本節利用Mejia-Ramos 等人（2011）評估證明理解的模型，將證明題文本內 容分為七個面向，在這七個面向中，研究者認為第一個面向：專有名詞和敘述的 意義是最重要的，如果連基本的名詞、符號都不理解，那其它面向也不太可能理 解了。因此，本節在描述不同先備知識學生理解與不理解之處時，多著重在專有 名詞和敘述的意義。
（一）AH_CHPH 學生：S5
能將證明分為兩階段來描述，能陳述整個證明題的命題。
R 你讀完了 S5 嗯
R 那你覺得你有讀懂嗎?
S5 哦..大致應該懂
R 大致應該懂，好那好你可以稍微跟我說明一下你覺得這個證明在說 什麼嗎?
S5 欸...這個證明大致分兩階段，第一個階段，它想要把這個 Ax 當作是 一種線性變換，然後就是它，首先要先證明的就是Ax 確實是可以寫成一
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個線性變換，然後第二件事情它想要說的是這個線性變換剛好就會是就 是你把x 向量作線性變換之後結果
R x 向量作線性變換之後結果 S5 嗯對
（引自S5 訪談 S5-03）
R 好，然後那你可以告訴我這個定理的敘述在說什麼嗎?
S5 嗯這個定理的敘述是在說如果你把這個就是你可以嗯...我想一下怎 麼講喔 let A be a...就是你把它的這個就是你要把它寫把一個線性變換你 可以先表示成這個Ax 然後它是把它的 e1、e2、e3 到 en 然後就是都把它 丟進去然後...
R 丟進哪裡?
S5 欸就是把它丟僅那個線性變換裡面 R 這個線性變換是指哪一個線性變換?
S5 就是它原本題目給的這個從 n 到 m 的線性變換 R 喔繼續
S5 嗯然後就是把你的 e1、e2 到 en 把它丟進線性變換裡面然後跑出來 的結果把它寫成一個矩陣嗯然後這個矩陣就是只要把這個這邊原本的向 量乘以乘以這個矩陣然後就會變成你那個你線性變換最後要的結果，就 對於所有的就是所有n 的向量
R 所有n 的向量
S5 嗯就是如果它是 Rn 應該說它是個...對啊這樣算是 n 的向量啊嗯就 是一個怎麼講，n 維的向量
R n 維的向量 S5 嗯
（引自S5 訪談 S5-04）
在 :T n
m中，S5 能說出 Rn 和 Rm 分別是 n 維和 m 維的向量，可惜研 究者沒請他舉例說明。R 好那再這裡一開始說T 是 Rn-->Rm，然後 be a linear transformation 那想要問你說就是什麼叫Rn 什麼叫 Rm
S5 Rn 就是一個欸 n 維，我是會把它解讀成一個 n 維的向量 R n 維的向量
61 S5 對然後 Rm 是指一個 m 維的向量
（引自S5 訪談 S5-16）
在Let T: n
m be a linear transformation 這句話中，S5 能說出線性變換 的定義，並能說出這個敘述不能拿掉，如果拿掉會影響到後面T(x)拆開的過程，顯示他瞭解在證明的哪個部分會用到線性變換。
R 那為什麼他這邊要講T 是一個 linear transformation?那什麼叫 linear transformation?
S5 linear transformation 他要保證 兩件事情， 第一件事情 就是假設 Ta+Tb=Ta+b 另外一件事情是如果他乘以一個係數好了他會等於 r 倍的 Ta 嗯他要保證這兩件事情
R 那 你 覺 得 這 個 敘 述 ， 在 這 邊 如 果 他 沒 有 附 註 T 是 一 個 linear transformation 的話會影響到後面的結果嗎?
S5 我覺得會
R 例如在哪邊的時候會影響到?
S5 你是說在整個在整個證明的過程中哪邊如果它不是一個 linear transformation 會不會影響嗎?
R 對對對對對
S5 我覺得應該是在這邊就是 Tx 因為..
R Tx S5 對
R 你說最後一行Tx 那邊?
S5 對
R 是證兩個相等得時候?
S5 證兩個相等的時候因為這邊然後把它拆開來的時候會用到說他是就 是用到linear transformation 這邊的性質
R 才能拆開是不是?
