潛在成長模式

近年來 LGM 已被運用於許多學術領域，主要用於縱貫研究的分析，用來分 析變項間於一段時間內的變化情形，亦可分析變項間的動態因果關係（王誕生、

姚佩欣、徐其力，2006；侯雅齡，2009；張憲庭，2010）。本節將透過 LGM 的 說明與模式應用之相關研究來闡述 LGM：

壹、 潛在成長模式的說明

LGM 在理論架構來自於結構方程模式（structural equation models, SEM）當 中的驗證性因素分析（confirmatory factor analysis, CFA），基本模式可用圖 2-4-1 來說明（李茂能，2009；張憲庭，2010；Byrne & Crombie , 2003）。

在圖 2-4-1 中，假設 time1 是第一次對學童的幾何能力測量所得到數據，time2 是第二次對學童的幾何能力測量所得到數據，以此類推。為了估計時間這個觀測 變項對學生的學習成就成長變化的影響，我們將時間這個潛在變項拆解為兩個變 數，一個潛在變數類似於簡單迴歸分析中截距（intercepts）的概念，截距變數名 稱為起始點、或稱初始狀態，用來描述觀測值的起始狀態；另一個潛在變數類似 於簡單迴歸分析中斜率（slope）的概念，而斜率變數名稱為成長率、或稱成長速 率，用來描述各觀測值被觀測期間的成長或衰退情形。（余民寧，2006；李茂能，

2009；侯雅齡，2009；張憲庭，2010；Duncan, Duncan, & Strycker , 2006）

圖 2-4-1 LGM 基本模式圖 time1 time2 time3

e1 e2 e3

1 1

1 x

x+1 x+2

Slope Intercept

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在不同時間點重複測量學童能力的變化情形時，兩個類似於簡單迴歸分析中 的潛在變數：斜率（slope）與截距（intercepts），會影響我們所要觀測的期間學 童幾何能力的發展情形。這三次測量的 LGM 之迴歸方程式可表示如下（張憲庭，

2010）：

time1= 1.0 × Intercept + x × Slope + e1 (1) time 2= 1.0 × Intercept + (x+1) × Slope + e2 (2) time 3= 1.0 × Intercept + (x+2) × Slope + e3 (3)

在公式(1)至(3)中，起始點的潛在變項與相關聯的各個測量指標變項的因素負 荷量，是一個常數，不會隨著時間而變化，通常設為1；而成長率的潛在變項相 關聯之第一個測量指標變項的因素負荷量亦可設一個常數項(x)，但後一個測量指 標變項的因素負荷量會隨著時間而變化，可假設後一個的測量指標變項的因素負 荷量比前一個因素負荷量的常數項多，在此假設三次測量的時間等距，第二次比 第一次的因素負荷量的常數項多1(x+1)，以此類推。若將公式(1)至(3)的迴歸方程 式化成矩陣方式呈現，則可表示如公式(4)所示(Byrne & Crombie, 2003)：

time1 1 x e1

time2 = 1 x+1 + e2 (4) time3 1 x+2 e3

張憲庭（2010）說明 LGM 所捕捉成長量的形式，除了使用截距表示起始狀 態與斜率表示成長速率外，因為成長型態的不同，可視需要增加另一個型態的潛 在變項，來描述彼此的關係（余民寧，2006b；Duncan et al., 2006）。加上另一個 因素作為二層次預測變項，先前模式之起始點與成長率由預測變項變為被預測變 項，故依理論假定分別對起始點與成長率再加上 Z1 與 Z2 兩個殘差變項（侯雅齡，

2009）。而二層次因素的分析旨在探討初階因素的因素分析，可說是一種潛在因 素的因素分析（李茂能，2011；邱皓政，2003），可視為有條件的（conditional）

LGM（吳明隆，2011），在此稱為二層次 LGM，其基本模式可用圖 2-4-2 來說明。

在圖 2-4-2 中，假設 time1 是第一次對學童的幾何能力測量所得到數據，time2 Intercept

Slope

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是第二次對學童的幾何能力測量所得到數據，time3 是第三次對學童的幾何能力 測量所得到數據。Intercept 為幾何能力的起始點，Slope 為幾何能力的成長率，加 上另一個因素 Constant 作為二層次預測變項，因素負荷量分別為 F1、F2，變異 數則為 V1、V2。此時幾何能力的起始點加上一個殘差變項 Z1，幾何能力的成長 率加上另一個殘差變項 Z2，而殘差變項 Z1 和 Z2 之間彼此互相有關連，所以加 上一條代表兩者共變的線（涌井良幸、涌井貞美，2007），如圖 2-4-2 所示：

圖 2-4-2 二層次 LGM 基本模式圖

若將公式(4)擴充，則可將二層次LGM的基本模式化成矩陣方式呈現，則可表 示如公式(5)所示(Byrne & Crombie , 2003)：

Intercept F1 Z1 Slope F2 Z2

而對於在不同時間點重複測量學童能力的變化情形以進行長期追蹤研究，利 用 LGM 來進行探究分析與探討有下列幾項特性（林丰勛，2005；張憲庭，2010）：

time1 time2 time3

Intercept Slope

e1 e2 e3

1 1

1 x

x+1 x+2

Z1 Z2

F1 F2

Constant

F2,V2 F1,V1

= Constant + (5)

