數感的教學活動

發展兒童的數感，並非一蹴可幾，需要長期培養。研究顯示，重要 的數字概念及數字運算是長時間所發展而成，其最佳的發展方式，就是 將所強調的重點融入於每天的數學課程中 (Resnick, 1983; Sowder, 1992) 。本節將針對發展數感的教學策略以及相關課程加以整理，分析 如下。

一、發展數感的教學策略

教師藉由創造教室情境的型態、所從事的教學與練習，以及所選擇 的活動來建立學生們的數感，在這個過程中，教師們扮演著重要的角 色。研究者將目前有關發展數感教學的策略或模式進行整理如下。

(一) NCTM (1989) 於「發展中等年級的數感」中，提到了教師所扮演 的角色。

1. 營造培養數感的班級環境：教師必須創造一個鼓勵學生探索、問 問題、提出證據、理解意義的教室情境，並選擇允許學生們可以 參與討論的數學活動，以鼓勵學生發展自己找出答案的技巧、思 考問題的各種解答方式、思考所採用答案的型式以及和班上的同 學分享所持的理由。

2. 使用學生的寫作資料：寫作的作業可以被用在數學課上，成為一 種幫助學生培養數感的有效方式。教師可以要求學生寫下團體討 論的結果，或者利用數學日誌寫下他們對某一主題的想法，有助

於幫助學生產生新的想法或問題，可當作下次佈題以及討論的參 考。當他們重新閱讀數學日誌時，也可以發現自己概念上的改變 及發展。

3. 運用過程問題 (Process Questions) 及班級討論：過程問題（指 那些需要回答不只一個簡單事實答案的問題）對提昇數感能力來 說，是一種重要的教學方式，教師可運用過程問題來刺激學生檢 驗各種不同的例子以及去證明或否定他們最初的想法。

4. 把焦點放在學生的解題方法：教師們應選擇鼓勵學生發展自己的 解題策略、思考所要採取答案的型式以及和班上的同學分享所持 的理由。在數感的教學中，完成問題的態度是質重於量的；也就 是說，與其嘗試在限定時間內解答許多問題，不如把重心放在從 不同的觀點去理解一個問題。

5. 接受並鼓勵適當的計算方法：學生們可以藉由學習使用筆算、心 算、估算及電算器等不同的方法來提昇數感；而心算及估算都是 用來鼓勵學生使用自己發明的方法及靈活策略的重要機制。

6. 提供過程導向的活動：教師們可以藉由選擇適當的問題及活動，

建立一種鼓勵探索、討論、思考的教室氣氛，以培養學生們的數 感。而這些提昇數感能力的活動是焦點放在過程上面，這些活動 有一些共同的特質：鼓勵學生們思考他們正在做什麼、與他人分 享自己的想法、創造、探究及允許不同的答案和解題策略。

(二) Resnick (1989) 針對低年級學童數感的發展提出了五點教學原則 1. 將學生在學校以外已發展的非正式知識拉進課室中。

2. 發展兒童對自己知識的信任。

3. 運用正式的記錄格式（相同的算式）作為討論及結論的紀錄。

4. 盡快地介紹整數加法結構。

5. 鼓勵在日常生活中發現問題。

(三) Howden (1989) 的研究：認為年幼的學生天生具有的好奇心，使得 低年級的教室，具有豐富的數感發展環境。教師可利用具體的事 物和真實的情境來幫助學生探索數字的概念，例如：運用觀察月 曆的活動，協助學生發展數的排序、向上數及向下數的能力；並 可藉由下列教學策略來發展學生的數感

1. 不可思議的方程式：利用學生感興趣的數字，以自己的方式來表 達數字。例如，13＝10＋3，13=2×5＋3。

2. 計算機：計算機是發展數感的優良工具，因為它允許學生自由的 探 索 相 關 的 數 字 ， 另 外 ， 利 用 「 壞 了 某 個 按 鍵 的 問 題 (Broken-key-problem)」可提供探索位值、組合、分解及數字演算 特徵的最佳機會。例如，如果計算機的按鈕「6」壞了，要如何 演算「36＋20」。

3. 數感的評量：傳統的評量觀點應加以改變，數感的評量技術遠超 越傳統的紙筆測驗評量方式，應以下列評量方式取而代之

(1) 觀察：當學生個別地在小團體中學習時。

(2) 傾聽：當學生在小團體的學習情境中，讓學生以口語描述並 寫下自己的想法。

(3) 發問：教師向學生發問，以瞭解學生數感的發展情形。

(四) Hope (1989) 的研究：教師必須先在班級中營造適當的學習氣氛，

然後再藉由有意義與有目的的三項活動來發展數感，分述如下 1. 利用生活情境的計算來培養數感：學生在學校的計算常常脫離了

日常生活的情境，很少將計算的結果應用於實際的問題。相反 的，在校外的情境中，則往往是為了解決問題或完成實際的工作 而計算；因此，以計算來發展學生的數感時，必須注意以下幾點：

