數感的重要性

數感是近年來數學教育中經常出現的議題，本節就數感的意義及數感 的重要性作說明，分述如下：

一、數感的意義

數感 (Number Sense) 是不易界定清楚的概念，它不是知識的本體，而 是某種思考方式 (Sowder, 1992) ；近年來，數感引起廣泛的討論，包含數 學教育的研究者、課程編寫者及教師；許多學者與數學教師對數感的重要 性都具有共識，但是目前仍無一個定義可以被廣為接受 (Thompson &

Rathmell, 1989) ，雖然不易清楚的界定數感的定義，但從專家學者對數感 的研究與分析討論中，仍可一窺其脈絡。

數 感 一 詞 ， 依 據 NCTM (1989) 於 出 版 的 數 學 課 程 與 評 量 標 準 (Curriculum and Evaluaion Standards for School Mathematics) 中的解釋是「根 據數所代表的不同意義，產生一種對於數的一份直覺」。在課程標準中並指 出數感包括數所代表的意義、數的合成與分解、數的相對大小及生活中常 見的量之大小。具有數感的人，對於數所代表的意義、數的大小及生活中 常見的量的合理範圍，均有瞭解及直覺。

Hope (1987) 給予數感較廣義的定義，他認為數感可以是一種對數字及 其使用與解釋的感覺，計算時對正確程度的了解，以及使用數字支持論證 的常識；也可以是產生合理估計、偵查算術錯誤、選擇最有效計算程序、

與辨認數字組型的能力。Howden (1989) 在經驗中發現有數感的小朋友對數

字有特別的感覺，他認為數感是數與數，或數與週遭世界相關的一種直覺。

Reys and Yang (1998) 認為數感指的是個人對於數及運算的一般性理 解，它同時也包含了彈性地運用這項理解來進行數學判斷以及發展有用的 策略來處理數與計算的能力和傾向。此外，它也反應了運用數與量的方法 作為溝通、處理、以及解釋訊息的傾向和能力。此項能力是「數是有用的」

以及「數學有一定的規律性」期望的結果。

McIntosh, Reys, Reys, Bana and Farrel (1997) 認為，數感是一個人對數 字和運算的一般性了解，能變通性的使用這種了解來做數學的判斷，並發 展出有用及有效的策略來處理所面對的數字情境。

楊德清（2002）認為數感可以解釋為個人對數字、運算、以及數字和 運算所產生之情境的一般性理解與認知，以及能夠以彈性靈活的方法去使 用這種理解和發展有效的解題策略（包括心算、估算），以處理日常生活中 包含數字和運算之情境的相關問題，是多種能力的組合。

支毅君（1997）認為數感可視為數及計算之間關係的習慣想法，具備 三種表現：表現對數處理的信心，相信可以用多種方式解決有關數的問題，

並有能力駕馭問題中的每一個數。

由上述的文獻分析中可知，數感雖然是一個廣泛的概念，但它不斷的 強調在數學教學中對數字意義化的重要性，擁有數感能力的人，對數字有 較強的直覺，能選擇不同的方式來使用及解釋數字，以解決問題，在不使 用紙筆計算的情境下，能以各種不同形式的數字瞭解方式進行數學上的判 斷，並能使用有效的策略來處理所面對的數字情境。

二、數感的重要性

世界各國越來越重視數感的發展，將其視為數學教育中重要的主題。

許多先進國家的數學教師和數學教育家都認為小學教育的主要目的應該是 發展學生的數感，為了培養學生的數學能力所設計的教學計畫，也以發展

學童的數感能力為課程的主軸。例如，澳洲教育協會 (AEC, 1991) 出版的

「 澳 洲 國 家 學 校 數 學 報 告 書 (A national statement on mathematics for Australian schools) 」中提到，所有人都需要發展好的數感，數感教學為中 小學數學教育所不可缺少的主題。在NCTM (2000) 出版的PSSM 中所發表 的「數字和運算標準」（Number and Operations Standard）中，揭櫫了從幼 稚園到十二年級的教學課程設計，應該讓所有的學生能夠瞭解數字、數字 的多重表徵方式、數字間的關係及數字系統，也要暸解運算對數的意義及 運算間的關聯性，並且保有計算的流暢性以及發展參考點做合理的估算之 能力，而這個標準的焦點就在於數感。美國數學督導評議會 (National Council of Supervisors of Mathematics, 1989) 強調，學生必須發展數感，以 便判斷數字和運算過程及結果是否合理；當計算器在社會中的使用情形逐 漸增加時，這種判斷力就會比以前更加重要。可見數感能力的發展，已是 數學教育潮流共同的趨勢。

