第四章 研究結果與討論
第二節 對稱軸概念建立
本節主要說明對稱軸性質課程之設計理念、教學活動歷程與觀察描述，以及 教學後之檢討與改善方案。詳細之教案與教學活動照片，以及研究者教學錄影轉 錄資料請參閱附錄十與附錄十三。
壹、 對稱軸性質課程之設計理念
一、 數學魔術教材發想與設計源由
Tf：「從最後的教學效果看起來是很成功的，但是總感覺這個魔術與這個 單元的連結性不夠強。」【談-Tf/20131118】
依康軒出版社（2012）第九冊教學指引所列之本單元教學目標為認識對稱軸 之性質，加上研究者之教師諍友提出來第一個魔術本身的效果與線對稱圖形單元 概念連結性不夠，故在設計第二個魔術時，即以線對稱圖形之對稱軸性質之概念 為核心來安排。
使用的魔術道具則以生活中隨手可得之一般撲克牌（非經過特殊設計與加工 的道具撲克牌），撲克牌牌面的花色在不考慮左上角與右下角之圖樣的前提下，
大致可分成以下三種類型：
(一) 有一條對稱軸
例如：梅花 Ace、愛心 3、愛心 5、方塊 7、梅花 9 等，皆為此類。(如下圖 9)
圖 9
有一條對稱軸的撲克牌圖例
(二) 有二條對稱軸
例如：黑桃 2、愛心 8、方塊 5、方塊 9、方塊 10 等，皆為此類。(如下圖 10)
圖 10
有二條對稱軸的撲克牌圖例
(三) 非線對稱圖形
例如：黑桃 J、愛心 Q、方塊 K、梅花 K 等，皆為此類。(如下圖 11)
圖 11
非線對稱圖形的撲克牌圖例
第一類型之撲克牌在經過一百八十度旋轉後，明顯會有不同，以愛心 5 例例，
如圖 12 所示：
圖 12
打圈處可看出翻轉前後有明顯的不同
第二與第三類型之撲克牌在旋轉一百八十度後則無差別。
本數學魔術即依此性質來設計、安排，引領學生從魔術中學習與體會對稱軸 性質。
二、 透過教學前會談修正教具的使用與改良
Tf：「這一節課會用到很多的撲克牌，對坐在後面的學生來說，可能看不清楚。」
T：「第一節課因為圖卡太小，導致後方學生看不清楚，因此為了增加學習效 果，所以我會到魔術用品店採購表演用特大號的撲克牌，大小約為與 A4 影印 紙相同，是一般撲克牌的九倍大左右。」【談-Tf/20131118】
教學最擔心學生看不到、聽不懂，同樣的魔術表演也是，若是觀眾看不到魔 術師在表演什麼，效果自然不佳，於是針對前一節課，做了如上的修正。
而對於上課的教學與講述方式，諍友也提出很有建設性的建議：
Tf：「如果是大張的撲克牌，那麼建議在描述中間的對稱軸時，不要用空講的，直 接把牌放到黑板上，用磁鐵條直接標示，效果應該會更好。」【談-Tf/20131118】
真是一語驚醒夢中人，感謝諍友李師的寶貴意見，用磁鐵條真的是很棒的意 見，如果只是空手比畫，要學生想像對稱軸就在撲克牌的中間，這樣的確效果不
佳，用磁鐵條來標示不僅具體又明確，視覺效果也很好，於是當場就將教案做了 微幅的修改。
對於學生在課堂上的討論情形，諍友也提出建言：
Tf：「我看第一堂課裡面，學生似乎不容易猜到魔術背後的祕密。」
T：「嘿啊！大概是我的錯誤引導做得太好。」
Tf：「哈！這表示你的功力太高啦！不過因為你是讓他們自己想，我想說如果 可以讓他們討論，也許團結力量大，能夠順利的推演出魔術背後的祕密也說 不定。」
T：「耶？聽起來很不錯，但是全班一起討論可能會很亂，用分組的如何？」
Tf：「嗯！分組的不錯，可以詴詴看。」【談-Tf/20131118】
所以在進行下一節課之前，全班已經依期中考的數學成績，進行異質分組，
全班 29 人，共分成 6 組，每組 4-5 個人，各組中期中考數學成績最高的學生為 組長。
貳、 教學活動歷程與觀察描述
一、 學生細心觀察魔術
「感應找牌」魔術表演完畢後，讓學生先進行思考討論並發表。不知道是不 是研究者的話術與錯誤引導的效果太好，還是魔術節目看太多，學生們討論出來 的答案都很有趣：
G1：「老師有趁我們不注意的時候偷看。」
G2：「我們覺得老師應該是從 S24 在紙上寫牌的時候，看她的動作猜到的。」
G2：「因為老師你有練過啊！我們又沒有練過。」
G3：「我們和第二組一樣。」
G4：「老師在牌上有做記號。」
S12：「對稱軸是對角線。」【訪-S08/20131115】
以上，我們可以發現學生對於線對稱的是很直觀的，對於上下和左右的對稱 關係比較熟悉，但是對於對稱軸傾斜的圖形的判定上，比較有困難，這一點與陳 天宏（2003）、王世鑫（2007）的研究結果相符。所以在課堂上，就針對 J、Q、
K 這種對稱軸傾斜的圖形特別講解，在詳細的解說後，學生也都能夠馬上理解並
