不同合作學習法在小數除法學習成效之提升-以國中七年級為例

國

立

交

通

大

學

理學院科技與數位學習學程

碩

士

論

文

不同合作學習法在小數除法學習成效之提升-

以國中七年級為例

The Learning Achievement of Different Cooperative Learning into

Enhancement of Seventh Graders' Decimal Division Learning

研 究 生：黃晶雅

指導教授：李榮耀 教授

不同合作學習法在除法學習成效之提升-

以國中七年級為例

The Learning Achievement of Different Cooperative Learning into

Enhancement of Seventh Graders' Division Learning

研 究 生：黃晶雅 Student：Ching-Ya, Huang

指導教授：李榮耀 Advisor：Jong-Eao, Lee

國 立 交 通 大 學

理學院科技與數位學習學程

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Degree Program of E-Learning College of Science

National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master

in

Degree Program of E-Learning

June 2013

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

不同合作學習法在小數除法學習成效之提升-

以國中七年級為例

學生：黃晶雅 指導教授：李榮耀 教授

國立交通大學理學院科技與數位學習學程

摘要

本論文研究目的主要為分析國中學生在小數除法計算中常見的錯誤，並 以不同合作學習法將常見的錯誤觀念釐清，提升學生在除法基礎運算的能 力。本研究為準實驗研究法，以暑期輔導的班級進行教學實驗，結果為兩種 不同合作學習法雖然在前測、後測、密度測驗無顯著差異，但進行之後都可 提升該班學生的除法學習成效，並在密度運算達到正向學習遷移。而思考分 組分享法(TPS)學習的學生，對整個課程滿意度較高。 關鍵詞：合作學習、補救教學、學習遷移

The Learning Achievement of Different Cooperative Learning

into Enhancement of Seventh Graders' Decimal Division

Learning

Student：Ching-Ya, Huang Advisor：Jong-Eao, Lee

Degree Program of E-Learning

College of Science

National Chiao Tung University

Abstract

The purpose of this thesis is to analyze the common mistake of junior high school students in decimal division calculation, and to enhance the students' ability of division calculation by different cooperative learning. The research is a quasi-experimental design. The researcher put into practice in summer subsidiary course. According to teaching experimental results, there have been no significant difference in pre-test, post-test and density test. But cooperative learning can enhance division learning effectiveness and is contributive to density calculation. The students of TPS method felt more satisfied with the course as a whole.

誌 謝

感謝這一路來給予我支持、鼓勵的所有人。謝謝我的指導教授-李榮耀教授， 給予我指導，並給予建議、規畫論文的進度，我才能順利完成論文；謝謝口試委 員們的勉勵；謝謝我的母親，幫我打點家裡的一切，照顧孩子，想跟母親說一聲： 「媽媽，您辛苦了，謝謝您！」；謝謝我的先生，不辭辛勞的接送我到交通大學 唸書，一直給我鼓勵、打氣；謝謝我的研究夥伴們，這一路來幸好有你們互相扶 持、督促；謝謝我的主任，鼓勵我進修、開闊視野；謝謝我的學生們，讓我堅持、 給予我回饋。謝謝交通大學碩士在職專班數位學習組，這兩年來的學習，除了學 會一些教材製作的技巧，也讓我獲得許多新知，更重要的是，充實我的心靈，讓 我會用不同角度去看待事情。感謝老天爺，賜給我這一切！

目 錄

摘要 ... III ABSTRACT... IV 目 錄 ... VI 表目錄 ... VIII 圖目錄 ... IX 第一章 緒論... 1 1.1 研究動機... 1 1.2 研究目的... 6 1.3 研究問題... 7 1.4 研究限制... 7 1.5 名詞解釋... 8 第二章 文獻探討 ... 9 2.1 現今國中自然教材中需應用數學計算之單元分析 ... 9 2.2 學生常見之迷思概念...18 2.3 補救教學...23 2.4 學習金字塔 ...28 2.5 合作學習法之活化教學...31 第三章 研究方法 ...43 3.1 研究對象...43 3.2 研究設計...44 3.3 研究流程...50 3.4 研究工具...51 3.5 資料分析...52 第四章 研究結果與探討 ...53 4.1 學生整數、小數除法錯誤類型分析...53 4.2 學生的除法學習成就表現比較 ...60 4.2.1 實驗組與對照組之測驗成績比較分析 ...60 4.2.2 實驗組與照組之前測-後測，前測-密度測驗成績比較分析 ...62 4.2.3 實驗組與對照組之高成就、中成就、低成就前測-後測，前測-密度測 驗成績分析...64 4.2.4 實驗組與對照組之高成就、中成就、低成就測驗成績分析 ...66

4.3 學生的學習態度及合作學習法回饋表現比較 ...71 4.3.1 實驗組與對照組對數學學習的自我認知感分析...72 4.3.2 實驗組與對照組對數學合作學習課程滿意度分析...74 4.4 小組日誌及教師教學觀察記錄 ...78 第五章 結論與建議 ...82 5.1 研究結論...82 5.2 研究建議...84 參考文獻 ...86 附錄一、學生學習態度問卷(認知感) ...90 附錄二、學生學習態度問卷(回饋卷) ...92 附錄三、除法前測卷 ...93 附錄四、除法後測卷 ...94 附錄五、求下列各物質的密度（請以小數表示） ...95 附錄六、施測題目中學生的錯誤類型 ...96 附錄七、學生除法高層次解題類型實例 ...100

表目錄 表 1、研究者學校學生國中三個年級不同學習成就學生的學習狀況 ... 3 表 2、一百零一學年度康軒自然與生活科技領域教材單元 ...10 表 3、低學習成就學生特色 ...25 表 4、本教學實驗研究的各種變項與內容 ...44 表 5、調整後的教學法...45 表 6、獎勵點數累積...46 表 7、國中七年級新生小數除法學習成效提升研究之十二堂課進度表...48 表 8、對照組 STAD 與實驗組 TPS 前測成績比較 ...60 表 9、對照組 STAD 與實驗組 TPS 後測成績比較 ...61 表 10、對照組 STAD 與實驗組 TPS 密度測驗成績比較...61 表 11、對照組 STAD 與實驗組 TPS 進步分數成績比較...61 表 12、對照組 STAD 前測－後測成績比較 ...62 表 13、實驗組 TPS 前測－後測成績比較 ...63 表 14、對照組 STAD 前測－密度測驗成績比較 ...63 表 15、實驗組 TPS 前測－密度測驗成績比較 ...63 表 16、對照組 STAD 高成就、中成就、低成就前測－後測成績比較...64 表 17、實驗組 TPS 高成就、中成就、低成就前測－後測成績比較...65 表 18、對照組 STAD 高成就、中成就、低成就前測－密度測驗成績比較 ...65 表 19、實驗組 TPS 高成就、中成就、低成就前測－密度測驗成績比較...66 表 20、對照組 STAD 與實驗組 TPS 高成就學生前測成績比較 ...67 表 21、對照組 STAD 與實驗組 TPS 高成就學生後測成績比較 ...67 表 22、對照組 STAD 與實驗組 TPS 高成就學生密度測驗成績比較 ...67 表 23、對照組 STAD 與實驗組 TPS 高成就學生進步成績比較 ...68 表 24、對照組 STAD 與實驗組 TPS 中成就學生前測成績比較 ...68 表 25、對照組 STAD 與實驗組 TPS 中成就學生後測成績比較 ...69 表 26、對照組 STAD 與實驗組 TPS 中成就學生密度測驗成績比較 ...69 表 27、對照組 STAD 與實驗組 TPS 中成就學生進步成績比較 ...69 表 28、對照組 STAD 與實驗組 TPS 低成就學生前測成績比較 ...70 表 29、對照組 STAD 與實驗組 TPS 低成就學生後測成績比較 ...70 表 30、對照組 STAD 與實驗組 TPS 低成就學生密度測驗成績比較 ...70 表 31、對照組 STAD 與實驗組 TPS 低成就學生進步成績比較 ...71 表 32、對數學學習的自我認知感 ...73 表 33、對合作學習課程滿意度 ...74

圖目錄

圖 1、學習金字塔(LEARNING PYRAMID)...30 圖 2、STAD 分組方式 ...47 圖 3、TPS 分組方式 ...48 圖 4、座位安排 ...48 圖 5、教學實驗流程圖 ...51