S5 嗯對
（引自S5 訪談 S5-17）
在and let A be the m × n matrix whose jth column vector is ( )T ej , which we denote symbolically as
62 進一個函數裡面，對所以是把x 這個向量丟進 linear transformation 這個 函數之後結果所以我不會把它寫成，就是不會直接寫Tx 會把它寫成就是 T 把它寫成以前我會寫的 f(x)這樣子，就是把 x 這個東西丟進一個函數對
63 所以我才要多寫一個括號
R 那A 那邊可以加括號嗎?
S5 A 這邊把它加括號，我剛才過程中有一個地方不小心加了括號 R 哪裡啊?
S5 被我擦掉了，原本這邊是被我寫 A(x) R 啊後來你為什麼
S5 對因為後來我覺得這樣子好像會混淆掉。就是 A 和一個就是一個 linear transformation 所以我才把它擦掉就是我這樣寫成 Ax 這樣子比較清 楚表達說他是一個矩陣乘法，對那我覺得如果把它寫成Ax 也是無所謂，
但就是感覺很就是有點奇怪啊，應該是說這樣 A(x)會等同於直接寫就在 這邊，這塊已經證明完了意思，我Ax，假設我定義 Ax 這個東西他就是 等於Ax 我是直接說這個就是一個 linear transformation 的感覺
R 喔
S5 對就是我定義這個函數他就是長這樣子 Ax R 證明第二行這邊
S5 對，要證明第二行以後寫 Ax 好像也無所謂，你只要知道說他就是 一個他的意思就是指說你把這個 x 如果被丟進來這個函數之後然後它會 變成Ax 跑出來
R 好，然後像這個x 的部分他用粗體表示，你知道為什麼要用粗體表 示嗎?
S5 他用粗體表示代表向量
R 那這個他也是你覺得他也是向量的意思 S5 嗯對它也是向量
R 那這裡T(x)=Ax 這裡有 x 後面也有 x 你認為它們是一樣的 x 嗎?
S5 這邊的 x 他這邊的 x 是不是一樣東西我想一下喔，T(x)=Ax 對於所 有的x 屬於 R，嗯...要講一樣不一樣感覺很奇怪，反正他這邊的意思就是 說反正你所有的只要是 n 維的向量都會符合這件事情，對所以我也不知 道到底要叫做一樣還不一樣
R OK 那那為什麼如果是像你說的是所有的向量都進去的話為什麼他 不寫for each vector 就好要寫 column vector?
S5 嗯...其實我也搞不太懂為什麼要加一個 column 就是我在讀這邊的時 候有點卡住但是後來想說就是不理那個column 這個字
R 喔所以你那時候有思考過這件事情
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S5 對有思考過然後我後來就是覺得價不加 column 都無所謂 R 那你有發現其實這邊有出現過column vector 嗎?
S5 嗯有我知道這邊有出現過 column vector，就是我這邊有寫就是第 j 個column vector
R OK S5 嗯對啊
R 然後可以看一下，逆這邊是寫c 什麼啊?
S5 喔就是 column 我就直接寫 col.就不想把它寫 R 喔我只看到cd，然後這個是 T(ej)嗎?
S5 對
R OK 好再來像啊這邊為什麼你要寫 T 屬於 Rn S5 你說為什麼 x 屬於 Rn 喔
R 對啊，為什麼他要說x 屬於 Rn?
S5 因為它要是從 n 維送到 m 維啊，所以你這邊原本的東西你一定要是 n 維的向量啊
（引自S5 訪談 S5-19）
在Recall that for any matrix A, Aej is jth column of A 這句話中，S5 能理解 此句的含意，並能舉例說明。
R 好ok 那接下來證明的第一行啊，他說 Recall that for any matrix A，
Aej is the jth column of A 嗯...這句話在談什麼?為什麼他是對的？
S5 就是我剛才講這個地方，就是你如果實際下去乘以後，你會發現 Aej 確實就是真的是第j 個 column
R 因 為 你 剛 剛 在 解 釋 底 下 這 個 部 分 的 時 候 你 是 在 解 釋 第 二 行 的 Aej=Tej
S5 嗯對
R 所以你認為底下這個計算過程他也可以用來解釋第一行?
