以潛在成長模式探究國小學童數學成長變化-以幾何為例

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(1)國立臺中教育大學教育測驗統計研究所國民小學教師在職進修教學碩士學位班碩士論文. 指導教授：郭伯臣博士. 以潛在成長模式探究國小學童數學成長變化-以幾何為例. 研究生：葉思妮撰. 中. 華. 民. 國. 一. ○. 二. 年. 七. 月.

(2) 摘要本研究採取長期追蹤的研究方式，探討國小學童四到六年級數學幾何能力的發展趨勢，以 NAEP 2003 數學評量架構為基礎編製幾何測驗，透過潛在成長模式（latent growth model, LGM）進行資料分析，來瞭解國小學童數學幾何能力的變化情形。並以性別、身分別為原住民、母親出生地、父母親教育程度、每天看電視和用電腦時間等變項，進行二層次潛在成長模式分析；以兄弟姐妹數、親生父母親狀況、居住家庭狀況、父母親職業、每天閱讀或做功課時間等變項，進行多群組分析，以瞭解上述變項與幾何能力的關係。研究結果顯示： 1. 研究者提出之潛在直線成長模式與觀察資料的整體適配度理想。 2. 國小學童幾何之「概念的了解」、「程序性知識」、「問題解決」能力在四至六年級中呈現直線成長的趨勢，且學童的幾何能力隨時間增加呈現顯著的正向變化。 3. 個人背景變項中的學童為原住民；家庭背景變項中的兄弟姐妹數、居住家庭狀況、父母親教育程度、父母親職業；放學後時間規畫變項中的每天看電視和用電腦時間、閱讀或做功課時間，這些變項對學童的幾何能力表現具有影響力。. 關鍵詞：潛在成長模式、長期追蹤、NAEP 2003 數學評量架構、幾何. I.

(3) Abstract This approach was a long-term study of the development of geometry skills in fourth to sixth grades. A geometry skills test was designed based on the framework for NAEP (National Assessment of Educational Progress, NAEP) 2003 mathematics assessments. The test results was analyzed using a latent growth model to explore changes in the students’ geometry skills. Variables including gender, status of being aboriginal, mother’s birth place, parents’ education degree, hours of watching TV, and hours of using computer were considered in the two-level latent growth model analysis. Further, variables including number of brothers and sisters, residential status, parental conditions, parents’ occupation, and hours of reading or doing homework per day were considered in the multiple-group analysis to examine whether the students’ geometry skills were affected by the above variables. The main findings were as follows: 1.The overall fit of the latent growth model that reseacher proposed to the observed data was good. 2.The growth of “conceptual understanding”, “procedural knowledge”, and “problem solving” skills among the students was in a linear trend. The students’ geometry skills changed significantly and positively over time. 3.The individual background variables just like status of being aboriginal in the category; number of brothers and sisters, residential conditions, parents’ education degree, and parents’ occupation in the category of family background variables; hours of watching TV, hours of using computer, hours of reading or doing homework in the category of after-school time management variables were factors affecting the geometry skills of the students. These variables were found influential to the geometry skills of the students. Keywords: latent growth model, long-term study, the framework for NAEP 2003 mathematics assessments, geometry II.

(4) 目錄摘要..............................................................................................................................I Abstract ...................................................................................................................... II 表目錄 ........................................................................................................................ V 圖目錄 .................................................................................................................... VIII 第一章緒論 ............................................................................................................... 1 第一節研究動機與背景 .................................................................................... 1 第二節研究目的 ................................................................................................ 4 第三節待答問題 ................................................................................................ 4 第四節名詞釋義 ................................................................................................ 5 第五節研究範圍與限制 .................................................................................... 7 第二章文獻探討 ....................................................................................................... 9 第一節幾何 ........................................................................................................ 9 第二節 NAEP 數學評量架構 ........................................................................... 18 第三節長期追蹤研究 ...................................................................................... 24 第四節潛在成長模式 ...................................................................................... 29 第三章研究方法 ..................................................................................................... 37 第一節研究流程 .............................................................................................. 37 第二節研究對象 .............................................................................................. 38 第三節研究工具 .............................................................................................. 41 第四節研究架構與模式 .................................................................................. 51 第五節資料處理與分析 .................................................................................. 56 第四章結果與討論 ................................................................................................. 58 第一節學童幾何能力的 LGM 驗證 ................................................................ 58 第二節學童幾何能力隨時間變化的情形 ....................................................... 62 第三節影響學童幾何能力成長變項之二層次 LGM 分析 ............................. 69 第四節影響學童幾何能力成長變項之多群組分析 ...................................... 100 第五章結論與建議 ............................................................................................... 134 第一節結論 .................................................................................................... 134 第二節建議 .................................................................................................... 140 參考文獻 ................................................................................................................. 142. III.

(5) 中文部分 ..........................................................................................................142 外文部分 ..........................................................................................................147 附錄 ......................................................................................................................... 150 附錄一自編幾何測驗 .....................................................................................150 附錄二學童背景調查問卷 .............................................................................159. IV.

(6) 表目錄表 2-1-11 九年一貫數學領域四、五、六年級分年細目 ......................................... 11 表 2-1-21 四年級幾何單元 ....................................................................................... 13 表 2-1-31 五年級幾何單元 ....................................................................................... 14 表 2-1-41 六年級幾何單元 ....................................................................................... 15 表 2-1-51 幾何相關文獻彙整表 ............................................................................... 17 表 2-2-11 以 NAEP 數學評量架構為基礎的相關文獻彙整表 ................................ 23 表 2-3-11 縱貫研究相關文獻彙整表 ........................................................................ 27 表 2-4-11 LGM 相關文獻彙整表 .............................................................................. 34 表 3-2-11 歷年研究樣本人數統計表 ........................................................................ 38 表 3-2-21 有效研究樣本人數統計表 ........................................................................ 39 表 3-2-31 學童背景變項各群組的次數分配表 ........................................................ 39 表 3-3-11 幾何測驗評量架構與試題分布表 ............................................................ 42 表 3-3-21 幾何測驗與 van Hiele 幾何思維發展層次對照表 ................................... 43 表 3-3-31 四、五年級幾何測驗試題反應理論參數值 ............................................ 43 表 3-3-41 四年級幾何測驗信度 Cronbach's α 值分析表 .......................................... 46 表 3-3-51 五年級幾何測驗信度 Cronbach's α 值分析表 .......................................... 47 表 3-3-61 六年級幾何測驗信度 Cronbach's α 值分析表 .......................................... 48 表 3-3-61 問卷內容 ................................................................................................... 50 表 4-1-11 國小學童幾何概念的了解潛在直線成長模式整體適配度考驗結果 ...... 59 表 4-1-21 國小學童幾何程序性知識潛在直線成長模式整體適配度考驗結果 ...... 60 表 4-1-31 國小學童幾何問題解決潛在直線成長模式整體適配度考驗結果 .......... 61 表 4-2-11 不同時間點幾何概念的了解能力之平均數與標準差 ............................. 63 表 4-2-21 幾何概念的了解潛在直線成長模式參數估計結果 ................................. 64 表 4-2-31 不同時間點幾何程序性知識能力之平均數與標準差 ............................. 65 V.

(7) 表 4-2-41 幾何程序性知識潛在直線成長模式參數估計結果 ................................ 66 表 4-2-51 不同時間點幾何問題解決之平均數與標準差 ........................................ 67 表 4-2-61 幾何問題解決潛在直線成長模式參數估計結果 .................................... 68 表 4-3-11 性別二層次幾何概念的了解 LGM 參數估計結果.................................. 70 表 4-3-21 性別二層次幾何程序性知識 LGM 參數估計結果 ................................. 72 表 4-3-31 性別二層次幾何問題解決 LGM 參數估計結果 ..................................... 73 表 4-3-41 原住民與否幾何概念的了解 LGM 參數估計結果 ................................. 75 表 4-3-51 原住民與否二層次幾何程序性知識 LGM 參數估計結果 ...................... 76 表 4-3-61 原住民與否二層次問題解決 LGM 參數估計結果 ................................. 77 表 4-3-71 母親出生地幾何概念的了解 LGM 參數估計結果 ................................. 79 表 4-3-81 母親出生地幾何程序性知識 LGM 參數估計結果 ................................. 81 表 4-3-91 母親出生地幾何問題解決 LGM 參數估計結果 ..................................... 82 表 4-3-10 父親教育程度二層次幾何概念的了解 LGM 參數估計結果 .................. 84 表 4-3-11 父親教育程度二層次幾何程序性知識 LGM 參數估計結果 .................. 85 表 4-3-12 父親教育程度二層次幾何問題解決 LGM 參數估計結果 ...................... 86 表 4-3-13 母親教育程度二層次幾何概念的了解 LGM 參數估計結果 .................. 88 表 4-3-14 母親教育程度二層次幾何程序性知識 LGM 參數估計結果 .................. 89 表 4-3-15 母親教育程度二層次幾何問題解決 LGM 參數估計結果 ...................... 91 表 4-3-16 看電視時間二層次幾何概念的了解 LGM 參數估計結果 ...................... 92 表 4-3-17 看電視時間二層次幾何程序性知識 LGM 參數估計結果 ...................... 94 表 4-3-18 看電視時間二層次幾何問題解決 LGM 參數估計結果 .......................... 95 表 4-3-19 用電腦時間二層次幾何概念的了解 LGM 參數估計結果 ...................... 97 表 4-3-20 用電腦時間二層次幾何程序性知識 LGM 參數估計結果 ...................... 98 表 4-3-21 用電腦時間二層次幾何問題解決 LGM 參數估計結果 .......................... 99 表 4-4-11 兄弟姐妹數之學童幾何概念的了解能力模式評鑑結果 ....................... 102 表 4-4-21 兄弟姐妹數之學童幾何程序性知識能力模式評鑑結果 ....................... 103. VI.