第一章 緒論

1.1 研究動機

研究者學校位於苗栗縣靠近台中市的區域，低收入戶、中低收入戶、失親、 單親、寄親、隔代教養、外籍配偶子女為數不少，即便不屬於前述五種，也可能 因家中子女眾多或是和父母年齡差距過大(差距達四十五歲)、家中經濟能力不佳 而常常繳不出學習費用，學校常常要為這些學生申請補助協助就學，而學區內的 家長對孩子學業普遍要求不高，一來是希望孩子快樂學習沒有壓力，社經地位低 的家長和學生並不像四五十年代的弱勢家庭認為可以靠教育翻身，晉身到更好的 社會階層。二來是因為忙於生計對學生課業上的關心較少，學生學業成就不高。 學校沒有亮眼的升學成績，所以學生外流情況一年比一年嚴重，研究者剛到這間 學校，學校全數二十二班，每班將近四十人，來到這間學校已經接近十年，現今 只剩十四班，每班約二十到三十人不等。剛到這間學校的前五年，大部分的學生 都具備基本數學運算能力，但看題目列式能力不足；然而近五年，學區內國小名 列前茅的學生來本校就讀意願不高，於是校內競爭力逐年下降，一個班上裡面數 學基本運算有障礙或不熟練基本運算的學生約占了班上的二分之一以上。學區附 近無任何一家書店，只有唯一一家文具店，實屬文化刺激弱勢地區，在家庭背景 和地區皆屬弱勢的影響之下，文化刺激不足，學生上進意願不高，於是間接造成 學生在學業上的表現普遍屬於低成就（楊肅棟，2001）。目前全國國民中學皆是 常態編班，在一個班上，學生的學習速度不同，學習反應不一，對於基層教師而 言，「把每個孩子帶起來」實在不容易。 九年一貫將國中小的學習領域分為七大領域八大科目，而研究者是擔任自然 領域教學的老師，自然領域即是將生物、理化、地科與生活科技合併為一個領域， 研究者所任教的學校採為合科教學為主，在學校的規畫之下，每個班級通常在國

中七年級到國中九年級都是由同一位老師擔任自然科領域教學。在教學的過程體 認到多數學生隨著年級的增長對學習興趣的低落，而逐漸放棄學習，一直努力思 考原因所在，希望能改善現況。 國中七年級的自然科目主要以生物內容為主，多數升上國中的七年級同學對 這方面感興趣都願意學習，上課互動良好，願意發表想法，也願意花時間去準備 這堂課。但是升上國中八年級之後，很明顯的發現學生在自然領域的學習動機、 學習意願、學習成績有明顯的落差。若將班上學生分為三個族群，高學習成就學 生、中學習成就學生、低學習成就學生，則國中七年級的自然領域學習中，三個 不同學習成就的學生成績差異不大，在段考成績的表現，全班的平均約可達 70~80 分，而最低分的同學至少還能維持在 60 分邊緣；但到了國中八年級，在自然領 域的學習，成績屬於高學習成就的學生還能維持在自己的水準，但是中學習成就 的學生，成績開始往下降，有些是逐次下降，有些是大衰退；而國中八年級下學 期時，在自然領域的學業成績表現，班上只剩下兩個族群，高學習成就學生和低 學習成就學生，呈現 M 字型分布，在學習態度的表現，高學習成就學生能跟上教 師的教學步驟，並有成就感；原先屬於中學習成就的學生，仍是努力聽課，但是 某些單元的學習跟不上敎學進度，還沒學會就又要學新的，他們只能就他們能理 解、學得會的單元盡力學習；對於原先屬於低學習成就的學生，學習對他們而言 只是一種交差了事。表 1 為研究者針對學校學生國中三個年級不同學習成就學生 的學習狀況所作整理。 在表 1，我們可發現國中九年級低學習成就學生放棄學習的情況為一種嚴重 消極的態度，而國中七年級的低學習成就學生，對學習並不至於完全放棄，還是 會願意多少學一點。所以我們若是能提早協助低學習成就學生解決學習困擾，或 許能避免學生隨著年齡增長而開始放棄學習。

表 1、研究者學校學生國中三個年級不同學習成就學生的學習狀況 國中七年級 國中八年級 國中九年級 高學習成就學生 1.會主動閱讀相 關生物資料，偶爾 會在老師的要求 以外多寫一些作 業。上課常常會舉 手發言表達自己 的看法。 1.跟得上進度，會 跟教師互動，有意 願多學一些。 1.跟得上進度，比 較會跟教師互 動，也會主動找題 目來練習。 中學習成就學生 2.非常安份守 己，上課認真，寫 作業用心，對於自 然科的學習有成 就感，也會關心自 己段考成績的表 現。 1.會努力配合老 師的教學要求，在 課業表現開始出 現感到困擾的情 況，成績較一年級 時退步，想提升成 績，卻沒有好方 法。 1.上課會抄筆 記、回家會寫功 課、完全配合老師 的步驟，但不會主 動找習題練習，學 業成績表現趨向 低學習成就。 低學習成就學生 1.偶爾會上課發 呆。對生物知識的 學習有好奇心、也 有興趣，會提問。 作業有時會缺交。 1.難以引起學習 動機，成績下降幅 度大，上課發呆次 數增多。作業缺交 情形增加，但在老 師注意的情況下 仍願意抄筆記。 1.完全放棄學 習，不聽課、不抄 筆記、不寫作業。 嚴重者甚至上課 就直接趴在桌上。

在和同校的同領域其他老師討論學生的這種狀況，我們發現這並不是單一班 級的現象，而是學生的普遍現象，而且在研究者任敎的學校是一年比一年更普 及。學生在八年級的成就表現更是對堅持學習的影響關鍵，在討論的過程中，我 們發現學生在密度單元，中後段學生的瓶頸即浮現。密度單元通常是安排在國中 八年級上學期的第一章，也是學生在自然領域理化部分遇到的第一個運用數學計 算的觀念，學生可以理解密度的意義、公式，也能根據已知的線索列出正確的式 子，但是對於將密度轉成計算數字結果還是有障礙，因為學生對除法的意義、及 橫式除法轉成直式除法仍是觀念不清，最基本的除數、被除數分不清楚，化成直 式除法後，怎麼除又一再困擾著他們，他們不知道如何取適當的商數，若是數字 再有小數點出現，低學習成就的學生幾乎是棄筆投降，直接空白，表明他不會處 理小數點，基本的運算能力不足是影響他們在國中八年級以後在自然領域學習動 機降低的原因，畢竟在理化方面是需要很多數學能力來輔助學習的，而且近年來 研究者任敎學校的學生數學運算能力較為低落，尤其是在小數除法運算有許多迷 思概念，於是更早放棄學習。在教導理化的過程，發現學生對於有計算的學習單 元有相當大的排斥感，而近幾年連簡單基礎的理化計算問題（例如：密度、濃度）， 學生一樣排斥，只要是數字、只要需要計算，他們的直覺就是「我不會！」，於 是將理化視為困難的科目，選擇放棄學習。因為一開始學習八年級自然與生活科 技理化單元的部分，急需使用到自己不熟練的數學運算，對研究者學校的學生而 言可能就形成挫折，於是學生在腦海中形成刻板印像，認為自然與生活科技就是 一門艱難的學習領域，即使之後的課程中等偏易，學生也因一開始形成的刻板印 象而拒絕學習。所以在一開始的學習學生就能學會，進而提升成就感，方能引導 學生繼續加深加廣學習。學習宛如蓋房子，地基若不紮實，如何繼續向上延伸進 而更上一層樓呢？如果學生具備基礎的運算能力，對於學生學習自然領域有更大 的幫助，可形成跨領域的正向學習遷移。 我們常說數學為科學之母，其實學數學不只是學計算能力，更重要的是在學 習數學的過程中學會思考、培養解決問題的能力，基礎的計算實應是學生在學習

每個學科前都該有的基本能力。在這個科技發達的世代，曾有人主張：「數學計 算不會沒關係，只要會按計算機就好。」但也要有正確的觀念才能列出正確的數 學式子、按對計算機。若是在除法的計算中，分不清除數和被除數，即使有功能 強大計算機，也未必能正確使用。在加、減、乘、除四則運算中，對多數學生而 言，除法是最困難的計算，除法結合了乘法和減法兩種運算，學生必須會基本的 乘法和減法運算，方能將之結合進行運算。本研究希望釐清學生在除法計算的迷 失觀念，藉此加強除法運算能力及思考判斷能力，除了可以協助學生日後在理化 科計算部分的學習，也希望可以在釐清觀念的過程中學會思考計算結果是否合 理、做有意義的推測以選擇正確的方法。 十二年國民基本教育勢在必行，將於民國一百零三年全面實施，屆時所有的 國中生將進行大會考，大會考的成績目前分為三個等級，精熟、基礎、待加強， 未達待加強程度的學生將於高中時進行補救教學，而數學科方面將加考計算題， 這是和之前基測大不相同的地方，可見計算能力有提升之重要性。但是等到高中 才來進行補救教學是否為時已晚呢？本研究在不影響正常教學的原則下進行，原 先是針對考完基測的國中九年級學生進行，進行完前測之後了解學生的情況，要 進行教學時，發現難以進行下去，主要是學生的心態，因為免試入學擴大招生、 公私立學校學費齊一的政策，及少子化的問題，高中招生已出現供過於求的現 象，全部的國中九年級學生幾乎都有學校繼續升學，差別只在於他們就讀學校的 類型（高中、高職、五專）和聲望（名校、社區高中），學生覺得回過頭來釐清 或是學習自己仍需加強的除法觀念是沒意義且浪費時間，而且選擇高職、五專的 學生，因為已有分科別了，學生認為自己所選的科別，例如：美容、觀光，將來 不需要使用到除法，再者因為沒有基測的包袱了，有些學生請假沒來上課、或是 以公假名義去參加其他活動，上課出席狀況不佳，所以後來研究者把研究對象更 改為剛從國小畢業的國中七年級新生。由此可知，補救教學的實施實在不可拖延 至高中，不少學生已完全放棄學業，對學習無意願，隨著年齡增長，自主性更高， 更不願意積極參與補救教學。