(1) 確定學生在學校中所學的計算，不可偏離日常生活中的實際 情境。

(2) 在進行計算之前，依情境選擇適當的計算程序。

(3) 計算常可以被簡化，思考數字與數字間的關係，而不是只想 著數字與課本上的規則。

(4) 情境有助於評鑑計算結果的合理性，藉由提供一個計算的情 境，教師可以幫助學生確認可用來評價結果是否合理性。

(5) 必須解釋計算的結果。

2. 利用測量方式來培養數感：數感是人們日常生活情境中不可或缺 的能力，不論以目測、估測或是實測的方式來測量，都可以成為 訓練學生數感的機會，以測量來發展學生數感時，必須注意以下 幾點

(1) 測量有其目的。

(2) 能依情境的需要，選擇不同的測量工具。

(3) 依測量的目的來決定測量的精確性。

(4) 從 日 常 生 活 中 的 測 量 知 識 來 產 生 量 感 (measruement sense) 。

(5) 測量單位常是內隱的 (implicit) 。

3. 利用估算的活動來發展數感：除了實際使用的數字外，產生合理 的估算也能促進兒童的數感，老師應該強調以下的估算概念

(1) 估算包含了數量的比較。

(2) 一個計算的答案，能以多種方式來估算。

(3) 估計的精確度，視其用途而定。

(五) 杜宜展（1998）的研究，認為發展國小學生數感的方法如下：

1. 建立積極的學習氣氛

要建立學生的數感，可先藉由有計劃性的日常生活經驗，來協 助兒童瞭解數字的大小、演算數字與認識數字間的關係。當兒童對 於數字及數字間的關係感到有信心時，即能在學校或學校以外的數 字情境中，發展出良好的控制感，會以較積極的態度來處理問題，

且得到較佳的結果。當教師在思考改進或發展班級中的數學學習氣 氛時，應考慮以下幾點：

(1) 學生較願意去探究自己熟悉的數學概念。

(2) 學生會以各種不同的方法來處理用數字表示的情境，接受與 鼓勵其不同的反應，是使其思考更具彈性與在估計時經驗到 成功的催化劑。

(3) 使用合作學習方式，使學生們有機會傾聽其他同學對於數字 的看法，因而學習到不只一種處理問題或情境而導致成功的 方法。

(4) 在一種可被接受與無威脅性的氣氛下，學生們會對數字所做 的判斷再詳加討論。

(5) 當學生擁有數感之後，對社會學、科學與閱讀等領域會更有 興趣，只有讓學生明白擁有良好數感在生活中是極有用的，

才能感覺到需要對數字作較佳的判斷。

2. 藉由教師的發問來發展數感

在習慣於使用數字與演算的推論於處理問題解決時，教師可藉 由發問來引導學生適當的思考，並助其發展出明確的解決問題計 劃。教師可藉由下列方式，來創造一個鼓勵學生發問的班級氣氛：

(1) 緊跟著學生的問題 (2) 提供學童具體的教材 (3) 在歷程中發問

3. 藉由學生的發問來發展數感

鼓勵兒童對數字的結果感到懷疑，在他們發現原因時給予支 持，這種班級氣氛是非常重要的。當兒童被鼓勵去摸索數字、進而 瞭解到不同的答案與數字間的關係時，就強化了兒童的數感。

二、發展數感的課程

有關數感的相關課程，將以美國 NCTM 所發展的數感課程，以及我國 九年一貫課程中，與數感相關的能力指標及教材進行分析。

(一) NCTM 發展數感的課程

NCTM (1989) 所出版的「數學課程與評量標準」一共提出十三個 標準，發展數感即為其中之一。在K-4 階段希望學童透過工作經驗及操 作以建構數的意義，藉由計算、位值概念及群組以瞭解計數系統，在真 實的情境中，解釋數的多元使用形式，進而發展數感。由此可知，課程 改革逐漸重視發展學生們的數感。

NCTM (1994) 在「發展數感 K-6 年級補充教材」的數感評量教學 中，鼓勵兒童透過調查、討論等不同的上課方式進行課程學習。強調教 師應在課堂中鼓勵學生學習數學的熱忱，讓學生使用操作的方式來展現 問題，或是使用不同的方法及教具獲得答案，進一步與他人分享自己的 估算及數學心智技巧，藉此建構他們的知識。「發展數感K-6 年級補充 教材」中所提到幼稚園到六年級學童數感的發展描述如下：

1. 幼稚園的課程：要能夠接受關於數的指令，例如：數到 5 就要進 入美術教室；每排的第二個可以去握教室的門；要求在拿東西或 收東西時要數一數。

2. 國小 1-3 年級的課程：藉由發展十進位數學計算進一步發展數的 認知、數的多重表徵。小孩子可以用多樣的非標準工具來測量他 們自己和他們的物品，並在一個持續的基礎上提供估算及確認數

量、長度、重量的機會。

3. 國小 4-6 年級的課程：一般而言，學生對於合理的數字有一個較 密集的學習，擴展他們對完整的數概念變成一個重點，學生在這 個時期會適當的運用教室內外多樣工具及技巧來表現數感，並且 運用數學的合理化來操作他們的結果。他們採用個別或團體的方

3. 國小 4-6 年級的課程：一般而言，學生對於合理的數字有一個較 密集的學習，擴展他們對完整的數概念變成一個重點，學生在這 個時期會適當的運用教室內外多樣工具及技巧來表現數感，並且 運用數學的合理化來操作他們的結果。他們採用個別或團體的方