楊德清（1997）認為：當教授數學的時候強調背誦數學規則，公式，

基本事實等等的計算技巧時，學生可能不會被鼓勵去探討，調查，和聯結 數字與運算之關係。因此，學生們可能會不喜歡數學甚至討厭數學。在數 學課程中只進行反覆的機械練習，容易造成學生覺得數學枯躁乏味。有證 據顯示，教學若只注重程序性知識，則無法確保概念的了解，及數學的創 造、擴展和應用的能力 (Narode, Board & Davenport, 1993) 。

以往，國內的數學教育較強調記憶公式、尋求精確的答案、及訓練演 算技巧及速度，而較忽略數字意義的了解。以低年級的學生為例：要學生 回答99＋98 大約是多少？多數的學生慣於以紙筆計算，利用直式加法算則 進行解題，若在缺乏紙筆計算的情境，則辛苦的在心中算出精確的答案；

其實99 和 98 都是接近 100 的數，因此其和應接近 200。Yang (1995) 的研 究發現，要求學生為 534.6×0.545=291357 標出小數點的位置，只有約 11%

的六年級學童可以找出小數點正確的位置，但是超過 60%的學童可以使用 紙筆計算找出這一題的正確答案。楊德清（2000b）進一步訪談 21 位國小 六年級學童，結果發現沒有一個學童可以使用數感的能力來正確解釋答 案。他們共同的解釋為「一位小數和三位小數相乘的結果應該是四位小數，

因此答案是 29.1357」。洪瑞鎂（2001）從第三次國際數學與科學教育成就 研究後續調查探究我國國二學生的數學基本能力表現，發現學生對於數學 知識及運算技巧大致可以瞭解與使用，但是對於非教材內常見的問題、生 活上實際有關量感、數感的問題，以及需要自行推論和解釋過程的問題，

多數的表現則顯得薄弱不熟悉，較缺乏與生活經驗相連結與數學溝通的能 力；因此，數學對多數學生而言旨在應付考試，不了解數字的意義，也不 易與生活結合，即使在紙筆測驗獲得較高的成績，仍無法提升其學習數學 的興趣，在面對缺乏紙筆計算的情境，也顯得束手無策。以上的例子說明 了國內學生缺乏數感的情形，點出數學教育的迷思，更突顯了數感的教學 是重要的，也讓研究者深思：若能在適當處加入數感的教學，是否可以帶 給學生更有意義的學習？

近年來，國內與數感相關的研究與課程不斷的受到重視，數感的教學 強調數字的意義化，鼓勵學生探索不同的解題策略，能使學生生活化的運 用數字，進而引發學生學習數學的興趣；而九年一貫數學學習領域強調培 養帶的走的能力，主張生活化、意義化的學習，其精髓也與數感的發展不 謀而合（楊德清、徐俊仁，2000），由此可知數感的教學有其必要性。

三、小結

綜合以上的觀點，可以一窺數感的重要性，在國小的基礎教育中，基 礎的計算能力不可偏廢，但是提昇學童數感能力的工作更不可輕忽，尤其 是國小低年段的學童，正值數概念的啟蒙，如果慣於套用規律算式來解題，

則可能忽略了數的多重表徵，更容易忽略檢視結果合理性的重要。在九年

一貫暫行綱要的數學領域中，「數與計算」佔了重要的份量，因此數感的培 養更應及早開始，教學時強調數的意義化，鼓勵學童嘗試以不同的方式解 釋及解決數學問題，才能持續發展學童的數感。至於數感的定義，雖因不 同的研究者而有差異，但各學派對數感定義之論點有其共通點，研究者依 據本研究需要，將數感定義為：「數感是個人能夠理解數字的意義、瞭解及 判斷運算對數字的意義和影響，發展估算及彈性的解題策略以處理日常生 活中的數學問題，進而判斷答案合理性的綜合能力。」