幾何

第二章 文獻探討

本研究欲依據 NAEP 2003 數學評量架構，利用潛在成長模式探討同一群學 童數學幾何能力在四年級到六年級間的發展情形，為求其相關理論支持，本章從 幾何、NAEP 2003 數學評量架構、長期追蹤、潛在成長模式四部分來進行說明。

第一節 幾何

幾何在數學教育的領域佔有極重要的地位，是必要的課程內容，學習幾何能 幫助學童理解生活中的形狀特點與空間關係，不僅能為學習數量與測量的數學概 念奠基，亦能啟發學童更高階的思考能力。茲將幾何的教材彙整分析與相關文獻 資料整理歸納成幾何概念的發展、幾何教材的分析、幾何相關文獻的整理等三部 分來進行論述。

壹、 幾何概念的發展

兒童幾何概念的發展趨勢有 van Hiele 幾何思維發展層次理論（吳德邦 2004a；洪珮芬，2010；陳正二，2006；黃雅琪，2007）、Piaget 的空間發展理論 等認知發展理論的支持（洪珮芬，2010），當中又以 van Hiele 幾何思維發展層次 理論與本研究對象的發展趨勢探討較為吻合，故本研究所探討之幾何概念的發展 以 van Hiele 幾何思維發展層次為主。

從西元 1993 年開始，我國的國民小學數學教材中的幾何課程就以 van Hiele 發展理論為依據設計，直至九年一貫數學課程教材仍以 van Hiele 理論的幾何思維 發展層次來編撰（吳德邦、謝翠玲，1998；教育部，2003），分為五個層次：視 覺的、分析描述的、非形式演繹、形式演繹、嚴密階段，以下就各層次內容分別 敘述如下（吳德邦，1999，2004；吳德邦、馬秀蘭、李懿芳，2007；譚寧君，1993；

van Hiele,1986）。

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一、 層次一：視覺的（visual）層次

此層次的學童是透過視覺觀察各種具體事物，從圖形的整體輪廓來辨認形的 概念、複製給定的圖形形狀，藉由操作具體物來辨別各種圖形的異同。學童不能 依據圖形的性質或組成要素來分析，也無法了解這些圖形的意義。

二、 層次二：描述的（descriptive）層次

此層次的學童能辨別圖形特徵，並能分析圖形的性質或組成要素。學童藉由 觀察、測量、作圖來建立圖形的基本構成要素與圖形之間的關係，但是無法分辨 同類圖形的關係或各圖形間的關係，例如不了解正方形是長方形的一種。

三、 層次三：理論的（theoretical）層次

此層次的學童不只能清楚各種圖形的構成要素，也能進一步探索幾何圖形的 屬性及各個圖形間的包含關係，例如能了解正方形是長方形的一種特例，雖能根 據圖性特質進行非正式的推演，但卻還不能進行有系統的證明對稱、旋轉等幾何 概念。

四、 層次四：形式邏輯的（formal logic）層次

此層次的學童能藉由各種抽象推理的過程或邏輯推理的方法，來證明幾何理 論、定義、問題，也知道證明的方法可能性不只一種，還能理解幾何的問題解決，

卻無法了解邏輯法則本質的嚴密性與演繹系統間的關係。

五、 層次五：邏輯法則本質的（the nature of logical laws）層次

這個層次是屬於最高層次，達到這個層次的人能進行不同的公設系統，在不 同的公設體系中建立幾何定理，並能分析比較各種不同的公設系統，亦能了解抽 象的幾何，以及理解公設系統的一致性、獨立性、完整性。

以上五個 van Hiele 幾何思維發展層次有次序性，每一層次的概念皆來自於前 一個層次，若想成功發展任一個層次，必須擁有前一層次的概念與策略（吳德邦，

1999，2004；譚寧君，1993；Crowley,1987），由 van Hiele 的幾何思維發展層次 可以得知，幾何能力的發展有其趨勢。國小的幾何教學，可參考歷史發展的軌跡 與學童的認知發展階段（教育部，2003）。

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貳、 幾何教材的分析

本研究根據教育部（2003）所公布國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領 域的能力指標分年細目，參酌國民小學康軒、翰林、南一、部編四個版本的數學 審定課本，依 99 學年度、100 學年度、101 學年度分別彙整四到六年級的幾何單 元，以利幾何測驗的編製。幾何教材從幾何分年細目的說明與幾何單元的彙整兩 個方向來進行分析如下：

一、 幾何分年細目的說明

分年細目的能力指標是依主題與階段的學習能力而訂定，然而多數指標必須 採取分年教學，才能達成其教學目標。因此，由階段能力指標演繹出更細緻的分 年細目及詮釋，以利明確掌握分年進階式教學的進度（教育部，2003）。