從針對學習落後的學生補救教學教育文獻中，許多教師嘗試以多媒體、電子 白板或是合作學習的模式來進行，研究者和指導教授及任教學校的數學領域教師 討論，大家都有一個共同的想法，傳統黑板教學的效果在某些單元仍是無法被多 媒體或是科技教學所取代，千萬不可因噎廢食，或是過度強調多媒體教材，所以 研究者幾經思考決定以合作學習為主要進行補救教學模式，並以多媒體教學為輔 助。在教學現場中，我們發現學生多數都喜歡分組學習，但是當老師分組教學時， 學生在做什麼呢？身為教師的我們又如何確保每位學生在合作學習過程中都投 入其中呢？合作學習的方式很多種，哪一種是在這個除法補救教學單元比較適用 的合作學習方式？研究者將以學生小組成就區分法（Student's Teams

Achievement Divisions, STAD）及思考分組分享法(Think-Pair-Share, TPS)， 兩種不同的合作教學來進行研究及比較，希望能利用合作學習中的互動，讓學生 從敎中學，提升學生的學習成就感，加強學生的學習動機。

1.2 研究目的

本研究主要是從研究者的教學現場出發，以學生在學習基礎上的除法運算 為主軸，將學生常見的小數除法計算錯誤作為觀念澄清教材，以傳統板書及多媒 體教材進行教學，採用兩種不同的合作教學法，學生小組成就區分法（Student's Teams Achievement Divisions, STAD）及思考分組分享法(Think-Pair-Share, TPS)，進行合作學習的課程，對班上學生進行數學除法能力提升之教學，對原本 學習成就好的學生當做複習，對原本學習成就差的學生當做補救教學，希望有助 於學生在自然與生活科技領域之學習及應用。希望藉由教學實驗研究達到以下研 究目的： 一、了解並分析國中學生在整數、小數除法計算中常見的錯誤。 二、將常見的錯誤觀念釐清，提升學生在除法基礎運算的能力，以助於日後的學 習。

1.3 研究問題

本研究依據研究目的，以準實驗研究法進行教學實驗，期望能透過實驗結果回答 下列問題： 一、學生在不同合作學習法的學習成效表現是否有差異。 二、學生在不同合作學習法的課程學習滿意度是否有差異。

1.4 研究限制

一、研究者 研究者雖有數學教師證，修過四十學分，但本身並非數學本科系出身，多年 都以擔任自然科學為主，而數學是專業學科，在內容教材設計上，會以有助 於日後自然學科學習為主，所以有背景限制。 二、研究對象限制 本研究僅以苗栗縣南部的一所國中，暑期輔導課的兩個班各三十名學生作為 研究樣本，參與研究對象以國小升國中的七年級新生為主，此學區學生外流 嚴重，研究樣本不具普遍代表性，只適合推論到與本實驗類似之學校的學 生。其他地區的學生背景和學習條件未必相同，所以不一定能推論到其他區 域或其他樣本。 三、研究課程限制 本研究的課程單元是數學的小數除法單元，學生都曾學過除法，所以研究結 果不宜推論至其他數學單元或是沒學過除法的學生。 四、學生的心態 本研究課程是在暑期輔導課進行，沒有考試及分數的壓力，未必每一位學生 都是以全力以赴的態度參與課程，學習效果不一定是最佳狀況。

1.5 名詞解釋

一、迷思概念 學生在學習前既有的錯誤刻板印象或是在學習過程中因為某些特殊原因而 產生錯誤的想法。本研究所指的迷思概念主要是針對學生在數學整數和小數 除法運算單元進行分析。 二、學習金字塔理論 這是由美國的教育學家 Edgar Dale 在 1969 年提出，將學習分成被動學習和 主動學習，如果只是單純接收資訊的被動學習，兩週後所記得內容將低於 50％；將資訊吸收再藉由討論、教導和別人分享的主動學習，兩週後所記得 的資訊將高於 50％。本研究中的合作學習法就是一種主動學習。 三、補救教學 補救教學即教師對未達成教學目標的學生或學習有困難的學生診斷其學習 困難之處，針對學習困難的地方進行一連串積極性教學活動，幫助學生再學 習。本研究教學課程為學生都學過的除法運算，於2012年七月針對全班進行 授課十二節，希望能達成在班級內進行補救教學之功效。 四、學習遷移 學生在一種情境上學習到的規則、技巧，若是遇到類似的情境或是延伸的情 境則是會對上述兩種新情境的學習產生影響。本研究所指的學習遷移，主要 是指學生的數學除法運算技巧對自然領域學習的影響。 五、合作學習法 教師將學生進行分組，小組的組員在互相協助中力求進步，藉由團隊精神提 高個人學習成效。本研究所使用的兩種合作學習法分別是以學生小組成就區 分法（STAD）及思考分組分享法(TPS)為本，再依研究者的實務需求進行修 改的合作學習法。

第二章

文獻探討

研究者將在本章分別探討第一節現今國中自然教材中需應用數學計算能力 單元之分析、第二節學生常見之迷思概念、第三節補救教學、第四節合作學習法 之活化教學。

2.1 現今國中自然教材中需應用數學計算之單元分析

【自然與生活科技領域教材單元】 在科學的領域中，我們常需要以數學為基礎來驗證科學的真實性，或是給予 數學定義以便進行科學現象的解釋，所以常有師長告誡學生，：「要認真學數學， 數學好，自然科學才能學得好。」學生的數學先備知識將會影響自然科學的學習， 具備正確的數學觀念及運算技能有助於學生在自然科學領域的學習，形成正向學 習遷移；反之，數學基礎能力不佳，學生將因此形成學習困境，以致於學習成就 低，而產生抗拒學習的心理狀態。所以研究者將在此單元探討分析國中自然教材 中的數學單元。因現行的教科書內容大同小異，所以研究者將以任敎學校多年來 使用的自然領域教科書版本（康軒版）為主，分析自然科教材中數學運算技能單 元的探討。自然與生活科技領域教材需運用到數學計算的單元整理歸納如表 2。 由表 2 可知，目前國中的自然與生活科技領域的教科書，國中七年級仍是以生物 為主，國中八年級以理化為主，國中九年級以理化、地球科學為主，比例為 6： 5，生活科技則是分散在三個年級。國中七年級的部分需要利用數學計算的單元 不多，但國中八年級需要數學計算來輔佐自然科學觀念的單元最多，國中九年級 可能是因為地球科學單元的比重和理化單元的比重接近，所以並沒有像國中八年 級的教材幾乎每個單元都需要利用到數學技能。

表 2、一百零一學年度康軒自然與生活科技領域教材單元 七年級 數學運算 八年級 數學運算 九年級 數學運算 孕育生命 的世界 × 基本測量 ◎ 直線運動 ◎ 生物體的 構造 × 物質的世 界 ◎ 力與運動 ◎ 養分 ◎ 波動與聲 音 ◎ 功與能 ◎ 生物的運 輸作用 × 光 ◎ 基本的靜 電現象與 電路 ◎ 生物的協 調作用 × 溫度與熱 ◎ 水與陸地 × 生物的恆 定性 × 元素與化 合物 ◎ 板塊運動 與地球歷 史 × 科技進步 的推手 × 建造家園 × 運動中的 天體 × 資訊與生 活 × 化學反應 ◎ 動力與運 輸 × 生殖 × 氧化與還 原 × 電的應用 ◎ 遺傳 ◎ 酸、鹼、鹽 ◎ 電流與磁 現象 ×

