符合小學五年級幾何心智發展理論

由學者所提出之與本研究相關的幾何發展理論。

壹、 Van Hiele 夫婦提出之學生幾何思考層次

Van Hiele 夫掃提出學生的幾何思考可分為五個層次(Van Hiele, 1986)：

一、 視覺期 (Visualization) ─第零層次

此層次的學童透過視覺觀察物體，由物體的外觀來辨識形體或圖形。

在本研究中，此層次的學童能說出「兩邊很像」或「兩邊一樣」等語言，但 還不能確實瞭解線對稱的真正定義。

二、 分析期 (Analysis) ─第一層次

此層次的學童應該具有相當豐富的視覺辨識經驗，能夠仔細的觀察圖形構成 的要素與各圖形之間的關係，可以找出某幾類圖形的共通性質。

在本研究中，位於此層次學童可以說出對稱軸兩邊的圖形有相同大小的對稱 角、相同長度的對稱邊，但無法完整解釋為什麼會有這樣的關係存在。

三、 關係期 (Relation) 或非形式演繹期 (Informal Deduction)

─第二層次

此層次的學童可以掌握各類圖形的構成要素，可以深入探索圖形中的內在屬 性關係，以及不同的圖形之間彼此的包含關係。

在本研究中，此層次的學童可以完整掌握線對稱圖形的要素，以及描述線對 稱圖形的關係，並推演至其他對稱概念，如：點對稱圖形、面對稱圖形等。

四、 形式演繹期 (Formal Deduction) ─第三層次

此層次的學生能用演繹邏輯證明定理，並建立相關定理的網脈結構關係。他 們可以在一個公設系統中建立理論，他們不只是記憶圖形之間的各種性質，並且 能夠證明與理解一個定理可以有很多不同證明的方法；他們也能理解一個定理的 充份或必要條件的內在關係，並發現正逆命題間的差異性，國小學童很少能達到 此層次。

五、 嚴密性 (Rigor) 或公理性 (Axiomatic) ─第四層次

達到這個層次的人們，可以在不同的公設系統中建立定理，並分析或比較這 些定理的特性，例如：能區分歐氏幾何與非歐幾何系統間的差異，也可以理解抽 像的幾何推理，甚至可以自創一套幾何公設系統。一般的人很難達到這個層次，

即使是以數學為專業者也不易達成。

根據 Van Hiele 夫婦研究顯示，上述五個層次都有其次序性，學習者必須擁 有前一個層次的概念與策略，才能有效地進行下一個層次的學習活動。同時，由 於教材內容屬性的差異，也會影響學習者落入不同的層次之中，例如：學童對平 面上兩直線平行或垂直的概念已經進入第一層次的分析期，但是對空間中兩平面、

兩直線或平面與直線平行或垂直的概念，可能還停留在第零層次的視覺期。

貳、 Piaget 的認知發展理論

Piaget 認為在兒童幾何概念的發展上主要與年齡有關，他將兒童的認知發展 分成四大階段，在不同的年齡有不同的認知發展，分別為：

一、 感知運作階段（Sensorimotor, 0-2 歲）

靠感覺獲取經驗。1 歲時發展出物體恆存的概念，以感覺動作的方式來探索 與學習。

二、 前運算階段（Preoperational, 2-7 歲）

已經能使用語言及符號等表徵外在事物，具推理能力但不符邏輯，不具保留 概念，缺乏可逆性，以自我為中心，直接推理，集中注意力。

三、 具體運算階段（Concrete Operational, 7-11 歲）

了解水平線概念，能使用具體物之操作來協助思考。

四、 形式運算階段（Formal Operational, 11-16 歲）

開始會類推，有邏輯思維和抽象思維。

本研究中的學童處於第四階段──形式運算階段，已懂得類推的概念，具有 邏輯思維與抽象思維。因此預期本研究中的學童，在透過本研究中的數學魔術教 學後，可以自行類推至更多線對稱圖形，並發展出相對應的線對稱觀念。

參、 Duval 幾何圖形的認知理解

Duval(1995)曾提出關於幾何圖形認知的「四個瞭解」，即「知覺性瞭解」、「構 圖性了解」、「論述性瞭解」、「操弄性瞭解」。

一、 知覺性瞭解(perceptual apprehension)

知覺性瞭解指的是學童透過感官，尤其是視覺與觸覺直接體驗幾何圖形後產 生認知。以本研究來說，就是學童看到線對稱圖形後，主動發現圖形的左右或上 下的對稱性。

二、 構圖性瞭解(sequential apprehension)

構圖性瞭解指的是學童在構成幾何圖形中，繪製或敘述構圖的歷程活動，因 此學童須瞭解圖形的數學性質與構圖工具本身的限制，才能完成目標圖形。在本 研究中，學童須瞭解線對稱圖形之對稱點的概念，並理解直尺的使用方式，才繪 製出要求之線對稱圖形；另外，如果想瞭解學童對線對稱圖形的瞭解程度，也可 以請學童描述繪圖的過程，說明是如何畫出來的。

三、 論述性瞭解(discursive apprehension)

論述性瞭解指的是學童透過語言或文字來描述一個幾何圖形所具有的性質，

或表達其推理的過程。知覺性瞭解只是個體的個人感受，並不能使所有人對幾何 圖形產生共同的理解，因此還是需要建立共同的認知敘述，才能辨識幾何圖形的 性質。在本研究中，學童如何描述對稱點、對線邊、對稱角與對稱軸，其推論的 過程，都可呈現其論述性瞭解的程度。

四、 操作性瞭解(operative apprehension)

操作性瞭解指的是學童觀察圖形後，透過放大縮小、分解組合與平移旋轉等 方式來解決問題的歷程，可能是實際的操作圖形，也可能是在心像中成形。例如 在本研究中，學童初期可以透過實物的旋轉，瞭解某些圖形的對稱軸並不只有一 條，熟練之後，即可在心像中操作；另外，也可以透過實物的平移、疊合，瞭解 線對稱圖形的對稱角大小相同。

Duval(2002)指出在一般的幾何教學過程中，學生必須充分的操作圖形，獲 得足夠的經驗後，才能發展出驗證圖形的能力。因此本研究中的數學魔術教學設 計，即是讓學童在不斷的反覆操作與練習魔術表演過程中，熟練線對稱圖形的概 念。