國小二年級學童融入數感教學活動之實驗研究

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國立臺中教育大學數學教育學系

在職進修教學碩士班碩士論文

指導教授：易正明教授

國小二年級學童融入數感教學活動之實驗研究

研究生：劉穆樺撰

中華民國九十六年六月

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中文摘要

本研究的主要目的在探討國小二年級學童融入數感教學活動之學習成效，研究者將數感的研究範圍界定為數的理解、數的運算以及估算，以臺中縣某國民小學的二年級學童共計 65 人為研究對象，配合自編「數感紙筆測驗」及「數感教學活動」為研究工具，採「準實驗設計」進行實驗教學，並就後測結果以 SPSS 軟體進行統計資料分析，考驗實驗教學的成效，同時針對實驗組六名學生進行後測晤談，據此分析實驗組學生的解題表現。本研究主要發現如下：一、實施不同的教學活動後，兩組學生在數感紙筆測驗後測的表現達到顯著差異，且實驗組的成績高於控制組。二、實施不同的教學活動後，實驗組學生在「位值」、「數的運算」、「運算」構面有顯著進步，並經單因子共變數分析與控制組達到顯著差異。三、實施不同的教學活動後，實驗組學生在「數的理解」與「合成分解」構面也有顯著的提昇。四、以實驗組的後測及六名學生的晤談結果顯示，學生能以數感的策略進行解題，顯示藉由數感教學活動的介入，有助於學生使用數感策略。本研究的結果與發現，可提供有關國小數感教學之參考，以及未來進一步研究之建議。關鍵字：數感、數的理解、數的運算、估算

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Abstract

This main purpose of this research is aimed for effect of number sense in practice instruction of second grade. The number sense of this research is based on number meaning, number operation and number estimation. The researcher takes the second grade of pupils who are total 65 people in one elementary school at Taichung county for the research. The tools of this research are “Number Sense Writing test” and “Number Sense activities”. Using quasi-experimental design to proceed the experimental teaching, and proceeding analyzing statistical data by using the software SPSS. Six samples of the experimental group were interviewed later for discussing the method of solving problem by experimental group.

The main discoveries of this research are as follow:

1. After the teaching experiment, the two group students made significant difference on “Number Sense test”, and the experimental group students got obvious progress.

2. After different teaching activities, the experimental group students got obvious on “Location Value”, “Number Operations” and “the Relative Effect of Operation on Numbers”, and made significant difference with the control group students by one-way analysis of covariance. 3. After different teaching activities, the experimental group students also

got obvious on “Number Meaning” and “Number Composition and Decomposition”.

4. The after-test data of the experimental group students and interviewed results of the experimental group six samples show that, students can

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solve problems by using strategy of number sense.

The results and discoveries from the research can offer the consultation for teaching pupils’ number sense. The researcher provided some recommendations for number sense teaching and further research.

Key words: Number Sense, Number Meaning, Number Operations, Number Estimation

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中文摘要... i 英文摘要 ... ii 目次... iv 表目次... vi 圖目次... viii 第一章緒論... 1 第一節研究動機... 1 第二節研究目的與研究問題... 3 第三節名詞釋義... 4 第四節研究範圍與限制... 6 第二章文獻探討... 7 第一節數感的重要性... 7 第二節數感的組成成分...11 第三節數感的教學活動... 15 第四節實驗教學及數感的相關研究... 24 第三章研究方法... 32 第一節研究架構與設計... 32 第二節研究對象... 34 第三節研究流程... 35 第四節研究工具與試題分析... 39 第五節資料分析與處理... 54 第四章研究結果與討論 ... 57 第一節兩組學生在數感紙筆測驗後測之差異情形... 57 第二節實驗組學生的解題表現... 74

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第五章結論與建議... 122 第一節結論 ... 122 第二節建議 ... 123 參考文獻... 125 一、中文... 125 二、外文... 128 附錄... 130 附錄一九年一貫數學領域第一階段合格版本「數與計算」教材分布表130 附錄二實驗組「數感教學活動」與控制組「教科書教學活動」設計 132 附錄三數感紙筆測驗... 160 附錄四晤談文字稿... 166

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表目次

表 3-2-1 研究樣本人數分配表... 34 表 3-4-1 兩組教學活動對照表... 40 表 3-4-2 前測項目分析獨立樣本t檢定表... 42 表 3-4-3 前測項目分析摘要表... 43 表 3-4-4 前測試題與總分相關檢定表... 44 表 3-4-5 數感紙筆測驗KMO 與Bartlett 檢定 ... 45 表 3-4-6 最大變異法轉軸後之成分矩陣... 46 表 3-4-7 數感紙筆測驗之構面及試題分析表... 47 表 3-4-8 數感紙筆測驗信度分析... 52 表 3-4-9 數感紙筆測驗難度、鑑別度及通過率一覽表... 53 表 4-1-1 兩組學生上學期期末考查數學科成績差異性t檢定摘要表 ... 57 表 4-1-2 兩組學生數感紙筆測驗前測分數差異性t 檢定摘要表 ... 58 表 4-1-3 總分之組內迴歸係數同質性檢定摘要表... 58 表 4-1-4 總分共變數分析摘要表... 59 表 4-1-5 男生總分之組內迴歸係數同質性檢定摘要表... 60 表 4-1-6 男生總分共變數分析摘要表... 60 表 4-1-7 女生總分之組內迴歸係數同質性檢定摘要表... 61 表 4-1-8 女生總分共變數分析摘要表... 61 表 4-1-9 高分組總分之組內迴歸係數同質性檢定摘要表... 62 表 4-1-10 高分組總分共變數分析摘要表... 62 表 4-1-11 中分組總分之組內迴歸係數同質性檢定摘要表... 63 表 4-1-12 中分組總分共變數分析摘要表... 63 表 4-1-13 低分組總分之組內迴歸係數同質性檢定摘要表... 64

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表 4-1-14 低分組總分共變數分析摘要表 ... 64 表 4-1-15 「數的理解」組內迴歸係數同質性檢定摘要表... 65 表 4-1-16 「數的理解」共變數分析摘要表... 65 表 4-1-17 「位值」組內迴歸係數同質性檢定摘要表... 66 表 4-1-18 「位值」共變數分析摘要表 ... 66 表 4-1-19 「點數」組內迴歸係數同質性檢定摘要表... 68 表 4-1-20 「點數」共變數分析摘要表 ... 68 表 4-1-21 「數的運算」組內迴歸係數同質性檢定摘要表... 69 表 4-1-22 「數的運算」共變數分析摘要表... 69 表 4-1-23 「合成分解」組內迴歸係數同質性檢定摘要表... 70 表 4-1-24 「合成分解」共變數分析摘要表... 71 表 4-1-25 「運算」組內迴歸係數同質性檢定摘要表... 71 表 4-1-26 「運算」共變數分析摘要表 ... 72 表 4-1-27 「估算」組內迴歸係數同質性檢定摘要表... 73 表 4-1-28 「估算」共變數分析摘要表 ... 74 表 4-2-1 實驗組構面前後測成績成對樣本t檢定摘要表... 75 表 4-2-2 實驗組「位值」解題表現統計表... 76 表 4-2-3 實驗組「點數」解題表現統計表... 79 表 4-2-4 實驗組後測第 5 題解題策略統計表... 81 表 4-2-5 實驗組「運算」解題表現統計表... 84 表 4-2-6 實驗組後測第 14 題解題策略統計表... 87 表 4-2-7 實驗組「合成分解」解題表現統計表... 92 表 4-2-8 實驗組「估算」解題表現統計表... 112

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圖目次

圖 3-1-1 研究架構圖... 32 圖 3-3-1 實驗教學實施流程圖... 36 圖 3-3-2 資料分析流程圖... 38 圖 4-2-1 實驗組後測第 5 題解題表現... 82 圖 4-2-2 實驗組後測第 21 題解題表現... 108

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第一章緒論

本研究旨在研究數感教學活動融入國小二年級數學科教學之學習成效，本章分為研究動機、研究目的與研究問題、名詞釋義及研究限制來進行探究。

第一節研究動機

數感 (number sense) 是對於數字之使用與解釋的一種直覺，建立在學生們自然的覺察 (insights) ，並相信數學是有意義的，而不只是蒐集一些規則 (rules) 來應用 (Howden, 1989; McIntosh, Reys, & Reys, 1992) ，其基礎在於數字、運算和情境間相互關係之概念網路的通達與後設認知的能力。因此，具備良好數感的人，對於數字、運算、及數字和運算所產生的情境，具有相當程度的理解，能以彈性的方法做出數學上的判斷，並發展有效的策略來處理數字與運算的問題（楊德清2000a，2000b；Reys & Yang, 1998）。

