學生常見之迷思概念

2.2 學生常見之迷思概念

【迷思概念之特色】

謝青龍(1995)認為所謂的迷思概念就是學生的想法或所持有的概念，和目前 學者們公認的概念不一，而迷思概念通常是在教師教學前或是教師教學過程中，

學生對某一種概念，因為一些因素而形成。所以迷思概念是指觀念、見解或是想 法有誤解，在數學上的迷思概念通常是由學生自行建構而成，將自己的經驗給予 合理化的一種解釋。但學生可能因心智未成熟或是學習基礎不夠扎實，於是忽略 許多必須列入考慮的因素，所以迷思概念為一種不完整的解釋。（陳鉪逸等人，

2010）

戴政吉（2001）提出學生迷思概念的來源主要可歸納為以下五種：

一、經驗：日常生活經驗或是直接的實驗經驗。

二、用語：平日的用語或是隱喻使用。

三、教學：非正式或正式教學。

四、同儕：同儕之間的信念及文化。

五、學校：敎師的教學過程以及敎科書內容。

由此可知學生的平日經驗，或是師長們有意無意的口語表達都深深影響著學 生學習，我們習慣的觀念或是說法，都是讓孩童建構知識的一個來源，若是沒和 孩童深入談話了解他們對這些觀念或說法的解讀，迷思概念可能就在無形中日積

月累漸漸成形。迷思概念有何特性？對學齡孩童學習的影響為何呢？鍾勝校

（1994）提出迷思概念的八大特性：

一、過程性：迷思概念通常是在概念發展或概念學習的過程中產生。

二、不完備性：迷思概念會影響學生對問題的思考周全性，使得學生呈現出來的 知識可能是片面性或不完整的概念。

三、非正統性：迷思概念有別於專家學者的、正統的觀念。

四、思考性：迷思概念會造成直覺、錯誤類比的思考方式，因而產生不正確推理 或不成熟的思考結果，但迷思概念都含有概念思考的成分。

五、個別性：很多迷思概念是學習者將資訊內化，以自己的經驗解釋、建構出屬 於自己的意義，成為個人特有的迷思概念。

六、普遍性：有些迷思概念會出現在某些年齡層或是某些特定文化族群。

七、不穩定性：有些缺乏正確概念的學習者，概念學習無依據可循，所以其所產 生的迷思概念具有相當不穩定性，容易產生也容易消失。

八、頑固性：有些學習者對特定的迷思概念根深蒂固，難以改變。

由以上可知有些迷思概念通常根深蒂固在學習者心中，未必能輕易改變，所 以對學生影響甚大，學生在前一階段學習過程產生的迷思概念常會影響現階段學 習或是影響其他領域的學習，造成負向學習遷移，而且不容易消除；當學生在面 對日常生活問題，也習慣使用自己過去錯誤的方法或憑直覺處理，在處理過程可 能會遭遇許多挫折。

【數學中的迷思概念】

Marilyn Nickson（2000）發現對於數學運算的正確性，多數學生通常就是 以自己所計算的結果作為判斷依據，而非以符號運算法則或是數字法則來判斷。

判斷依據的建立主要是在學生之前學習整數和小數概念時所形成的，整數是學生 在學習數學時最先學到的基本概念，當學生學習整數運算時常見的迷思概念如

下：（陳鉪逸等人，2010）。

一、忽視進位、退位，學生在加法、乘法中忘記進位，在除法和減法中忘記退位，

除了是學生的粗心造成，也可能是學生的位值概念需要再加強。

二、減法中不考慮被減數、減數的意義，習慣以大數減小數的方式處理每個位值 的計算，例如：236－199=163，學生用 2 減 1，9 減 3，9 減 6。

三、判斷數值大小受整數概念影響，只比較數碼多寡卻忽略位值的意義，例如：

328＞27，在整數中，三個數碼的數一定比二個數碼的數大；但，3.28＜27，

在小數中，未必數碼多就比較大。

四、乘以 10 的運算受整數計算影響，造成日後學習迷思，例如：16×10=160，整 數乘以 10，即是在原數字後多一個 0；但 1.6×10＝16，學生可能會認為 1.6

×10＝1.60。

五、文字題中的關鍵字對學生造成誤導，例如：「和」是加法、「差」是減法、「倍」

是乘法、「平分」是除法，以上關鍵字皆需配合文字題的前後意義，才知是 何種運算法。

六、除法中不考慮被除數、除數的意義，認為被除數一定比除數大，於是直接大 數除以小數，例如：6÷30=5，學生算成 30÷6。此迷思概念會對日後的分數、

小數除法學習形成嚴重的負向學習遷移。

七、「乘法越乘越大，除法越除越小」的觀念只適用於整數範圍，小數、分數及 負數領域未必符合此現象。

以上概念可能是學生在學習正整數運算時，因練習、經驗或是教師課堂上表 達的語意而自行歸納的特性，若學生沒有釐清這些概念的適用範圍，便會對日後 的分數、小數及負數的學習形成迷思概念，影響新觀念的學習。

研究者在平日教課的觀察中發現，多數的學生看到除法的計算有小數數值，

會選擇直接放棄作答，學生表示因為不懂小數，對小數基本加法、減法感到困惑，

從學生的練習中，也可發現學生在小數加法和減法的直式運算，就已經沒有對齊

的觀念，或是忽略小數點，直接將小數當做整數處理，小數對學生而言是一門困 難的學習課程，主要是因為受之前學習整數概念的影響，學生對小數產生太多迷 思。陳鉪逸等（2010）將學生常見的小數迷思概念整理如下：