演化 × 反應速率 與平衡 × 千變萬化 的天氣 × 地球上的 生物 × 有機化合 物 × 永續發展 × 生態系 ◎ 力與壓力 ◎ 科技你我 他 × 人類與環 境 × 適材適用 × 圖的妙用 × 鴻「圖」大 展 × × 代表該單元無數學概念或運算能力 ◎ 代表該單元有數學概念及運算能力 研究者將針對任教學校的自然領域教科書中需要數學技能的單元，探討任教 學校的學生在數學運算技能的學習狀況。各單元探討如下： 一、養分：數學運算能力主要是食物的熱能計算，由蛋白質、脂質和醣類每克的 大卡數計算食物的熱能，例如：開心糖含有 5 克醣類、1 克脂質，則 開心糖含有熱量 29 大卡。這個觀念，主要是利用加法、乘法的結合。 多數學生都能勝任，需提醒在計算時增加細心度。 二、遺傳：數學運算能力主要是應用棋盤方格法來推算子代性狀發生機率。從棋 盤方格法的結果看出比例、寫出比值。例如： ，在此棋盤格中， 隱性性狀 tt 占了 4 1 =25％。有些學生無法寫出正確比值、不知如何將 分數轉換成百分比。

三、生態系：數學運算能力主要是以捉放法估計生物族群大小，計算公式為 總群體數 總記號數 ＝ 捕捉總數 捕捉記號數 ，例如：在一山林中,抓到山羌 10 隻 並將之做記號，再放回群體，經過一個月後，隨意抓到 50 隻山羌， 其中有記號的有 5 隻，則可列式求得山林中的山羌總數，假設山羌 總數為 x ，則可列式： x 10 = 50 5 ， x ＝100，由此可知群體總數約為 100 隻。多數學生看完敘述不會列式，列式後不會利用交叉相乘求 解，或不懂使用一元一次方程式求未知數。 四、基本測量：數學運算能力主要是使用估計值、簡易的單位換算、測量平均值 計算、密度計算，學生須懂得取估計值，了解不同單位的關係， 密度＝ 體積 質量 。例如： （1）下圖箭頭長度約為 2.3 ㎝。 （2）3.2m＝320 ㎝。 （3）A 物體積 10 ㎝3 ，質量 2g，則 A 的密度＝2÷10＝0.2g/㎝3 。 部分學生不會取適合的估計值，對於不同單位的大小關係不清 楚，除法計算有迷思概念、基本除法技能不熟練。 五、物質的世界：數學運算能力主要是重量百分濃度、體積百分濃度，其中 濃度＝ 溶液 溶質 ×100％。例如：5g 糖溶於 20g 水中的糖水重量 百分濃度＝ 25 5 ×100％＝20％。有些學生對於×100％計算不了 解，以致於忽略這部分的計算、基本除法計算基礎能力有待加 強。 六、波動與聲音：數學運算能力主要是週期和頻率互為倒數、波速計算、回聲波

求距離，其中 （1）T×f＝1（週期×頻率＝1） （2）f×λ＝V（頻率×波長＝波速） （3）聲速求距離，例子如下：聲音在水中的速度為 1500m/s， 有一船的聲納發出聲音於 4 秒後收到回聲，則海底深度為 1500 ×4÷2＝3000（m）。在此單元學生需會善用公式，熟悉乘法，或 是利用已知項求未知項。但是我們發現有些學生對於倒數的定 義不清楚，而且計算類形增多，學生不會選擇適當的公式或是 利用基本定義求解，不會根據文字敘述列出數學計算式子。 七、光：數學運算能力主要是光速求距離、光反射的角度關係，學生在學習時需 了解科學記號、指數、了解互餘的關係找出角度大小，例如： （1）太陽發出的光需經 500 秒到地球，則兩星球間的距離 ＝3×108 ×500＝1.5×1011 （m） （2）下圖為光的反射圖，若入射角為 30 度，則∠3＝60 度。 。 但仍有部分學生不會將數值寫成科學記號，指數的運算不熟悉，未熟記 互餘的意義，角度判斷有問題。 八、溫度與熱：數學運算能力主要是溫標換算、熱量變化的計算，學生需有比例 觀念，需會善用ΔH＝msΔT 求熱量計算公式，例如： （1）一自設溫標，以水的冰點為 20°€，水的沸點為 70°€，則 30°€相當於 X°€，由下式可知 X＝20。 （70－20）：（70－30）＝（100－0）：（100－X） （2）30g 的水上升 2℃需吸熱＝30×1×2＝60 卡。 在比例的部分，學生不會外項乘積＝內項乘積，比值部分不會交 叉相乘，無法從文字敘述列出符合公式的算式。

九、元素與化合物：數學運算能力主要是以元素符號的標示計算質量數、中子數、 電子數、質子數，例如： Na23 11 代表：原子序＝質子數＝電子 數＝11，質量數＝23，中子數＝12。此部分為基本的加法、 減法運算，了解科學意義的情況下，多數學生都能依據已知 線索找出未知的數目。 十、化學反應：數學運算能力主要是質量守恆定律、分子量的求法、原子量、莫 耳數、質量的關係，例如： （1）反應物總質量＝生成物總質量。 （2）NaOH 分子量＝23＋16＋1＝40。 （3）5mol 水有 90g，相當於 5×6×1023 個水分子。 研究者發現學生最大困擾在於莫耳數的換算，因 1mol＝6×1023 個，數值甚大，容易讓學生心生恐懼及混淆。 十一、酸、鹼、鹽：數學運算能力主要是莫耳濃度、酸鹼中和時的定量，例如： （1）40g 的 NaOH 配製成 10 公升的溶液時，其莫耳濃度＝ 0.1M。 （2）10mL，5M 的 HCl 水溶液需要加入 500mL，0.1M 的 NaOH 水溶液才能完全中和。 此莫耳濃度需先算出莫耳數才能求莫耳濃度，或是計算酸鹼 中和所需的液體體積，若是莫耳的先備知識不足，學生在此 單元的數學計算學習將感到困難。 十二、力與壓力：數學運算能力主要是合力大小計算、壓力計算、帕斯卡原理、 浮力計算，例如： （1）方向相同，合力相加；方向相反，合力相減。 （2）P＝ A F （3） 1 1 A F ＝ 2 2 A F

（4）B＝W空－W液＝排開的液體重＝V沒×D液 在此單元的學習需要用到數學公式增多，對於定義不夠明確了 解的情況下，學生開始會產生混淆。學生最大的困難在於浮力 的計算，光憑文字敘述也不一定會將適合的線索放入公式中計 算。 十三、直線運動：數學運算能力主要是單擺週期、位移與路徑長、速率和速度、 等速度運動、平均加速度、等加速度運動、自由落體運動，例 如： （1）從時間和擺動次數關係圖找出單擺週期。 （2）ΔX＝X2－X1，位移＝速度時間關係圖所圍成的曲線面積。 （3）V＝ 1 2 1 2 t t X X   （4）a＝ 1 2 1 2 t t V V   （5）V末＝V初＋aΔt ΔX＝V初×Δt＋ 2 1 a（Δt）2 V末2＝V初2＋2aΔX 此單元物理運算公式多，且有許多座標關係圖出現，未必只是 代公式求結果即可，還必須了解各種關係圖的意義，從關係圖 找線索。學生的學習負荷增重許多。在此單元教導時，研究者 及學校內的其他教師還發現每一班平均有一半的人不會求梯 形和三角形的面積。每一班都有人連矩形面積算法都完全不 會。 十四、力與運動：數學運算能力主要是牛頓第二運動定律，例如：F＝m×a，物理 計算公式雖然只有一個，但卻具備了前一單元的觀念及各種計 算公式，並且要看懂 m－a 座標關係圖及利用 V－t 關係圖。對 學生而言並不容易學習。

十五、功與能：數學運算能力主要是功的計算、功率的計算、動能計算、重力位 能計算、力學能守恆、力矩計算、槓桿原理，例如： （1）W＝F×ΔX （2）P＝ t W （3）EK＝ 2 1 mV2 （4）U＝mgh （5）力學能＝動能＋位能 （6）力矩＝力×力臂 （7）順時鐘方向力矩＝逆時鐘方向力矩 在力矩和槓桿原理的學習中，具備數學基礎能力的學生，學習較 無困擾，也比較有成就感。其他的物理運算公式雖然是新觀念也 可能需要利用前單元的一些觀念，但是並不複雜，所以學習困擾 較無前兩單元來得沉重。 十六、基本的靜電現象與電路：數學運算能力主要是電流的計算、電阻的計算， 例如： （1）I＝ t Q （2）R＝ I V 本單元又是一個新觀念的開始，若是學生不因前 幾單元的影響對自然科學習感到困擾和排斥，學 生具備除法和乘法技能，並能判斷線索，將能勝 任此單元的計算問題。 十七、電的應用：數學運算能力主要是電能計算、電功率計算，例如： （1）E＝Q V ＝IVt＝ I2Rt_＝ R V2 ×t

