國立臺東大學教育學系 教學科技碩士在職專班
碩士論文
指導教授：蔡東鐘 博士
數學魔術融入小學線對稱單元教學之 行動研究
研 究 生 ：張皓亭 撰
中華民國一○三年八月
國立臺東大學教育學系 教學科技碩士在職專班
碩士論文
數學魔術融入小學線對稱單元教學之 行動研究
研 究 生 ：張皓亭 撰 指導教授：蔡東鐘 博士
中華民國一○三年八月
謝 誌
首先誠摯的感謝我的指導教授蔡東鐘博士，蔡老師以其豐富的學識與 嚴謹的治學態度，指導我正確的觀念與研究的方法，在撰寫論文時更透過 密集的討論、細心與耐心的給予指導，使我在這三年的研究生涯中獲益匪 淺。
感謝論文計劃口詴委員屏東教育大學林志隆教授，和論文口詴委員東 華大學劉明洲教授與教育學系鄭承昌教授對於論文提出了許多中肯的見 解與寶貴的建議，讓本論文的結構與內容更加充實與完備。
也感謝廖本裕老師、李偉俊老師、熊同鑫老師、蔡振明老師等四位教 師的啟迪與教誨，充實了我的研究技能與學識。
再來感謝我的碩班同學們，這三年來我們彼此切磋與砥礪，從你們身 上學習到不少做人做事的態度與教學的技巧，有你們真好！特別再感謝同 為「東鐘組」的梓菘、建瑤、銘仁、炳勳、明財等五位同學，在撰寫論文 的最後這一年裡，有你們的無私的協助與付出，讓阿皓我備感窩心。恭喜 我們！大家終於一起畢業啦！
接著要感謝我的家人、同事與諸多親朋好友，這段期間多虧有你們的 包容與體諒，讓我能無牽無掛的衝刺、專注於課業。
最後，感謝我親愛的老婆和兩個小寶貝，這一路上我們互相扶持，雖 然跌跌撞撞，遇到了不少難關，但是「關關難過，關關過」，終於一起走 過這風風雨雨的三年，順利完成了學業。
感謝許多曾經幫助過我的認識與不認識的人，在這裡一併獻上最真摯 的謝意！謝謝你們！
張皓亭 謹誌
2014 年 8 月 8 日
數學魔術融入小學線對稱單元教學 之行動研究
作 者 ： 張 皓 亭
國 立 臺 東 大 學 教 育 學 系
摘 要
本研究目的在探討數學魔術融入數學線對稱單元教學之中，教師研究者採取 之教學行動對學習者數學學習態度與學習成效的影響為何，並在行動研究的歷程 中，協助教師研究者檢討教學、改善教學，增進專業成長。本研究採行動研究法，
研究者利用自行設計與改編之三個數學魔術教材：魔鏡魔鏡、感應找牌、魔法預 言，融入國小數學線對稱單元內容中。以研究者擔任導師之班級中二十九位學生 為研究對象，進行為期二週的數學魔術融入線對稱單元教學。研究結果顯示，受 教學生在該單元的學習成效良好，在數學學習態度上有正向的轉變，以及透過課 堂討論與發表，增進了對自我的肯定與自信。
關鍵字：魔術、線對稱、數學學習態度、行動研究
An Action Research of Math Magic into the Teaching of Math Line Symmetry Lessons of Elementary
School Hao-Ting Chang
Abstract
This study aims at discussing the integration of math magic into the teaching of math line symmetry lessons. It explores the impact of teaching behavior of teachers upon the learning attitudes of learners. During the behavior studying, the study helps teachers examine and improve teaching and enhance the development of expertise.
The study adopts action research. The researcher applies three math magic materials designed and revised himself: magic mirror, card finding with sensibility, and magic prediction. The magic is integrated into the math line symmetry lessons in the elementary school. The researcher serves as the class teacher and 29 students in the class serve as the studying objects. The integration of math magic into the teaching of math line symmetry lessons proceeds for two weeks. The result of the research shows students have great performance in this lesson. They have positive turn for learning attitudes of math. Through class discussion and presentation, they improve their self-affirmation and self-confidence.