S5 對
（引自S5 訪談 S5-20）
在and so T and the linear transformation T given by A TA( )
x
Ax agree on the
standard basis {e ,
1e , … ,
2e } of
n n這句話中，S5 認為 ( )TAx
Ax 是被證明出
來的，直到研究者詢問為何會突然出現TA 這個符號，S5 才重讀敘述，發現 TA65
是被定出來的。
R OK 好然後再來那個所以你知道這邊會寫 TAx=Ax 嗎?證明第三行。
S5 他這邊寫 TAx=Ax 就是告訴你說 Ax 就是你把 x 乘上 A 這個矩陣之 後確實是一個線性變換所以他特別些說他TAx 確實是一個線性變換 R 所以他是告訴你確實是就是
S5 對啊就證明出來，嗯?
R 還是你覺得證明他已經證明出來了嗎?在第三行的時候，你的意思是 說他已經出來TAx=Ax 嗎?
S5 嗯對
R 那他是根據什麼原因去證出這件事情?
S5 他因為對於每一個 j=1~n，Aej=Tej 這樣都會成立，所以他到最後就 直接推出來說所以他這個樣子應該是一個就是線性變換
R 好 S5 嗯
R 因為我在想說你那個TA 突然冒出來的東西嘛?
S5 TA 這邊嗎?
R 對啊TA 是一個突然冒出來的東西 S5 that given as Tx
R 然後前面都沒有出現TA
S5 對，linear transformation TA given by Tx=Ax agree on the standard，T a linear transformation TA，欸對所以這邊好像在定義 Tx=Ax，就好像這邊 是單純定義然後但我覺得他已經有說就是他除了他應該是說它 Ax 確實 是一個線性變換，但是我就定義說這個線性變換叫什麼，所以他就叫做 TAx
R 喔所以你現在認為他是定義
S5 诶就是它說它以精確定說它是一個線性變換，但是我想要給他一個 符號去表示說表示這個線性變換所以我就把它定義成TAx=Ax 嗯 R 所以這跟你原本剛剛的想法不一樣，你剛剛是認為他跟你說對所有 的j 然後 Aej=Tej 的話就可以說明，欸其實你剛剛也是說 Ax 也是一個線 性變換是不是?
S5 嗯對
R 只是你沒有...
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S5 只是這邊就是他新的符號出來，就是它已經說它是一個線性變換，
然後指是我在把它給這個線性變換名字而已 R 一個名字
S5 對
R 喔你剛剛是沒有去care 那個名字就對了是嘛?
S5 剛才有沒有 care 這個名字嗎?就是對啊就是搞不清楚 A TAx 的時候 就是要回來看這個名字所以就是喔他是把它定義叫什麼東西
（引自S5 訪談 S5-21）
在證明的第三段，S5 能理解定理 2.7，並將原命題的條件代入，證得結論。
並能用自己的話整理出來。
S5 然後像這裡面有說看到一些它說喔譬如說它這邊說定...要根據定理 2.7 那我就會先回去翻定理 2.7 的敘述，然後看完它的敘述之後呢我會再 回來就是再把我題目現在的東西帶進去這個定理的敘述裡面
R 喔
S5 嗯然後代進去看它是怎麼代的，然後代完之後我的到的結論是什麼，
嗯然後像我這次作的過程裡面我一開始只有看到說 T(v)可以寫成就是 T(b1)一直到 T(bn)的線性組合嗯 2 但是我少看到一個唯一所以我在就是 證到後面說喔所以我們得到什麼樣的結論我看起來就覺得很奇怪，然後 我就再回去檢驗說那個這本就是它的定理 2.7 是不是有漏看什麼然後發
嗯然後像我這次作的過程裡面我一開始只有看到說 T(v)可以寫成就是 T(b1)一直到 T(bn)的線性組合嗯 2 但是我少看到一個唯一所以我在就是 證到後面說喔所以我們得到什麼樣的結論我看起來就覺得很奇怪，然後 我就再回去檢驗說那個這本就是它的定理 2.7 是不是有漏看什麼然後發