(8) 表 4-4-31 兄弟姐妹數之學童幾何問題解決能力模式評鑑結果 ........................... 104 表 4-4-41 父母親狀況之學童幾何概念的了解能力模式評鑑結果 ....................... 106 表 4-4-51 父母親狀況之學童幾何程序性知識能力模式評鑑結果 ....................... 108 表 4-4-61 父母親狀況之學童幾何問題解決能力模式評鑑結果 ........................... 109 表 4-4-71 居住家庭狀況之學童幾何概念的了解能力模式評鑑結果 ................... 112 表 4-4-81 居住家庭狀況之學童幾何程序性知識能力模式評鑑結果 ................... 114 表 4-4-91 居住家庭狀況之學童幾何問題解決能力模式評鑑結果 ....................... 116 表 4-4-10 父親職業之學童幾何概念的了解能力模式評鑑結果 ........................... 118 表 4-4-11 父親職業之學童幾何程序性知識能力模式評鑑結果 ........................... 120 表 4-4-12 父親職業之學童幾何問題解決能力模式評鑑結果 ............................... 122 表 4-4-13 母親職業之學童幾何概念的了解能力模式評鑑結果 ........................... 124 表 4-4-14 母親職業之學童幾何程序性知識能力模式評鑑結果 ........................... 126 表 4-4-15 母親職業之學童幾何問題解決能力模式評鑑結果 ............................... 128 表 4-4-16 閱讀做功課時間之學童幾何問題解決能力模式評鑑結果 ................... 130 表 4-4-17 閱讀做功課時間之學童幾何問題解決能力模式評鑑結果 ................... 131 表 4-4-18 閱讀做功課時間之學童幾何問題解決能力模式評鑑結果 ................... 133. VII.

(9) 圖目錄圖 2-2-11 NAEP 1996~2003 數學評量架構 ............................................................ 19 圖 2-4-11 LGM 基本模式圖 ..................................................................................... 29 圖 2-4-21 二層次 LGM 基本模式圖 ........................................................................ 31 圖 3-1-11 研究流程圖 .............................................................................................. 37 圖 3-4-11 研究架構圖 .............................................................................................. 51 圖 3-4-21 幾何概念的了解之 LGM 圖 .................................................................... 52 圖 3-4-31 幾何程序性知識 LGM 圖 ........................................................................ 53 圖 3-4-41 幾何問題解決 LGM 圖 ............................................................................ 53 圖 3-4-51 概念的了解二層次 LGM 圖 .................................................................... 54 圖 3-4-61 程序性知識二層次 LGM 圖 .................................................................... 55 圖 3-4-71 問題解決二層次 LGM 圖 ........................................................................ 55 圖 4-2-11 未標準化解之幾何概念的了解潛在直線成長模式圖 ............................. 63 圖 4-2-21 未標準化解之幾何程序性知識潛在直線成長模式圖 ............................ 65 圖 4-2-31 未標準化解之幾何問題解決潛在直線成長模式圖 ................................ 67 圖 4-3-11 未標準化解性別二層次國小學童幾何概念的了解能力 LGM ............... 70 圖 4-3-21 未標準化解性別二層次國小學童幾何程序性知識能力 LGM ............... 71 圖 4-3-31 未標準化解性別二層次國小學童幾何問題解決能力 LGM ................... 72 圖 4-3-41 未標準化解原住民二層次國小學童幾何概念的了解能力 LGM ........... 74 圖 4-3-51 未標準化解原住民二層次國小學童幾何程序性知識能力 LGM ........... 75 圖 4-3-61 未標準化解原住民二層次國小學童問題解決能力 LGM ....................... 77 圖 4-3-71 未標準化解母親出生地二層次國小學童幾何概念的了解能力 LGM ... 79 圖 4-3-81 未標準化解母親出生地二層次國小學童幾何程序性知識能力 LGM ... 80 圖 4-3-91 未標準化解母親出生地二層次國小學童幾何問題解決能力 LGM ....... 81 圖 4-3-10 未標準化解父親教育程度二層次國小學童幾何概念的了解能力 LGM.83 VIII.

(10) 圖 4-3-11 未標準化解父親教育程度二層次國小學童幾何程序性知識能力 LGM.85 圖 4-3-12 未標準化解父親教育程度二層次國小學童幾何問題解決能力 LGM .... 86 圖 4-3-13 未標準化解母親教育程度二層次國小學童幾何概念的了解能力 LGM.88 圖 4-3-14 未標準化解母親教育程度二層次國小學童幾何程序性知識能力 LGM.89 圖 4-3-15 未標準化解母親教育程度二層次國小學童幾何問題解決能力 LGM .... 90 圖 4-3-16 未標準化解看電視時間二層次國小學童幾何概念的了解能力 LGM .... 92 圖 4-3-17 未標準化解看電視時間二層次國小學童幾何程序性知識能力 LGM .... 93 圖 4-3-18 未標準化解看電視時間二層次國小學童幾何問題解決能力 LGM ........ 94 圖 4-3-19 未標準化解用電腦時間二層次國小學童幾何概念的了解能力 LGM .... 96 圖 4-3-20 未標準化解用電腦時間二層次國小學童幾何程序性知識能力 LGM .... 97 圖 4-3-21 未標準化解用電腦時間二層次國小學童幾何問題解決能力 LGM ........ 99 圖 4-4-11 兄弟姐妹數四群組國小學童幾何概念的了解能力 LGM ..................... 101 圖 4-4-21 兄弟姐妹數四群組國小學童幾何程序性知識能力 LGM ..................... 102 圖 4-4-31 兄弟姐妹數四群組國小學童幾何問題解決能力 LGM ......................... 104 圖 4-4-41 父母親狀況四群組國小學童幾何概念的了解能力 LGM ..................... 106 圖 4-4-51 父母親狀況四群組國小學童幾何程序性知識能力 LGM ..................... 107 圖 4-4-61 父母親狀況四群組國小學童幾何問題解決能力 LGM ......................... 109 圖 4-4-71 居住家庭狀況六群組國小學童幾何概念的了解能力 LGM ................. 111 圖 4-4-81 居住家庭狀況六群組國小學童幾何程序性知識能力 LGM ................. 113 圖 4-4-91 居住家庭狀況六群組國小學童幾何問題解決能力 LGM ..................... 115 圖 4-4-10 父親職業八群組國小學童幾何概念的了解能力 LGM ......................... 117 圖 4-4-11 父親職業八群組國小學童幾何程序性知識能力 LGM ......................... 119 圖 4-4-12 父親職業八群組國小學童幾何問題解決能力 LGM ............................. 121 圖 4-4-13 母親職業七群組國小學童幾何概念的了解能力 LGM ......................... 123 圖 4-4-14 母親職業七群組國小學童幾何程序性知識能力 LGM ......................... 125 圖 4-4-15 母親職業七群組國小學童幾何問題解決能力 LGM ............................. 127. IX.

(11) 圖 4-4-16 閱讀或做功課三群組時間國小學童幾何概念的了解能力 LGM ......... 129 圖 4-4-17 閱讀或做功課三群組時間國小學童幾何程序性知識能力 LGM ......... 131 圖 4-4-18 閱讀或做功課三群組時間國小學童幾何問題解決能力 LGM ............. 132. X.