數感的研究已持續多年，早在1930 年代， Brownell 即主張有意義的學習 (meaningful learning) 。Brownell (1935) 認為，要真正檢驗學生們在數學的學習成果，不在於他們的計算能力，而在於他們是否擁有對數字之間關係的領悟，以及是否能以適當的數學和實際重要性的理解，來處理數學情境的能力。

許多先進國家的數學教師和數學教育家都認為小學教育的主要目的應該是發展學生的數感，學校的數學教育改革，也強調幫助兒童發展數感的重要性 (Australian Education Council [AEC], 1991; National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 1989) 。美國數學教師學會 (NCTM, 2000) 所出版的「學校數學之原則與標準」 (Principles and Standards for School Mathematics [PSSM]) ，更主張課程設計者及課程發展者必須將數感融入中小學的數學課程當中，並將兒童數感之培養，視為發展學生數與運算概念

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的終極目標。以往，國內的數學教育較強調記憶公式、尋求精確的答案、及訓練演算技巧及速度，而較忽略數字意義的了解；然而任意的運用整數算則，不瞭解題意，則無法進一步思考所選答案或原因的合理性，因此在合理性的判斷思考上表現不佳（李威進、李茂能、楊德清，2005）。洪瑞鎂（2001）分析我國學生在TIMMS-R 的表現，整體結果的分析顯示，多數的學生對於數學知識及運算技巧大致可以瞭解與使用，但是不了解數字的意義，也不易與生活結合，即使在紙筆測驗獲得較高的成績，仍無法提升其學習數學的興趣，在面對缺乏紙筆計算的情境，也顯得束手無策。國內學者楊德清（1997）以國小六年級及國中二年級的學生為研究對象，研究結果顯示臺灣學生具有良好的筆算能力，但並不意謂著他們擁有良好的數感，學生具有很好的計算技巧，並不能夠意義化他們正在學的東西。楊德清（1999）探討澳洲、美國與臺灣三國學生的數感表現，研究結果顯示學生的數感能力並不會隨著計算能力之精進而成長。因此，在課程發展與教學中除了重視計算能力的技巧外，更應強調數感之發展。近年來，國內與數感相關的課程逐漸受到重視，九年一貫課程的核心價值強調培養帶著走的能力，讓能力走進生活（教育部，2003a），因此主張生活化、意義化的學習；在數學領域暫行綱要的能力指標中雖未明確列出「數感」一詞，但其部分的能力指標已符合數感的精神且著重在數感能力的培養上（楊德清、徐俊仁，2000）。此外，教育部（2003b）並在國民中小學九年一貫課程綱要中明訂出國民小學階段的目標，第一階段（一至三年級）應掌握數、量、形的概念，在第二階段（四至五年級）應培養流暢的數感，而整數教學的課程目標則在六年級時應建立完整的數感，由此可知，數感課程在國內也逐漸受到重視。數感課程逐漸備受重視，因此，投注心力參與數感研究的研究者與日

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俱增，無論是教學研究（支毅君，1997；王玉珍，2003；楊德清，2002；劉曼麗、侯淑芬，2006）、調查研究（朱麗雯，2005）或是數感評量工具的編製（江秉睿，2006；李威進等，2005；許清陽，2001），均有豐碩的研究成果，可作為數感教學檢討之依據。然而，檢視以往的研究，多以第二階段以上的學童為研究對象，在第一階段，吳明玲（2003）曾以國小二年級學童為研究對象，調查其數感表現，並對其中一個班級實施數感教學活動，探討數感的改變情形，其餘有關第一階段的研究則多以三年級學童為對象，與低年級數感相關的研究則較少著墨，同時也缺少教學實驗方面的研究；在九年一貫第三階段六年級的整數教學目標涵蓋了建立完整的數感（教育部，2003b），然而，數感的養成並非一蹴可幾，必須日積月累，是一種隨著經驗與知識發展、成熟的過程 (Reys, 1994) ，因此探討低年級學童數感表現的研究，存在其必要性；實驗研究法是唯一能真正考驗有關因－果關係之假設的方法（王文科，1990）。有鑑於吳明玲（2003）的研究尚未提供控制組進行比較，因此研究者興起採用實驗研究，藉由教學實驗控制，真正考驗及探索教學活動與學習成效之間的關係，期能提出更可信的證據。本研究旨在研究數感教學活動融入國小二年級數學科教學之學習成效，研究者設計一系列與數感相關的教學活動，進行準實驗研究，以瞭解在控制的情境中，學生數感的改變情形，進而分析其解題策略，並將研究結果提供教師日後進行數感教學活動之參考及依據。

第二節研究目的與研究問題

基於上述之研究動機，本研究之研究目的為：一、探討國小二年級學童融入數感教學活動後，實驗組與控制組在數感紙 筆測驗後測之差異情形。

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二、探討國小二年級學童融入數感教學活動後，實驗組學生在數感紙筆測 驗後測之解題表現。 依據上述之研究動機與目的，本研究之研究問題如下：一、國小二年級學童在實施教學實驗後，實驗組與控制組在數感紙筆測驗 後測之差異情形為何？ 二、國小二年級學童在實施教學實驗後，實驗組與控制組男、女生在數感 紙筆測驗後測之差異情形為何？ 三、國小二年級學童在實施教學實驗後，實驗組與控制組高、中與低分組 在數感紙筆測驗後測之差異情形為何？ 四、國小二年級學童在實施教學實驗後，實驗組與控制組在數感紙筆測驗 後測各構面表現之差異情形為何？ 五、國小二年級學童在實施教學實驗後，實驗組在數感紙筆測驗後測的解 題表現為何？

第三節名詞釋義

為使名詞意義更為明確，便於討論，以下就本研究所使用的名詞界定如下： 一、國小二年級學童 本研究之國小二年級學童係指九十四學年度實施九年一貫暫行綱要課程之國小二年級學童。 二、數感 (Number Sense) 數感可以解釋為個人對數字、運算、以及數字和運算所產生之情境的一般性理解與認知（楊德清，2002）。本研究將數感定義為「數感是個人能夠理解數字的意義、瞭解及判斷運算對數字的意義和影響，發展估算及彈

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性的解題策略以處理日常生活中的數學問題，進而判斷答案合理性的綜合能力」；並以數感的三個組成成分「數的理解」、「數的運算」及「估算」作為研究進行與發展的向度，以學生在本研究所使用之「數感紙筆測驗」中 23 個題目所得的分數，分數愈高代表數感愈佳為判定的依據。 三、數的理解 是指有意義的瞭解數字系統，包含「位值」與「點數」，且本研究僅涉及 1000 以內的正整數。「位值」是指數字是由三種單位（100、10、1）組成，在不同單位的化聚，能夠同時使用兩個以上的單位而不致混淆，進而發展出「多單位結構」數概念的能力。「點數」是指藉由「數詞序列」及「數物活動」連結數量與所數的數之間的關係，以瞭解數所代表意義的能力。 四、數的運算 包含「運算」與「合成分解」，「運算」為運算中過程所運作的數字為精確數，學生在數學算式中，能察覺加、減運算與數值改變關係的能力。「合成分解」是指依據情境的限制，對數能多樣的組合與拆解之能力。 五、估算 是指運算過程中所運作的數字為不明確的概數值，有其誤差範圍的存在，而學生在解決加、減法問題時，不透過紙筆計算就能進行判斷答案合理性的能力。 六、數感教學活動與教科書教學活動 數感教學活動是指研究者在現行的數學課程中，融入數感組成成分以培養學生數感，所設計之教學活動；教科書教學活動是指九十四學年度二年級的數學課程中，經審定合格的某版本第四冊所提供的教學活動第一、八單元。

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第四節研究範圍與限制

一、研究範圍本研究以臺中縣兩個二年級班級學生為對象，進行準實驗研究，基於時間、教師與行政上的考量，參與研究的學校、教師與班級並非隨機取樣，故研究結果所能推論的範圍較小，若將本研究之結果推論至其他對象時，則應十分謹慎，且須待進一步的研究。此外，研究對象所使用的教材為九年一貫暫行綱要審定合格版本第四冊數學課本，而研究者設計之「數感教學活動」與控制組進行之「教科書教學活動」均以其中第一、八單元為研究教材。二、研究限制數感的涵義廣大，沒有人可以為其界定一個明確的範疇，其組成成分也依不同階段的對象而有所改變。因此本研究所探討的數感，僅限於研究者所定義的三個組成成分，不能解釋為學生全部數感能力的表現。