Keywords：magic, line symmetry, learning attitudes of math,
action research
目 次
第一章 緒論... 1
第一節 研究背景與重要性 ... 1
第二節 研究動機 ... 2
第三節 研究目的與問題 ... 3
第四節 名詞釋義 ... 4
第五節 研究範圍與限制 ... 5
第二章 文獻探討... 7
第一節 符合小學五年級幾何心智發展理論 ... 7
第二節 線對稱教學理論基礎 ... 11
第三節 魔術相關理論 ... 17
第三章 研究方法... 21
第一節 研究架構與流程 ... 21
第二節 研究情境 ... 24
第三節 研究工具 ... 27
第四節 資料整理與分析 ... 32
第四章 研究結果與討論 ... 37
第一節 鏡射概念理解 ... 38
第二節 對稱軸概念建立 ... 46
第三節 線對稱圖形翻轉概念理解 ... 55
第四節 綜合討論 ... 69
第五章 結論與建議 ... 75
第一節 結論 ... 75
第二節 建議 ... 77
參考文獻... 79
(一)中文部分 ... 79
(二)外文部分 ... 80
附 錄... 83
附錄一 家長同意書 ... 83
附錄二 肖像使用同意書 ... 84
附錄三 魔術授權使用同意書 ... 85
附錄四 觀察前會談記錄表 ... 86
附錄五 教學觀察後會談記錄表 ... 87
附錄六 學生投入課堂教學行為觀察表 ... 88
附錄七 課後回饋問卷 ... 89
附錄八 課後回饋總問卷 ... 90
附錄九 第一節教學設計詳案 ... 91
附錄十 第二、三節教學設計詳案 ... 95
附錄十一 第四、五節教學設計詳案 ... 100
附錄十二 魔術一、「魔鏡魔鏡」教師表演錄影轉錄資料 ... 110
附錄十三 魔術二、「感應找牌」教師表演錄影轉錄資料 ... 112
附錄十四 魔術三、「魔法預言」教師表演錄影轉錄資料 ... 114
附錄十五 第一節課學習單 ... 117
附錄十六 第二、三節課學習單 ... 118
附錄十七 第四、五節課學習單 ... 119
附錄十八 後測試卷 ... 120
附錄十九 保留測驗試卷 ... 121
圖 次
圖 1 正三角形沿對稱軸翻轉 180 度示意圖 ... 4
圖 2 對稱軸通過圖形內部 ... 12
圖 3 研究架構圖 ... 21
圖 4 研究流程圖 ... 22
圖 5 思考與討論：這些形狀可以用來做預言卡嗎？ ... 30
圖 6 半隻蝴蝶圖卡 ... 40
圖 7 題(2)對稱軸為水平時，學生容易判斷錯誤 ... 43
圖 8 學生受其他學習影響而判斷錯誤 ... 44
圖 9 有一條對稱軸的撲克牌圖例 ... 47
圖 10 有二條對稱軸的撲克牌圖例 ... 47
圖 11 非線對稱圖形的撲克牌圖例 ... 47
圖 12 打圈處可看出翻轉前後有明顯的不同 ... 48
圖 13 學生能夠正確做答並說明理由 ... 53
圖 14 做答正確，但理由有誤 ... 53
圖 15 正多邊形沿對稱軸翻轉 180° ... 56
圖 16 小組分工合作，積極參與討論 ... 58
圖 17 每一個人都認真參與討論，準備發表工作 ... 59
圖 18 小組發表情形 ... 60
圖 19 圖文並茂的小白板 ... 61
圖 20 學生未用直尺作圖 ... 66
圖 21 因為沒有看清楚題目而答錯 ... 66
圖 22 學生一時忘了垂直與平行的概念 ... 67
表 次
表 1 質性資料編碼對照一覽表 ... 33
表 2 第一節課課後問卷統計結果 ... 45
表 3 第三節課課後問卷統計結果 ... 54
表 4 各組繪製的說明小白板與完成之線對稱概念或魔術手法 ... 62
表 5 第五節課課後問卷統計結果 ... 67
表 6 學生喜歡融入魔術之教學模式與對自己的學習成效有信心 ... 72
表 7 二週後之保留測驗成績優於後測 ... 73
第一章 緒論
本研究旨在探索將數學魔術融入線對稱圖形單元教學後，對教師研究者的專 業發展與學童在數學學習態度與學習成效之影響。
第一節 研究背景與重要性
教育部統計處在民國八十七年十月完成了「中小學生對課程不喜歡比率」的 調查報告，其調查對象是臺灣地區 866 所國中小學校，共計 154,426 名學生。報 告內容顯示，從小學到高中，學生最不喜歡的科目都是數學，其中，小學生不喜 歡數學的比率非常明顯的隨年級的增加而提高，其百分比從一年級的 16.11%，