(12) 第一章. 緒論. 本研究採取長期追蹤的研究方式，以 NAEP 2003 數學評量架構為基礎編製幾何測驗，透過潛在成長模式進行資料分析，瞭解國小學童數學幾何能力的成長變化情形。本章從研究動機與背景、研究目的、待答問題、名詞釋義、研究範圍與限制五部分來進行闡述。. 第一節. 研究動機與背景. 隨著資訊與科技的進步，測驗的概念與形式逐漸趨於複雜，大型測驗已成為主流，如國家教育進展評量（National Assessment of Educational Progress, NAEP）、國際學生能力評量計畫（Programme for International Student Assessment, PISA）、國際數學與科學教育成就趨勢研究（Trends in International Mathematics and Science Study, TIMSS）。大型測驗的目的大致可分為入學的管道與長期追蹤學習變化的趨勢，美國的 NAEP 即為發展久遠的大型測驗，旨在透過長期追蹤學習變化的趨勢瞭解學童學習進展的情況，藉以促進教育改革與課程教學革新，並提供了解影響教育表現之因素。關於學業成就的探究，國內利用 PISA 與 TIMSS 資料所做的研究眾多（蕭佳純，2011），較少研究者以 NAEP 為對象進行研究，主要原因為 NAEP 是以美國學生為對象進行施測。而在各學科中，數學不僅為大型測驗中的共同科目，也是較能進行國際性評比的學習領域（孫長蓀，2011）。NAEP 的數學評量架構在解釋上與我國九年一貫數學能力指標相似（洪瑞鎂，2001），其自 1973 年實施第一次數學評量，剛開始數學評量架構維持不變，因應美國課程上的調整，數學評量架構自 2004 年有些變動，當中又以 NAEP 2003 數學評量架構與九年一貫的數學分年細目較為吻合，此部分將於文獻探討做更詳細的說明，因此研究者欲以 NAEP 2003 數學評量架構為基礎編製數學測驗，透過多個時間點追蹤學童數學能. 1.

(13) 力變化的趨勢，瞭解學童數學能力的發展情形。當我們解釋、理解和欣賞生活週遭的世界時，運用幾何與空間意識是必要的。理解與洞察二維和三維的形狀與特點，與形狀之間的相互關係，和形狀變化的影響是很重要的能力。就國小學童而言，幾何與空間推理在數學領域的學習是很重要的一個環節，但在兒童早期階段的學習，幾何與空間的思考卻常被忽略 (Clements & Sarama, 2011)。學童若能發展較強的空間關係感及精通幾何的概念和語言，便能為學習數量和測量與進階的數學領域做更好的準備(The National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 1989)。經由幾何的學習，可以培養人們有條理的思考與描述生活周遭的世界，進而提升問題解決的能力 (NCTM, 2000)。幾何在數學領域的教學中一直扮演著重要的角色，學童透過學習幾何概念可以了解形狀的奧祕，藉由幾何概念的問題解決可以提升高層次的思考邏輯。根據 Van Hiele 幾何思維發展層次理論，學童的幾何能力發展有其趨勢，藉由縱貫研究（longitudinal approach）的方式觀察學童，可了解學童幾何能力的發展情形，但國內數學幾何研究多為橫斷面向，針對長期追蹤（long-term study）的研究尚待進一步的探討。近年來，由於先進之複雜統計分析模型方法突破與創新，使得縱貫性固定研究對象的資料蒐集方法逐漸成為主流（吳齊殷、張明宜、陳怡蒨，2008），長期追蹤就是一種縱貫研究。縱貫研究是指以相同的受試者為研究對象，在兩次以上的不同時間點連續觀察受試者，藉以瞭解受試者在這段時間能力的發展、身心的成長、或動作技能隨時間精熟的變化情形（王正信，2001；郭生玉，2012；謝佩宜，2007），而所謂的長期追蹤，即是指對相同的受試者，每間隔幾年追蹤調查他們的情況（郭生玉，2012）。國內在教育領域中縱貫研究並不多見（蕭佳純， 2011），更遑論是為時較久的長期追蹤研究，國內縱貫研究的對象主要為幼兒或中學生，如幼兒在動手做科學活動的研究（侯雅齡，2008）、影響數學學習的焦慮與動機（王金香，2010）、中學生學業成就成長之研究（張憲庭，2010），影響學業成就因素探討之縱貫性研究少以國小學童為對象。且因長期追蹤資料蒐集. 2.

(14) 不易，以往的研究者在探討學童學業成就與相關影響因素時，多為單一時間點上的研究，較無法研究包含一段時間或多個時間點（余民寧、趙珮晴、許嘉家，2009；巫有鎰，2007；林俊瑩、吳裕益，2007；林俊瑩、黃毅志，2008），研究者欲克服時間限制，透過三年三個時間點長期追蹤研究觀察同一群國小學童，以期探究與瞭解國小學童數學幾何能力成長或變化情形。長期追蹤研究中的時間變項是重要因素，利用潛在成長模式（latent growth model, LGM）進行資料分析，可以直接處理時間和其他變項間的因果關係，描述受試者發展的軌跡，分析受試者間的差異情形。因此，研究者欲以 LGM 對國小學童數學幾何能力與能力的成長變化作研究，以期瞭解學童幾何能力發展情形，提供授課教師與國小學童在幾何教學與學習上的參考。國內探討個人背景變項與數學學業成就表現的研究，大都採用橫斷面向的方式進行分析（王正信，2001；吳德邦、馬秀蘭、陳姿良、許天維，2011；陳怡君， 2003；謝貞秀、張英傑，2003），少有長期追蹤的研究。在探討家庭背景與教育成就間關係的研究，縱然有長期追蹤的研究，但在統計分析方法大都採用迴歸分析模式（李敦仁、余民寧，2005），僅有幾篇研究使用LGM進行分析（王枝燦， 2009；張憲庭，2010）。而國內研究放學後時間規畫變項與國小學童學業成就關係的長期追蹤文獻並不多見，主要來自於「臺灣學生學習成就評量資料庫」（Taiwan Assessment of Student Achievement, TASA）電子報。因此，研究者欲以 LGM 分析不同背景變項的學童為期三年的幾何測驗成績，以期瞭解不同背景變項的學童幾何表現與成長變化的情形。綜言之，研究者欲以 NAEP 2003 數學評量架構為基礎編製數學幾何的測驗，透過 LGM 分析學童幾何能力的起始狀態與成長速率，藉由長期追蹤研究瞭解國小四到六年級學童在數學學習領域的幾何單元的能力發展，以期提供教育相關單位或教師教學改進或課程革新之依據，並希冀給予學童學習幾何單元之參考與建議，提升幾何的學習成效。. 3.

(15) 第二節. 研究目的. 本研究根據九年一貫數學領域「幾何」之分年細目，以 NAEP2003 數學評量架構為基礎，編製三份試題，採用定錨測驗設計，分別對同一群學童，在四年級期末、五年級期末、六年級期末三個不同時間點進行施測，利用潛在成長模式探討此一群學童的幾何能力在四年級到六年級間的發展情形。其研究目的如下：一、瞭解研究所提出之潛在直線成長模式與觀察資料的整體適配度情形。二、瞭解學童幾何「概念的了解」、「程序性知識」、「問題解決」能力在四、五、六年級中的發展情形。三、瞭解不同背景的學童其幾何能力發展情形。. 第三節. 待答問題. 根據研究目的，擬定待答問題如下：一、研究所提出之潛在直線成長模式與觀察資料的整體適配度是否理想？二、瞭解學童幾何「概念的了解」、「程序性知識」、「問題解決」能力在四、五、六年級中是否有所進步？ 2-11 學童幾何「概念的了解」能力隨時間變化的情形為何？ 2-21 學童幾何「程序性知識」能力隨時間變化的情形為何？ 2-31 學童幾何「問題解決」能力隨時間變化的情形為何？三、不同背景變項學童的幾何能力發展情形是否不同？ 3-11 個人背景變項中的性別因素對幾何「概念的了解」、「程序性知識」、「問題解決」能力的影響為何？ 3-21 個人背景變項中的身分別是否為原住民因素對幾何「概念的了解」、「程序性知識」、「問題解決」能力的影響為何？ 3-31 家庭背景變項中的父親出生地因素對幾何「概念的了解」、「程序性知識」、「問題解決」能力的影響為何？. 4.

(16) 3-41 家庭背景變項中的母親出生地因素對幾何「概念的了解」、「程序性知識」、「問題解決」能力的影響為何？ 3-51 家庭背景變項中的父親教育程度因素對幾何「概念的了解」、「程序性知識」、「問題解決」能力的影響為何？ 3-61 家庭背景變項中的母親教育程度因素對幾何「概念的了解」、「程序性知識」、「問題解決」能力的影響為何？ 3-71 放學後時間規畫背景變項中的看電視時間因素對幾何「概念的了解」、「程序性知識」、「問題解決」能力的影響為何？ 3-81 放學後時間規畫背景變項中的用電腦時間因素對幾何「概念的了解」、「程序性知識」、「問題解決」能力的影響為何？ 3-91 家庭背景變項中的兄弟姊妹數因素對幾何「概念的了解」、「程序性知識」、「問題解決」能力的影響為何？ 3-10 家庭背景變項中的親生父母親狀況因素對幾何「概念的了解」、「程序性知識」、「問題解決」能力的影響為何？ 3-11 家庭背景變項中的居住家庭狀況因素對幾何「概念的了解」、「程序性知識」、「問題解決」能力的影響為何？ 3-12 家庭背景變項中的親生父親職業因素對幾何「概念的了解」、「程序性知識」、「問題解決」能力的影響為何？ 3-13 家庭背景變項中的親生母親職業因素對幾何「概念的了解」、「程序性知識」、「問題解決」能力的影響為何？ 3-14 放學後時間規畫背景變項中的閱讀做功課時間因素對幾何「概念的了解」、「程序性知識」、「問題解決」能力的影響為何？. 第四節. 名詞釋義. 為利於本研究的分析與討論，茲將幾何、NAEP 2003 數學評量架構、概念的了解、程序性知識、問題解決、學童背景、二層次潛在成長模式進行釋義如下：. 5.