（2）P＝ t E ＝ t V Q  ＝I V＝I 2 R＝ R V2 對學生而言，物理運算公式又變多了，學生需熟記公式，並依 據線索選擇適當的公式運算，本單元困難度不高，只要學生不 放棄學習，一樣可以學會並應用。 由以上可知，自然領域越往高年級發展，學習知識越多越深奧，數學運算也 越複雜；有些新學習的單元可能是曾經學習過的單元之延伸，需應用到已學過的 知識。若是先前學習的單元沒打好基礎，對之後單元的學習會形成負向學習遷 移，可能形成錯誤的迷思概念。簡易的數學運算能力不佳，將會形成學生的學習 阻力，學習負荷將會日漸加重，學生也可能因為長期的學不會，或是迷思未獲得 澄清，在學習上總是低成就而開始排斥學習，拒絕學習，認為自然領域是一門困 難的學科，即使之後學習的單元不需應用到數學計算，也因感到困難的刻板印象 而不願嘗試。以下則是將研究者任教學校三個年級的學生在自然領域學習的數學 運算困擾所做的分析： 一、七年級自然：課程以生物為主，數學計算的特色主要是基本的整數加法、乘 法、除法、比例，且計算數字幾乎都是整數。而學生數學運算的學習困擾為 食物熱量以加法為主，需多加練習。生殖機率以分數表示，多數人皆可理解， 但若是換成小數，則有部分學生不會換算，生態系裡的抓放法不會列式。 二、八年級自然：課程以理化為主，數學計算的特色主要是基本的加法、減法、 乘法、除法計算、比與比值計算，而且數字變化大（分數、小數或是更大的 數值計算）、計算公式多。而學生數學運算的學習困擾為非整除的計算不會 算，看到過大或是小數位過多的數值會心生畏懼，單位換算不會，列式即使 正確但基本運算不夠熟練。 三、九年級自然：課程以理化、地球科學為主，數學計算的特色主要是加減乘除 四則應用、懂得列式、善用公式是重點、需理解每個數值所代表的含意。計

算公式更多。有些公式可能是前單元延伸，於是運算方面的學習環環相扣。 而學生數學運算的學習困擾為不會列式、不會代公式、不會求面積、不理解 各項數值所代表的意義、不會想到應用曾經學過的知識進行新公式的推導或 線索整理、看不懂關係圖、無法說明關係圖的意義、不能從關係圖找出數據 線索。

2.2 學生常見之迷思概念

【迷思概念之特色】 謝青龍(1995)認為所謂的迷思概念就是學生的想法或所持有的概念，和目前 學者們公認的概念不一，而迷思概念通常是在教師教學前或是教師教學過程中， 學生對某一種概念，因為一些因素而形成。所以迷思概念是指觀念、見解或是想 法有誤解，在數學上的迷思概念通常是由學生自行建構而成，將自己的經驗給予 合理化的一種解釋。但學生可能因心智未成熟或是學習基礎不夠扎實，於是忽略 許多必須列入考慮的因素，所以迷思概念為一種不完整的解釋。（陳鉪逸等人， 2010） 戴政吉（2001）提出學生迷思概念的來源主要可歸納為以下五種： 一、經驗：日常生活經驗或是直接的實驗經驗。 二、用語：平日的用語或是隱喻使用。 三、教學：非正式或正式教學。 四、同儕：同儕之間的信念及文化。 五、學校：敎師的教學過程以及敎科書內容。 由此可知學生的平日經驗，或是師長們有意無意的口語表達都深深影響著學 生學習，我們習慣的觀念或是說法，都是讓孩童建構知識的一個來源，若是沒和 孩童深入談話了解他們對這些觀念或說法的解讀，迷思概念可能就在無形中日積

月累漸漸成形。迷思概念有何特性？對學齡孩童學習的影響為何呢？鍾勝校 （1994）提出迷思概念的八大特性： 一、過程性：迷思概念通常是在概念發展或概念學習的過程中產生。 二、不完備性：迷思概念會影響學生對問題的思考周全性，使得學生呈現出來的 知識可能是片面性或不完整的概念。 三、非正統性：迷思概念有別於專家學者的、正統的觀念。 四、思考性：迷思概念會造成直覺、錯誤類比的思考方式，因而產生不正確推理 或不成熟的思考結果，但迷思概念都含有概念思考的成分。 五、個別性：很多迷思概念是學習者將資訊內化，以自己的經驗解釋、建構出屬 於自己的意義，成為個人特有的迷思概念。 六、普遍性：有些迷思概念會出現在某些年齡層或是某些特定文化族群。 七、不穩定性：有些缺乏正確概念的學習者，概念學習無依據可循，所以其所產 生的迷思概念具有相當不穩定性，容易產生也容易消失。 八、頑固性：有些學習者對特定的迷思概念根深蒂固，難以改變。 由以上可知有些迷思概念通常根深蒂固在學習者心中，未必能輕易改變，所 以對學生影響甚大，學生在前一階段學習過程產生的迷思概念常會影響現階段學 習或是影響其他領域的學習，造成負向學習遷移，而且不容易消除；當學生在面 對日常生活問題，也習慣使用自己過去錯誤的方法或憑直覺處理，在處理過程可 能會遭遇許多挫折。 【數學中的迷思概念】 Marilyn Nickson（2000）發現對於數學運算的正確性，多數學生通常就是 以自己所計算的結果作為判斷依據，而非以符號運算法則或是數字法則來判斷。 判斷依據的建立主要是在學生之前學習整數和小數概念時所形成的，整數是學生 在學習數學時最先學到的基本概念，當學生學習整數運算時常見的迷思概念如

下：（陳鉪逸等人，2010）。 一、忽視進位、退位，學生在加法、乘法中忘記進位，在除法和減法中忘記退位， 除了是學生的粗心造成，也可能是學生的位值概念需要再加強。 二、減法中不考慮被減數、減數的意義，習慣以大數減小數的方式處理每個位值 的計算，例如：236－199=163，學生用 2 減 1，9 減 3，9 減 6。 三、判斷數值大小受整數概念影響，只比較數碼多寡卻忽略位值的意義，例如： 328＞27，在整數中，三個數碼的數一定比二個數碼的數大；但，3.28＜27， 在小數中，未必數碼多就比較大。 四、乘以 10 的運算受整數計算影響，造成日後學習迷思，例如：16×10=160，整 數乘以 10，即是在原數字後多一個 0；但 1.6×10＝16，學生可能會認為 1.6 ×10＝1.60。 五、文字題中的關鍵字對學生造成誤導，例如：「和」是加法、「差」是減法、「倍」 是乘法、「平分」是除法，以上關鍵字皆需配合文字題的前後意義，才知是 何種運算法。 六、除法中不考慮被除數、除數的意義，認為被除數一定比除數大，於是直接大 數除以小數，例如：6÷30=5，學生算成 30÷6。此迷思概念會對日後的分數、 小數除法學習形成嚴重的負向學習遷移。 七、「乘法越乘越大，除法越除越小」的觀念只適用於整數範圍，小數、分數及 負數領域未必符合此現象。 以上概念可能是學生在學習正整數運算時，因練習、經驗或是教師課堂上表 達的語意而自行歸納的特性，若學生沒有釐清這些概念的適用範圍，便會對日後 的分數、小數及負數的學習形成迷思概念，影響新觀念的學習。 研究者在平日教課的觀察中發現，多數的學生看到除法的計算有小數數值， 會選擇直接放棄作答，學生表示因為不懂小數，對小數基本加法、減法感到困惑， 從學生的練習中，也可發現學生在小數加法和減法的直式運算，就已經沒有對齊

