4-4 依你的經驗,你會建議同學怎麼閱讀這個證明? 學生在閱讀完文本後,研究者會先讓學生自評自己整體的理解狀態。學生大. 概分四種類型,第一種是認為自己完全讀懂了,沒有任何問題;第二種是認為自 己大致上讀懂了,但好像不是完全讀懂;第三種是認為自己讀不懂,但好像又有 點知道證明在講什麼;第四種是認為自己完全讀不懂。 訪談問題 1-1 即是用來確認學生是哪種類型。若是第一種類型,則透過訪談 問題 2-1 確認他理解了什麼;若是第二種類型,則先透過訪談問題 2-1 確認他理 解了什麼,再透過訪談問題 2-2 確認他不理解什麼;若是第三種類型,則先透過 訪談問題 2-2 瞭解學生不理解什麼,再透過訪談問題 2-1 瞭解學生理解什麼;若 是第四種類型,則透過訪談問題 2-2 確認學生不理解什麼。最後,不管是哪一種 學生都會詢問 2-3、2-4 確認他的理解與不理解歷程。如果當學生談到自己理解 證明時,就會追問 4-1 到 4-4 確認他們使用哪些策略來促進理解;當學生談到自 己不理解證明時,會追問 3-1 到 3-4 確認他們不理解時使用哪些策略。 當然,在訪談過程中,研究者會隨著訪談對象的不同以及對答的狀況,隨時 調整訪談問題,不一定會跟表 3 - 10 完全相同,也不會脫離表 3 - 10 的主軸。. (三)第三階段 檢驗閱讀理解 學生自我評估理解的情況,可能與他真正所理解的情況不同,有些學得比較 淺的學生會說「我懂了」,是因為他看不出問題;思考比較深的學生會說「我覺 得自己好像不是很懂」,是因為思考的深,評斷自己懂不懂的標準也比較高。所 以,學生說自己懂或不懂,不一定是真的懂或真的不懂。因此,在放聲思考與具 體提問這兩階段過後,才會有第三階段,由研究者來檢驗學生的閱讀理解,客觀 的說學生的理解狀況。 1. 證明理解的狀況 此階段檢驗閱讀理解的訪談問題是參考 Mejia-Ramos 等人(2011)發展出來 的評量模型去設計題目,可參閱表 2 - 1,茲將每個面向將設計的題目陳述如下: 38.

參考文獻

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