學童幾何能力隨時間變化的情形

本研究依據 NAEP 2003 評量架構將幾何能力區分成：概念的了解、程序性 知識、問題解決，本節分別就此三項幾何能力進行 LGM 的驗證。由於 LGM 的 起始點與成長率兩個潛在變項的參數估計加權數，是依據直線成長模式做設定，

因此本研究的三項幾何能力以未標準化解的潛在直線成長模式作解釋（侯雅齡，

2009；張憲庭，2010）：

本研究為探討國小學童幾何能力隨時間變化的情形，將概念的了解、程序性 知識、問題解決三項幾何能力，以未標準化解的潛在直線成長模式作解釋，分別 敘述如下：

壹、 概念的了解

國小學童幾何概念的了解能力在不同時間點之平均數與標準差，如表 4-2-1 所示。國小學童在四、五、六年級三個不同時間點幾何概念的了解能力值之平均

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數分別為：1.461、1.464、1.725，數值逐年增加。而未標準化解的幾何概念的了 解潛在直線成長模式圖如圖 4-1-1 所示。

表 4-2-1

不同時間點幾何概念的了解能力之平均數與標準差

time1 time 2 time 3 平均數 1.461 1.464 1.725 標準差 1.002 .927 .962

圖 4-2-1 未標準化解之幾何概念的了解潛在直線成長模式圖

由圖 4-2-1 可知，國小學童幾何概念的了解能力的起始點與成長率這兩個變 項，其參數估計加權數是依據直線成長模式做設定，因此可得知起始點平均數 為.890，直線成長率平均數為.132，兩者呈現負相關。進一步探求國小學童幾何 概念的了解潛在直線成長模式的參數估計部分，結果如表 4-2-2 所示：

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表 4-2-2

幾何概念的了解潛在直線成長模式參數估計結果

估計值 標準誤 t 值 p 值 固定效果

起始點平均數 .890 .116 7.684 .000 直線成長率平均數 .132 .021 6.256 .000 隨機效果

起始點變異 2.900 .454 6.387 .000 直線成長率變異 .078 .016 4.999 .000 殘差變異 .245 .016 15.017 .000 共變與相關

起始點與成長率共變數 -.423 .082 -5.147 .000 起始點與成長率相關係數 -.886

由表 4-2-2 之固定效果部分可知國小學童幾何概念的了解的起始點平均數 為.890，成長率的平均數為.132，起始點與平均數的 t 值分別為 7.684 與 6.256，

兩者的 p 值皆小於.001 達顯著水準，表示國小學童幾何概念的了解能力的平均分 數為.890 分，之後隨著時間成長的平均速率為.132 分。

而在類似階層線性模式（Hierarchical Linear Modeling , HLM）分析的隨機效 果部分，國小學童幾何概念的了解能力的起始點與成長率之變異數分別為 2.900 及.078，且起始點與平均數的 t 值分別為 6.387 與 4.999，統計考驗的 p 值皆小 於.001 達顯著水準，表示國小學童在第一個時間點的幾何概念的了解能力即有顯 著差異，且個別國小學童在這三年的幾何概念的了解能力成長速率亦存在顯著差 異。至於殘差變異（E1 至 E3）的估計值為.245，此變異可視為以 HLM 分析時，

階層一之隨機變異，本研究殘差變異估計值不高，即代表可解釋的因素較多（邱 皓政，2011a）。

另外，幾何概念的了解能力起始點與成長率之共變數是-.423，相關係數為 -.886，表示在第一個時間點的幾何概念的了解能力較低的國小學童，隨著時間的 變化，其幾何概念的了解能力成長的速率較快；而幾何概念的了解能力在起始點 已有較佳表現者，可能受極高點效應（ceiling effect）的影響，其成長速率較緩（侯 雅齡，2009）。此研究結果與 Byrne & Crombie(2003)所提出的「學生數學起始點

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能力較高者，其數學能力的成長率反而降低」以及 Dietmar & Celia(2006)所提出 的「高成就學童成長速率較緩」雷同。

貳、 程序性知識

國小學童幾何程序性知識能力在不同時間點之平均數與標準差，如表 4-2-3 所示。國小學童在四、五、六年級三個不同時間點幾何程序性知識能力值之平均 數分別為：.669、.916、1.211，數值逐年增加。而未標準化解的幾何程序性知識 潛在直線成長模式圖如圖 4-2-2 所示。

表 4-2-3

不同時間點幾何程序性知識能力之平均數與標準差

time1 time 2 time 3 平均數 .669 .916 1.211 標準差 1.099 1.066 1.068

圖 4-2-2 未標準化解之幾何程序性知識潛在直線成長模式圖

由圖 4-2-2 可知，國小學童幾何程序性知識能力的起始點與成長率這兩個變 項，其參數估計加權數是依據直線成長模式做設定，因此可得知起始點平均數為

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-.423，直線成長率平均數為.271，兩者呈現負相關。進一步探求國小學童幾何程 序性知識潛在直線成長模式的參數估計部分，結果如表 4-2-4 所示：

表 4-2-4

幾何程序性知識潛在直線成長模式參數估計結果

估計值 標準誤 t 值 p 值 固定效果

起始點平均數 -.423 .127 -3.340 .000 直線成長率平均數 .271 .023 11.660 .000 隨機效果

起始點變異 3.473 .544 6.386 .000 直線成長率變異 .097 .019 5.109 .000 殘差變異 .294 .020 15.017 .000 共變與相關