一路上升到六年級的 46.05%，簡言之，在六年級的學童中，平均每兩個人就有 一個不喜歡數學(教育資料文摘，1997)；許嘉凌(2009)也指出高年級學生不喜歡 數學的比例(56.10%)遠高於喜歡數學學生的比例(28.29%)，而其中不喜歡數學的 原因，最主要的因素為「數學很複雜、難理解」，而覺得數學「無趣」也是因素 之一。
學生不喜歡學習數學的因素有很多(許嘉凌，2009)，如果教師能夠透過各種 教學方法，提升學生的學習意願，相信也能夠提升學生的學習成就。在小學的教 學現場，傳統常見的「線對稱圖形」單元教學方式是講述教學法(didactic instruction) 或稱講演法(lecture)，即教師在講臺上透過口述，講解線對稱概念，並結合展示 教具，示範繪製線對稱圖形，學生則在臺下聽講並模仿教師的做法，在這樣的學 習過程中，不僅無法有效激起學生的學習興趣與動機，也不能確定學生是否真正 的了解線對稱圖形的意義，以及做圖的正確做法，也就是說即使學生能繪出與標 準答案相同的圖形，也不一定能確定該學生真的具備了正確的觀念。
近年來資訊科技日新月異，相關教學設備也日益提升，教師利用各種資訊科 技設備來教學相當常見，也有愈來愈多的教師使用互動式電子白板來教學(陳慧 芬，2012)，盼能提昇學生的學習興趣與學習成就。電子白板豐富的教學資源與 聲光效果，在教學中的確能吸引學生的目光，研究顯示，教師對於使用電子白板 對學生課堂參與度的提升與激起學生的學習動機，都有正面的看法(Larson &
Vanmetre,2010)。於是，研究者思考除了利用資訊設備進行多媒體教學來提高學 生的學習動機與意願之外，是否還有其他的方式也能達到同樣的效果呢？
有鑑於此，研究者選定「線對稱圖形」單元，並針對此單元設計數個魔術教 學，盼能透過魔術教學引導學生的的邏輯思考，加強學生的學習動機，使其了解 數學觀念其實並不複雜也不難理解，提升學生的學習自信心。
以數學魔術為教學工具，市面上已有相關的參考書籍，但在過去的文獻中並 不多見，本研究盼能從實務教學的行動研究中，探討數學結合魔術的教學歷程如 何影響學生的學習成效，與教學後學生的數學學習態度是否改變。
第二節 研究動機
研究者初接本研究之班級時，曾做過調查，全班二十九人之中，非常喜歡數 學的 0 人，喜歡數學的有 5 人，不喜歡也不討厭的有 9 人，不喜歡數學的有 11 人，害怕數學的有 4 人，換言之，有超過一半的學生是不喜歡數學，對數學沒有 學習興趣與動力的，這與前述的諸多研究大致符合。由於研究者本身對魔術頗有 鑽研，便思考若能將吸引人的魔術與數學結合，融入數學教學之後，是否能喚起 學生學習數學的興趣與熱情呢？
另外，民國九十六年六月開播的電視綜藝節目《綜藝大哥大》中的魔術單元
〈大魔競〉，在臺灣乃至於華人社會掀起一股魔術熱潮，似乎人人都得學一些魔 術才能與他人有共同的話題。時至今日，此股熱潮仍不減當年，仍有許多節目以
魔術為主題或號召，如：AXN 頻道的《魔術師之終極解碼》與中視《達人總動 員》之〈魔幻達人秀〉單元，皆讓人對魔術充滿好奇與感到興趣。
將魔術融入數學教學中，能提高學生的學習興趣與學習動機（林壽福、吳如 皓，2009），讓學生在學習數學時，有如在遊戲一般，輕易的將學生的注意力拉 回在課堂上(莊家誠，2012)，故研究者選擇以數學魔術做為教學工具，並將魔術 的內容與線對稱圖形單元做緊密的結合，透過「合作學習」與「討論教學」的方 式，讓學生去推理、研究、歸納，並推廣出新的表演方式，讓學生在「做中學」，
實際去感受、理解線對稱圖形的相關概念，進而提升學習數學的意願與動機。
第三節 研究目的與問題
壹、 研究目的
本研究的目的在於實施以數學線對稱概念為基礎，融入魔術表演的課程為教 材，探究教師研究者於教學實施過程中所遭遇之困難與問題，及其解決過程，俾 利改善教學現況，提升教學成效，並觀察此一教學行動歷程對學生學習成效與數 學學習態度之影響。
貳、 研究問題
一、探討於「數學魔術融入線對稱單元教學之行動歷程」中，教師研究者的 教學行動對學生的數學學習態度之影響為何？
二、觀察於「數學魔術融入線對稱單元教學之行動歷程」中，教師研究者的 教學行動對學生的學習成效之影響為何？
第四節 名詞釋義
壹、 線對稱圖形與對稱軸
本研究所稱之線對稱圖形係指對一個平面圖形來說，如果可以在此一圖形所 在的平面上找到一條直線，並沿此直線對摺，直線兩側的所有圖形能完全重疊，
即稱此圖形為「線對稱圖形」，而該條直線稱為「對稱軸」。
貳、 數學魔術
本研究之數學魔術係指以線對稱概念為基礎，利用在線對稱圖形中，對稱軸 一側的圖形皆能在另一側找到相對應之圖形的性質，研發出「若將任一正多邊形 垂直拿起後，沿任一對稱軸翻轉 180 度（即翻面）後放下，將會與原平面圖形看 起來沒有任何不同之處」，如下頁圖 1 所示（以一正三角形為例）。