(17) 壹、幾何（geometry）國民中小學九年一貫課程綱要將「數學領域」區分為五大主題：「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」、「連結」，NAEP 的內容成分則包含五個領域：「數的概念、性質與運算」、「測量」、「幾何與空間觀念」、「資料分析、統計與機率」、「代數與函數」，其中「幾何」皆佔有一席之地。本研究中的幾何係指國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域的五大主題之一，依照四、五、六年級的數學幾何能力指標中的分年細目，統整各年級在幾何主題所出現的單元。. 貳、NAEP 2003 數學評量架構本研究以NAEP 2003 數學評量架構為基礎，其架構將「數學能力」分為：概念的了解、程序性知識、問題解決三種類型；「數學力」則包含推理、連結、溝通。本研究根據NAEP 2003 數學評量架構所區分的數學能力編製國小學童幾何概念測驗試題，將所評量的幾何能力劃分成「概念的了解」、「程序性知識」、「問題解決」，數學力中的推理與連結能力依照題目類型歸類至三種能力類型中，因施測題型為選擇題未有溝通類型的題目。. 參、概念的了解（conceptual understanding）幾何能力之「概念的了解」包含能知道幾何的定義與原理原則，能辨識指認和舉出幾何的符號或術語、例子或反例，能了解各種幾何概念的表徵與其相互的關連，能比較、統整並對照相關幾何概念與原理，以及能於數學情境中解釋有關幾何概念的情形與關係。本研究將「概念的了解」又稱為「概念」，以利潛在成長模式圖的繪製與文字的撰寫。. 肆、程序性知識（procedural knowledge）依據 NAEP 2003 數學評量架構擬定幾何能力之「程序性知識」測驗試題，評量學童是否能判別或判斷幾何的模型或符號所運用方法過程的適切性或正確性，能對幾何問題進行正確計算，能運用不同的數學幾何邏輯以有效的解決幾何. 6.

(18) 相關問題，能讀或設計幾何圖表以表現過程，能有步驟的操作非計算的幾何問題，能執行幾何構圖。由於本研究所編製的測驗皆為選擇題題型，執行幾何構圖能力測驗偏向建構反應題，因而不在其中。本研究將「程序性知識」又稱為「程序」，以利潛在成長模式圖的繪製與文字的撰寫。. 伍、問題解決（problem solving） NAEP 2003 數學評量架構中的「問題解決」複雜度較高，本研究所編製的幾何能力之「問題解決」測驗試題，欲了解學童是否能認清幾何問題並能用數學式表示，能判辯幾何資料的充分性，能使用數據、策略、模型解決幾何問題，能產生、修訂、充實幾何過程，能判斷幾何問題答案或方法的正確性，能對幾何問題進行推理與分析，能與其他數學單元做連結。. 陸、學童背景本研究當中的學童背景是利用問卷調查學童背景，其學童背景問卷呈現於附錄二。問卷內容包括：性別、兄弟姐妹數、親生父母親狀況、家庭狀況、父親出生地、母親出生地、是否為原住民、父親教育程度、母親教育程度、父親的職業、母親的職業、每天看電視時間、每天使用電腦時間、每天在家閱讀或做功課時間。. 柒、二層次潛在成長模式本研究當中所使用之 LGM，為進行學童背景變項分析，在原本的模式中加上另一個因素作為二層次預測變項，而二層次分析旨在探討初階因素的因素分析，可說是一種潛在因素的因素分析（李茂能，2011；邱皓政，2003）。本研究將以學童背景變項作為二層次預測變項之模式，稱為二層次 LGM。. 第五節. 研究範圍與限制. 本研究對同一群國小學童進行為期三年的追蹤研究，透過數學幾何測驗觀察受試者數學幾何能力的發展情形。茲從研究對象與研究內容來分述研究範圍與限制：. 7.

(19) 壹、研究對象本研究的對象為立意取樣，受試者為 99 學年度國小四年級學童，升上 100 學年度為五年級學童，再升上 101 學年度為六年級學童，研究樣本取樣自南投縣的兩所國小及臺中市的一所國小，僅侷限於中部地區，研究結果無法推論於全國，此為本研究之限制。. 貳、研究內容幾何測驗的內容是依照四、五、六年級的國民中小學九年一貫課程綱要數學幾何分年細目，統整各年級在各版本幾何主題所出現的單元。由於 97 課綱於 100 學年度自國小一年級開始逐年實施，本研究的對象並不適用，因此本研究係根據教育部（2003）公布之九年一貫課程綱要數學幾何分年細目為標準，進行數學幾何的探究與幾何測驗的編製。然而本研究是追蹤觀察數學幾何能力的發展，研究結果無法推論至數學領域的所有範圍。. 8.

(20) 第二章文獻探討本研究欲依據 NAEP 2003 數學評量架構，利用潛在成長模式探討同一群學童數學幾何能力在四年級到六年級間的發展情形，為求其相關理論支持，本章從幾何、NAEP 2003 數學評量架構、長期追蹤、潛在成長模式四部分來進行說明。. 第一節. 幾何. 幾何在數學教育的領域佔有極重要的地位，是必要的課程內容，學習幾何能幫助學童理解生活中的形狀特點與空間關係，不僅能為學習數量與測量的數學概念奠基，亦能啟發學童更高階的思考能力。茲將幾何的教材彙整分析與相關文獻資料整理歸納成幾何概念的發展、幾何教材的分析、幾何相關文獻的整理等三部分來進行論述。. 壹、幾何概念的發展兒童幾何概念的發展趨勢有 van Hiele 幾何思維發展層次理論（吳德邦 2004a；洪珮芬，2010；陳正二，2006；黃雅琪，2007）、Piaget 的空間發展理論等認知發展理論的支持（洪珮芬，2010），當中又以 van Hiele 幾何思維發展層次理論與本研究對象的發展趨勢探討較為吻合，故本研究所探討之幾何概念的發展以 van Hiele 幾何思維發展層次為主。從西元 1993 年開始，我國的國民小學數學教材中的幾何課程就以 van Hiele 發展理論為依據設計，直至九年一貫數學課程教材仍以 van Hiele 理論的幾何思維發展層次來編撰（吳德邦、謝翠玲，1998；教育部，2003），分為五個層次：視覺的、分析描述的、非形式演繹、形式演繹、嚴密階段，以下就各層次內容分別敘述如下（吳德邦，1999，2004；吳德邦、馬秀蘭、李懿芳，2007；譚寧君，1993； van Hiele,1986）。. 9.

(21) 一、層次一：視覺的（visual）層次此層次的學童是透過視覺觀察各種具體事物，從圖形的整體輪廓來辨認形的概念、複製給定的圖形形狀，藉由操作具體物來辨別各種圖形的異同。學童不能依據圖形的性質或組成要素來分析，也無法了解這些圖形的意義。二、層次二：描述的（descriptive）層次此層次的學童能辨別圖形特徵，並能分析圖形的性質或組成要素。學童藉由觀察、測量、作圖來建立圖形的基本構成要素與圖形之間的關係，但是無法分辨同類圖形的關係或各圖形間的關係，例如不了解正方形是長方形的一種。三、層次三：理論的（theoretical）層次此層次的學童不只能清楚各種圖形的構成要素，也能進一步探索幾何圖形的屬性及各個圖形間的包含關係，例如能了解正方形是長方形的一種特例，雖能根據圖性特質進行非正式的推演，但卻還不能進行有系統的證明對稱、旋轉等幾何概念。四、層次四：形式邏輯的（formal logic）層次此層次的學童能藉由各種抽象推理的過程或邏輯推理的方法，來證明幾何理論、定義、問題，也知道證明的方法可能性不只一種，還能理解幾何的問題解決，卻無法了解邏輯法則本質的嚴密性與演繹系統間的關係。五、層次五：邏輯法則本質的（the nature of logical laws）層次這個層次是屬於最高層次，達到這個層次的人能進行不同的公設系統，在不同的公設體系中建立幾何定理，並能分析比較各種不同的公設系統，亦能了解抽象的幾何，以及理解公設系統的一致性、獨立性、完整性。以上五個 van Hiele 幾何思維發展層次有次序性，每一層次的概念皆來自於前一個層次，若想成功發展任一個層次，必須擁有前一層次的概念與策略（吳德邦， 1999，2004；譚寧君，1993；Crowley,1987），由 van Hiele 的幾何思維發展層次可以得知，幾何能力的發展有其趨勢。國小的幾何教學，可參考歷史發展的軌跡與學童的認知發展階段（教育部，2003）。. 10.