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第二章文獻探討

本章共分四節，主要根據與本研究相關之理論進行探討。第一節探討數感的重要性，第二節探討數感的組成成分，第三節分析數感的教學活動，第四節就實驗教學及數感的相關研究進行探討。

第一節數感的重要性

數感是近年來數學教育中經常出現的議題，本節就數感的意義及數感的重要性作說明，分述如下： 一、數感的意義 數感 (Number Sense) 是不易界定清楚的概念，它不是知識的本體，而是某種思考方式 (Sowder, 1992) ；近年來，數感引起廣泛的討論，包含數學教育的研究者、課程編寫者及教師；許多學者與數學教師對數感的重要性都具有共識，但是目前仍無一個定義可以被廣為接受 (Thompson & Rathmell, 1989) ，雖然不易清楚的界定數感的定義，但從專家學者對數感的研究與分析討論中，仍可一窺其脈絡。數感一詞，依據 NCTM (1989) 於出版的數學課程與評量標準 (Curriculum and Evaluaion Standards for School Mathematics) 中的解釋是「根據數所代表的不同意義，產生一種對於數的一份直覺」。在課程標準中並指出數感包括數所代表的意義、數的合成與分解、數的相對大小及生活中常見的量之大小。具有數感的人，對於數所代表的意義、數的大小及生活中常見的量的合理範圍，均有瞭解及直覺。 Hope (1987) 給予數感較廣義的定義，他認為數感可以是一種對數字及其使用與解釋的感覺，計算時對正確程度的了解，以及使用數字支持論證的常識；也可以是產生合理估計、偵查算術錯誤、選擇最有效計算程序、與辨認數字組型的能力。Howden (1989) 在經驗中發現有數感的小朋友對數

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字有特別的感覺，他認為數感是數與數，或數與週遭世界相關的一種直覺。 Reys and Yang (1998) 認為數感指的是個人對於數及運算的一般性理解，它同時也包含了彈性地運用這項理解來進行數學判斷以及發展有用的策略來處理數與計算的能力和傾向。此外，它也反應了運用數與量的方法作為溝通、處理、以及解釋訊息的傾向和能力。此項能力是「數是有用的」以及「數學有一定的規律性」期望的結果。

McIntosh, Reys, Reys, Bana and Farrel (1997) 認為，數感是一個人對數字和運算的一般性了解，能變通性的使用這種了解來做數學的判斷，並發展出有用及有效的策略來處理所面對的數字情境。楊德清（2002）認為數感可以解釋為個人對數字、運算、以及數字和運算所產生之情境的一般性理解與認知，以及能夠以彈性靈活的方法去使用這種理解和發展有效的解題策略（包括心算、估算），以處理日常生活中包含數字和運算之情境的相關問題，是多種能力的組合。支毅君（1997）認為數感可視為數及計算之間關係的習慣想法，具備三種表現：表現對數處理的信心，相信可以用多種方式解決有關數的問題，並有能力駕馭問題中的每一個數。由上述的文獻分析中可知，數感雖然是一個廣泛的概念，但它不斷的強調在數學教學中對數字意義化的重要性，擁有數感能力的人，對數字有較強的直覺，能選擇不同的方式來使用及解釋數字，以解決問題，在不使用紙筆計算的情境下，能以各種不同形式的數字瞭解方式進行數學上的判斷，並能使用有效的策略來處理所面對的數字情境。 二、數感的重要性 世界各國越來越重視數感的發展，將其視為數學教育中重要的主題。許多先進國家的數學教師和數學教育家都認為小學教育的主要目的應該是發展學生的數感，為了培養學生的數學能力所設計的教學計畫，也以發展

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學童的數感能力為課程的主軸。例如，澳洲教育協會 (AEC, 1991) 出版的「澳洲國家學校數學報告書 (A national statement on mathematics for Australian schools) 」中提到，所有人都需要發展好的數感，數感教學為中小學數學教育所不可缺少的主題。在NCTM (2000) 出版的PSSM 中所發表的「數字和運算標準」（Number and Operations Standard）中，揭櫫了從幼稚園到十二年級的教學課程設計，應該讓所有的學生能夠瞭解數字、數字的多重表徵方式、數字間的關係及數字系統，也要暸解運算對數的意義及運算間的關聯性，並且保有計算的流暢性以及發展參考點做合理的估算之能力，而這個標準的焦點就在於數感。美國數學督導評議會 (National Council of Supervisors of Mathematics, 1989) 強調，學生必須發展數感，以便判斷數字和運算過程及結果是否合理；當計算器在社會中的使用情形逐漸增加時，這種判斷力就會比以前更加重要。可見數感能力的發展，已是數學教育潮流共同的趨勢。楊德清（1997）認為：當教授數學的時候強調背誦數學規則，公式，基本事實等等的計算技巧時，學生可能不會被鼓勵去探討，調查，和聯結數字與運算之關係。因此，學生們可能會不喜歡數學甚至討厭數學。在數學課程中只進行反覆的機械練習，容易造成學生覺得數學枯躁乏味。有證據顯示，教學若只注重程序性知識，則無法確保概念的了解，及數學的創造、擴展和應用的能力 (Narode, Board & Davenport, 1993) 。

以往，國內的數學教育較強調記憶公式、尋求精確的答案、及訓練演算技巧及速度，而較忽略數字意義的了解。以低年級的學生為例：要學生回答99＋98 大約是多少？多數的學生慣於以紙筆計算，利用直式加法算則進行解題，若在缺乏紙筆計算的情境，則辛苦的在心中算出精確的答案；其實99 和 98 都是接近 100 的數，因此其和應接近 200。Yang (1995) 的研究發現，要求學生為 534.6×0.545=291357 標出小數點的位置，只有約 11%

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的六年級學童可以找出小數點正確的位置，但是超過 60%的學童可以使用紙筆計算找出這一題的正確答案。楊德清（2000b）進一步訪談 21 位國小六年級學童，結果發現沒有一個學童可以使用數感的能力來正確解釋答案。他們共同的解釋為「一位小數和三位小數相乘的結果應該是四位小數，因此答案是 29.1357」。洪瑞鎂（2001）從第三次國際數學與科學教育成就研究後續調查探究我國國二學生的數學基本能力表現，發現學生對於數學知識及運算技巧大致可以瞭解與使用，但是對於非教材內常見的問題、生活上實際有關量感、數感的問題，以及需要自行推論和解釋過程的問題，多數的表現則顯得薄弱不熟悉，較缺乏與生活經驗相連結與數學溝通的能力；因此，數學對多數學生而言旨在應付考試，不了解數字的意義，也不易與生活結合，即使在紙筆測驗獲得較高的成績，仍無法提升其學習數學的興趣，在面對缺乏紙筆計算的情境，也顯得束手無策。以上的例子說明了國內學生缺乏數感的情形，點出數學教育的迷思，更突顯了數感的教學是重要的，也讓研究者深思：若能在適當處加入數感的教學，是否可以帶給學生更有意義的學習？近年來，國內與數感相關的研究與課程不斷的受到重視，數感的教學強調數字的意義化，鼓勵學生探索不同的解題策略，能使學生生活化的運用數字，進而引發學生學習數學的興趣；而九年一貫數學學習領域強調培養帶的走的能力，主張生活化、意義化的學習，其精髓也與數感的發展不謀而合（楊德清、徐俊仁，2000），由此可知數感的教學有其必要性。 三、小結 綜合以上的觀點，可以一窺數感的重要性，在國小的基礎教育中，基礎的計算能力不可偏廢，但是提昇學童數感能力的工作更不可輕忽，尤其是國小低年段的學童，正值數概念的啟蒙，如果慣於套用規律算式來解題，則可能忽略了數的多重表徵，更容易忽略檢視結果合理性的重要。在九年

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一貫暫行綱要的數學領域中，「數與計算」佔了重要的份量，因此數感的培養更應及早開始，教學時強調數的意義化，鼓勵學童嘗試以不同的方式解釋及解決數學問題，才能持續發展學童的數感。至於數感的定義，雖因不同的研究者而有差異，但各學派對數感定義之論點有其共通點，研究者依據本研究需要，將數感定義為：「數感是個人能夠理解數字的意義、瞭解及判斷運算對數字的意義和影響，發展估算及彈性的解題策略以處理日常生活中的數學問題，進而判斷答案合理性的綜合能力。」

