建議

本研究在學生學習數學證明與未來研究上有幾點建議。

一、學生學習數學證明的建議

在學生學習數學證明上，本研究有四點建議：

（一）瞭解該證明題的目標

我們從AH_CHPH 學生 S5 的閱讀狀況得知，S5 在看完證明的敘述後，會先 瞭解證明的目標，要做哪些事。閱讀過程中，也會反覆確認這個證明題要證什麼，

讓閱讀證明時不會失去方向，加速理解證明的時間。

（二）閱讀證明前先想想看該怎麼證

研究者從觀察AH_CHPL、AH_CLPL、AL_CHPL 與 AL_CLPH 這四種類型 學生的閱讀狀況以及訪談得知，這四類學生讀證明的方式，就是按照順序把它看 懂而已。在讀的過程中，碰到不懂的才會將它釐清。而不是在一開始，看到命題 的時候，就去思考自己該如何證明這個命題。這點就跟AH_CHPH 學生 S5 的閱 讀狀況有所差別。如果閱讀證明前先想想看該怎麼證，可以先連結跟這個證明有 關的內容、不會被證明的內容綁住（以為只能這樣證）。如果有證出來，剛好可 以跟原本的證明對照，看有沒有相同。如果不相同，就多了一種方法。如果相同，

就表示對這個證明確實理解了；萬一沒有證出來也沒關係，至少已經在腦袋裡提 取了相關的內容，不用在閱讀時才一點一滴的抓回來。

（三）閱讀時，把已讀過的內容記錄下來

在AH_CHPH 學生 S5 閱讀的過程中，他會利用畫圖的方式將自己比較難理 解的東西記錄下來。另外，也會用筆註記，將證明內容分段，必要時還會用自己 的話將分段後的內容重述，釐清自己的概念、幫助自己理解，最後順利得證。這 是AH_CHPL、AH_CLPL、AL_CHPL 與 AL_CLPH 這四類學生所沒有的。

165

（四）練習找出證明的關鍵

我們發現AH_CHPH 學生 S6 用很快的速度閱讀完證明題並理解了，這點是 其它類型學生所沒有的。探究原因，是因為S6 知道證明的關鍵，所以在閱讀的 過程中，會一直將讀到的內容與他認為的關鍵契合，便順利理解證明題。若要具 備找出證明關鍵的能力，必須扣回到「瞭解該證明題的目標」。知道要證什麼，

才能知道證明那個需要什麼條件，如果知道需要什麼條件，閱讀時就可以直接去 找那個條件，就能找出證明的關鍵。

二、未來研究建議

在未來研究上，本研究有三個方向可以做延伸探討：

（一）自我評估理解的判準

目前研究上比較少去探討大學生他在自我評估理解的判準是什麼，在本研究 中，只給出了整體理解狀態自我評估理解的判準，這是未來研究可以繼續延伸的。

（二）促進理解狀態改變的後設認知策略

在本研究中，學生理解狀態改變的物件不多，最多只有三個，最少一個都沒 有。從研究結果可知，真正理解證明題的學生只有AH_CHPH 類型的學生，該怎 麼幫助其它類型學生的理解狀態從「不理解」至「理解」，這也是可以研究的。

（三）閱讀教學研究

目前大學數學證明的教學研究，大多只談到自我解釋。除了自我解釋之外，

本研究其實有一些證據可以提供教學建議，但不夠完備。未來研究上可以再提出 更多的具體教學策略供教授線性代數的教授參考。

167

參考文獻

一、中文部分

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168

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171

附錄一 證明題文本

COROLLARY Standard Matrix Representation of a Linear Transformation Let T: ⁿ



^m be a linear transformation, and let A be the m × n matrix whose jth column vector is ( )T e_j , which we denote symbolically as

1 2

| | |

( ) ( ) ( )

| | |

A T T T n

 

 

  

 

 

e e e

. (2)

Then ( )T

x 

A

x for each column vector

x ⁿ.

PROOF

Recall that for any matrix A, Ae_j is jth column of A.

This shows at once that if A is the matrix described in Eq. (2), then A

e

_j



T( )

e

_j , and so T and the linear transformation T given by _A T_A( )

x 

A

x agree on the

standard basis {

e ,

₁

e , … ,

₂

e } of

_n ⁿ.

By Theorem 2.7, and the comment following this theorem, we know that then ( ) _A( )

T

x 

T

x for every

x ⁿ—that is, ( )T

x 

A

x for every

x ⁿ.

此證明題文本引用的定理「Theorem 2.7」，可見附錄五。

表3 - 7 中「證明的第三段」指的是此證明題文本中的「By Theorem 2.7, and the comment following this theorem, we know that then T( )

x 

T_A( )

x for every

 n

x —that is, ( )T

x 

A

x for every

x ⁿ.」這個段落。因為此段落較冗長，所 以用「證明的第三段」來簡稱。

172

173

6. Let T: ²



³ be a linear transformation, which one of the followings may be a standard matrix representation of T ?

(A) ³

(1) Find the standard matrix representation A of T.