以上述之線對稱概念與原理結合撲克牌與魔術手法、話術，呈現出令人覺得 不可思議的魔術效果，進而激發學生對魔術原理的好奇心與探究線對稱原理的學 習興趣。
圖 1
正三角形沿對稱軸翻轉 180 度示意圖
正面 背面
對稱軸
沿對稱軸翻轉 180 度 後放回原位
與原圖看起來並無不同
參、 數學學習態度
本研究主要是探討學童對數學的一般態度，指個人對於數學學習具有一致性 與持久性的取向。在本研究中，將數學學習態度視為學習數學的信心、數學探究 動機、數學學習方式等面向。
研究者於研究前中後進行數次的學習單與課後回饋問卷，將所得資料進行分 析之後，做為觀察學生數學學習態度轉變之參考。
第五節 研究範圍與限制
壹、 研究範圍
一、 研究對象
本研究以一○二學年度，研究者所服務之學校擔任導師班級之學生，學生成 員組成為男生 16 人，女生 13 人，共計 29 人。本校為位於臺中市都會區，全校 共三十五班。
二、 研究內容
以康軒版數學課本第九冊中之線對稱單元為核心，設計數學魔術表演與教學，
探究數學魔術融入線對稱單元教學之行動歷程與影響。
貳、 研究限制
本研究之研究對象為研究者任教班級之國小五年級學生，因此分析結果僅能 代表國小高年級數學魔術融入線對稱單元教學之現況，概無法類推至其他學習階 段或學習領域。
第二章 文獻探討
第一節 符合小學五年級幾何心智發展理論
由學者所提出之與本研究相關的幾何發展理論。
壹、 Van Hiele 夫婦提出之學生幾何思考層次
Van Hiele 夫掃提出學生的幾何思考可分為五個層次(Van Hiele, 1986)：
一、 視覺期 (Visualization) ─第零層次
此層次的學童透過視覺觀察物體，由物體的外觀來辨識形體或圖形。
在本研究中，此層次的學童能說出「兩邊很像」或「兩邊一樣」等語言，但 還不能確實瞭解線對稱的真正定義。
二、 分析期 (Analysis) ─第一層次
此層次的學童應該具有相當豐富的視覺辨識經驗，能夠仔細的觀察圖形構成 的要素與各圖形之間的關係，可以找出某幾類圖形的共通性質。
在本研究中，位於此層次學童可以說出對稱軸兩邊的圖形有相同大小的對稱 角、相同長度的對稱邊，但無法完整解釋為什麼會有這樣的關係存在。
三、 關係期 (Relation) 或非形式演繹期 (Informal Deduction)
─第二層次
此層次的學童可以掌握各類圖形的構成要素，可以深入探索圖形中的內在屬 性關係，以及不同的圖形之間彼此的包含關係。
在本研究中，此層次的學童可以完整掌握線對稱圖形的要素，以及描述線對 稱圖形的關係，並推演至其他對稱概念，如：點對稱圖形、面對稱圖形等。
四、 形式演繹期 (Formal Deduction) ─第三層次
此層次的學生能用演繹邏輯證明定理，並建立相關定理的網脈結構關係。他 們可以在一個公設系統中建立理論，他們不只是記憶圖形之間的各種性質，並且 能夠證明與理解一個定理可以有很多不同證明的方法；他們也能理解一個定理的 充份或必要條件的內在關係，並發現正逆命題間的差異性，國小學童很少能達到 此層次。
五、 嚴密性 (Rigor) 或公理性 (Axiomatic) ─第四層次
達到這個層次的人們，可以在不同的公設系統中建立定理，並分析或比較這 些定理的特性，例如：能區分歐氏幾何與非歐幾何系統間的差異，也可以理解抽 像的幾何推理，甚至可以自創一套幾何公設系統。一般的人很難達到這個層次，
即使是以數學為專業者也不易達成。
根據 Van Hiele 夫婦研究顯示，上述五個層次都有其次序性，學習者必須擁 有前一個層次的概念與策略，才能有效地進行下一個層次的學習活動。同時，由 於教材內容屬性的差異，也會影響學習者落入不同的層次之中，例如：學童對平 面上兩直線平行或垂直的概念已經進入第一層次的分析期，但是對空間中兩平面、
兩直線或平面與直線平行或垂直的概念，可能還停留在第零層次的視覺期。
貳、 Piaget 的認知發展理論
Piaget 認為在兒童幾何概念的發展上主要與年齡有關，他將兒童的認知發展 分成四大階段，在不同的年齡有不同的認知發展，分別為：
一、 感知運作階段（Sensorimotor, 0-2 歲）
靠感覺獲取經驗。1 歲時發展出物體恆存的概念，以感覺動作的方式來探索 與學習。
二、 前運算階段（Preoperational, 2-7 歲）
已經能使用語言及符號等表徵外在事物，具推理能力但不符邏輯，不具保留 概念，缺乏可逆性，以自我為中心，直接推理，集中注意力。