第二節數感的組成成分

一、楊德清（2002）的數感組成成分 楊德清以國小六年級學生為研究對象，依據相關文獻與研究報告，發展出數感的組成成分如下： (一) 瞭解數字的基本意義 包括理解數字系統（整數、分數、小數），它所表的意義以及它的結構關係，包括十進位系統、數字型態、與位值觀念。 (二) 比較數字大小的能力 包括能夠比較數字（包含整數、分數、與小數）之大小、能夠判斷兩個數字之中哪一個較接近第三個數字、有能力去排序數字，能夠由小至大依序排列、以及知道兩個數字之間有無限多的分數或小數的存在。 (三) 瞭解運算對數字的意義和影響之能力 瞭解運算在不同的數字系統下以及不同情境下所產生之影響。當學生在面臨四則運算的數學問題時，必須能對每一特定的問題情境發展如何去解決問題的策略或方法，到底是加、減、乘或除的心理表徵。

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(四) 發展並靈活運用參考點的能力 參考點 (Benchmark) 是指可依賴以作為檢驗其它數字或解決問題之標準點。McIntosh 等 (1992) 認為：參考點通常可以被使用於判斷一個答案的大小或者選擇一個約略數字以便於估算或心算的進行。 (五) 發展估算策略，以及能夠判斷運算結果之合理性 在不同的情境下，必須決定問題情境需要的是正確的或大概的答案，並據以選擇適當的計算工具（如估算或心算），以有效的解決問題，同時能夠檢驗運算結果的合理性。二、李威進等（2005）的數感組成成分 李威進等在「完成九年一貫第一階段學童數常識表現之研究」中，以國小四年級學童為研究對象，先依據相關文獻與研究報告，初步歸納出數感之組成成分為：能瞭解數字的意義及關係、會比較數字大小、會分解與合成數字、能瞭解運算對數字的影響、能判斷答案合理性、會使用參考點進行估算。之後以施測結果透過項目分析，刪除CR（決斷）值及相關係數較低的試題後，進行三次探索式因素分析。第一次因素分析，決定保留五個因素，但因刪題後因素組型會跟著改變，因此進行第二次因素分析；在第二次因素分析後，確定了測驗中所有試題的因素組型，不過因為五個因素彼此之間相關頗高，而進行了第三次因素分析。最後經由驗證式因素分析確定的數感結構模式與所收集到的資料頗為適配，最終分析出下列五個數感的理論架構。 (一) 瞭解數與運算的基本意義 (二) 數與運算的多重表徵 (三) 數字的分解與合成 (四) 運算結果之合理性的判斷 (五) 比較數字的相對大小

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三、NCTM (1989) 的數感組成成分

NCTM 在「數學課程與評量標準」中指出，數感包含五部分：

(一) 對數字的基本意義具有良好的瞭解：涵蓋了對基數 (cardinal number) 與序數 (ordinal number) 的瞭解。

(二) 能夠操作具體物來探討數的關係：例如利用具體物來進行合成分解的活動，讓兒童更能理解數字的涵義。 (三) 瞭解數的相對大小：例如，51 比 29 大，很接近 49，約是 100 的一半，比70 小。 (四) 能瞭解運算對數字之相對影響：例如，如果乘數大於 1，其積會大於被乘數；如果乘數小於1，其積則會小於被乘數。 (五) 能發展出參考點，並應用於測量一般的物體及生活情境中：例如，能知道一個國小學童的身高不可能會有 316 公分，一條麵包的價格不太可能是3000 元，發展出測量物體的參考點有助於學童判斷結果的合理性。

四、Thompson and Rathmell (1989) 的數感組成成分 (一) 了解數字的意義與關係 (二) 了解數字的相對大小 (三) 了解數字運算的影響 (四) 了解如何使用參考點於日常生活情境 五、Sowder (1992) 的數感組成成分 Sowder 綜合數感相關研究學者的論述，將數感的組成成分分為九類： (一) 能彈性地合成、分解數字，並靈活地轉換數字的各種不同表徵。 (二) 能辨認數字的相對大小與排序。 (三) 能處理數字的絕對大小。 (四) 會使用參考點。

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(五) 能有意義的連結數字、數與運算間相關符號的能力。 (六) 能瞭解運算對數字的影響。 (七) 能有效運用數字與運算的性質進行心算。 (八) 能有效變換數字估算算式的答案，並在適當的時機進行估算。 (九) 對數字的意義較有感覺。 六、Mclntosh 等 (1997) 的數感組成成分 Mclntosh 等 (1997) 為了建構數感的評量題庫，依據數字、運算與情境的三個範疇，建立數感的六個主要構成元素： (一) 瞭解數的基本意義及大小 (二) 瞭解和應用數的多重表徵 (三) 瞭解運算對數的意義與影響 (四) 瞭解及運用等值的形式以利解題 (五) 發展計算的策略 (六) 運用參考點 七、小結 綜觀上述各家之說法，雖然觀點有所差異，但也有重疊之處。本研究的研究對象為國小二年級學童，研究者參考楊德清（2002）論點之主要架構及李威進等（2005）之構面調整方式，並參照九年一貫課程暫行綱要（教育部，2001）數學領域第一階段之能力指標，先將數感的組成成分分為「數的理解」、「數的運算」、「估算」、「數的大小比較」與「數的合成分解」五大向度，據此設計38 個測驗試題，實施預試，透過項目分析，刪除t 值未達顯著及相關係數較低的試題後，實施教學實驗前測，並以前測結果進行因素分析，確定了本研究中所使用試題的因素組型與所收集到的資料頗為適配，以下即為本研究最終將分析的三大數感組成成分：

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(一) 數的理解：包含「位值」及「點數」 (二) 數的運算：「合成分解」及「運算」 (三) 估算

第三節數感的教學活動

發展兒童的數感，並非一蹴可幾，需要長期培養。研究顯示，重要的數字概念及數字運算是長時間所發展而成，其最佳的發展方式，就是將所強調的重點融入於每天的數學課程中 (Resnick, 1983; Sowder, 1992) 。本節將針對發展數感的教學策略以及相關課程加以整理，分析如下。 一、發展數感的教學策略 教師藉由創造教室情境的型態、所從事的教學與練習，以及所選擇的活動來建立學生們的數感，在這個過程中，教師們扮演著重要的角色。研究者將目前有關發展數感教學的策略或模式進行整理如下。 (一) NCTM (1989) 於「發展中等年級的數感」中，提到了教師所扮演 的角色。 1. 營造培養數感的班級環境：教師必須創造一個鼓勵學生探索、問問題、提出證據、理解意義的教室情境，並選擇允許學生們可以參與討論的數學活動，以鼓勵學生發展自己找出答案的技巧、思考問題的各種解答方式、思考所採用答案的型式以及和班上的同學分享所持的理由。 2. 使用學生的寫作資料：寫作的作業可以被用在數學課上，成為一種幫助學生培養數感的有效方式。教師可以要求學生寫下團體討論的結果，或者利用數學日誌寫下他們對某一主題的想法，有助

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於幫助學生產生新的想法或問題，可當作下次佈題以及討論的參考。當他們重新閱讀數學日誌時，也可以發現自己概念上的改變及發展。 3. 運用過程問題 (Process Questions) 及班級討論：過程問題（指 那些需要回答不只一個簡單事實答案的問題）對提昇數感能力來說，是一種重要的教學方式，教師可運用過程問題來刺激學生檢驗各種不同的例子以及去證明或否定他們最初的想法。 4. 把焦點放在學生的解題方法：教師們應選擇鼓勵學生發展自己的解題策略、思考所要採取答案的型式以及和班上的同學分享所持的理由。在數感的教學中，完成問題的態度是質重於量的；也就是說，與其嘗試在限定時間內解答許多問題，不如把重心放在從不同的觀點去理解一個問題。 5. 接受並鼓勵適當的計算方法：學生們可以藉由學習使用筆算、心算、估算及電算器等不同的方法來提昇數感；而心算及估算都是用來鼓勵學生使用自己發明的方法及靈活策略的重要機制。 6. 提供過程導向的活動：教師們可以藉由選擇適當的問題及活動，建立一種鼓勵探索、討論、思考的教室氣氛，以培養學生們的數感。而這些提昇數感能力的活動是焦點放在過程上面，這些活動有一些共同的特質：鼓勵學生們思考他們正在做什麼、與他人分享自己的想法、創造、探究及允許不同的答案和解題策略。 (二) Resnick (1989) 針對低年級學童數感的發展提出了五點教學原則 1. 將學生在學校以外已發展的非正式知識拉進課室中。 2. 發展兒童對自己知識的信任。 3. 運用正式的記錄格式（相同的算式）作為討論及結論的紀錄。 4. 盡快地介紹整數加法結構。