的觀念，或是忽略小數點，直接將小數當做整數處理，小數對學生而言是一門困 難的學習課程，主要是因為受之前學習整數概念的影響，學生對小數產生太多迷 思。陳鉪逸等（2010）將學生常見的小數迷思概念整理如下： 一、小數意義迷思：這部分的迷思主要是受整數概念的影響，而產生混淆。 （一）小數點之後的數字當成整數而造成讀法錯誤，例如：0.21 讀成「零 點二十一」（劉曼麗，1998）。 （二）不考慮最小的位值而認為小數點後任何位值的零，都可省略，例如二 十點零二寫成「20.2」（劉曼麗，2002）。 （三）沒有釐清 1 與純小數之間的大小關係，例如：0.999999＞1。 （四）小數當成整數（劉曼麗，1998）。 （五）小數和整數的位名混淆，例如：將 0.31 中的 3 當作十位數（陳永峰， 1998；劉曼麗，2002）。 二、小數位值迷思：對小數位值基本概念的缺乏，以至於忽視小數點存在，例如： 27.6 寫成 276，小數位值的迷思概念將會造成在小數加減法的直式運算中對 齊不正確，導致於錯誤的運算結果（潘耀圭，1982）。 三、小數化聚迷思：對整數和小數的關係不清楚的學生，會直接將個數與單位值 合成，例如：62 個 0.1＝0.62（劉曼麗，1998）。 四、小數比較大小迷思：在純小數的部分，部分學生受整數法則影響，認為小數 點後的數字越多值越大，例如：0.567＞0.65；也有部分學生受分數法則影 響，以為小數點後的數字越多值越小，例如：0.231＜0.21（吳昭容，1996； 郭孟儒，2002；劉曼麗，2002）。 五、單複名數轉換迷思：部分學生在單位換算時，直接將單位小的部分當作小數 部分，例如：6 公斤 20 克＝6.20 公斤，將 20 克視為小數部分（陳永峰，1998）。 六、小數和分數關係迷思：當分數轉換為小數時，將分子、分母其一視為整數部 分，另一項則視為小數部分，例如：1 4＝1.4 或 4.1（劉曼麗，2002）。而當

兩位小數轉換為分數時，會直接將分母寫成 10，例如：0.12＝12 10 （艾如昀， 1994；劉曼麗，1998）。 加法、減法、乘法是最基本的運算方式，其中除法更是半數學生的夢魘，學 生最熟練的是加法，乘法則是加法的累積，在熟記九九乘法的情況下，學生對於 乘法運算也相當有把握；對於減法，少數有退位的困擾，各個位數的運算總是習 慣以大減小，對於退位借十並沒有牢記在心；除法是這四種運算最困難的運算 法。除法是減法和乘法的結合，學生常常不知如何取適當的商數，而且其他三種 運算法都是從位數小的個位數、十位數往位數大的百位數、千位數開始計算，獨 獨除法與這三種運算法的運算順序相反，除法是從位數大往位數小進行運算，還 必須根據商數的位數來決定每一次的運算位數，對於初學者而言，是頗有難度的 運算法。 以下是學習者在學習數學除法時所遭遇的困難（吳信輝，2005）： 一、將橫式算則改寫為直式算則時，容易將數字寫在錯誤的位置，將除數和被除 數混淆。 二、當有連續的 0 數值運算，會有借錯位的現象。 三、面對大數值的運算會感到恐懼。 四、對於需要退位的除法直式算則，感到困擾。 在小數的運算中，基本的加法、減法中，有部分學生不知應該以小數點位置 為對齊點，而乘法運算結果的乘積又搞不清楚小數點所該放置的位置，若是學生 沒將整數除法學習好，便會影響小數除法的學習，無法進行良好的學習遷移，多 了一個小數點的存在，無疑就是雪上加霜，學生原本已感混亂的整數除法運算更 難以抽絲剝繭、破除迷思、解決困境。舊的迷思概念無法澄清，反而還衍生出新 的迷思概念，陳鉪逸等（2010）綜合艾如昀（1994）、吳昭容（1996）、陳永峰（1998）、 劉曼麗（2002）、劉曼麗和侯淑芬（2007，2008）的文獻，將學童在小數乘除過

程中常見的迷思整理如下： 一、乘會變大，除會變小，例如：認為 30×0.9＞30。 二、乘法運算時，積數的小數點位置放錯，例如：認為 12.3×3＝3.69，事實上， 小數點應從低位數往左取。 三、乘法運算時，忽視小數點，例如：認為 3.2×2.2＝704，事實上，此運算結 果的積之小數位數應有兩位，即被乘數和乘數小數位數的和。 四、乘法運算時，直式算則使用不當，例如： 五、乘法運算時，將 0 省略後才取小數點，例如：認為 2.2×0.5＝0.110，事實 上應為 1.10，將小數點位數取好後，才將小數點後最後一位的 0 省略。 六、任一數和純小數（0 點幾）相乘，答案總是小於 1，例如：認為 0.27×30＝ 0.81＜1。 七、除法運算時，習慣「大數值」÷「小數值」，例如：認為 0.2÷0.4＝0.4÷0.2。 八、除法運算時，餘數小數點位置放錯，例如：2.19÷1.3，認為餘數是 11。 所以身為教師需掌握學生的迷思概念，才能針對這些迷思概念進行即刻澄清並給 予加強，以此作為教學依據，使其不成為學生延伸學習的絆腳石。對於被迷思概 念困惑、產生阻礙學習的學生，更應把握機會給予補救教學，使其跟得上其他同 學，才不致於因學習過度落後而放棄學習。

2.3 補救教學

在「親子天下雜誌 33 期」裡的一篇文章『十二年國教新挑戰：搶救「無動

力世代」』針對學生在課堂上學習的調查中，有 67.8％的學生表示在課堂上少有 機會表達自己的想法；而 68.3％的學生在課堂上沒有小組討論；45.1％的學生， 功課學習上的問題，不會找同學幫忙。學生在課堂的學習時，是相當孤獨、無助 的。學習跟不上的同學，不斷的學習只會不斷和班上學習跟得上的同學差距更 大。所以近年來我們教育界出現了「向芬蘭學習」的聲音。林志成（2011）在中 時電子報提出這不只是因為芬蘭學生在ＰＩＳＡ（國際學生能力評量計畫）、Ｔ ＩＭＳＳ（國際數學與科學教育普查）及ＰＩＲＬＳ（國際閱讀素養研究）等評 比名列前茅，更重要的是芬蘭的教育核心價值，堅持每一位孩子都要公平受教， 秉持「一個也不能少」的平等精神，所以芬蘭政府投入大筆經費針對學習成就落 後的低成就學生，屬於後百分之二十弱勢學生確實實施補救教學。我國教育部亦 在民國 95 年啟動攜手計畫課後扶助方案，希望能提昇有學習困擾的學習弱勢學 生之基礎學習能力，並協助這些學生在義務教育的過程中培養終身學習的能力， 已建立電腦化測驗系統，支援全國國民中學及國民小學學習落後學生進行鑑定， 並且可以分析、追蹤、累積各校參與攜手計畫的學生學習進展資訊。現今的國民 小學及國民中學補救教學資源平台學生管理系統也針對補救教學學生建立個案 管理，以協助長期追蹤輔導。 【低成就學生】 李咏吟（1990）指出所謂低成就學生即無法發揮學習潛力而成績表現不佳， 主因是缺乏努力、正確的學習方法及良好的學習習慣，並非是由智力因素所造 成。早期學者將低成就學生界定為智力正常的學生在學業上成績表現明顯低於自 己的能力水準，近期的學者則將低成就學生分為三類，第一類如同早期學者的界 定為學業成績表現明顯低於其能力水準的學生；第二類則是指學業成就明顯低於 整個班級的平均水準；第三類即成績低落者，是指學業成績不及格，且落後於其 他學生許多者（張新仁，2001）。需要進行補救教學的低學習成就學生大多具有 以下特色，我們以表 3 表示：

表 3、低學習成就學生特色 學業表現 日常行為表現 1.在學習測驗表現，基本作答技巧低。 2.學業成績上的表現較差。 3.閱讀、數學程度明顯比一般學生低。 4.對學業感到挫折感。 5.作業未能準時完成，或是完全抄襲同 學。 1.依賴性較重，需多給予注意。 2.對於有興趣的科目，傾向明顯且固 著。 3.注意力不容易集中，學習容易分心。 4.在學習上較無耐心、缺乏動機以致於 學習態度不佳。 5.對於自我掌控或社會性規範，感到困 難。 6.需要更多學習時間。 7.不喜歡作業。 8.習慣性遲到或是出席頻率低。 9.家庭支援少。 資料來源：張新仁（2000，補救教學面面觀，載於邱上真等主編：補救教學與實 務，1-40。高雄市：國立高雄師大特教中心。） 對於學習低成就的學生，若能給予合適的補救教學，將學生的迷思概念澄 清，充實學習基礎，將有助於學生未來的學習。李宏基（2010）認為教師不可把 補救教學當作是將教材內容重複敎一遍，應該要根據補救教學原則設計一套適合 學習困難學生的教材，並在課堂中協助學生找回對學習的自信，可以透過小組合 作學習提升學生的學習動機。關於補救教學的原則，Otto, McMenemy, Smith （1973）提出了以下十點：