(22) 貳、幾何教材的分析本研究根據教育部（2003）所公布國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域的能力指標分年細目，參酌國民小學康軒、翰林、南一、部編四個版本的數學審定課本，依 99 學年度、100 學年度、101 學年度分別彙整四到六年級的幾何單元，以利幾何測驗的編製。幾何教材從幾何分年細目的說明與幾何單元的彙整兩個方向來進行分析如下：一、幾何分年細目的說明分年細目的能力指標是依主題與階段的學習能力而訂定，然而多數指標必須採取分年教學，才能達成其教學目標。因此，由階段能力指標演繹出更細緻的分年細目及詮釋，以利明確掌握分年進階式教學的進度（教育部，2003）。分年細目的編號採三碼編排，第一碼表示年級，分別以 1、…、9 表示一至九年級；第二碼表示主題，而小寫字母 s 代表數學學習領域的五大主題中的幾何；第三碼則是流水號，表示該細項下分年細目的序號。本研究中所依據的四、五、六年級分年細目係由教育部（2003）所公布，指標內容如下表 2-1-1 所示：表 2-1-1 九年一貫數學領域四、五、六年級分年細目分年細目. 四年級幾何分年細目內容說明. 4-s-01. 能運用「角」與「邊」等構成要素，辨認簡單平面圖形。. 4-s-02. 能透過操作，認識基本三角形與四邊形的簡單性質。. 4-s-03. 能認識平面圖形全等的意義。. 4-s-04. 能認識角度單位「度」，使用量角器實測角度或畫出指定的角。（同 4-n-14）. 4-s-05. 能理解旋轉角的意義。. 4-s-06. 能理解平面上直角、垂直與平行的意義。. 4-s-07. 能由直角、垂直與平行的概念，認識簡單平面圖形。. 4-s-08. 能利用三角板畫出直角與兩平行線段，並用來描繪平面圖形。. 4-s-09. 能理解長方形和正方形的面積公式與周長公式。（同 4-n-16）（續下頁）. 11.

(23) 表 2-1-1（續）分年細目. 五年級幾何分年細目內容說明. 5-s-01. 能透過操作，理解三角形三內角和為 180 度。. 5-s-02. 能透過操作，理解三角形任意兩邊和大於第三邊。. 5-s-03. 能認識圓心角，理解 180 度、360 度的意義，並認識扇形。. 5-s-04. 能認識線對稱，並理解簡單平面圖形的線對稱性質。. 5-s-05. 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。（同 5-n-16）. 5-s-06. 能運用「頂點」、「邊」與「面」等構成要素，辨認簡單立體形體。. 5-s-07. 能理解長方體和正方體的體積公式。（同 5-n-18）. 5-s-08. 能認識面的平行與垂直，並描述正方體與長方體中面與面的平行與垂直關係。. 分年細目. 六年級幾何分年細目內容說明. 6-s-01. 能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題。. 6-s-02. 能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認識比例尺。. 6-s-03. 能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域估算其面積。（同 6-n-11）. 6-s-04. 能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面積。（同 6-n-12）. 6-s-05. 能認識直圓錐、直圓柱與直角柱。. 6-s-06. 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。（同 6-n-13）. 四到六年級的學童開始結合「數」與「形」兩大主題，學習運用幾何形體的構成要素及其數量性質來描述特殊幾何形體的特徵與性質（教育部，2003），例如利用角、邊、面等構成要素或是角度、邊長、面積等數量性質來認識幾何形體。二、幾何單元的彙整本研究四年級的測驗內容，係以教育部公布之九年一貫課程綱要數學學習領域中的分年細目為依據，參酌 99 學年度各版本的數學審定課本彙整四年級幾何單元，如表 2-1-2 所示：. 12.

(24) 表 2-1-2 四年級幾何單元分年康軒版細目 4-s-01 七（八）* 三角形八（十一）四邊形 4-s-02 七（八）三角形八（十一）四邊形 4-s-03 七（八）三角形八（十一）四邊形 4-s-04 七（二）角度 4-s-05 七（二）角度 4-s-06 七（四）垂直與平行. 4-s-07 八（十一）四邊形 4-s-08 七（四）垂直與平行八（十一）四邊形. 南一版七（十一）三角形八（九）四邊形七（十一）三角形八（九）四邊形七（十一）三角形八（九）四邊形七（三）角度七（三）角度七（十一）三角形八（九）四邊形八（九）四邊形八（九）四邊形. 翰林版. 部編版. 八（六）全等、三角形與四邊形. 八（六）平面圖形. 八（六）全等、三角形與四邊形. 八（六）平面圖形. 八（六）全等、三角形與四邊形. 八（六）平面圖形. 七（九）角度與量角器七（九）角度與量角器七（三）垂直與平行. 七（五）角度七（五）角度八（三）面積八（六）平面圖形八（六）平面圖形. 八（六）全等、三角形與四邊形七（三）垂直與平行八（六）全等、三角形與四邊形. 4-s-09 八（八）七（八）七（六）周長與面積面積和周長周長與面積 *註：七（八）表示第七冊第八單元，以此類推。. 七（四）垂直與平行八（三）面積八（六）平面圖形八（三）面積. 本研究五年級的測驗內容，係以教育部公布之九年一貫課程綱要數學學習領域中的分年細目為依據，參酌 100 學年度各版本的數學審定課本彙整五年級幾何 13.

(25) 單元，如表 2-1-3 所示：表 2-1-3 五年級幾何單元分年康軒版細目 5-s-01 九（三）* 平面圖形. 翰林版. 部編版. 九（三）平面圖形. 九（三）三角形與扇形. 5-s-02 九（三）平面圖形. 九（三）平面圖形. 九（三）三角形與扇形. 5-s-03 九（三）平面圖形. 十（六）扇形. 九（三）三角形與扇形. 5-s-04 九（六）線對稱圖形. 九（三）平面圖形十（三）線對稱圖形九（七）平行四邊形和三角形的面積九（九）梯形的面積和應用九（五）長方體和正方體十（四）體積的計算. 十（二）線對稱圖形. 十（一）三角形十（三）四邊形與扇形十（一）三角形十（三）四邊形與扇形十（一）三角形十（三）四邊形與扇形九（九）線對稱圖形. 九（二）面積. 十（三）四邊形與扇形. 九（五）長方體與正多面體十（五）體積. 九（二）立體形體. 5-s-05 九（七）面積. 5-s-06 九（八）正方體、長方體和球 5-s-07 十（二）體積. 南一版. 5-s-08 九（八）九（五）九（五）正方體、長方長方體和正方長方體與正多體和球體面體 *註：九（三）表示第九冊第三單元，以此類推。. 14. 九（六）體積、容積與容量九（二）立體形體.

(26) 本研究六年級的測驗內容，係以教育部公布之九年一貫課程綱要數學學習領域中的分年細目為依據，參酌 101 學年度各版本的數學審定課本彙整六年級幾何單元，如表 2-1-4 所示：表 2-1-4 六年級幾何單元分年康軒版細目 6-s-01 十一（三）* 柱體與錐體十一（八）圓面積十二（四）柱體體積 6-s-02 十一（九）縮圖、放大圖與比例尺 6-s-03 十一（八）圓面積 6-s-04 十一（七）圓周長十一（八）圓面積 6-s-05 十一（三）柱體與錐體 6-s-06 十二（四）柱體體積. 南一版. 翰林版. 部編版. 十一（九）柱體與錐體十一（五）圓周率和圓面積十二（一）柱體的體積十二（四）縮圖和比例尺. 十一（四）柱與錐十一（七）圓的複合圖形十一（九）體積與表面積. 十一（九）柱體與錐體十一（八）正多邊形與圓十二（三）柱體的表面積及體積十一（五）圖形的縮放. 十一（五）圓周率和圓面積十一（五）圓周率和圓面積十一（六）扇形面積十一（九）柱體與錐體十二（一）柱體的體積. 十一（八）放大與縮小十二（三）地圖與比例尺十一（七）圓的複合圖形. 十一（八）正多邊形與圓. 十一（六）圓十一（七）圓的複合圖形. 十一（八）正多邊形與圓. 十一（四）柱與錐十一（九）體積與表面積. 十一（九）柱體與錐體十二（三）柱體的表面積及體積. *註：十一（三）表示第十一冊第三單元，以此類推。綜合表 2-1-2、表 2-1-3、表 2-1-4 可得知，各版本的四到六年級的幾何單元，皆參酌九年一貫課程綱要數學學習領域中的能力指標分年細目編審，因此研究者編製幾何測驗時皆能涵蓋各版本的幾何單元，並無跨版本的問題。. 15.