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5. 鼓勵在日常生活中發現問題。 (三) Howden (1989) 的研究：認為年幼的學生天生具有的好奇心，使得 低年級的教室，具有豐富的數感發展環境。教師可利用具體的事物和真實的情境來幫助學生探索數字的概念，例如：運用觀察月曆的活動，協助學生發展數的排序、向上數及向下數的能力；並可藉由下列教學策略來發展學生的數感 1. 不可思議的方程式：利用學生感興趣的數字，以自己的方式來表達數字。例如，13＝10＋3，13=2×5＋3。 2. 計算機：計算機是發展數感的優良工具，因為它允許學生自由的探索相關的數字，另外，利用「壞了某個按鍵的問題 (Broken-key-problem)」可提供探索位值、組合、分解及數字演算特徵的最佳機會。例如，如果計算機的按鈕「6」壞了，要如何演算「36＋20」。 3. 數感的評量：傳統的評量觀點應加以改變，數感的評量技術遠超越傳統的紙筆測驗評量方式，應以下列評量方式取而代之 (1) 觀察：當學生個別地在小團體中學習時。 (2) 傾聽：當學生在小團體的學習情境中，讓學生以口語描述並寫下自己的想法。 (3) 發問：教師向學生發問，以瞭解學生數感的發展情形。 (四) Hope (1989) 的研究：教師必須先在班級中營造適當的學習氣氛， 然後再藉由有意義與有目的的三項活動來發展數感，分述如下 1. 利用生活情境的計算來培養數感：學生在學校的計算常常脫離了日常生活的情境，很少將計算的結果應用於實際的問題。相反的，在校外的情境中，則往往是為了解決問題或完成實際的工作而計算；因此，以計算來發展學生的數感時，必須注意以下幾點：

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(1) 確定學生在學校中所學的計算，不可偏離日常生活中的實際情境。 (2) 在進行計算之前，依情境選擇適當的計算程序。 (3) 計算常可以被簡化，思考數字與數字間的關係，而不是只想著數字與課本上的規則。 (4) 情境有助於評鑑計算結果的合理性，藉由提供一個計算的情境，教師可以幫助學生確認可用來評價結果是否合理性。 (5) 必須解釋計算的結果。 2. 利用測量方式來培養數感：數感是人們日常生活情境中不可或缺的能力，不論以目測、估測或是實測的方式來測量，都可以成為訓練學生數感的機會，以測量來發展學生數感時，必須注意以下幾點 (1) 測量有其目的。 (2) 能依情境的需要，選擇不同的測量工具。 (3) 依測量的目的來決定測量的精確性。 (4) 從日常生活中的測量知識來產生量感 (measruement sense) 。 (5) 測量單位常是內隱的 (implicit) 。 3. 利用估算的活動來發展數感：除了實際使用的數字外，產生合理的估算也能促進兒童的數感，老師應該強調以下的估算概念 (1) 估算包含了數量的比較。 (2) 一個計算的答案，能以多種方式來估算。 (3) 估計的精確度，視其用途而定。 (五) 杜宜展（1998）的研究，認為發展國小學生數感的方法如下： 1. 建立積極的學習氣氛

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要建立學生的數感，可先藉由有計劃性的日常生活經驗，來協助兒童瞭解數字的大小、演算數字與認識數字間的關係。當兒童對於數字及數字間的關係感到有信心時，即能在學校或學校以外的數字情境中，發展出良好的控制感，會以較積極的態度來處理問題，且得到較佳的結果。當教師在思考改進或發展班級中的數學學習氣氛時，應考慮以下幾點： (1) 學生較願意去探究自己熟悉的數學概念。 (2) 學生會以各種不同的方法來處理用數字表示的情境，接受與鼓勵其不同的反應，是使其思考更具彈性與在估計時經驗到成功的催化劑。 (3) 使用合作學習方式，使學生們有機會傾聽其他同學對於數字的看法，因而學習到不只一種處理問題或情境而導致成功的方法。 (4) 在一種可被接受與無威脅性的氣氛下，學生們會對數字所做的判斷再詳加討論。 (5) 當學生擁有數感之後，對社會學、科學與閱讀等領域會更有興趣，只有讓學生明白擁有良好數感在生活中是極有用的，才能感覺到需要對數字作較佳的判斷。 2. 藉由教師的發問來發展數感 在習慣於使用數字與演算的推論於處理問題解決時，教師可藉由發問來引導學生適當的思考，並助其發展出明確的解決問題計劃。教師可藉由下列方式，來創造一個鼓勵學生發問的班級氣氛： (1) 緊跟著學生的問題 (2) 提供學童具體的教材 (3) 在歷程中發問

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3. 藉由學生的發問來發展數感 鼓勵兒童對數字的結果感到懷疑，在他們發現原因時給予支持，這種班級氣氛是非常重要的。當兒童被鼓勵去摸索數字、進而瞭解到不同的答案與數字間的關係時，就強化了兒童的數感。 二、發展數感的課程 有關數感的相關課程，將以美國 NCTM 所發展的數感課程，以及我國九年一貫課程中，與數感相關的能力指標及教材進行分析。 (一) NCTM 發展數感的課程 NCTM (1989) 所出版的「數學課程與評量標準」一共提出十三個標準，發展數感即為其中之一。在K-4 階段希望學童透過工作經驗及操作以建構數的意義，藉由計算、位值概念及群組以瞭解計數系統，在真實的情境中，解釋數的多元使用形式，進而發展數感。由此可知，課程改革逐漸重視發展學生們的數感。 NCTM (1994) 在「發展數感 K-6 年級補充教材」的數感評量教學中，鼓勵兒童透過調查、討論等不同的上課方式進行課程學習。強調教師應在課堂中鼓勵學生學習數學的熱忱，讓學生使用操作的方式來展現問題，或是使用不同的方法及教具獲得答案，進一步與他人分享自己的估算及數學心智技巧，藉此建構他們的知識。「發展數感K-6 年級補充教材」中所提到幼稚園到六年級學童數感的發展描述如下： 1. 幼稚園的課程：要能夠接受關於數的指令，例如：數到 5 就要進入美術教室；每排的第二個可以去握教室的門；要求在拿東西或收東西時要數一數。 2. 國小 1-3 年級的課程：藉由發展十進位數學計算進一步發展數的認知、數的多重表徵。小孩子可以用多樣的非標準工具來測量他們自己和他們的物品，並在一個持續的基礎上提供估算及確認數

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量、長度、重量的機會。 3. 國小 4-6 年級的課程：一般而言，學生對於合理的數字有一個較密集的學習，擴展他們對完整的數概念變成一個重點，學生在這個時期會適當的運用教室內外多樣工具及技巧來表現數感，並且運用數學的合理化來操作他們的結果。他們採用個別或團體的方式來研究難題或是解決問題，以好奇心而產生的活動，最能刺激學生主動探索數學問題，且提出預測並修正預測。「發展數感K-6 年級補充教材」中，在二年級的教學部分，鼓勵學生由活動中學習數的加法和減法運算，並舉出了五個發展數感的課程活動： 1. 骨牌小丑 (1) 活動目的：讓學童能發現不同的數相加，仍會得到相同的總和。 (2) 活動內容：每一組學童都有一套骨牌、紀錄單及骨牌小丑學習單。每一組決定一個數作為總和，然後分別將四張骨牌放在小丑的四肢，然後點數四張骨牌的總和是否與原先決定的數字相同，再將四個骨牌的點數分別填入紀錄單中。重複多次，運用不同的骨牌，合成原先決定的數字。接著小丑的右手當作以十為單位，左手當作以一為單位，由小組分別放進兩張骨牌，並記錄小丑雙手所代表的數。 2. 奇數與偶數 (1) 活動目的：讓學童發現奇數與偶數相加後，所得到的數所產生的規律性。 (2) 活動內容：每一組學童有 21 個籌碼、大方格紙、剪刀、骰子。利用 21 個籌碼讓學童分辨奇數與偶數。再讓學童利用