一、小數意義迷思：這部分的迷思主要是受整數概念的影響，而產生混淆。

（一）小數點之後的數字當成整數而造成讀法錯誤，例如：0.21 讀成「零 點二十一」（劉曼麗，1998）。

（二）不考慮最小的位值而認為小數點後任何位值的零，都可省略，例如二 十點零二寫成「20.2」（劉曼麗，2002）。

（三）沒有釐清 1 與純小數之間的大小關係，例如：0.999999＞1。

（四）小數當成整數（劉曼麗，1998）。

（五）小數和整數的位名混淆，例如：將 0.31 中的 3 當作十位數（陳永峰，

1998；劉曼麗，2002）。

二、小數位值迷思：對小數位值基本概念的缺乏，以至於忽視小數點存在，例如：

27.6 寫成 276，小數位值的迷思概念將會造成在小數加減法的直式運算中對 齊不正確，導致於錯誤的運算結果（潘耀圭，1982）。

三、小數化聚迷思：對整數和小數的關係不清楚的學生，會直接將個數與單位值 合成，例如：62 個 0.1＝0.62（劉曼麗，1998）。

四、小數比較大小迷思：在純小數的部分，部分學生受整數法則影響，認為小數 點後的數字越多值越大，例如：0.567＞0.65；也有部分學生受分數法則影 響，以為小數點後的數字越多值越小，例如：0.231＜0.21（吳昭容，1996；

郭孟儒，2002；劉曼麗，2002）。

五、單複名數轉換迷思：部分學生在單位換算時，直接將單位小的部分當作小數 部分，例如：6 公斤 20 克＝6.20 公斤，將 20 克視為小數部分（陳永峰，1998）。 六、小數和分數關係迷思：當分數轉換為小數時，將分子、分母其一視為整數部

分，另一項則視為小數部分，例如：1

4＝1.4 或 4.1（劉曼麗，2002）。而當

兩位小數轉換為分數時，會直接將分母寫成 10，例如：0.12＝12

10 （艾如昀，

1994；劉曼麗，1998）。

加法、減法、乘法是最基本的運算方式，其中除法更是半數學生的夢魘，學 生最熟練的是加法，乘法則是加法的累積，在熟記九九乘法的情況下，學生對於 乘法運算也相當有把握；對於減法，少數有退位的困擾，各個位數的運算總是習 慣以大減小，對於退位借十並沒有牢記在心；除法是這四種運算最困難的運算 法。除法是減法和乘法的結合，學生常常不知如何取適當的商數，而且其他三種 運算法都是從位數小的個位數、十位數往位數大的百位數、千位數開始計算，獨 獨除法與這三種運算法的運算順序相反，除法是從位數大往位數小進行運算，還 必須根據商數的位數來決定每一次的運算位數，對於初學者而言，是頗有難度的 運算法。

以下是學習者在學習數學除法時所遭遇的困難（吳信輝，2005）：

一、將橫式算則改寫為直式算則時，容易將數字寫在錯誤的位置，將除數和被除 數混淆。

二、當有連續的 0 數值運算，會有借錯位的現象。

三、面對大數值的運算會感到恐懼。

四、對於需要退位的除法直式算則，感到困擾。

在小數的運算中，基本的加法、減法中，有部分學生不知應該以小數點位置 為對齊點，而乘法運算結果的乘積又搞不清楚小數點所該放置的位置，若是學生 沒將整數除法學習好，便會影響小數除法的學習，無法進行良好的學習遷移，多 了一個小數點的存在，無疑就是雪上加霜，學生原本已感混亂的整數除法運算更 難以抽絲剝繭、破除迷思、解決困境。舊的迷思概念無法澄清，反而還衍生出新 的迷思概念，陳鉪逸等（2010）綜合艾如昀（1994）、吳昭容（1996）、陳永峰（1998）、 劉曼麗（2002）、劉曼麗和侯淑芬（2007，2008）的文獻，將學童在小數乘除過

程中常見的迷思整理如下：

一、乘會變大，除會變小，例如：認為 30×0.9＞30。

二、乘法運算時，積數的小數點位置放錯，例如：認為 12.3×3＝3.69，事實上，

小數點應從低位數往左取。

三、乘法運算時，忽視小數點，例如：認為 3.2×2.2＝704，事實上，此運算結 果的積之小數位數應有兩位，即被乘數和乘數小數位數的和。

四、乘法運算時，直式算則使用不當，例如：

五、乘法運算時，將 0 省略後才取小數點，例如：認為 2.2×0.5＝0.110，事實 上應為 1.10，將小數點位數取好後，才將小數點後最後一位的 0 省略。

六、任一數和純小數（0 點幾）相乘，答案總是小於 1，例如：認為 0.27×30＝

0.81＜1。

七、除法運算時，習慣「大數值」÷「小數值」，例如：認為 0.2÷0.4＝0.4÷0.2。

八、除法運算時，餘數小數點位置放錯，例如：2.19÷1.3，認為餘數是 11。

所以身為教師需掌握學生的迷思概念，才能針對這些迷思概念進行即刻澄清並給 予加強，以此作為教學依據，使其不成為學生延伸學習的絆腳石。對於被迷思概

所以身為教師需掌握學生的迷思概念，才能針對這些迷思概念進行即刻澄清並給 予加強，以此作為教學依據，使其不成為學生延伸學習的絆腳石。對於被迷思概