(27) 參、幾何相關文獻的整理關於數學幾何學習的發展，研究者根據研究範圍與對象來探討相關文獻，針對國小中高年級的學童學習幾何的情形以及相關的影響因素，學者們各有其研究發現：在幾何整體表現方面，陳正二（2006）指出國小四年級學童在接受四年級幾何能力指標之電腦適性測驗編製及動畫補救教學後，運用「角」與「邊」等構成要素辨認簡單平面圖形、透過操作認識基本三角形與四邊形的簡單性質、認識平面圖形全等的意義、認識角度單位「度」並畫出指定的角、理解旋轉角的意義、理解平面上垂直與平行的意義、由垂直與平行的概念認識簡單平面圖形，這七個幾何能力皆有進步，而在理解長方形和正方形的面積公式與周長公式這部分進步情況未達顯著。代表四年級學童經過教學活動，其幾何能力有所提升。而陳怡君（2003）亦指出六年級學童的空間感些微高於五年級學童，顯示數學學習經驗可以幫助空間運思能力的提升，代表學習經驗對幾何能力有正向影響。在幾何學習表現的層次方面，國小高年級學童在數學幾何的學習內容，已具備概念學習的順序性（黃雅琪，2007），幾何概念題如「理解線對稱圖形的性質」的表現，優於幾何問題解決題如「應用線對稱圖形的性質解決幾何問題」的表現（洪珮芬，2010），由此可見幾何的學習有其發展趨勢，在概念與問題解決上學童的表現不同，學童在幾何概念的起始表現優於問題解決的起始表現。而在幾何能力隨時間變化的情形方面，國外學者 Dietmar & Celia(2006)提及高成就學生的幾何推理成長趨勢較緩，有些高成就學生幾何推理能力根本沒有什麼進步，甚至有些退步。在性別因素方面，陳怡君（2003）指出男女學童的空間感未達顯著差異；謝貞秀、張英傑（2003）指出三年級的男女學童平面圖形概念未達顯著差異；吳德邦等（2011）亦指出男女學童均是分布在創造性層次的人數最多，其次是分布在批判性層次，但是性別對創造性層次與批判性層次兩者間沒有顯著差異，顯示性別並非影響國小學童數學幾何學習的重要因素。. 16.

(28) 綜合上述，幾何的學習與能力有其影響因素，研究者整理文獻中提及學童的幾何學習的發展或影響的因素，而當中只有 Dietmar & Celia(2006)的研究是以長期追蹤方式進行研究，其餘的文獻則是橫斷面向的研究，如表 2-1-5 所示：表 2-1-5 幾何相關文獻彙整表文獻（研究者）研究結果國小高年級學生空間感不同年級學生的空間感略有差異，六年級學生些探究（陳怡君，2003）微高於五年級學生，顯示數學學習經驗可能對空間運思能力有正向影響；而不同性別學生的空間感未達顯著差異，即代表男女學生的幾何空間感沒有差異。國小三四年級平面圖形三四年級學童在平面圖形概念紙筆測驗之表現概念之探究（謝貞秀、張無顯著差異。不同性別的學童在平面圖形概念紙英傑，2003）筆測驗的表現為三年級未達顯著差異，四年級則有顯著差異女生的平均分數高於男生。不同性別與年級的學童幾何圖形造圖的能力差異並不大。國小數學領域四年級幾何能力指標之電腦適性測驗編製及動畫補救教學之應用（陳正二，2006）. 學童在接受四年級幾何能力指標之電腦適性測驗編製及動畫補救教學後，在受測 4-s-01 到 4-s-07 與 4-s-09 的八個能力指標後測通過率皆大於前測通過率。當中有七個能力指標前後測通過率具有顯著性差異，以指標 4-s-07 的後測通過率進步 0.19 最多，而指標 4-s-01 到 4-s-06 至少也有 0.07 以上的進步，但指標 4-s-09 的前後測通過率未達顯著。. 國民小學五年級學童幾學小五年級學童應可到達 van Hiele 幾何思維發何學習表現之研究（黃雅展層次中描述的層次，部分學童可到達理論的層琪，2007）次。學童在「三角形三內角和為 180 度」和「線對稱圖形」的概念學習上，有較高的答題通過率，但在「三角形任意兩邊和大於第三邊」和「正立方體、長方體中面與面的關係」的概念理解，學習表現卻較不佳。研究還發現九年一貫課程綱要在五年級數學幾何學習內容，已具備概念學習的順序性。（續下頁）. 17.

(29) 表 2-1-5（續）文獻（研究者）線對稱概念的 van Hiele 層次及其 S-P 表分析結果之研究－以國小五年級學童的實作評量為例（洪珮芬，2010）. 臺灣中部地區國小高年級學生幾何推理層次的分布情形（吳德邦、馬秀蘭、陳姿良、許天維， 2011）. 研究結果學童在「線對稱圖形的辨別」方面之表現較佳，其次依序為：「找出線對稱圖形的對稱軸」、「理解線對稱圖形的性質」、「找出對稱點、對稱邊、對稱角」、「依據提示畫出線對稱圖形」、「完成線對稱圖形」，以「應用線對稱圖形的性質解決幾何問題」的表現最差。五年級和六年級的學生均是分布在創造性層次的學生最多，其次分布在批判性層次。年級與層次兩變項沒有相關，顯示其年級高，分布在較高層次的人數並沒有明顯增多。男學生和女學生均是分布在創造性層次的學生最多，其次分布在批判性層次。性別對層次兩變項沒有顯著差異。. Influences on Students' 研究進行為期三年的長期追蹤，透過未標準化的 Mathematical Reasoning 幾何形體，來觀察學生幾何推理的發展情形。研 and Patterns in Its 究發現高成就的學生在數學代數和幾何的推理 Development：Insights 進展，是從認知轉向幾何推理。然而，研究也注 from a Longitudinal Study 意到，許多高成就學生的幾何推理在這三年來根 with Particular Reference 本沒有什麼進步，甚至有些退步。高成就學生的 to Geometry (Dietmar & 轉變影響了教學的需求項目。 Celia, 2006) 資料來源：研究者自行整理。. 第二節. NAEP 數學評量架構. NAEP 為美國發展至今已有 40 多年歷史的國家教育進展評量，透過長期追蹤的方式有系統地評量與觀察學童學習與基本能力的發展趨勢。本節將從兩個部分來介紹 NAEP 2003 數學評量架構：評量架構的說明、以 NAEP 數學評量架構為基礎的相關研究。. 壹、評量架構的說明一、 NAEP 數學評量架構的演變自 1973 年實施第一次數學評量至 2003 年，NAEP 的評量架構大致維持不變，. 18.

(30) 而 NAEP 於 1996 年、2000 年及 2003 年提出的數學教育成就評量，稱為 NAEP 2003 數學評量架構，其架構區分成數學內容（mathematical content strands）、數學能力（mathematical abilities）、數學力（mathematical power）三個向度（NAGB， 2002）。數學內容包含五個領域：「數概念、性質與運算」（number sense, properties, and operations）、「測量」（measurement）、「幾何與空間觀念」（geometry and spatial sense）、「資料分析、統計與機率」（data analysis, statistics, and probability）、「代數與函數」（algebra and functions）。數學能力分為三種類型：概念的了解、程序性知識、問題解決。而數學力則區分為推理（reasoning）、連結（connections）、溝通（communication）。NAEP 1996~2003 數學評量架構如圖 2-2-1 所示（NAGB， 2002）：. 圖 2-2-1. NAEP 1996~2003 數學評量架構. 翻譯自：“Framework for the 1996, 2000, and 2003 Mathematics Assessments,” by National Assessment Governing Board, 2002, Mathematics framework for the 2003 national assessment of educational progress, p.11. 然而自 2004 年開始數學評量架構有些調整，五個數學內容類似 2003 年前的數學評量架構，包含：數字概念與運算（number properties and operations）、測量（measurement）、幾何（geometry）、資料分析與機率（data analysis and. 19.