(2) Find a formula for ¹

174

附錄三 專家修改建議與修改內容

 試題 2（修改前）

2. Which of the following are 3 2



mat xri ？

(A) ^{1 2 3}

4 5 6

 

 

  (B) 1 2 3 4 5 6

 

 

 

 

 

 具體目標

能瞭解

3 2 

矩陣的長相。

 專家修改建議 P1：are 改為 is。

P2：適當。

175

 試題 2（修改後）

2. Which one is a 3×2 matrix?

(A) ^{1 2 3}

4 5 6

 

 

  (B)

1 2 3 4 5 6

 

 

 

 

 

 修改內容（談設計理念）

研究者設計此題目主要是確認學生是否知道 3×2 是 3 列 2 行的矩陣，而 且不會把列和行搞混。但沒想到在題幹敘述中把is 打成 are，變成多選題。這 裡研究者參考了P1 的建議將 are 改為 is。

176

177

 試題 3（修改後）

3. Write down the standard basis

e in

₂ ³?

 修改內容（談設計理念）

研究者原本是希望學生能從題幹敘述中的

e 得知，這是一個三維空間。接

₃ 著，因為

e 是一個第二個位置是 1，其它位置為 0 的向量，而選出正確答案

₂ (D)。但是 P1 建議不要有模擬兩可的空間，因此，最後加上 ³並改為英文敘 述。

178

 試題 4（修改前）

4. Let :T ²



³ be a linear transformation, then ( )T

e

₂



？

(A) ³ 4

  

  (B) 3 4 5

   

   

 

(C) ^{3 4} 5 6

 

 

  (D)

3 4 5 6 7 8 9 10 11

 

 

 

 

 

 具體目標

能瞭解

e 在 T 的限制下為二維向量，經過運算以後變成三維向量。

₂

 專家修改建議

P1：此題同＃1，改為下列何者可能是 T 的標準矩陣？

P2：T 不確定，無答案可選，改成下列何者是最有可能的答案。

179

 試題 4（修改後）

4. Let T: ²



³ be a linear transformation, which one of the followings may be T e ? ( )₂

(A) ³ 4

  

  (B)

3 4 5

   

   

 

(C) ^{3 4} 5 6

 

 

  (D)

3 4 5 6 7 8 9 10 11

 

 

 

 

 

 修改內容

此題參考P1 和 P2 建議修正。

180

 試題 5（修改前）

5. Let be an 3 2 matrix, then A



A

e

₂



？ (A) ³

4

  

  (B) 3 4 5

   

   

 

(C) ^{3 4} 5 6

 

 

  (D)

3 4 5 6 7 8 9 10 11

 

 

 

 

 

 具體目標

能瞭解

e 在 A 的限制下為二維向量，經過運算以後變成三維向量。

₂

 專家修改建議 P1：修改。

P2：修改；同前。

181

 試題 5（修改後）

5. Let A be a 3×2 matrix, which one of the followings may be Ae ? ₂

(A) ³ 4

  

  (B)

3 4 5

   

   

 

(C) ^{3 4} 5 6

 

 

  (D)

3 4 5 6 7 8 9 10 11

 

 

 

 

 

 修改內容

此題參考P1 和 P2 建議修正。

182

 試題 6（修改前）

6. Let :T ²



³ be a linear transformation such that

1 2

( ) [2, 1, 4] and ( ) [3, 0, 2].

T

e 

T

e  

Find the standard matrix representation A of T and find a formula for

1 2

([ , ]) T x x .

 具體目標

能利用已知條件寫出T 的標準矩陣表示法，並利用此矩陣求出 T 函數。

 專家修改建議 P1：適當。

P2：適當。

183

 試題 6（修改後）

8. Let T: ²



³ be a linear transformation such that

1

2 ( ) 1 4 T

   

  

   

e

and ₂ 3 ( ) 0 2 T

   

  

  

 

e

.

(1) Find the standard matrix representation A of T.

(2) Find a formula for ¹

2

T x x

 

 

 .

 修改內容

此題把向量改為直的。

184

185

186

187

6. Let T: ²



³ be a linear transformation, which one of the followings is the standard matrix representation of T ?

(A) ³

188

(1) Find the standard matrix representation A of T.

欲評量的項目與內容

189

190

附錄五 證明題文本引用的定理

THEOREM 2.7 Bases and Linear Transformations

Let T: ⁿ



^m be a linear transformation, and let B = {b1, b2, … , bn} be a basis for ⁿ. For any vector v in ⁿ, the vector T(v) is uniquely determined by the vectors T(b1), T(b2), … , T(bn).

PROOF

Let v be any vector in ⁿ.

We know that because B is a basis, there exist unique scalars r1, r2, … , rn such that v = r1

b

1 + r2

b

2 +…+ rn

b

n.

Using Eq. (1), we see that

T(v) = T(r1

b

1 + r2

b

2 +…+ rn

b

n) = r1T(b1) + r2T(b2) + … + rnT(bn).

Because the coefficients ri are uniquely determined by v, it follows that T(v) is completely determined by the vectors T(bi) for i = 1, 2, … , n.

Theorem 2.7 shows that if two linear transformations have the same value at each basis vector bi, then the two transformations have the same value at each vectoer in

n, and thus they are the same transformation.

191

附錄六 第一個放聲思考練習文本

在文檔中 大學生閱讀線性變換標準矩陣表示法證明題之研究 (頁 173-200)