三、 具體運算階段（Concrete Operational, 7-11 歲）
了解水平線概念，能使用具體物之操作來協助思考。
四、 形式運算階段（Formal Operational, 11-16 歲）
開始會類推，有邏輯思維和抽象思維。
本研究中的學童處於第四階段──形式運算階段，已懂得類推的概念，具有 邏輯思維與抽象思維。因此預期本研究中的學童，在透過本研究中的數學魔術教 學後，可以自行類推至更多線對稱圖形，並發展出相對應的線對稱觀念。
參、 Duval 幾何圖形的認知理解
Duval(1995)曾提出關於幾何圖形認知的「四個瞭解」，即「知覺性瞭解」、「構 圖性了解」、「論述性瞭解」、「操弄性瞭解」。
一、 知覺性瞭解(perceptual apprehension)
知覺性瞭解指的是學童透過感官，尤其是視覺與觸覺直接體驗幾何圖形後產 生認知。以本研究來說，就是學童看到線對稱圖形後，主動發現圖形的左右或上 下的對稱性。
二、 構圖性瞭解(sequential apprehension)
構圖性瞭解指的是學童在構成幾何圖形中，繪製或敘述構圖的歷程活動，因 此學童須瞭解圖形的數學性質與構圖工具本身的限制，才能完成目標圖形。在本 研究中，學童須瞭解線對稱圖形之對稱點的概念，並理解直尺的使用方式，才繪 製出要求之線對稱圖形；另外，如果想瞭解學童對線對稱圖形的瞭解程度，也可 以請學童描述繪圖的過程，說明是如何畫出來的。
三、 論述性瞭解(discursive apprehension)
論述性瞭解指的是學童透過語言或文字來描述一個幾何圖形所具有的性質，
或表達其推理的過程。知覺性瞭解只是個體的個人感受，並不能使所有人對幾何 圖形產生共同的理解，因此還是需要建立共同的認知敘述，才能辨識幾何圖形的 性質。在本研究中，學童如何描述對稱點、對線邊、對稱角與對稱軸，其推論的 過程，都可呈現其論述性瞭解的程度。
四、 操作性瞭解(operative apprehension)
操作性瞭解指的是學童觀察圖形後，透過放大縮小、分解組合與平移旋轉等 方式來解決問題的歷程，可能是實際的操作圖形，也可能是在心像中成形。例如 在本研究中，學童初期可以透過實物的旋轉，瞭解某些圖形的對稱軸並不只有一 條，熟練之後，即可在心像中操作；另外，也可以透過實物的平移、疊合，瞭解 線對稱圖形的對稱角大小相同。
Duval(2002)指出在一般的幾何教學過程中，學生必須充分的操作圖形，獲 得足夠的經驗後，才能發展出驗證圖形的能力。因此本研究中的數學魔術教學設 計，即是讓學童在不斷的反覆操作與練習魔術表演過程中，熟練線對稱圖形的概 念。
第二節 線對稱教學理論基礎
壹、 「線對稱」概念的意義
「對稱」具有相稱、均齊、均整的意思。對稱包括點對稱、線對稱、面對稱，
一般所謂的對稱圖形大部分是指線對稱圖形，也就是對稱中心為一條直線。所謂 線對稱圖形是以「一條線」為基準，在線的兩側方向以「等距離延展開」，兩側 所形成的圖形須形狀與顏色相同，可稱為「線對稱圖形」或「軸對稱圖形」，此 為基準的線可以是鉛直、水平或傾斜任一角度（傅銘傳、林品章，2001，2002）。 可以對摺方式來看這兩個全等的部分，若可以彼此完全疊合，此圖形就是「線對 稱圖形」；反之則否。
就數學上線對稱圖形的意義，可分別以兩種方式來闡述：
一、 幾何學上的定義（直觀的概念）
（一）在一個圖形的內部，可以找到「一條直線」，此線恰可將圖形平分成 顏色、形狀、大小、面積⋯⋯等組成條件皆相等的兩半。
（二）在其中一半的任何點、任何邊、任何角，恰好都可以在圖形的另一半 內，找到與其相對應的對應點、對應邊、對應角。
（三）將線對稱圖形平分成可重合之兩半的直線，稱為此線對稱圖形的「對 稱軸」。在對稱軸的兩邊所互相可疊合的點，叫做「對應點」；同理，在 對稱軸的兩邊所互相可疊合的邊，叫做對應邊；在對稱軸的兩邊所互相
可疊合的區域，叫做「對應區域」……。而在對稱軸上的點之對應點即 為其本身，則此圖形就可被稱為一「線對稱圖形」。
（四）各組對應點間所連成的直線段，會被對稱軸「垂直平分」。
（五）對稱軸可鉛直、水平或傾斜任意角度，如下圖所示。
圖 2
對稱軸通過圖形內部
二、 操作型定義
（一）若一個圖形可以沿著某一條直線被對摺，使線的兩側之圖形完全重合，
則此圖形即為相對於此摺線的對稱圖形，又簡稱為「線對稱圖形」，這 種檢查的方式可稱為「摺紙試驗」、「對摺試驗」（姚孟嘉，1988，1989；
南一出版社，2011，2012；康軒出版社，2011，2012）。
（二）此條摺線可以被「鏡子」取代，這種檢查的方式可稱為「鏡射試驗」
（Woodward & Buckner, 1987；南一出版社，2011，2012；康軒出版社，