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一、 直接處理變項間複雜的因果關係

LGM 不僅可以將變項間的直接影響關係進行分析，亦可以就變項間的間接 因果關係進行分析。

二、 對潛在變項間的因果關係進行考驗

由於LGM理論架構來自於結構方程模式，除了分析觀測變項之間的關係，還 可以考慮在測量誤差的基礎上對潛在變項間的因果關係進行考驗。如此一來便不 會混雜了真分數與測量誤差，無法精確看出個別內的改變量（侯雅齡，2009；Bollen

& Curran, 2006；Duncan et al., 2006）。

三、 根據模型整體適配情況進行修正

LGM 可利用結構方程模式的分析軟體而得到模型整體適配情形，同時亦可 以根據修正指標對模型進行修改。

四、 描述個體發展軌跡與分析個體間的差異及其原因

LGM 不僅能描述個體發展軌跡，就給定的發展趨勢進行檢驗；亦能分析個 體之間存在的差異及差異的原因，就觀測時間點多於兩個時間點對個體隨時間變 化的趨勢類型進行探索。

五、 有效處理缺失值

LGM 可以對依時間變化之預測變項對自變項的影響進行分析，亦可以利用 類似於結構方程模式中的檢驗方法，可以有效處理缺失值。

由上述特性得知，本研究透過不同時間點的資料蒐集觀察受試者發展的情 形，利用 LGM 進行資料分析，可以直接處理時間和其他變項間的因果關係，描 述個體發展的軌跡，且能分析個體間的個別差異。

貳、 潛在成長模式應用之相關研究

國內在教育領域利用 LGM 進行研究的相關文獻和學業成就有關的有林秀珍

（2008）以統計過程為基礎探究統計教學活動之成效、王枝燦（2009）以家庭結 構對青少年子女學習成就之影響進行研究，以及張憲庭（2010）以 LGM 分析中 學生學業成就。

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而其他研究則是以 LGM 為基礎進行研究，有幼兒在動手做科學活動歷程之 心流研究（侯雅齡，2009）、影響臺灣學生自律學習的因素（趙珮晴，2010）、父 母參與對青少年學習成長軌跡的影響之貫時追蹤研究（李敦仁，2011），以及學 習動機與學習策略對動態學習成效之影響（巫俊采，2012）。

國外學者 Zhang (2001)、Byrne 與 Crombie(2003)則是分別利用 LGM 對美國 亞裔高中學生進行學業成就的相關研究、與對 8 到 10 年級的學生進行數學等學 科能力進行相關的研究。

綜合國內外學者的研究發現學生的統計概念及能力越來越好（林秀珍，

2008）、幼兒的心流經驗隨活動參與時間增加呈現顯著的正向變化（侯雅齡，

2009）、臺灣學生從國中到高中的自律學習呈現遞增狀況（趙珮晴，2010），這些 研究結果顯示出受試者經過時間的變化，其成長呈現顯著的正向變化。但亦有受 試者經過時間的變化，其成長呈現顯著的負向變化的研究，如臺灣青少年學生年 級愈高，學習成長速率愈慢（李敦仁，2011）；學生數學能力在 8 到 10 年級時，

有逐漸降低的趨勢(Zhang, 2001)。

在家庭背景方面，單親家庭子女與雙親家庭子女學習成就差距會持續擴大

（王枝燦，2009）；家長教養方式及家庭社經地位，對中學生學業成就的初始狀 態和成長速率，皆有顯著的影響力（張憲庭，2010）；在學生家庭社經地位越高、

父母學校參與和接納的程度越高，學生國中時期的自律學習情況會越好；但是學 生家庭社經地位越高、父母學校參與程度越高，對於學生國中到高中自律學習成 長有限（趙珮晴，2010），可見年級愈低，家庭社經背景與父母親的影響就愈高。

在起始點與成長率的相關性方面，幼兒的心流經驗隨活動參與時間增加呈現 顯著的正向變化，但起始點與成長率之間呈現負相關，但可能存在極高限效應（侯 雅齡，2009）；學習成效初始狀態與成長速率具負向關係（巫俊采，2012）；學生 能力的起始點與成長率間，彼此呈現負相關，意即學生的起始點數學能力較高 者，其數學能力的成長率反而降低( Byrne & Crombie , 2003)，顯示大多利用 LGM 分析的研究中，起始點與成長率的相關性通常呈現負向關係。但在李敦仁（2011）

34 Census at school 教學網站

（林秀珍，2008）

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Immigrant generational differences in academic achievement and its growth: The case of Asian American high school students(Zhang, 2001)

亞裔美國高中學生的父母社經地位以及對子

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文獻（研究者） 研究結果

Modeling and testing change: An introduction on the latent growth curve model( Byrne & Crombie, 2003)

學生數學能力在8到10年級時，有逐漸降低的 趨勢。而在學生能力的起始點與成長率間，

彼此呈現負相關，意即學生的起始點數學能 力較高者，其數學能力的成長率反而降低。

資料來源：研究者自行整理。

表 2-4-1（續）

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