(31) probability）、代數（algebra）。而在數學能力評量中的複雜性程度則為 2005 年、 2009 年到 2011 年的評量架構，區分為低階複雜性（low complexity）、中階複雜性（moderate complexity）、高階複雜性（high complexity）。低階複雜性的題型著重於記憶、觀念與簡單的計算，中階複雜性的題型強調比較、陳述與多步驟解題，高階複雜性的題型偏向推理、歸納、分析與解決新穎的問題（曾明義，2008； NAGB，2010）。二、NAEP 2003 數學評量架構 NAEP 2003 數學評量架構分成數學內容、數學能力、數學力三個向度，在數學能力部分區分為三種類型：概念的了解、程序性知識、問題解決，分別敘述如下（張素珍、李佩瑾、郭伯臣、林佳樺，2011，p.54）：（一）概念的了解是指： 1、能辨認、歸類、產生概念的例子及非例子。 2、能使用相關的模式、圖表、操作方法，及改變概念的表現方式。 3、辨認和應用原理原則。 4、能知道及運用事實及定義。 5、能比較對照、整合相關概念及原理原則，擴展原概念及原理原則。 6、能辨認、解釋及應用來表示概念的符號及術語。 7、能詮釋在數學情境下相關概念的假設和關係。（二）程序性知識是指： 1、正確的選擇和應用程序。 2、使用具體的模式或象徵性的方法證明程序的正確性。 3、擴展或修正程序以處理問題情境中原有的因素。（三）問題解決是指： 1、能以確認及規畫解決問題。 2、決定資料的充分性及一致性。 3、能使用策略、資料、模式及相關的數學。. 20.

(32) 4、產生、擴展或修正程序。 5、在新的情境中能推理。 6、判斷結果的合理性及正確性。 NAEP 2003 數學評量架構在數學力的部分區分為：推理、連結、及溝通，分別敘述如下：（一）推理是指： 1、能認知數學的基本內容。 2、能進行探究與數學臆測。 3、發展對數學論證的評價，選擇使用不同的推理和證明方法。（二）連結是指： 1、能理解和進行數學概念之間的連結。 2、能了解數學概念是環環相扣的體系。 3、能在數學領域外辨認和使用數學。（三）溝通是指： 1、能透過溝通強化數學思維。 2、能和他人溝通數學思維，能分析和評估他人的數學思維和策略。 3、能使用數學語言表達數學概念。由 NAEP 2003 數學評量架構中的數學能力與數學力，對照國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域的階段目標，發現國民小學幾何能力的階段目標是培養學童能認識簡單幾何形體的幾何性質、並理解其面積與體積公式。本研究的研究對象是國小四到六年級的學童，在九年一貫課程綱要的階段概分中橫跨階段二與階段三，四五年級的學童由於數與量的發展逐漸成熟，學童開始結合「數」與「形」兩大主題，學習運用幾何形體的構成要素及其數量性質；到了六年級，學童能透過形體的分割、拼合、截補、變形與變換，來了解形體的性質、幾何量的計算以及非形式化推理，亦能透過方位描述及立體模型的展開組合來培養空間能力及視覺推理（教育部，2003）。. 21.

(33) 綜上所述， NAEP 2003 數學評量架構中數學能力與數學力所區分的類型，與九年一貫課程綱要數學學習領域的階段目標較為一致：概念的了解即為運用幾何形體的構成要素及其數量性質、運用面積與體積公式並判斷方法過程的正確性就是種程序性知識、而非形式化推理或視覺推理等即是幾何的問題解決。由於 NAEP 2003 數學評量架構與九年一貫課程綱要數學學習領域的階段目標較為雷同，因此本研究以 NAEP 2003 數學評量架構為基礎編製幾何測驗。. 貳、以 NAEP 數學評量架構為基礎的相關研究國內利用 NAEP 數學評量架構為基礎之研究並不多，顯示較少研究者以 NAEP 數學評量架構為對象進行研究。曾明義（2008）與孫長蓀（2011）提到 NAEP 數學評量架構在我國的國小學童之數學成就評量之應用是可行的，教師在設計評量活動或測驗工具時，可運用能測得學童較高階的能力值的階層式測驗，而 NAEP 數學評量架構的評量方式就是編製測驗時一個很好的選擇。本研究以 NAEP 數學評量架構為基礎編製幾何測驗，進行國小數學幾何能力的長期追蹤，以期測得學童較高階的能力值，並利用學童幾何的能力值探究數學幾何能力的成長趨勢。本研究雖非按照 NAEP 的實施方式進行施測，但在測驗編製部分皆使用到等化設計，資料分析部分亦輔以相關背景變項進行問卷調查，NAEP 2003、NAEP 2008 的數學評量報告與其相關文獻可與本研究的結果互相比較、討論。在性別方面，NAEP 2003、NAEP 2008 數學評量報告皆顯示出美國男女學童的數學表現並無顯著差異，顯示性別並非影響數學表現的因素；在種族方面，白人學童與亞裔學童成績雖優於黑人學童、西班牙裔學童、美國印地安學童，但在成績進步的幅度部分，黑人與西班牙裔學童在各年齡層進步的幅度比白人學童還要大；在家庭背景方面，學童的雙親不具有高學歷者，數學成績較之前進步。在數學整體表現方面，不論是 2003 年還是 2008 年，學童的數學測驗成績較 1973 年進步許多。本研究將以 NAEP 評量架構為基礎之文獻與 NAEP 2003、NAEP 2008 數學評量報告相關文獻彙整如下表 2-2-1：. 22.

(34) 表 2-2-1 以 NAEP 數學評量架構為基礎的相關文獻彙整表文獻（研究者）研究結果 NAEP 2007 評量架構在臺研究針對正式題本進行信度、效度、難易度、灣國小學童之數學成就評鑑別度及試題特徵曲線進行分析，結果得知量發展模式之應用（曾明 NAEP 2007 評量架構應用在臺灣國小學童之義，2008）數學成就評量發展的模式是可行的，代表教師設計評量活動或測驗工具時，Bloom 的認知層次並非唯一的能力評量方式與依據。以 NAEP 數學評量中數學能力架構進行國小六年級的幾何測驗編製與分析（孫長蓀，2011）. 近年來為測得學生較高階的能力值，測驗編製者逐漸朝向設計評量架構為階層式的測驗，如國際的大型中的 NAEP。研究根據 NAEP 2003 的數學評量架構，編製一份六年級數學「幾何」測驗，利用實證資料比較 HO-IRT、 MIRT、UIRT 三種模式對數學能力值的估計是否有差異，研究證實 HO-IRT 模式估計效果較佳。. The Nation’s Report Card Mathematics 2003 (Braswell, Dion, Daane, & Jin, 2005). 在性別方面，4 年級的學童不管是男生還是女生，在 2003 年的數學表現皆優於過去，而 2003 年的數學表現男女的成績差距無顯著差異。在種族方面，白人學童與亞裔學童成績皆優於黑人學童、西班牙裔學童、美國印地安學童。整體而言，不論合格與否，到達或高於「精熟」階級的人數較 2000 年來得多，成績也較之前進步。. NAEP Scores Put Spotlight on Standards: Flat Math Results Also Spur Calls for Teaching Reforms(Sean, 2009). 近來 NAEP 測驗的結果顯示出從 2000 年到 2003 年，四年級學童的數學成績躍進，四年級學童的數學成績從 226 躍進到 235，至少提升兩個百分點。而美國的白人、黑人、西班牙裔、亞裔學童從 1990 年來成績都有進步，但在 2007 年到 2009 年之間，學童的成績進步幅度維持平穩。. （續下頁）. 23.

(35) 表 2-2-1（續）文獻（研究者） NAEP 2008 Trends in Academic Progress ( Rampey, Dion, & Donahue, 2009). 研究結果在性別方面，2008 年的數學表現男女學童數學成績無顯著差異。在種族方面，黑人與西班牙裔學童在各年齡層進步的幅度比白人學童還要大。而黑人與西班牙裔學童與白人學童成績差距也縮小了。在家庭背景方面，相較於 1978 年，學童的雙親不具有高學歷者，其受試成績是進步的。整體而言，2008 年的數學測驗成績較 1973 年進步許多。資料來源：研究者自行整理。. 第三節. 長期追蹤研究. 縱貫研究可以探討學童長時間接受教育後，學習的發展情形，藉以瞭解學童特質及環境因素與其學習改變情形之間的關聯（吳璧如，2005），長期追蹤則是屬於縱貫研究設計的一種。過去，大多數與學業有關的研究侷限於橫斷面向，國內少有縱貫研究的教育相關期刊發表或學術論文。本節將從長期追蹤研究的內涵與相關文獻分別敘述如下：. 壹、長期追蹤研究的內涵長期追蹤屬於縱貫研究設計的一種，很適合探討發展的連續性，因為此種研究方法是以相同的受試者為研究對象，透過不同時間點的資料蒐集，連續觀察受試者發展的情形，藉以瞭解受試者特質及環境因素與其學習改變情形之間的關聯，因此每個人都成為自己比較的標準（吳璧如，2005；郭生玉，2012）。吳齊殷等（2008）指出橫斷面向研究資料無法考量以「時間」做一個實質的變項，因此無法提供機制與過程的訊息，縱貫研究則可建立有時間向度的經驗資料。由於縱貫研究同時具有人、變項、時段的資料型態，不僅可以看出受試者的變動情形，亦可用來討論橫斷面向的問題（溫福星，2006）。. 24.