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大方格紙剪出六種不同形式的奇數和偶數。將剪下的方格模型兩兩合併，讓學童辨認合併後是奇數或偶數，重複多次，以發現其中的規律性。 3. 有多大 (1) 活動目的：讓學童發現測量單位的大小一但改變，測量單位的個數也會因而改變。 (2) 活動內容：每組學生將自己的腳掌畫在白紙上，並有多種不同形狀和大小的圖卡，要求學童使用相同的圖卡覆蓋所有的腳掌面積。在進行覆蓋之前，要求學生先選擇一種圖卡作為測量單位，畫在紀錄單上，並估測將需要使用多少個測量單位，寫在紀錄單上，接著實際將圖卡覆蓋在腳掌上，並數出個數，寫在紀錄單上；重複多次，直到所有的測量單位均被使用。協助學童將紀錄單上的資料作成簡易的統計圖，並經由討論發現測量單位越小，所需要的個數就越多。 4. 日曆活動 (1) 活動目的：讓學童理解涉及時間的數所代表的意義 (2) 活動內容：每個學生都有當月的月曆，由老師提問，學生從月曆中找出符合的數。 5. 豆莖加法 (1) 活動目的：讓學童理解有效的加減法運算。 (2) 活動內容：每個學童都有一張學習單、10 個豆莖和 1 把豆子。學童必須先連結所使用的教具和所代表的記號。1 個豆莖代表十，1 顆豆子代表一。要求學生利用豆莖及豆子表示教師所展示的數，如：30（3 個十）、35（3 個十，5 個 1 或 2 個十，15 個一）。學童在有十位和個位格子的學習單上，

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利用豆莖和豆子進行交換，以解決加減法運算。 (二) 九年一貫課程 1. 與數感相關的能力指標 教育部（2001）所公佈的「國民中小學九年一貫課程暫行綱要」中明定：數學學習領域根據學生的學習方式與思考型態兩項特徵，將九年國民教育區分為四階段，並將數學內容分為數與量、圖形與空間、統計與機率、代數、連結五大主題。楊德清與徐俊仁（2000）曾以數感觀點探討九年一貫數學學習領域「數與計算」的能力指標。本研究的研究對象為國小二年級學童，研究者以上述二位研究者的分析為理論依據，探討在第一階段中，與本研究的數感元素所對應的能力指標，列舉如下： (1) 數的理解：包含「位值」及「點數」 N-1-1 能初步掌握非負整數數詞序列的規律，並能以具體的量、聲音、圖像、數字，進行說、讀、聽、寫、做的活動，表徵2000 以內的數。 N-1-2 能掌握 10、100、1000 和 1 及 100 和 10 之間的關係，做數的二階單位化聚。 (2) 數的運算：包含「合成與分解」及「運算」 N-1-3 能理解加法、減法的意義，解決生活中有關三位數以內的加、減法問題，並運用電算器加以檢驗。 N-1-14 在情境中理解加法和減法的相互關係及加法交換律。 N-1-15 能用不同的想法，檢驗答案的合理性。 A-1-1 能透過具體操作，解決來自生活情境問題中已列出的算式填充題。 C-S-5 瞭解一數學問題可有不同的解法，並能嘗試不同的解法。

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(3) 估算 N-1-6 能在生活情境中，經驗概數的意義。 2. 學生的教科書本研究之研究對象為九十四學年度就讀於國小二年級的學童，所使用的教科書為審定合格版本數學第四冊，研究者將此版本在數學領域第一階段中，有關數與計算的教材分布列於附錄一。三、小結：本節針對發展數感的教學策略以及相關課程之文獻進行探討，研究者一方面依據九年一貫課程的能力指標及學生教科書內容編製適合於本研究對象的「數感紙筆測驗」，用以評量學童的數感表現；另一方面也藉由學生教科書內容及參考NCTM「發展數感 K-6 年級補充教材」二年級數感教學課程的骨牌小丑活動，作為本研究設計數感教學活動的理論基礎，使之適合國小二年級學童的程度，並容易融入原本的數學課程；此外，在進行教學時，則以 NCTM 發展數感教學策略的第 1、3、4、6 項策略、Resnick 教學原則之第 2、3、5 項原則、Howden 的評量策略、 Hope 利用生活情境的計算培養數感與利用估算的活動發展數感策略，以及杜宜展發展數感之方法為依據，建立鼓勵探索、討論、思考的班級環境，藉由教師與學生的發問，使用合作學習的方式，讓學生們對數字所做的判斷詳加討論，鼓勵學生發展自己的解題策略、思考其策略的合理性以及和班上的同學分享所持的理由，更真實呈現學童的數感表現。

第四節實驗教學及數感的相關研究

本研究採準實驗研究設計，探討國小二年級學童融入數感教學活動的學習成效。本節就實驗教學及數感的相關研究進行討論。 一、實驗教學

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實驗研究法是在教育情境中，透過控制、操縱及觀察自變項與依變項間的關係，以預測實驗情境中的現象；並將此關係類化或應用於實驗情境外的母群的一種研究方法（王保進，1990），是唯一能真正考驗有關因－果關係之假設的方法，也是解決教育上理論的與實際的問題，以及推動教育成為一門科學的最有效途徑（王文科，1990）。 (一) 實驗研究的基本特徵（葉重新，2006）說明如下 1. 不同組別的比較：一般的實驗研究，將受試者分發至實驗組或控制組，讓實驗組接受實驗處理，然後比較這兩組受試者在依變項上得分的差異。 2. 操弄自變項：研究者針對研究問題或假設，操弄自變項，再觀察不同自變項對依變項的影響。 3. 隨機化：自母群體中隨機抽取若干樣本接受實驗，研究結果就能推論到母群體，藉以提高外在效度；理論上來說，整體而言兩組受試者的各種特質是相等的。 (二) 實驗的效度 實驗的效度是指實驗結果的準確程度，可分為內在效度與外在效度。 1. 內在效度：指由實驗處理影響依變項的真正程度。研究者對無關干擾變項控制愈嚴謹，內在效度就越高。影響內在效度的因素包含歷史、身心發展與成熟、測驗、工具、統計迴歸、選樣不等、受試者流失、選樣與成熟交互作用、實驗處理的擴散、強亨利效應、實驗處理的平等補償、控制組士氣低落及實驗者的偏見（王文科，1990；葉重新，2006）。 2. 外在效度：指實驗結果可以推論到其他群體或情境的可靠程度，可分為母群體效度及生態效度；母群體效度是指實驗結果可以推

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論到母群體的程度；生態效度為實驗結果可以推論到不同情境的程度。（葉重新，2006） (三) 準實驗設計 真正的實驗設計應隨機抽樣與隨機分派受試者於實驗處理，可以對實驗誤差的來源加以控制，使得實驗結果能夠完全歸因於自變項的改變；但是進行教育研究時，受試者多是自然形成的完整團體，例如學校組織或是班級學生，像這樣以現有的受試者團體為研究對象，而非隨機將受試者分派於實驗處理的設計，即為準實驗設計（王文科，1990）。準實驗只能儘量控制影響實驗內在效度的因素，雖然不如真正實驗可靠，但是教育現象的瞭解，仍有很大的幫助（高義展，2004），然而，研究者在進行解釋與推論時，應謹慎為之，不宜過度推論。準實驗設計有許多種，最常用的有下列幾種（王文科，1990；林生傳，2003；高義展，2004）。 1. 不等組的前測－後測控制組設計：通常需有兩組參與研究，其中一組為實驗組，另外一組為控制組以玆對照；研究者採用完整的、已形成的受試者群體，先施予前測，為實驗組安排處理條件，接著實施後測。 2. 時間系列設計：只有一組研究樣本，是指實驗組在接受處理之前和以後，重複接受測量，而非僅在處理前、後各接受一次測量。 3. 相等時間樣本設計：適用於只有一組受試者可當控制及實驗組的情況，實驗的處理與控制處理在相等的時間間距內，交互間隔出現，使得每位受試者均重複接受這些處理。 4. 相等材料前測－後測設計：以同組當作實驗組與控制組，且進行兩次以上的循環，該組在第一循環可能當作控制組，至第二循環則當實驗組。

