第四章 研究結果與討論
第二節 實驗組學生的解題表現
由第一節的研究結果顯示，兩組學生各構面的後測成績經過共變數分 析，實驗組在「位值」、「數的運算」及「運算」的成績顯著高於控制組，
研究者於本節進行實驗組晤談結果的分析之前，將再以實驗組於共變數分 析未達顯著差異的構面「數的理解」、「點數」、「合成分解」及「估算」前 後測結果，進行成對樣本ｔ檢定，以了解數感教學活動對實驗組的改變情 形；並依據實驗組學生在數感紙筆測驗後測的答題原案資料及後測晤談內 容，進行作答分析，以瞭解實施數感教學活動後，學生的思考及解題策略。
一、實驗組在「數的理解」、「點數」、「合成分解」及「估算」構面前、後
測的改變
研究者分別計算每位學生在「數的理解」、「點數」、「合成分解」及「估 算」構面的前、後測得分，再進行成對樣本 t 檢定，結果如下表 4-2-1：
表 4-2-1 實驗組構面前後測成績成對樣本 t 檢定摘要表 構面名稱 平均數 平均數的
差 標準差 t值 顯著性 前 3.7500 1.54502
數的理解
後 4.5313 0.78125
1.64580 -2.796** .009 前 1.3438 0.54532
點數 後 1.4375 0.09375
0.71561 -0.619 .540 前 3.4063 2.04560
合成分解
後 4.5625 1.15625
1.94998 -3.501** .001 前 3.1250 1.69915
估算 後 3.4688 0.34375
1.45877 -1.576 .125
**p<.01
由上表得知，經過成對樣本 t 檢定後，實驗組在四個構面的後測成績均 高於前測成績，其中「數的理解」整體構面與「數的運算」分構面之「合 成分解」的前後測均達到顯著差異（數的理解 t=-2.796，p=.009<.01；合成 分解 t=-3.501，p=.001<.01）；另外，「估算」與「點數」構面則未達顯著差 異（估算 t=-1.576，p=.125>.05；點數 t=-0.619，p=.540>.05）。由此可知，
數感教學活動對於實驗組學生的數感之「數的理解」與「合成分解」能力 亦有明顯的提昇作用。
二、實驗組學生的解題表現 (一) 數的理解
1. 位值
(6)皮包裡有 736 元，第一個數字「7」是表示多少錢呢？請你把所代表的錢畫出來 (7)湯桶中有 927 顆湯圓，第三個數字「7」是表示多少顆湯圓呢？請你把第三個數字「7」
所代表的湯圓畫出來
(8)三位數 347 的數字中，如果把第二個數字 4 改成 6，那麼是增加了( ) (9)三位數 420 的數字中，如果把第一個數字 4 改成 6，那麼是增加了( )
由兩組學生在「位值」構面的共變數分析得知，實驗組學生在 本構面較控制組顯著提昇。下表 4-2-2 中呈現出實驗組在接受數感 教學活動前後，於「位值」的解題表現統計。
表 4-2-2 實驗組「位值」解題表現統計表
題號 類型 7 70 ＊700 736 其他
前 0 0 28(88%) 3(9%) 1(3%) 6 後 1(3%) 0 26(81%) 5(16%) 0
類型 ＊7 70 700 927 其他 前 26(81%) 1(3%) 0 4(13%) 1(3%) 7 後 28(88%) 0 0 4(13%) 0
類型 2 ＊20 200 367 其他 前 10(31%) 11(35%) 0 1(3%) 10(31%) 8 後 4(13%) 22(69%) 0 2(6%) 4(12%)
類型 2 20 ＊200 620 其他
前 7(22%) 1(3%) 12(38%) 1(3%) 11(34%) 9 後 1(3%) 0(0%) 23(72%) 2(6%) 6(19%) 註：＊為正確答案
試題 6、7 是學生較熟悉的試題類型，呈現一個三位數，並詢問 學生所指定位值的值。由上表的答題統計看來，實驗組的表現在前 後測的差異不大，研究者認為實驗組在前測的表現原本就不錯，因 此進步的空間有限。
試題 8、9 是學生平日較不熟悉的非例行性題型，教學後實驗組 均有近 7 成的學生答對。從 L1-1、M2-1 及 H1-1 的晤談中可以發現，
不論高、中、低分組的學生，只要答對的學生，都能充分掌握三位
數中不同位值的數字所代表的意義，亦能說出數字改變的理由。
【L1-1 晤談紀錄】
R：第 9 題。
S：這一題跟我上面的這一題一樣，把 4 改成 6，增加了 200 個數，因為這個 4 是百位，4+2=6，那邊的 2 代表的是 200 個數。
【M2-1 晤談紀錄】
R：第 8 題。
S：20。
R：為什麼？
S：因為6-4=2。
R：既然是 2，為什麼答案是 20 呢？
S：因為他是中間的數，個、十、百。
R：中間的數是什麼數？
S：十位。
【H1-1 晤談紀錄】
R：第 8 題。
S：（讀題目）20啊！
R：為什麼？