(36) 長期追蹤研究設計有下列幾項優點（郭生玉，2012，p.312）：一、反映發展過程中的個別差異縱貫研究是以相同的受試者為對象，進行長期而連續性的觀察研究，因此易於真實反映發展過程中的個別差異現象。二、瞭解個人較多特質的發展現象縱貫研究是以較少的樣本數，做較多變項的長期追蹤觀察，故易於深入瞭解受試者較多種特質發展的狀況。三、易控制影響研究變項的有關因素縱貫研究是對同一群受試者進行長期的連續研究，是屬於一種重複的測量設計，在這種研究中，受試者本身是控制的因素，即可確信研究變項的比較性，意指較能控制觀察不到的個人特質，推論更精準的結果（黃芳玫、吳齊殷，2010）。四、能夠顯示發展的陡增和高原現象因為每個人發展的速度不同，橫斷法易將早熟和晚熟的受試者綜合在一起，而抵消由於成熟速度不同而形成的個別差異現象，若採用縱貫研究，則人所存在的個別差異現象比較容易顯示出來。長期追蹤研究不僅能控制有關的研究變項，還能夠反映學童發展過程中的個別差異、探討學童較多的特質與背景變項的影響，更能夠針對學童不同的成長速度作深入的研究，長期追蹤研究適合用於瞭解學童數學幾何能力發展或變化情形。但是長期追蹤研究屬於一種重複的測量設計，受試者容易因為同樣測量工具的重複使用而熟悉材料。由於本研究範圍涵蓋四、五、六年級，分年細目指標範圍分布太廣泛，考量施測時間與受試者之負擔，所以本研究採用等化設計，能以不同的題目來涵蓋不同年級測驗的分年細目與內容，再以定錨試題校準試題難度的差異，估計受試者的能力（郭伯臣、王暄博，2008）。此設計還有另外一個優勢，即能減少測驗的雷同性，免除長期追蹤研究中重複測量方法的限制。綜合上述，本研究採長期追蹤的方式進行研究，可觀察學童發展過程中的個別差異與發展現象，並瞭解個人特質或環境因素如何發生關聯（高新建，1997）。. 25.

(37) 貳、長期追蹤研究相關文獻我國在教育領域中，長時間的追蹤研究近年來有洪碧霞、邱上真、葉千綺、林素微（2000）針對國小二年級學童，所進行的為期三年的國語文能力成長組型；在數學教育領域則有吳裕益、洪碧霞、李東霖、邱上真（2004）在科技化測驗與能力指標評量國際學術研討會所發表的研究，針對國小三到六年級學童進行學習遲緩與學區對國小學童數學能力成長之影響探討。國內關於數學教育領域為期三年以上的長期追蹤研究並不多見，因此研究者針對數學教育領域或學童學業成就相關的縱貫研究進行探討，發現縱貫研究可探究學童的發展趨勢。如在國小六年級機率概念的研究中，雖然學童的整體表現沒有顯著差異，但在部分的分類概念上有顯著的改變（謝佩宜，2007）。國小五年級學童對四則運算的認知結構雖有所改變，但其中在四則運算概念表現上，只有文字題「由左至右依序運算」前測分數顯著高於後測，其餘各項並未達顯著差異（張育綾，2008），若為前測分數顯著高於後測，即代表學童四則運算的概念認知結構發展並未呈現進步情形。然而在整數加減法的解題表現，有第二年皆優於第一年的情形（黃秀玉，2008），五年級學童之數學解題及整合認知能力皆有顯著進步(王正信，2001)，代表學童的整數加減法解題表現與數學解題及整合認知能力的發展呈現進步的趨勢。在性別方面，五年級學童男女生數學解題及整合認知能力發展情形雖無顯著差異 (王正信，2001)，可見性別並非影響學童數學解題及整合認知能力發展的因素；在族群方面，巫有鎰（2007）指出發現原住民學童成績較漢人學童低，可歸因於原住民學童文化不利；在時間規畫方面，陳靜姿、洪碧霞（2010 ）指出對課業投入型的學童，其數學成長率較高。在學習時間與心態方面，投入型學生在跨時間點的表現積極正向，進展良好；而學習較被動、缺乏數學學習興趣的逃避型學生則在三次表現均明顯落後。研究者針對數學教育領域或學童學業成就相關的縱貫研究，整理國內外學者之研究結果如下表 2-3-1：. 26.

(38) 表 2-3-1 縱貫研究相關文獻彙整表文獻（研究者）研究結果國小學童數學解題及整合五年級學童三次施測之數學解題及整合認知認知能力之縱貫研究（王能力有顯著之進步。學童之數學解題及整合正信，2001 ）認知能力皆有顯著進步，且數學解題能力及整合認知能力之發展情形頗為類似。男、女生三次施測之數學解題及整合認知能力發展情形無顯著差異。學校與非學校因素對臺東研究運用「臺東縣教育長期資料庫」探討影縣原、漢國小學生學業成響臺東縣原、漢國小學生學業成就之因素，就的影響（巫有鎰，2007）發現原住民學童成績較漢人學童低，可歸因於原住民家庭背景較不利，且學科補習與電腦網路等家庭財務資本較少。就讀小班小校等學校財務資本高的學校，有助於提升原住民學童的學業成績。運用潛在類別分析國小六學童經過一學期後，在機率概念整體表現沒年級機率概念之縱貫研究有顯著差異。而整體學生在「可能性判斷」、（謝佩宜，2007）「樣本空間」、「機率比較」、「大數法則」概念的潛在類別分布上，已有顯著的改變。研究結果發現，學童在不同的機率概念上表現有所差異。潛在類別分析在國小五年前、後測四則運算中，學童的解題表現，非級學童四則運算規則之縱文字題優於文字題。前、後測四則運算概念貫研究（張育綾，2008）表現上，除文字題「由左至右依序運算」前測分數顯著高於後測，其餘各項未達顯著差異。對結果分群進行交叉比對，學童四則運算的認知結構有所改變。國小低年級學童在整數加減法概念之縱貫研究－模糊集群分析與次序理論的整合應用（黃秀玉，2008）. 兩次施測平均最高的皆是「改變類」，最低的則是「合併類和比較類」，學童在各類別的解題表現，第二年皆優於第一年。隸屬於四個類別各集群學童，兩次施測結果其人數及精熟度的次序階層關係呈現差異現象。其結果符合由易而難、由低階向高階，以各階層間次序關係呈現出受試樣本的知識結構特性。（續下頁） 27.

(39) 表 2-3-1（續）文獻（研究者）研究結果不同數學學習氣質學生情研究者進行為期八個月的縱貫研究，蒐集跨意和成長特徵之探討（陳三個時間點的數學能力。投入型學生堅持目靜姿、洪碧霞，2010 ）標，考試型學生自我防衛較強，逃避型學生則多屬學習被動。發現不同數學學習氣質類型學生數學成長呈現顯著的差異情形，投入型學生在跨時間點的表現積極正向，進展良好。投入型學生的成長率顯著優於考試型學生，逃避型學生則在三次的表現中均呈現明顯落後的狀況。家中小孩個數與學習成就表現探討 – 以 2007 年 TASA 數學科為例（杜雨潔，2011 ）. 此研究結果取自TASA電子報，研究以 2007 年 TASA 數學科為例，利用單因子變異數分析（ANOVA），並進行事後比較，探討家中小孩個數與學生數學科學習成就表現之間的關聯性，研究結果顯示：家中小孩個數為2 位者，其學習成就表現較佳；而家中小孩個數3 位以上的學生，其平均量尺分數表現有隨著小孩個數的增加而呈現遞減的趨勢。. 高學歷父母對子女學習成此研究結果取自TASA電子報，研究分別對作效影響較大？（蔡翰征，答反應與學生量尺分數進行迴歸分析，觀察 2012 ）家庭社經地位背景指標中之父親教育程度、母親教育程度、父親職業、母親職業對學生學習成就表現的影響。研究發現高學歷父母普遍對子女學習成就表現影響確實較大。父親職業影響較小，而母親職業對在各年段數據中的影響皆呈現不顯著的情況。這項研究的受試者來自11個班的229名學童，在一個實驗環境採用為期一學年的MSTS教學法，這項縱貫研究比較實驗組和對照組中的學童筆試知識和幾何創造力的發展，研究發現接受MSTS教學法的學童，其幾何的創造力更具流暢性，靈活性和獨創性。資料來源：研究者自行整理。 The Role of Multiple Solution Tasks in Develop -ing Knowledge and Creativity in Geometry (Anat,L.H. & Roza, L. , 2012). 28.