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5. 對抗平衡設計：是為了防範因各組接受處理之次序而產生的解釋問題而提出的設計，所有組均個別輪換接受一種不同的實驗處理，各組均接受所有的處理，只是以不同的順序進行。二、數感的相關研究近年來，國內外對於數感的研究頗多，研究者將所蒐集之相關研究內容及研究結果整理如下： Hopkins (1995) 在研究五年級學童數感能力的過程中，設計一套為期六星期的爆米花教學活動，研究結果顯示，經由學生實際操作並計算一百萬，使得學生更加瞭解大數的意義，並提昇了學生的數感能力。Vacc (1995) 針對幼稚園的幼童設計一個以「百數表」 (hundreds chart) 和數字相關活動的課程來進行教學，結果顯示，幼童的數感能力確實增加了。Trafton and Hartman (1997) 則為低年級的學童設計一個以問題討論為導向的數學課程，並鼓勵學童利用具體物的實際操作，再經由討論及發表創造出不同的解題策略，而研究結果發現，學童在數感及解題策略之思考進步甚多。劉穆樺與易正明（2005）以國小二年級學童為研究對象，將數感的「數的大小比較」活動融入國小二年級數學課程，實施教學實驗，其研究主要是探討國小二年級學童在數概念能力「建立數詞序列及數的表徵」、「數的大小比較」、「概數」與「數的化聚」之改變情形。研究結果顯示，在整體數學能力的表現上，數感教學活動有益於二年級學童數概念的正向影響；其中，在數感之「數的大小比較」分向構面，實驗組前後測的進步量有顯著提升，顯示數感教學活動對「數的大小比較」有正向的影響，該研究已對「數的大小比較」先行研究，因此後續的研究不以數的大小比較為研究內容。吳明玲（2003）以二年級學童為研究對象，調查學童數感的表現情形，並透過數感教學活動，探討學童數感的改變情形。研究結果發現，二年級學童數感紙筆測驗結果，和數學學習成就有顯著相關。五個數感向度

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中以「數的理解」和「數的大小比較」表現較好，「數與運算的關係」表現最差，運用參考點進行估算的能力亦不佳。學童接受數感教學活動之後，以「數的合成分解」和「數與運算的關係」進步最為顯著。不同數學學習成就的學童，均有不同程度的進步，其中以中分組的學童進步最顯著。教學後，學童答題類型略有改變，顯示數感教學活動有助於學童數感的提昇。王玉珍（2003）從比較數字的大小、瞭解數的意義、熟悉數的多重表徵、明瞭數與運算的關係、運用參考點做合理的估算五個要素，以質性之個案詮釋研究來探討三年級學童數感表現之發展歷程。研究結果顯示，數學程度高的學童在數感活動教學前，未必每項數感表現都領先；但在教學後，學童之解題策略有明顯之改變；由此可知，數感教學活動有助於學童數感之發展。另外，小組的討論使學生們有機會傾聽其他同學對於數字的看法，對學童數感的學習遷移幫助很大；教師適時地介入，鼓勵、引導學生討論，引導學生做有意義的思考，有助於學童數感的學習；學童數感的發展會囿於學童本身抽象思考能力之發展，三年級學童仍處具體操作期，教學活動中宜多使用教具。劉曼麗與侯淑芬（2006）採準實驗設計，針對四年級學童進行一套自行設計之數感教學活動。在數學成就測驗上，實驗組的後測成績顯著地高於控制組，因此數感教學對數學學習能力有所助益，此外，在數感教學成效的研究結果發現，數感教學能提昇學生的數感能力，且在中、高程度之學童表現較顯著，低程度之學童較不明顯；接受訪談的學生在教學後其數感均有不錯的發展，尤其是在使用參考點解決心算和估算等問題上。支毅君（1997）針對三年級學童進行為期一年的觀察與記錄，探討國小數感的教學。研究結果發現：學童的數感普遍缺乏，對於整數的結構意義與符號意義未能聯結、在整數之間的關係只看到大小關係，運算多以筆算作為基礎，對於運算的意義未必了解、小數與分數都停留在名詞的認識階段，未

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有意義上或實質大小的聯結以及長度量感不足；在數學解題方面，學生的解題能力不足，疏忽解題過程、對於題意不瞭解、缺乏群體討論解題的經驗、老師過於強調解題的運算；建議教師在教學活動中多讓學生參與解題策略之思考，並鼓勵解題的多樣性，避免只有單一解題策略，並強調師生互動的影響。朱麗雯（2005）以國小三至六年級學童為研究對象，將數感界定為瞭解數的基本意義、認知數之大小、瞭解運算對數的意義和影響、發展不同的估算策略、日常生活中數的使用與測量以及數的覺識，編製一份數感測驗進行施測，並利用SS 分析法，分析受試學童的數感概念結構，藉由此概念結構來觀察目前國小學童之數感發展程度與層次。研究結果顯示，在不同年級各組成元素的平均得分排序一致，且平均得分最低者均為發展不同的估算策略；由三至六年級的關聯結構圖來看，發展不同的估算策略均為其它元素的上位概念。陳慶林（2005）以建構式教學法所發展出的數感實驗教學活動後，探討學童數感改變之情形。研究結果發現：數感教學前，三年級學童的數感表現普遍不佳，在數感元素表現方面，「瞭解整數基本意義及大小之能力」之表現最好，「運用參考點」之表現最差。數感教學後，國小三年級學童整體數感表現有顯著進步，其中又以「瞭解整數基本意義及大小之能力」和「整數的合成與分解」兩項進步最為顯著。整體言之，以建構式教學法所發展之數感實驗課程，對於學童數感概念之表現以及數感能力之養成是有成效的，因此將此實驗課程加諸在現行之國小三年級數學領域課程中是可行的。林素微（2003）以國小高年級學生為研究對象，編製「電腦化數感動態評量」共10 題，擇定數學能力測驗、數量估算等數學學習表現作為電腦化數感評量的效標，以動態測量的方式，檢視適性的電腦化介入對學童數感協助與區辨的效益，來探討國內高年級學童目前數感的概況。研究結果發現，五年級學童的數感表現水準較六年級薄弱，顯示隨著數的處理與

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學習經驗的增加，學童的數感會較好；城市地區學童的數感表現出比鄉鎮地區學童的數感略佳；而女生的數感表現比男生好，而且性別的答對比率差異幅度隨著難度層次的提升而有小幅增加，顯示在較困難的問題上，性別的差距更為明顯，可能是女生在處理新的情境問題時較為細心與投入，因此對於情境有較強的覺知所致。黃靖淑（2002）以國小四、五、六年級學生為研究對象，同時企圖藉由電腦化數量估算評量工具的發展，針對數量估算的構念及其關聯議題進行初步實徵的探討。研究結果顯示：不同次群體間學生數量估算表現有所差異，比較四、五、六年級在數量估算的表現，越高年級的表現越好。許清陽（2001）編製「國小高年級學童數字常識評定量表」，並調查各縣市高年級學童之數感表現。研究發現，學童數感的發展，在瞭解數字意義和關係的能力以及發展計算策略與判斷答案合理性的能力最弱且沒有差別，其次依序是，瞭解運算對數字的意義和影響的能力、以多重方式表徵數字的能力，而學童辨認數字大小的能力較強，答對率超過 50%，相較其他組成成份之表現較好；實行傳統式教學及建構式教學法之學童，在數感構成元素之發展上，亦有顯著的差異，實施新課程的建構教學在數感各項能力的發展，都比舊課程的傳統教學好，這個結果也和國外的研究報告一致。徐俊仁（2001）針對六年級學童設計數感教學活動，探討學生數感的整體表現情形。研究結果發現，學童整數感能力有顯著的進步，但以數字大小及估算兩方面的表現，成長較大。透過深度的訪談，瞭解學生在數感的能力有顯著的成長，不再過度依賴算則運算。並且對數學的興趣與信心有顯著的進步。由教學活動的過程可知，透過班級的討論文化，即使是中、低程度的學生，也能使用他們自己可以理解的表徵方式來參與討論，提出具有正面價值的問題。學生們在討論與質疑的過程中，參與思考的相互激盪，再經由教師適時的引導，常能發表出創造性的解題策略，提昇了數感