2011，2012），我們可以發現：鏡中的成像與鏡後之另一半圖形完全吻合。
（三）藉由調整鏡面與桌面之夾角的角度，自 0°→180°，我們可以讓學生發 現：線對稱圖形的另一半與原半邊圖形可以 0°至 180°的方式進行「空中 翻轉」以獲得（Bidwell, 1987；Woodward & Buckner, 1987）。
（四）藉由鏡中的成像，我們可以透過視覺上的觀察，檢驗某幾何圖形是否 為線對稱圖形（Bidwell, 1987；Woodward & Buckner, 1987；南一出版社，
2011，2012；康軒出版社，2011，2012）。
貳、 「線對稱」概念的形成原理
在數學上，線對稱圖形算是幾何圖形中較為特殊的一種，人們常利用其結構 的「對稱性」來有效地製作各種物件或圖案。其形成原理的不同解釋如下：
一、就直觀的觀點給線對稱圖形下一個操作型定義：若一個圖形可沿著某一 直線對摺，使其在直線兩側的部分完全重合，則此圖形稱為對於此摺線 的對稱圖形，也就是所謂的線對稱圖形（南一出版社，2011，2012；康 軒出版社，2011，2012）。
二、就幾何學上的定義：一個圖形，若可以找到一條直線將其平分成兩半，
即「對稱軸」，使在其中一半內的任何點，都恰可在另一半的圖形內找 到一個對應點，使得對應點之間所連成的直線段恰可被對稱軸「垂直平 分」，則此圖形即為一「線對稱圖形」。
三、以一軸線（可水平、鉛直或傾斜任一角度）為中心，向兩個相對的方向 以等距離之方式加以延展，而形成左右相反的相同圖像，就如同鏡子反 射原理般的鏡映像，所形成的平均且相等的圖形會分佈在此中心線的兩 側（傅銘傳、林品章，2002）。
四、線對稱圖形的種類可分成許多種（Joan, 2001），如下所示：
（一）兩側對稱（bilateral symmetry）又叫做鏡對稱（mirror symmetry），是指 一個完整圖形的兩半，彼此互為鏡像時則稱之。
（二）手狀對稱（chiral symmetry）是發生在同時有兩個物件時，單獨的物 件本身並不需要具有對稱的性質，只要此兩物件呈現如同右手與左手般 的成對狀即可。
（三）幾何對稱（geometric symmetry）只會發生在當圖形是正多邊形與正 多面形（regular polygons and polyhedrons）時。
（四）反覆對稱（repetitive symmetry）發生在將某一圖形以相同方式進行重 複的操弄，此方式可以是反射、旋轉或平移，所組成的整個平面的對稱 圖形。
綜合上述所言，所謂線對稱圖形就是以對稱軸為中心，可以只探討一個圖形，
即簡單圖形，也可以針對二個或多個圖形來進行分析，即複合圖形，兩種情形皆 可，只要在對稱軸的兩側的部分是形狀、大小、顏色、面積都相同，在經過以軸 為中心的摺疊後，兩側的部分可以完全重合，可以找到對應點、對應邊、對應角，
如此的圖形就是線對稱圖形。換言之，在對稱軸的兩側可以是某單一線對稱圖形 的一半，也可以是任何一個完整的圖形。
參、 線對稱教學在課程標準中的分析
一、線對稱教學在 82 年版國民小學課程標準中的分析（教育部，1993）
在數學的領域目標中之圖形與空間部分，明訂：能了解線對稱圖形的關係；
在高年級的分段目標裡，明訂：能認識平面圖形的線對稱；在教材綱要之圖形與 空間部分，明訂：二年級時透過摺紙、剪紙、鏡射等活動，觀察線對稱的現象；
六年級時透過操作活動，認識線對稱圖形。
二、線對稱教學在 90 年一月版九年一貫課程暫行綱要能力指標上的分析（教 育部，2001）
S-2-7 能辨認平面圖形上的線對稱關係。(幾何部分第二階段第 7 條)。
（一）各階段的能力指標
1.第二階段：具體表徵；察覺樣式（4-5 年級）。
S-2-7 能辨認平面圖形上的線對稱關係。
2.第三階段：類化具體表徵；辨識樣式間的關係（6-7 年級）。
S-3-8 能瞭解平面圖形線對稱的意義。（七年級）
3.第四階段：符號表徵；非形式化演繹（8-9 年級）。
S-4-6 能利用垂直平分的概念檢驗對稱軸。
（二）能力指標的闡釋：第二階段（4-5 年級）
1.教師提供平面對稱圖形（如：囍），供學生觀察並發表心得。
2.能對單一圖形以具體方式辨認其左右圖形是否完全疊合。
（三）能力指標的闡釋：第三階段（6-7 年級）
能透過格子點的引導辨識平面對稱圖形。
（四）能力指標的闡釋：第四階段（8-9 年級）
檢驗平面上兩全等圖形間的直線是否為對稱軸。
三、線對稱教學在 92 年十一月版九年一貫課程綱要能力指標上的分析（教 育部，2003）
（一）不管是康軒、南一、翰林或其他家的版本，在 92 年 11 月的國民中小 學九年一貫數學學習領域課程綱要頒布後，均須依此為課程規劃的藍本，