S15：「因為大家都沒想法，我就說出我的想法。」
S24：「因為我有學過魔術，對魔術很有興趣。」【訪/20131119】
雖然原因不太相同，但整個來說，小組討論的方式似乎讓學生感受比較自在，
容易發揮自身的潛能。
但是，也有觀察到幾個學生在小組討論時，是完全沒有參與的，就坐在一旁 看同組同學熱烈的討論，甚至有的學生做起自己的事情來，當時雖然有馬上提醒 他們就算沒有意見，也要聽同學講，不過效果有限，課後問他們原因：
S20：「我沒有意見啊！」
S28：「不知道要講什麼。」【訪/20131119】
這也讓研究者思考，無論課程再怎麼有趣，總是可能會有學生不感興趣，不 主動參與討論，這一點的改善方式，會在下一部分提出來。
參、 檢討與改善方案
一、 從教學檢討改善教學
(一) 魔術表演應考量學生視角
在桌面上展示撲克牌時，又遇了坐在教室後方的學生舉手抗議看不到，而且 坐在左右兩側窗邊的學生也發難附和。
S22：「老師，看不到！」
S17：「我們這邊也看不清楚！」【影/20131119】
當時的做法請坐在後方和左右兩側離講桌較遠看不清楚的學生，直接圍到講 桌旁邊，但這時坐前座的學生反應：
S06：「老師這樣我們會被擋到。」
T：「來！請大家蹲下來，還是被擋到的，可以站起來看。」【影/20131119】
經此一調整，才讓整個教學流程順利走下去。
學生看不到，應該直接上黑板。【札/20131119】
事後在寫教學札記時，回想到當時上課的情形，應該直接就將桌上牌面的情 形轉換成特大號撲克牌展示在黑板上，讓每一位學生都能夠看清楚，而且這麼做 也有利於接下來進行的線對稱性質解說與魔術揭密的工作，只可惜當時研究者因 為怕換牌太花時間，上課時間會不夠，而沒有這麼做。
(二) 改良小組討論與發表方式
有人熱烈，有人冷感，待改。【札/20131119】
從第一節課的經驗，第二節課改成小組討論、分組競賽的方式，果然讓課程 進行得比較順利，有幾個平常較少發言的學生在小組中變得活躍。但也有學生因 為沒有想法與意見，對討論顯得不熱絡，針對這一點，研究者經過思考後，也想 到了解決方案：
在小組討論前先說明新的討論與發表規則為：「先隨機抽取組別，再從各組 隨機抽取一位代表上臺發表討論結果，該名發表同學的表現就是該組每一位同學 的成績。」這讓小組每一個人都要參與討論，清楚討論結果的來龍去脈，已經會 的同學為了個人成績必須去把不會的人教會，而尚未學會的同學為了全組的成績，
也會主動請教已經會的同學，建立了一個良性的循環。
二、 從學習單檢視教學成效
本節發下的學習單為「判斷線對稱圖形與畫出圖形之對稱軸」學習單，詳細 之學習單內容請參閱附錄十六。從回收的學習單看來，多數的學生在判斷線對稱 圖形時，都能夠正確判斷，並且直接就在圖上畫出對稱軸來，而且都能夠正確的 說明理由。（如下圖 13）
圖 13
學生能夠正確做答並說明理由
但也有學生的答案是正確的，對稱軸也畫對了，但判斷的理由寫得不正確（如 下圖 14），於是利用下課時間進行訪談。
圖 14
做答正確，但理由有誤
S18：「對稱軸兩邊的圖都是一樣的，我有用鏡子照過。」【談-S06/20131119】
S23：「為什麼這麼白吃的原理都沒有想到呢！阿皓老師，下次我一定要看破 你的祕密！哈哈哈！」【卷-S19/20131119】
學生都表示魔術原理好簡單，學起來不僅容易，且印象深刻，從回饋的文字 中可以看出學生對上數學課不再充滿恐懼或煩躁，取而代之是好奇與期待，覺得 學習充滿了樂趣。
S19：「這次的魔術原理好簡單，全班卻都沒有人看出來，直到老師一再示範，
露出破綻，大家才慢慢猜出來。這讓我想到有時候我們遇到覺得很難的數學 題目，其實一點都不難，因為經過老師一講解觀念之後，就會變得很簡單。」
【卷-S19/20131119】
上面這位學生的回饋也讓研究者上了一課，是啊！有時候看似很難的數學題 目，解題的觀念往往很簡單，從學生的回饋中，研究者也受益良多。
S13：「耶！我是第一個猜到老師是怎麼變的，真開心！其實我一開始有想到 差不多的，但是沒有講出來，下次我一定要鼓起勇氣，不管對或不對，都要 舉手講出來，就像您說的有猜有機會，沒猜不會對。」【卷-S06/20131119】
S13 是內向、木訥的學生，他的回饋讓研究者極為驚喜，發現這次的教學活 動，學生受益的不只是在知識方面，在表達能力和勇氣上也都受到了鼓舞，在數 學魔術教學的潛移默化中，慢慢調整自己的學習步調，一步一步嘗試改變、努力 向上。