分年細目的編號採三碼編排，第一碼表示年級，分別以 1、…、9 表示一至 九年級；第二碼表示主題，而小寫字母 s 代表數學學習領域的五大主題中的幾何；

第三碼則是流水號，表示該細項下分年細目的序號。本研究中所依據的四、五、

六年級分年細目係由教育部（2003）所公布，指標內容如下表 2-1-1 所示：

表 2-1-1

九年一貫數學領域四、五、六年級分年細目

分年細目 四年級幾何分年細目內容說明

4-s-01 能運用「角」與「邊」等構成要素，辨認簡單平面圖形。

4-s-02 能透過操作，認識基本三角形與四邊形的簡單性質。

4-s-03 能認識平面圖形全等的意義。

4-s-04 能認識角度單位「度」，使用量角器實測角度或畫出指定的角。

（同 4-n-14）

4-s-05 能理解旋轉角的意義。

4-s-06 能理解平面上直角、垂直與平行的意義。

4-s-07 能由直角、垂直與平行的概念，認識簡單平面圖形。

4-s-08 能利用三角板畫出直角與兩平行線段，並用來描繪平面圖形。

4-s-09 能理解長方形和正方形的面積公式與周長公式。

（同 4-n-16）

（續下頁）

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分年細目 五年級幾何分年細目內容說明 5-s-01 能透過操作，理解三角形三內角和為 180 度。

5-s-02 能透過操作，理解三角形任意兩邊和大於第三邊。

5-s-03 能認識圓心角，理解 180 度、360 度的意義，並認識扇形。

5-s-04 能認識線對稱，並理解簡單平面圖形的線對稱性質。

5-s-05 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。

（同 5-n-16）

5-s-06 能運用「頂點」、「邊」與「面」等構成要素，辨認簡單立體形 體。

5-s-07 能理解長方體和正方體的體積公式。（同 5-n-18）

5-s-08 能認識面的平行與垂直，並描述正方體與長方體中面與面的平 行與垂直關係。

分年細目 六年級幾何分年細目內容說明 6-s-01 能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題。

6-s-02 能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認 識比例尺。

6-s-03 能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域估算其面積。

（同 6-n-11）

6-s-04 能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面積。（同 6-n-12）

6-s-05 能認識直圓錐、直圓柱與直角柱。

6-s-06 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。（同 6-n-13）

四到六年級的學童開始結合「數」與「形」兩大主題，學習運用幾何形體的 構成要素及其數量性質來描述特殊幾何形體的特徵與性質（教育部，2003），例 如利用角、邊、面等構成要素或是角度、邊長、面積等數量性質來認識幾何形體。

二、 幾何單元的彙整

本研究四年級的測驗內容，係以教育部公布之九年一貫課程綱要數學學習領 域中的分年細目為依據，參酌 99 學年度各版本的數學審定課本彙整四年級幾何 單元，如表 2-1-2 所示：

表 2-1-1（續）

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參、 幾何相關文獻的整理

關於數學幾何學習的發展，研究者根據研究範圍與對象來探討相關文獻，針 對國小中高年級的學童學習幾何的情形以及相關的影響因素，學者們各有其研究 發現：

在幾何整體表現方面，陳正二（2006）指出國小四年級學童在接受四年級幾 何能力指標之電腦適性測驗編製及動畫補救教學後，運用「角」與「邊」等構成 要素辨認簡單平面圖形、透過操作認識基本三角形與四邊形的簡單性質、認識平 面圖形全等的意義、認識角度單位「度」並畫出指定的角、理解旋轉角的意義、

理解平面上垂直與平行的意義、由垂直與平行的概念認識簡單平面圖形，這七個 幾何能力皆有進步，而在理解長方形和正方形的面積公式與周長公式這部分進步 情況未達顯著。代表四年級學童經過教學活動，其幾何能力有所提升。而陳怡君

（2003）亦指出六年級學童的空間感些微高於五年級學童，顯示數學學習經驗可 以幫助空間運思能力的提升，代表學習經驗對幾何能力有正向影響。

在幾何學習表現的層次方面，國小高年級學童在數學幾何的學習內容，已具 備概念學習的順序性（黃雅琪，2007），幾何概念題如「理解線對稱圖形的性質」

的表現，優於幾何問題解決題如「應用線對稱圖形的性質解決幾何問題」的表現

（洪珮芬，2010），由此可見幾何的學習有其發展趨勢，在概念與問題解決上學 童的表現不同，學童在幾何概念的起始表現優於問題解決的起始表現。

而在幾何能力隨時間變化的情形方面，國外學者 Dietmar & Celia(2006)提及 高成就學生的幾何推理成長趨勢較緩，有些高成就學生幾何推理能力根本沒有什 麼進步，甚至有些退步。

在性別因素方面，陳怡君（2003）指出男女學童的空間感未達顯著差異；謝 貞秀、張英傑（2003）指出三年級的男女學童平面圖形概念未達顯著差異；吳德 邦等（2011）亦指出男女學童均是分布在創造性層次的人數最多，其次是分布在 批判性層次，但是性別對創造性層次與批判性層次兩者間沒有顯著差異，顯示性 別並非影響國小學童數學幾何學習的重要因素。

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綜合上述，幾何的學習與能力有其影響因素，研究者整理文獻中提及學童的 幾何學習的發展或影響的因素，而當中只有 Dietmar & Celia(2006)的研究是以長 期追蹤方式進行研究，其餘的文獻則是橫斷面向的研究，如表 2-1-5 所示：

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Influences on Students' Mathematical Reasoning and Patterns in Its

Development：Insights from a Longitudinal Study with Particular Reference to Geometry (Dietmar &

Celia, 2006)

研究進行為期三年的長期追蹤，透過未標準化的