而進行課程單元的修正與調整，在九年一貫數學學習領域課程綱要中，
關於線對稱的分段能力指標只有 1 條：
S-2-06 能理解平面圖形的線對稱關係。(幾何部分第二階段第 6 條)。
（二）至於分年細目可分為國小部分與國中部分：
5-s-04 能認識線對稱，並理解簡單平面圖形的線對稱性質。(國小五年 級幾何部分第 4 條)。
8-s-10 能理解平面圖形線對稱的意義。(國中二年級幾何部分第 10 條)。
（三）5-s-04 分年細目的詮釋：
1.能在具體示例中判斷一圖形是否滿足線對稱，找出該圖形的對稱軸 ( 可能不只一條 )。理解哪些常見平面圖形具有線對稱的性質。
2.知道線對稱圖形的對應邊相等、對應角相等，並知道對稱軸兩側圖形 全等 ( 不需要證明 )。
3.知道如何描繪一簡單平面圖形的線對稱圖形。
4.8-s-10 分年細目的詮釋乃：
（1）以生活中的平面圖形為例，來理解單一圖形透過格子點作出線對 稱的鏡射圖形。
（2）認識對稱點、對稱線、對稱角、對稱軸。
（3）兩對稱點連線被對稱軸垂直平分。
（4）透過格子點作出直角三角形的線對稱圖形。
肆、 分析與比較
一、綜合以上分年細目的描述，我們得知線對稱單元之教學，由原先之八十 二年版規定於六年級時進行正式教學，自九十二學年度起乃改成固定在 國小五年級時實施教學，等到國中二年級再作更深入的教學與探討。
二、關於線對稱圖形的教學，不管是在 82 年版之國小課程標準或是 92 年版 之九年一貫課程，始終都主張必須藉由實物與操作活動來進行教學，以 促進學童的學習與了解。
三、兒童可透過各種形狀之實物的拼排、疊合、翻摺、著色、拆解及製作等 活動，來實際體會、習得圖形的各項性質。
兒童對於幾何概念的了解有其層次性與次序性，本研究之課程設計也強調兒 童應從實際操作、具體觀察的活動中，探討圖形的相關概念與結構特性。讓學童 應經由看、聽、讀、寫(畫)、親自做(試)、自己說等的觀察、討論、分析及推論 過程，對線對稱圖形的概念與運用，獲得有意義且深刻的學習。
伍、 兒童的線對稱迷思概念
造成學童在學習線對稱圖形時產生迷思概念的因素，大致有下列幾項：類似 概念、平行影響、部分子概念影響整體概念（陳天宏，2003），研究者歸納後有 下列三種迷思概念：
一、 學童常將線對稱與點對稱兩種概念混淆。
由於線對稱概念與點對稱概念相當類似，故學生在學習時，易發生混淆的情 形。
二、 誤認為線對稱概念就是平行性質。
學童會誤解線對稱圖形中對稱軸兩側圖形完全相同是平行性質。
三、 只看圖形中的某部分，導致判斷錯誤。
學童在判定是否為線對稱圖形時，沒有考慮到圖形的整體，單單只看到部分 圖形就下判斷。
第三節 魔術相關理論
魔術，又稱為幻術、障眼法或戲法等，依維基百科定義，狹義的為一種以特 殊的技巧跟設備，營造錯覺，使人認知偏誤，使觀眾覺得不可思議，以達到娛樂 觀眾的目的的表演藝術；而廣義的定義則為泛指各種以專業技巧或知識展示出讓 人覺得歡笑、不可思議的藝術的活動。
然而，真正的魔術的技巧是透過精熟的練習得來，而非特異功能。是故魔術 亦可定義為在滿足「物質不滅定律」及「能量守恆定律」的條件之下，呈現出違 反經驗法則的表演。
壹、 魔術與好奇心
「魔術」是神祕且能激發人興趣的字眼(周曄，2005)，由於魔術表演常常是 讓原本不可能發生的事，卻在觀眾眼前發生了，其本身即帶有不可思議的特質。
因為觀眾明明知道魔術是假的，是魔術師透過手法、道具來完成的表演，但當魔 術效果呈現在觀眾面前時，所帶來驚奇與震撼往往使觀眾對魔術背後的祕密極為 好奇，讓人想一探究竟。因此，透過魔術所呈現的活動，與一般傳統型態的活動 相比，確實比較容易吸引學生的注意力，而魔術的懸疑效果也會引起學生好奇心 (林懿偉，2007)。
林懿偉(2007)將魔術與科學活動做結合，其研究指出學童在科學魔術的教學 實驗之後，會主動想去了解日常生活中的科學現象，且達到了顯著的差異，證明 科學魔術的確能夠提升學童的科學好奇心。
文沛然(2009)的研究也發現科學魔術的教學活動的確能夠正面影響學習者 的科學學習興趣。
林壽福、吳如皓(2009)以數學概念設計了數十個魔術教學方案，教學實施後，
不僅滿足了學生探索的慾望，更拉近了師生的距離，同時消除不少學生對於數學 的恐懼感。
賴柏承(2012)以科學魔術融入 5E 探究式教學，其研究也發現學生的學習態 度有明顯的改變，在科學態度的四個面向「喜歡探討」、「發現樂趣」、「細心切實」、
「求真求實」上有顯著的提升。
