鏡射概念理解

本節主要說明鏡射概念課程之設計理念、教學活動歷程與觀察描述，以及教 學後之檢討與改善方案。詳細之教案與教學活動照片，以及研究者教學錄影轉錄 資料請參閱附錄九與附錄十二。

壹、 鏡射概念課程之設計理念

一、 數學魔術教材發想與設計源由

本研究以魔術為教學工具，自然也要以魔術界中的主要效果來設計。「變化」

（transformation）即是維基百科中所羅列出的十九種效果之一，意指改變物體的 大小、形狀、性質、顏色或記號等。

線對稱圖形的定義是，對一個平面圖形來說，如果可以在這個圖形的的平面 上找到一直線，沿此一直線對摺，圖形的所有線條與其本身完全疊合時，我們稱 此圖形為「線對稱圖形」，也有人稱此一現象為「鏡射」或「反射」(reflection)，

因為與鏡子的反射效果相似（康軒出版社，2011，2012）。

為結合以上二者，課堂一開始，便先讓學生從操作鏡子，體驗從鏡射圖形中 感受線對稱圖形的魅力。鏡子反射出來的影像為假像，若能把這個假像與圖卡結 果成的完整圖像變成真實的物體，魔術的效果應該會非常好，故研發設計出此研 究者命名為「魔鏡魔鏡」之魔術。