一、學習者參與合作。

三、敎材、教學都應步驟化。 四、即時的回饋及適度給予增強。 五、讓學習者覺得學習有意義、教材有意義。 六、指導學生記憶。 七、建立良好的友誼有助於提升學習成效。 八、使學習者具有學習動機。 九、可在課堂上給予充分練習，減少課後壓力。 十、讓學習者在參與過程中，培養成功經驗。 【十二年國教之補救教學】 教育部實施的補救教學計畫之前身為「攜手計畫課後扶助方案」，是針對低 學習成就和身分弱勢的學生所進行的補救教學，採不強迫，由家長同意、學生自 願參加，但有些學生並不願意參加，因為雙低的標準，害怕自己的學業低成就會 被標籤化，也害怕自己弱勢的家庭背景會成為同學間嘲笑的主題。依據現今的補 救教學作業要點一百零一學年度的國民中學七年級和八年級學生，參加補救教學 線上評量測驗之標準化測驗結果屬於低學習成就者，不再限於需具備弱勢身分， 都應接受補救教學。 國文、英文、數學是基本工具學科，攸關其他科目、其他領域的學習，也是 進行下階段學習必須具備的學習能力，所以十二年國民基本教育實施之後的國中 七、八、九年級在國文、英文、數學三科成績表現屬於後 35％的學生，在接受 篩選測驗之後仍未達基本學習標準的學生，即是教育部所謂「學習低成就學生」。 後 35％是指在全國國中七、八、九年級各年級國中生總數的後 35％，並非是一 個班級或一間學校的後 35％。但若屬偏遠地區或具有其他特殊原因經地方政府 同意，篩選範圍可放寬至 40％，而班級人數未達十人者，則全班進行施測。而 篩選測驗的時間為每年九月，翌年二月及六月為「學習成長測驗」實施，就是成 長追蹤測驗，將透過電腦做補救教學前後的完整「全紀錄」，也可供敎師作為教 學調整的參考，符合「評量－教學－再評量」的補救教學循環歷程。補救教學的

編班方式原則為將學生抽離原班或進行協同教學。（教育部，2013，補救教學作 業要點）而協同教學的方式非常多元，可以大班教學，或是分組討論、個別學習 輔導。在本研究中，研究者希望能嘗試在同一班級內以不同的合作學習法進行分 組討論學習，讓低學習成就的學生能在班上進行補救教學。將學生抽離原班，無 形間容易產生標籤化效應，反而讓低學習成就者感到自卑，甚至對補救教學產生 厭惡感，而無法達到補救教學的成效。 臺灣的教育環境，因現實的家長期望、學校升學壓力，往往是考試引導教學， 學生為了考試學習，為了改善國中生的學習生態，紓解升學壓力，教育部將在民 國一百零三年全面實施十二年國民基本教育，教育部亦公開規定，各高中職及五 專學校在十二年國教實施之後，以免試入學登記為主要升學模式，入學依據不得 訂定任何條件，當登記人數超過錄取人數時則採用比序制度，總統也在今年（一 ○二年）的元旦文告宣布，預定在民國一○三年全面實施的十二年國民基本教 育，以非強迫、非義務、免試入學為主要原則，十年來作為升學依據的國中基本 學力測驗也將走入歷史，但為維持十二年國教後學生的基本學力，仍會舉行國中 教育會考，希望能「有效監控前期中等教育學力」並達到「適度減低考試壓力」 的目的，並在「降低壓力以活化學習」和「確保品質以維持競爭力」兩個目標中 取得平衡點。教育會考的題目主要是「難易適中」，會比國中基本學力測驗試題 的「中間偏易」較有難度，會考成績為標準參照，分為三等級，分別為「精熟」、 「基礎」、「待加強」，成績可作為高中職、五專新生學習輔導之參考，決定是否 給予「待加強」等級的學生進行補救教學。數學科「精熟」、「基礎」、「待加強」 三個等級的描述如下（103 年國中教育會考問與答，2012）： 一、精熟：能將數學概念連結、建立適當的數學方法解題及論證。 二、基礎：理解數學基本概念、能操作算則並將之應用於解題。 三、待加強：認識數學基本概念、操作簡易算則。 在未來的數學會考裡，將增加非選擇題的試題，可能是作圖題，也可能是運 算題。若是運算題，只會操作簡易算則仍屬「待加強」的等級。 為確保國民中學學生具備國語文、英語、數學三工具學科的基本學力，十二

年國民基本敎育實施之後，國中七年級學生，若是經由補救教學評量系統測驗篩 選屬於「學習低成就」，學校將為其安排補救教學課程，而且教育部為確保學生 素質也修訂「國民小學及國民中學學生成績評量準則」，原本畢業要求為學科只 需兩個領域及格提高為四個領域（教育部十二年國民基本教育宣導手冊 101.08.29），在學習上，學生除了面對會考還要達到畢業成績門檻，所以補救教 學對低學習成就學生而言是相當重要，如何在班級內進行補教教學更是對老師的 一大挑戰。邱孟德、鍾靜（2010）提到在同儕小組合作的學習氛圍中，藉由組員 互相鼓勵建立小組間一個安全溫暖的學習環境，數學學習成就屬於低成就的學生 將能得以安心進行學習活動，對於課堂活動的參與度將會提高也更積極，有助於 讓數學學習低成就的學生從安靜等待解答、抄筆記，轉變為仔細聆聽其他人想 法，進而提出自己的疑惑處，減少對學習的排斥感，所以合作學習可作為教師進 行班級內補救教學的方法之一。

2.4 學習金字塔

目前大部分國中教師都是採用直接講述法進行多數課程，對教師而言，這是 一種最方便而且有效率的教學方法，可以如期完成課程進度，當有趕進度壓力 時，這是最快速的教學法。而我們的學生是否能在此種快速教學法獲得最佳的學 習效率呢？ 雖然學生可能從師長的教導獲取知識及技能，但學生常常是在教導同儕的過 程中真正弄懂一個新技巧或是新的概念。所以十九世紀的英國教育學家 Joseph Lancaster 建立了一種「導生模式」的制度，鼓勵較年長或較優秀的學長去教導 年紀較小的學弟，嘗試「以孩子敎孩子」的方式同時教導一千多名學生。這種導 生模式的教學法，減少了師生之間代溝的問題（Armstrong, Thomas,1987）。當 大人教導小孩子，常常是以自己的觀點出發去看事情而有盲點，大人最常對還沒 學會的孩子說：「怎麼連這個也不懂？」「這種問題很簡單，怎麼都學不會！」「題

目很簡單怎麼也要算那麼久？」，最後的結果就是大人敎得很生氣，小孩因不被 了解而感到很挫折，面對大人的質疑便心生自卑；而同儕之間的敎與學，因年齡、 學習經驗接近、較容易互相了解，可能就會減少彼此之間的鴻溝。哈佛大學教授 Mazur（1997）以「青少年幫助青少年成功」（youth helping youth succeed） 為理念中心提出同儕教學法，就是教學方式以學生為中心，讓學生確實參與教學 中的「敎」與「學」。 美國教育學家 Edgar Dale 所研究發展出學習金字塔的論點，這是依據不同 學習法，學習者在學習一段時間之後所記得的學習內容比率繪製而成的金字塔圖 表，如圖 1，金字塔可分為兩大部分，金字塔的上半部屬於被動學習，學習保存 率低於 50％；金字塔的底部屬於主動學習，學習保存高於 50％，越往金字塔底 部發展，兩星期之後的學習保存率越高。若是學生能學以致用，會的學生指導學 習落後的同學，便是將上課內容立即應用的最佳機會，這種學習效果，高達百分 之九十，在課程進度緊迫的情況之下，教師往往忽略了這個部分，其實當學生試 著以教師的身分指導其他同儕學習時，首先教導者會自然而然地要求自己對內容 要相當熟悉，而在教導的過程中，就像是再做一次知識統整，因為學生之間的溝 通主要是以語言呈現為主，教導者必須把自己所想的、所知道的轉化成其他人能 理解的表達方式。從此學習金字塔可知，學生的親自參與度高就是一種高效能的 主動學習（梁彩玲，2002）。

圖 1、學習金字塔(Learning Pyramid) 資料來源:

取自 E. Dale, Audiovisual Methods in Teaching, 1969, NY: Dryden Press.