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的能力。楊德清（2000b）採用質性研究，藉由設計數感問題深入的訪談 21 位國小六年級學生，以瞭解兒童回答問題時使用數感解題之能力為何？結果顯示，不論低、中、或高程度的學生皆普遍習慣使用算則的原理與方法，而少有數感的解題策略（如使用參考點、善用估算的方法、認知數字之大小、或理解運算對數字之相對影響等）被使用，亦即學生非常缺乏數感能力，對中、下程度的學生而言，此種情況更為嚴重。當學生回答訪談問題時，皆非常依賴紙筆計算，無法從理解與有意義化的層面思考，往往將自己侷限於算則的方式。由本節文獻探討顯示，數感的教學活動適用於各年級高、中、低之學生，教學實施可採用個人、小組或全班，教學效果的評量可採用量化研究，進行測驗數據的分析，亦可採取質性研究，深入訪談，更加確定學童的數感表現，而對其解題策略有更深入的瞭解；此外，在學校的教育環境中受限於教學、行政與教師之考量，無法將學生隨機取樣及隨機分派至各組進行實驗，僅能遷就現有班級，作實驗分組，因此研究者將採準實驗研究設計之「不等組的前測－後測控制組設計」，以不同的教學活動為自變項，並對兩班教師的授課方式、教學時數以及教學內容妥善控制，在教學前實施前測，以數感的起點行為為共變項，藉由教學活動的實驗處理，以後測成績為依變項，呈現學童的數感表現，作為本研究討論分析的依據。

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第三章研究方法

本章就研究架構與設計、研究對象、研究流程、研究工具與試題分析、資料分析與處理這五個節次詳加敘述。

第一節研究架構與設計

本研究以一份研究者自編的數感紙筆測驗為評量依據，分析學童的數感在實驗教學前後的改變情形，圖 3-1-1 為研究架構圖。圖 3-1-1 研究架構圖數感紙筆測驗後測自變項實驗組數感教學活動組別控制組教科書教學活動控制變項教學內容教學時數數感起點行為（紙筆測驗前測）共變項 實驗教學研究架構圖 閱讀有關數感概念的相關研究及文獻 1. 兩組學生在數感紙筆測驗後測的差異情形 2. 實驗組學生在數感紙筆測驗後測的解題表現依變項

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本研究為「準實驗設計」，以現有完整的班級為實驗組與控制組，先施予前測，為其中一組安排實驗處理，並仔細考慮研究中無法控制的因素及這些因素對實驗效果影響的可能性，儘可能控制可能的誤差，在實驗處理後實施後測，據以進行研究分析。本實驗教學之研究設計共分為四個變項：一、自變項：分為實驗組與控制組，實驗組接受研究者自編之數感教學活動進行教學，控制組接受教科書教學活動進行教學。二、依變項：以研究者自編之數感紙筆測驗在實驗教學活動後實施，以此為指標，得分越高，表示學生的數感成就越高；反之則越低。三、共變項：以實驗組與控制組的數感起點行為為共變項，以教學實驗前，兩組在數感紙筆測驗的得分作為指標；得分越高，表示學生的數感成就越高，反之則越低。 四、控制變項 (一) 教師：因學校行政與師資考量，研究者無法隨機分派受試者到實驗組與控制組，於是以現有班級及原授課教師的條件限制下進行準實驗研究；但為了有效控制教學實驗的進行，以研究者為實驗組的教學教師，並以同學校同年級中，教學經驗相近、教學方法相似、且教學配合意願高的級任教師班級為控制組，由該班教師進行控制組班級的教學活動。 (二) 教學內容：研究者統整二年級審定合格版本第四冊第一、八共計二個單元教材，並配合自編教材。 (三) 教學時數：實驗組與控制組的教學時間一致，每節課 40 分鐘，共進行4 週，總計 9 節課。

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第二節研究對象

本研究採準實驗研究設計，受限於學校行政與師資考量，無法隨機分派受試者到實驗組與控制組，因此以94 學年度就讀於臺中縣某國小二年級學生中，研究者所任教的班級為實驗組，實施數感教學活動；並以同學年級任教師中，教學經驗相近、教學方法相似，且配合意願高的教師任教班級為控制組，實施審定合格版本教科書編製的教科書教學活動。實驗組進行教學實驗，與控制組學生對照，兩組樣本在93 學年度新生入學編班時，採電腦隨機編班，學生來自於相近的地區，沒有城鄉差距。實驗組與控制組的人數如表3-2-1。表 3-2-1 研究樣本人數分配表性別組別男女總計實驗組 16 16 32 控制組 16 17 33 總計 32 33 65 此外，為了更真實了解實施數感教學活動後，實驗組學生的解題策略，在後測結束後，研究者將對實驗組學生進行晤談。受限於時間之考量，無法對所有學生進行晤談，因此研究者依數感紙筆測驗前測成績將實驗組學生分成高（27%）、中（46%）、低（27%）三種能力，依據每一種能力各選出兩人進行晤談。在篩選晤談對象時，考量學生的表達能力是影響晤談進行及結果的重要因素，因此從中選取表達能力較佳的學生為原則，進行晤談。六名學生分別以H1、H2、M1、M2、L1、L2 作為代號。

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第三節研究流程

本研究的研究流程分為兩部分，第一是實驗教學流程，第二是資料分析流程。 一、實驗教學流程 本研究確定研究主題後，研究者開始研讀文獻，分析課程，據此設計教學活動及編製數感紙筆測驗。在九十四學年度下學期實驗教學開始前，先對實驗組與控制組學生進行數感紙筆測驗前測，再進行實驗組與控制組的教學活動，並於教學活動後實施數感紙筆測驗後測。最後以實驗組與控制組的前後測結果，進行分析討論，做出結論與建議。實施流程如圖3-3-1，並說明如下：

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圖 3-3-1 實驗教學實施流程圖本研究實驗教學程序分為準備階段、前測階段、實驗教學階段、後測階段、完成階段。 (一) 準備階段 決定研究主題與目的文獻蒐集與探討確定研究對象進行預試試題信度分析符合信度不符合信度修正試題進行試教、專家修正確定教學活動編製數感紙筆測驗試題設計數感教學活動編製控制組教案實驗組、控制組前測實驗組數感教學活動實驗組、控制組後測進行晤談、測驗結果分析結論與建議控制組教科書教學活動

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1. 決定研究主題與目的，蒐集及閱讀相關文獻，擬定研究計劃。 2. 確定研究對象：以臺中縣某國小二年級兩個班級學生為研究對象，並蒐集研究對象的相關資料。 3. 蒐集並編製研究所需的研究工具：包含實驗組的數感教學活動、控制組的教科書教學活動及數感紙筆測驗。 4. 與指導教授、同在研究所進修之碩士班同學及控制組之教師研討實驗流程、進度及教學內容。 (二) 前測階段 1. 在教學實驗前，蒐集兩班學生在九十四學年度上學期期末考數學成績，進行獨立樣本t 檢定，據此了解兩班數學能力的差異情形。 2. 在教學實驗前，對兩班學生實施數感紙筆測驗，以了解兩班學生在教學前數感能力的差異情形，並將其結果作為實驗教學後施測結果比較的依據，藉以了解學生接受不同的教學活動後，其數感能力的改變情形。 (三) 實驗教學階段 本研究由研究者擔任實驗組的教學，由另一位同年級且具教學經驗的教師擔任控制組的教學，教學範圍為審定合格版本數學領域第四冊第一、八共計2 個單元教材，並配合自編教材，實驗組與控制組的教學時間一致，每節課40 分鐘，共進行 4 週，計 9 節課。在教學流程中，控制組實施教科書教學活動，實驗組實施數感教學活動。 (四) 後測階段 在教學實驗後，分別對兩組研究對象實施數感紙筆測驗，藉以了解實驗組與控制組經由不同的教學處理後，在數感紙筆測驗的差異情形；此外，由實驗組中選取數感能力高、中、低學生各兩名進行晤談，以更進一步了解其解題表現。

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(五) 完成階段 整理文獻資料及分析實驗組與控制組在數感紙筆測驗前後測的表現，形成結論與建議，完成論文。 二、資料分析流程 本研究之統計分析，是研究者在前、後測資料蒐集完成後，將所得的資料依序編號鍵入電腦中，核對無誤後，利用SPSS 10.0 版套裝軟體處理，資料分析流程如下圖3-3-2 所示，並說明如下：圖 3-3-2 資料分析流程圖 (一) 在教學實驗之前，研究者分別針對兩組學生在九十四學年度上學期期末考數學成績及數感紙筆測驗的前測成績，進行獨立樣本 t 檢兩組學生九十四學年度上學期期末考數學成績兩組學生在數感紙筆測驗的前測成績兩組學生前後測成績單因子共變數分析建構效度試題性質分析撰寫研究報告 SPSS 統計分析獨立樣本t 檢定實驗組前後測構面成對樣本t 檢定