S：4 對不對？4 再加一個等於 5，再加一個等於 6 啊！他說要把 4 改成 6，所以 會增加 20 啊！
R：為什麼這樣就會增加 20 呢？
S：因為4 是在十位數那裡，不是在個位數或是百位數那裡，如果是在百位數那裡，
這樣會變成五百多吧！如果是在個位數那裡，7 就會變成 9 啊！
R：第 9 題
S：（讀題目）200，對呀！因為他在百位數啊！不像上一題是在十位數啊！他在 百位數啊！加兩個，不就是兩百嗎？就這麼簡單。
值得注意的是，有部分學生以總數（第 6、7 題）或改變後的總 數（第 8、9 題）作答，尤其是在試題 6 和 7，實驗組有一成的學生 將總數畫出來，可能是學生未看清楚題意，但由 L-2-1 的晤談紀錄 中發現，也有可能學生知道三位數所代表的整體量，但無法注意到 個別數字的意義。
【L2-1 晤談紀錄】
如果老師從第 805 個往前數，805、804、803、802……，誰不會被數到？
○1 小黃 ○2 小英 ○3 阿毛
表 4-2-3 實驗組「點數」解題表現統計表
題號 選項 1 2 ＊3 其他
前 4(13%) 2(6%) 26(81%) 0(0%) 1 後 1(3%) 1(3%) 28(88%) 2(6%)
類型 ＊576 其他
前 17(53%) 15(47%)
5
後 18(56%) 14(44%)
註：＊為正確答案
由第 1 題的答題通過率看來，實驗組學生在實施教學活動前後 的答對率均有八成以上。由 L1-2、H1-2 的晤談紀錄中可以發現，使 用往前數的點數策略來確定 901 不在被點數的範圍內，與研究者進 行因素分析時的構面分類解釋是相符的。
【L1-2 晤談紀錄】
R：第 1 題。
S：第 3。
R：為什麼？
S：因為老師從 805，他是 901。
R：為什麼老師從 805 開始數，他是 901 就不會被數到？
S：因為他是倒著數的。
R：倒著數就不會數到 901 嗎？
S：對！
R：為什麼？
S：因為他會往前數到 700，所以不會數到 901。
【H1-2】
R：第 1 題
S：（讀題目內容）
R：誰不會被數到?
S：阿毛。
R：為什麼？
S：因為他是第 901 個。
R：為什麼 901 個他就不會被數到？
S：因為老師說是往前數，不是往後數，是 805、804、803、802…，不是 805、
806、807...所以他不會被數到。
R：所以如果往後數，阿毛就會被數到了。
S：對。
由 L2-3、M2-2、H2-1 的晤談紀錄中也發現，部分學生使用位 值比較或整體大小比較的策略來進行解題的情形。
【L2-3 晤談紀錄】
R：第 1 題。
S：（讀題目）阿毛。
R：為什麼？
S：因為老師要從 805 倒數一直到 802 後面那些…
R：後面那些是什麼意思呢？
S：數到後面…801 那些，所以那個 901 是後面的，所以數不到。
R：所以妳覺得 901 是後面的，為什麼是後面的？
S：因為他比 800 比較大，所以他是後面的。
【M2-2】
R：第 1 題。
S：答案是阿毛。
R：為什麼？
S：因為他說從 805 個往前數。
R：為什麼 805 個往前數不會數到阿毛？
S：因為他是 901。
R：為什麼 901 就不會被數到？
S：因為 901 比 805 在後面。
R：妳怎麼知道？
S：901 比 805 小…大。
R：妳怎麼知道 901 比 805 大？
S：因為 9 比 8 大。
【H2-1】
R：第 1 題。
S：阿毛。
R：為什麼？
S：因為這是805，然後 901 已經超過了。
R：超過是什麼意思？
S：901 比 805 大。
R：妳直接看 901 已經超過 805，所以不會被數到，所以是阿毛？
S：對。
無論是高、中、低能力的學生均有可能使用點數或是大小比較 策略，因此推論學生是以其熟悉有把握的策略為主，並未固著於某 一種解題方式。
由表 4-2-3 得知，實驗組學生在第 5 題前後測的通過率改變不 大，後測僅有 56%的通過率，研究者進一步統計實驗組的解題策略 如下表 4-2-4 實驗組後測第 5 題解題策略統計表。
表 4-2-4 實驗組後測第 5 題解題策略統計表
正確 錯誤
逐一數 分類數 逐一數 分類數
作答類型
點數 算式 點數 算式 其他
點數 算式 點數 算式 其他 通過率 1(3%) 0 11(34%) 6(19%) 0 1(3%) 0 2(6%) 9(29%) 2(6%)
由表 4-2-4 可以清楚看出，實驗組學生在後測的解題策略中，
使用算式記錄過程的比例將近一半，而其中錯誤的比例就高達 29%。研究者認為本題題目中被點數物呈現極不規則的排列，並非 學生習慣的例行性問題，因此通過率才偏低；由圖 4-2-1 數感紙筆 測驗後測第 5 題答題情形及 H1-3 晤談紀錄中可得知，學生的解題 策略若能先點數同類的被點數物並標記，較能順利解題；若未加以 標記分類，又以算式來作解題紀錄，很容易就遺漏掉部分被點數物，