美國哲學家和教育學家 Dewey 倡導做中學（learning by doing）的觀念， 他主張：「做（doing）本身性質就是思考或是在事務間進行有意義的連結，學習 效果就此達成，所以要讓孩童有事可做（something to do），便是讓孩童有事可 學（something to learn）。」傳統教學上因為有趕進度的壓力，時間有限的情 況之下，教師授課未必有機會讓學生親自做，即使讓學生動手做，可能只是照著 步驟進行，未必有時間導引學生在過程當中思考，積極嘗試，少了思考的「做」 是不具備學習意義的。Dewey「做中學」之學習精義是依循「情境─思考─學習 ─知識」的模式，而學習和知識的形成是學生主動建構內化意義的結果（吳木崑， 2009）。合作教學倡導的是小組討論、激盪腦力，學生是學習的主體，這種精神 符合了杜威的「做中學」理念，提高了學生的學習親自參與度，組員帶領組員間 的討論就是屬於學習金字塔底端「有目的的主導體驗」，將可提高學生的學習保

存率。

2.5 合作學習法之活化教學

這個世代的學生有主見，渴望被傾聽，更希望有表達自我的機會，傳統的教 學方法「老師敎、學生聽」勢必要進行些微調整，所以教育部推出「活化教學」 的觀念，希望老師們能站在學生的立場，以學生真的學得會的方式指導學生，而 不再只是老師自己講，在親子天下雜誌的調查中高達 83.9%的學生認為分組學習 是有幫助的，希望老師改變教學方式，採用分組學習。分組合作學習讓學生上課 可以討論，同儕之間也可以互相學習，逐漸帶動共同學習的氣氛，進而引領學生 「想要」主動學習（何琦瑜、賓靜蓀、張瀞文，2012）。 【合作學習法的優點】 在目前的常態編班架構之下，每一個班級內的學生個別差異非常明顯，許多 科目學業成就呈現「雙峰現象」，教師必須運用智慧思考採用合適的教學法，讓 學生在學習上有成功的機會。近年來教育部推行十二年國教，不斷地提倡活化教 學，希望能夠紓解國中生的升學壓力，也能改變現今的教學學習型態，讓學生成 為學習的主體不再只是一句口號，合作學習便是提倡活化教學的一個重點，所以 教育部特地在全國舉辦分組合作學習專業培訓工作坊，希望能讓教師們充電，把 這股活化教學的力量帶回校園內。在教育部的前一波教育改革「九年一貫課程改 革」中，明訂十大基本能力其中一項為「欣賞、表現與創新，表達、溝通與分享， 尊重、關懷與團隊合作，獨立思考與解決問題」呼應了課程改革的基本理念，希 望接受國民基本教育的學子能夠「自我表達、獨立思考、與人溝通、包容異己、 團隊合作」(教育部，1998 )，以上都點出了合作精神，現今的社會不再是只靠 單打獨鬥就能成功，企業界最講求的就是團隊，一個新產品的研發常常是一個研 發小組所設計的，團隊合作可以超越一個人的力量，創造出超越一個人的成就，

造福更多人的幸福。日本東京大學大學院教育學研究科教授佐藤學博士提倡學習 共同體，讓學生成為教室主人的概念，認為教師應該在課程中經由提問及設計活 動、實作或作業讓學生分組討論、交流想法以獲得刺激產生多元思考，以此拓展 開闊學生自己的視野，激發學生學習潛能，並讓孩子體會到團隊合作的意義、感 受其重要性及趣味性。佐藤學博士特別提出小組人數的設計不可超過四人，避免 有「閒置」人力而不參與小組學習（康軒教育專刊第一期，2012）。 黃政傑、林佩璇(1996)提出以下兩個近年來合作學習教學法受到重視的原 因： 一、異質性的分組可讓學習能力高的學生指導學習能力差的學生，經驗豐富的學 生藉由分享、交流協助經驗貧乏的學生進行學習，以提高學習成效。 二、小組組員間的合作學習是解除能力隔離、增進人與人互動、提升人際關係的 好機會。 王岱伊 ( 2002 ) 將合作學習的優點列舉如下： 一、在團體中的合作學習，觀點與經驗將會更多樣化，學習者會有更深一層的思 考與了解。而且合作學習更能支持並鼓勵組員間經驗和知識分享。 二、以學習者為主動參與者的合作學習中，有助於學習者主動參與學習，進而建 構知識。 三、合作學習組員的認同感、參與感與歸屬感將在合作學習的互動中油然而生。 四、學習者的新舊知識將透過合作學習的歷程獲得整合及成長，在經常性的發 表、分享、交流中，修正自己在學習中的迷思概念。 鄭心惠（2000）亦針對 1988 年 Johnson＆Johnson 所歸納合作學習促進學習 成效的原因整理為以下五點： 一、組員間的討論過程可建立高層次的認知策略。 二、當組員間的觀點、意見不同而有衝突時，組員為了解決爭議，學習動機因而

增強，便願意對教材有更深層的了解。 三、討論是口頭表達的最佳練習機會，每次的口頭表達都有助於統整認知，資訊 獲得的短期記憶將在此過程轉為長期記憶。 四、同儕間的互動，例如：糾正、支持、回饋和鼓勵，促使組員對於學習付出更 多努力。 五、異質性的分組，將使學生獲得更多元化的觀點。 【合作學習法的分組模式】 進行合作學習的第一步就是將學生分成數個小組，王岱伊（2002）將合作學 習的分組方式歸類為以下四種： 一、學生自行選組：這是多數學生最喜歡的分組模式，學生可以與平日熟悉或是 交情甚好的同學一組，優點是因為志同道合且已有良好友誼 基礎，所以較易溝通，合作學習也比較能順利進行，缺點則 是容易造成學生落單，或是被排擠。 二、隨機分組：對於初次進到該班級上課的教師，通常在還未認識學生之前即以 點號碼的方式分組，或是對學生已有基本認識的教師，則是採用 電腦隨機、亂數表、籤筒抽籤或是抽撲克牌組隊，優點是可避免 學生落單、多數學生對於這種分組比較不會感到不滿。 三、互補分組：即所謂的異質分組，依據學生的人格特質、成績、成長背景或其 他特性分組，小組內的組員每個人的分組特質有明顯差異，例如 學業成績表現好與學業成績表現不好的人一組。此分組方式的優 點是讓學生可以學習和自己不同特質的人相處，將來進入社會、 職場可提早適應環境上的不公平、不平等現象。缺點是，若是小 組中，有組員不付出努力的個性可能會拖累全組、或是搭順風車 直接獲取小組成果、成績，以致於小組中的其他成員會對敎師此 種分組模式感到不能接受，而影響學習氣氛。而且組員間有時落

差過大，難以互相對話及溝通。 四、平衡分組：此種分組方式將小組中每位組員給予角色設定，分組時將符合角 色設定的同學分派至各組別。例如：研究者曾在研習中聽過其他 教師分享，組員的角色設定為：精進長、文書長、總務長、器材 長，每一組都有這四種角色的組員。優點是每位組員都有工作安 排，不會有閒置人員，缺點是在一個班上未必有剛好符合此種角 色的人數，可能過多亦可能不足，或是學生不喜歡教師安排的角 色，而希望自己選擇組員角色。 【合作教學法種類】 合作學習教學法的種類甚多，依據 Slavin（1995）的分類，可分為學生小 組成就區分法(Student's Team Achievement Division,STAD)、小組遊戲比賽法 (Team Game Tournament,TGT)、拼圖法第二代(JIGSAW Ⅱ)、小組協助法(Team Accelerated Instruction,TAI)。以下為這四種合作學習法的適用範圍、流程及 特點整理：

一、學生小組成就區分法(Student's Team Achievement Division,STAD) （一）適用年級及學科範圍： 1.國小二年級到高中。 2.社會科、外文、科學、數學等有單一標準答案的學科。 （二）教學流程： 1.向全班介紹要學習的教材。 2.採異質分組，4~5 人為一組。 3.小考進行平常性評量。 4.計算個別進步分數。 5.利用各種方法公佈與小組表揚。 （三）特色：

1.小考可提供立即回饋。 2.進步分數為砥礪依據。

3.多數學科適用，也是最多教學者使用的合作學習法。 4.對於教導單一觀念或測驗題目只有一個答案時最為有效。 二、小組遊戲比賽法(Team Game Tournament,TGT)

（一）適用年級及學科範圍： 1.國小二年級到高中。 2.社會科、外文、科學、數學。 （二）教學流程： 1.向全班介紹要學習的教材。 2.採異質分組，4~5 人為一組。 3.每一單元作業完成後將進行成就測驗競賽。 4.將各組中的學習者依能力分派至各競賽桌，每個競賽桌測驗不同。 5.依競賽表現重新調整能力系統。調整方式：競賽桌的第一名晉升至 前一競賽桌，第二名留在原競賽桌，第三名降退至後一競賽桌。 （三）特色： 1.競爭機會公平。 2.以遊戲競賽取代小考，讓學生感到競賽樂趣。 3.小組學習為異質方式；學習競賽為同質方式。 三、拼圖法第二代（JigsawⅡ） （一）適用年級及學科範圍： 1.國小三年級到高中。 2.社會、文學、科學、適合資料搜尋的學科或可分割成數個小主題 的教材。 （二）教學流程： 1.異質分組。