起始點與成長率共變數 -.509 .099 -5.161 .000 起始點與成長率相關係數 -.878

由表 4-2-4 之固定效果部分可知國小學童幾何程序性知識的起始點平均數為 -.423，成長率的平均數為.271，起始點與平均數的 t 值分別為 -3.340 與 11.660，

兩者的 p 值皆小於.001 達顯著水準，表示國小學童幾何程序性知識能力的平均分 數為-.423 分，之後隨著時間成長的平均速率為.271 分。

而在類似階層線性模式分析的隨機效果部分，國小學童幾何程序性知識能力 的起始點與成長率之變異數分別為 3.473 及 0.97，且起始點與平均數的 t 值分別 為 6.386 與 5.109，統計考驗的 p 值皆小於.001 達顯著水準，表示國小學童在第 一個時間點的幾何程序性知識能力即有顯著差異，且個別國小學童在這三年的幾 何程序性知識能力成長速率亦存在顯著差異。至於殘差變異（E1 至 E3）的估計 值為.294，此變異可視為以 HLM 分析時，階層一之隨機變異，本研究殘差變異 估計值不高，即代表可解釋的因素較多（邱皓政，2011a）。

另外，幾何程序性知識能力起始點與成長率之共變數是-.509，相關係數為 -.878，表示在第一個時間點的幾何程序性知識能力較低的國小學童，隨著時間的 變化，其幾何程序性知識能力成長的速率較快；而幾何程序性知識能力在起始點 已有較佳表現者，可能受極高點效應（ceiling effect）的影響，其成長速率較緩（侯

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雅齡，2009）。此研究結果與 Byrne & Crombie(2003)所提出的「學生數學起始點 能力較高者，其數學能力的成長率反而降低」以及 Dietmar & Celia(2006)所提出 的「高成就學童成長速率較緩」雷同。

參、 問題解決

國小學童幾何問題解決能力在不同時間點之平均數與標準差，如表 4-2-5 所 示。國小學童在四、五、六年級三個不同時間點幾何問題解決能力值之平均數分 別為：-.118、-.080、.310，數值逐年增加。而未標準化解的幾何問題解決潛在直 線成長模式圖如圖 4-1-3 所示。

表 4-2-5

不同時間點幾何問題解決之平均數與標準差

time1 time 2 time 3

平均數 -.118 -.080 .310

標準差 .832 .803 .825

圖 4-2-3 未標準化解之幾何問題解決潛在直線成長模式圖

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由圖 4-2-3 可知，國小學童幾何問題解決能力的起始點與成長率這兩個變 項，其參數估計加權數是依據直線成長模式做設定，因此可得知起始點平均數為 -1.033，直線成長率平均數為.214，兩者呈現負相關。進一步探求國小學童幾何問 題解決潛在直線成長模式的參數估計部分，結果如表 4-2-6 所示：

表 4-2-6

幾何問題解決潛在直線成長模式參數估計結果

估計值 標準誤 t 值 p 值 固定效果

起始點平均數 -1.033 . 097 -10.662 .000 直線成長率平均數 .214 .018 11.940 .000 隨機效果

起始點變異 1.687 .329 5.128 .000 直線成長率變異 .046 .012 3.909 .000 殘差變異 .198 .013 15.017 .000 共變與相關

起始點與成長率共變數 -.238 .060 -3.942 .000 起始點與成長率相關係數 -.857

由表 4-2-6 之固定效果部分可知國小學童幾何問題解決的起始點平均數為 -1.033，成長率的平均數為.214，起始點與平均數的 t 值分別為 -10.662 與 11.940，

兩者的 p 值皆小於.001 達顯著水準，表示國小學童幾何問題解決能力的平均分數 為-1.033 分，之後隨著時間成長的平均速率為.214 分。

而在類似階層線性模式分析的隨機效果部分，國小學童幾何問題解決能力的 起始點與成長率之變異數分別為 1.687 及.046，且起始點與平均數的 t 值分別為 5.128 與 3.909，統計考驗的 p 值皆小於.001 達顯著水準，表示國小學童在第一個 時間點的幾何問題解決能力即有顯著差異，且個別國小學童在這三年的幾何問題 解決能力成長速率亦存在顯著差異。至於殘差變異（E1 至 E3）的估計值為.198，

此變異可視為以 HLM 分析時，階層一之隨機變異，本研究殘差變異估計值不高，

即代表可解釋的因素較多（邱皓政，2011a）。

另外，幾何問題解決能力起始點與成長率之共變數是-.238，相關係數為 -.857，表示在第一個時間點的幾何問題解決能力較低的國小學童，隨著時間的變

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化，其幾何問題解決能力成長的速率較快；而幾何問題解決能力在起始點已有較 佳表現者，可能受極高點效應（ceiling effect）的影響，其成長速率較緩（侯雅齡，

2009）。此研究結果與 Byrne & Crombie(2003)所提出的「學生數學起始點能力較 高者，其數學能力的成長率反而降低」以及 Dietmar & Celia(2006)所提出的「高 成就學童成長速率較緩」雷同。