以至於點數不完全，這應該也是實驗組前後測通過率改變不大的原 因。
T715 將被點數物重新分類排列，完成點數類型
T722 使用標記劃掉，完成逐一點數類型
T732 使用標記圈選分類，完成點數類型
T717 使用算式記錄，點數不完全類型
圖 4-2-1 實驗組後測第 5 題解題表現
【H1-3 晤談紀錄】
R：第 5 題。
S：（讀題目內容）574
S：我是先 100 加 100 加 100（手指著 100 的鈔票）這三個 100 加起來等於 300，
再加這個（手指 50）這兩個 50 等於 100，這兩個 50 再加起來等於 100，
就等於 500，500 和 1、2、3、4、5（手指著 10 元點數），等於 50，就等 於 550，560（用手指兩個 5）、570（用手指著 10），然後再加上這些 1。
R：這樣子有多少？
S：……1、2、3、4、5、6 有 6 個。
R：這些 1 有 6 個？
S：啊！我少算了上面這兩個。
3. 由上述的討論得知，學生在「數的理解」之解題表現可歸納如下 (1) 位值：學生發展出「多單位結構」的數概念，掌握不同位值
的數字所代表的意義，亦能說出數字改變的理由。部分學生 學生知道三位數所代表的整體量，但無法注意到個別數字的 意義。
(2) 點數：圖像的點數過程中，若學生能先點數同類的被點數物 並加以標記，再輔以移動補償的策略，較能完整點數，順利 解題。
(二) 數的運算 1. 運算
(3)（ ）從 600 數到 795，一個一個數，下面哪一個數會先被數到？
○1 587 ○2 679 ○3 705 ○4 890
(10)（ ） ＋27＝，中的數會比 ○1 大 ○2 小 ○3 一樣 (11)（ ） －39＝，中的數會比 ○1 大 ○2 小 ○3 一樣
(13)（ ）被 貼住的數是一樣大的，如果 ＋12＝65，那麼 ＋18 的答案會比 65
○1 大 ○2 小 ○3 不能比較
(14) （ ）盡量不使用計算的方式，下面的算式中，哪一個答案最大？
○1 60－42 ○2 60－38 ○3 60－29
由兩組學生在「運算」構面的共變數分析得知，實驗組學生在本構
面較控制組顯著提昇。表 4-2-5 呈現出實驗組學童在接受數感教學活動 前後，於「運算」構面的解題表現統計。
表 4-2-5 實驗組「運算」解題表現統計表
題號 選項 1 ＊2 3 4
前 2(6%) 24(75%) 4(13%) 2(6%) 3 後 1(3%) 30(94%) 1(3%) 0(0%)
選項 ＊1 2 3 其他
前 21(65%) 6(19%) 5(16%) 0(0%) 10
後 28(88%) 3(9%) 1(3%) 0(0%)
選項 1 ＊2 3 其他
前 9(28%) 17(53%) 6(19%) 0(0%) 11
後 4(13%) 24(75%) 4(13%) 0(0%)
選項 ＊1 2 3 其他
前 17(53%) 4(13%) 10(31%) 1(3%) 13
後 20(63%) 8(25%) 4(13%) 0(0%)
選項 1 2 ＊3 其他
前 5(16%) 2(6%) 24(75%) 1(3%) 14
後 3(9%) 1(3%) 28(88%) 0(0%)
註：＊為正確答案
由表 4-2-5 實驗組學生的答對率得知，實驗組在每一題的前後測通 過率改變頗多，其解題表現分析如下：
第 3 題是詢問學生介於 600 到 795 中最接近 600 的數，由 H1-4、
L2-4 的晤談紀錄中可以得知，學生先使用點數的策略刪除掉不可能的 答案（587 和 890）後，再利用相同的策略尋找最先被點數到的數而得 到答案。
【H1-4 晤談紀錄】
R：第 3 題
S：（讀題目）當然是第二個選項啊！因為你看…他是 600 的，五百多也不可能
…
R：為什麼？
S：因為他是從六百數到七百多，不是從六百數到四百多啊！然後，他數到七 百多，不可能數到八百多那裡啊！然後這一個（第三個選項 705）也有可 能啊！但是他說要先被數到，不是後被數到。
R：所以你覺得第二個選項和第三個選項都有可能被數到？
S：可是679 的可能性比較高，他會先被數到，因為他是 600，第三個選項是 700，
700 比 600 還要後面，所以 679 會先被數到，然後 705 再來才會被數到。
【L2-4 晤談紀錄】
R：第 3 題。
S：（讀題目）679。
R：為什麼？
S：600…600…不可能是 500吧！
R：為什麼？
S：因為他是從 600…如果是從 500，587 有可能會被數到，但是如果是 600 的 話，這一個（587）就不會被數到。
R：所以妳的意思是如果從 500 開始數的話，587 就有可能會被數到，但是這 裡從 600 開始數，所以 587 就不會被數到？
R：所以妳的意思是如果從 500 開始數的話，587 就有可能會被數到，但是這 裡從 600 開始數，所以 587 就不會被數到？