二、 教學前會談修正教學活動與增加學習單

在正式教學活動的前一週，與研究者的教師諍友李師會談，李師也認為學生 一定會非常感興趣。

Tf：哇！用魔術來教數學啊！感覺很有趣耶！學生應該會很有興趣。【談 -Tf/20131115】

除了給予研究者鼓勵之外，也提出質疑：

Tf：學生會不會只想看魔術，或是學完之後只記得魔術，完全忘了該學的數學觀念 呢？【談-Tf/20131115】

感謝李師的提醒，的確，這一點非常重要，於是便決定未來在每一個數學魔 非常期待你的教學哦！」【談-Tf/20131115】

感謝李師的肯定，之後在實際的教學歷程中，透過上課的觀察與課後的回饋 問卷，發現學生也頗能接受這個想法，進而改變自己對數學的學習態度。

貳、 教學活動歷程與觀察描述

一、 引起學生強烈學習興趣

鏡射遊戲本身即很有魔術的效果，因為鏡射出來的影像會隨著鏡子的擺放位 置和旋轉角度，而呈現出有如萬花筒般的效果。

在進行「活動一、鏡子遊戲」時，學生非常投入，覺得相當感興趣，在圖卡 上將鏡子轉來轉去，有如發現新大陸一樣，不斷的發表他們在透過鏡子看到的圖 案。

S08：老師！你看！變箭頭！【影-S08/20131118】

S16：愛心變８了！【影-S16/20131118】

由於這部分相當容易又有趣，學生們玩得不亦樂乎，多數學生都能夠很快的 透過鏡子的輔助，找到對稱軸的位置。

從鏡射活動來引起學生的學習動機，可說是非常成功，當研究者拿只印有半隻蝴 蝶的圖卡（如下圖 6）時，學生的反應也很直接。

圖 6 半隻蝴蝶圖卡

S04：「老師！是不是用鏡子把牠變成好的？」

S12：「對！用鏡子照出另一半。」【影-S04/20131118】

從學生迫不及待的舉手發言，可以看出學生在玩過鏡射遊戲之後，很直覺的

S08：「怎麼變的？老師教我！」【影/20131118】

在整個魔術的表演過程中，大部分的學生都能投入在魔術的情境中，隨者研

AS：「可以。」

T：「請舉手。」

有 21 位學生舉手。

T：「請放下。」

T：「其實學數學和破解魔術是一樣的，魔術雖然神奇，但是一定有它的道理 可循，數學也是，就像剛才老師第一次變魔術，大家都看不出來怎麼變的，

但是變第二次、第三次，大家就漸漸看出來了！學數學也是一樣，學第一次 學不會，再學第二次、第三次，總是能夠慢慢的學會的，要對自己有信心，

堅持到底。」【影/20131118】

該堂課教學至此，已經看到部分同學的眼神變得不同，接下來發下「找出線 對稱圖形」的學習單，多數學生不到三分鐘的時間就完成了！

參、 檢討與改善方案

一、 從教學檢討改善教學 (一) 展示圖卡過小

S20：「老師！我看不清楚！」

S22：「我也沒看到。」【影/20131118】

在課程中，研究者所準備的圖卡太小，與鏡子的反射圖像，對坐在教室 後方的學生來說是不易看清楚的，這讓魔術的效果打了一點折扣，於是在下 一節課的「感應找牌」魔術中也會展示到的撲克牌，即換成魔術道具店販賣 的表演專用的特大號撲克牌，讓每個學生都能夠清楚看到魔術效果。

(二) 魔術本身與課程的連結不夠

Tf：「從最後的教學效果看起來是很成功的，但是總感覺這個魔術與這個 單元的連結性不夠強。」【談-Tf/20131118】

感謝諍友的建言，「魔鏡魔鏡」是一個很令人驚奇的魔術，以鏡子的鏡 射影像為引子，轉虛為實，變出真正的東西來，雖然魔術的前半段是利用鏡 射成像的現象的舖陳，但嚴格來說，的確，這個魔術的最終效果本身並沒有 利用到線對稱的原理與性質。不過，這一點在下一節課馬上修正了，第二個 魔術「感應找牌」中，就會應用到線對稱的相關概念了！

二、 從學習單檢視教學成效

這堂課發下的是「判斷線對稱圖形」學習單，詳細的學習單內容請參閱附錄 十五。從學生學習單的填答中可以看到，絕大多數的同學都能夠正確的做答，只 要極少數的學生對判斷對稱軸不是垂直的圖形有困難，如下圖 7，在第三部分第 (2)題的箭頭題，有 2 位學生沒有回答正確，於是利用課餘時間進行訪談：

圖 7

題(2)對稱軸為水平時，學生容易判斷錯誤

S25：「因為兩邊(手比左右)沒有對稱軸。」

T：「對！左右沒有對稱，那上下呢？」

S25「有耶！有對稱。」【談-S25/20131119】

T：「為什麼第(2)題不是線對稱圖形呢？」

S27 ：「 因 為 它 左 右 沒 有 對 稱 … … 啊 ！ 有 ！ 它 有 上 下 有 對 稱 。 」【 談 -S27/20131119】

從訪談可以發現學生對於對稱軸垂直的圖形比較拿手，對於對稱軸水平的圖 形在第一時間的判斷上比較不容易，但只要給予多一點的時間和引導，也都能夠 做出正確的判斷。

另外有一位學生比較特別，在第一部分的第(4)題並沒有判斷正確，如下圖 8，

經訪談後才了解，因為該生長期學習硬筆字和書法課程，「A」「羊」這兩個字，

在書寫時的筆劃上是沒有線對稱的，所以影響了他的判斷。

S25：「因為在寫英文草寫和毛筆字的時候，它沒有對稱。」

T：「那『口』應該也沒有才對。」

S25：「對厚！可是『口』我一看就覺得是對稱，啊！我寫太快了啦！」

T：「所以如果你慢慢寫就可以判斷正確囉？」

S25：「沒錯！」【談-S25/20131119】

圖 8

學生受其他學習影響而判斷錯誤

三、 從課後問卷看學習態度的轉變

S23：「鏡子魔術對我的學習很有幫助，謝謝老師。」【卷/20131118】

也有學生對我的最後一段「解魔術與學數學的關係」的談話特別有感覺，在 第三個問題後寫下學習心得：

S08：「謝謝老師，我對學好數學更有信心了！不過我的數學真的很爛耶！」

S18：「今天老師的一番話，提醒了我，原來我的數學不是不好，只是沒有用 對正確的方法。」

S19：「原來學數學要像學魔術一樣，用心去推理，我以前都以為只要一直算 就好了！」【卷/20131118】

從以上的心得，可以看到將魔術融入數學的課程中，加上研究者的循循善誘，

使學生對學習數學的態度已經慢慢改變了。