方金祥、劉奕萱(2008)利用簡易材料設計創意科學魔術，讓幼保科學生經由 觀賞和演練魔術，從遊戲中學習科學原理，增強了幼保科學生對科學的好奇與興 趣，對教學科學時更有信心、教學內容更生動、有趣，以及教學結果更有成效。
本研究則以數學與魔術相結合，以撲克牌為表演道具，設計出數學魔術之教 學活動，期望在實施教學後，能影響學童在數學學習態度上有正向的轉變。
貳、 魔術與數學
魔術的神奇背後一定有其原理(焦述銘，2011)，在魔術表演中的每一個眼神、
手勢、走位的設計都有其原因和道理，而數學中每個概念、公式、定理都是經過 數學家縝密的考證與推導而出的，兩者可說有異曲同工之妙。
魔術固然神奇，卻是有邏輯可循，若是能用逆推法，細細的從每個表演的環 節中抽絲撥繭，猜測、假設與推論魔術的變法，必能了解其中的所隱藏的祕密。
例如：「硬幣消失」的魔術表演中，魔術師先以左手展示硬幣，接著將硬幣從左 手交到右手握緊，吹一口氣或彈一下手指，右手中的硬幣就消失了，檢查左手，
左手竟然也是空的，真是太神奇了！以上的魔術中，我們從結果來做推論：
首先右手中的硬幣絕不會憑空消失，而吹一口氣與彈一下手指，也不可能把 硬幣變不見，所以可以合理推論：原本右手中就沒有硬幣。
那硬幣到哪裡去了呢？
硬幣原本是在魔術師的左手上，觀眾明明看到魔術師將硬幣從左手交到右手，
而實際上右手中卻沒有硬幣，所以再推論：魔術師應該是利用高明的手法，讓觀 眾看起來像是把硬幣從左手交到了右手，實際上了卻巧妙的將硬幣留在了左手。
然後再透過肢體動作的掩護，趁著觀眾視線在看右手中原本應有卻消失不見 的硬幣的時候，將左手中的硬幣順勢放到口袋中，如此一來便完成了「硬幣消失」
的魔術。
本研究中的數學魔術融入線對稱單元教學，即是依此原理設計。在課程中，
研究者先表演魔術，引起學生學習的動機，再請學生用逆推法來推論此魔術的變 法，在推論的過程中，透過研究者的引導，將線對稱概念引入，並實施教學。
第三章 研究方法
本章共分四節，第一節為研究架構與流程，第二節為研究情境，第三節為研 究工具，第四節資料整理與分析。
第一節 研究架構與流程
壹、 研究架構
本研究目的在於透過行動研究模式，發展將魔術融入小學數學線對稱單元之 教學教材教案，首要探討教師研究者於教學中之自我省思與行動歷程，並同時觀 察學習者數學學習態度之轉變。整體研究架構如下圖 3：
圖 3 研究架構圖 實施教學
觀察學習者學習 成效與數學學習 態度之轉變 教師研究者反思 教學問題與困難 並改善與修正 數學魔術融
入小學線對 稱單元教材
影響 修正與改善
提供
教學前與教師 諍友進行會談 討論 修正
提供
貳、 研究流程與程序 一、 研究流程
本研究之研究流程如下圖 4：
圖 4 研究流程圖
準 備 階 段
教 學 實 施 階 段
資 料 整 理 分 析 階 段
完 成 研 究 階 段
文
獻
探
討
設計教材、發展研究工具 分析線對稱單元教材 蒐集與研讀相關文獻 擬定研究目的與方向
實 施 教 學 活 動
資 料 蒐 集 ( 教 學 影 音 檔 、 學 習 單 與 回 饋 問 卷 、 諍 友 之 課 室 觀 察 表、與學生晤談後轉錄 之內容、教學札記)
回 饋 修
正
資料整理、分類、轉譯、編碼
分析、歸納、總結研究結果
提出結論與建議
完 成 論 文
二、 研究程序
(一) 準備階段(102 年 7 月～102 年 10 月)
研究者於民國一○二年七月與指導教授蔡東鐘博士討論確定研究主題後，開 始蒐集與研究文獻，本準備階段之工作內容整理如下：
1.擬定研究題目與目的。
2.蒐集與研讀相關文獻。
3.分析線對稱單元教材。
4.發展研究工具。
5.以第二項之文獻的相關理論為基礎，進行學習單與教學活動設計。
(二) 教學實施階段(102 年 11 月～102 年 12 月)
實施準備階段所設計的教學活動方案進行教學，並於教學後進行學生的晤談，
與自我省思教學過程並記錄下來。
本階段還須蒐集研究所需之各項文件與資料，包括：實施教學之影音檔、學 生的學習單與回饋問卷、諍友之課室觀察表、與學生晤談後轉錄之內容、教學札 記等。
也必須於教學實施期間，與指導教授、諍友教師討論教學時所遭遇到的問題 與困難，研擬改善的方針，俾利修正教學活動內容。
(三) 資料整理分析階段(102 年 12 月～103 年 1 月)
在單元教學告一段落之後，透過整理教學影音、學習單、學習回饋問卷、學 生晤談等資料，藉以了解學生對課堂學習的認知狀況，以及學生的學習態度反應 情形，得到研究結果。
(四) 完成研究階段(103 年 1 月～103 年 6 月)
將研究中各項不同的質性資料轉換成引用資料，並進行編碼，進行最後的分 析與反思的整理工作，依研究問題提出研究結論與建議。
第二節 研究情境
壹、 研究場景
研究者所任教的學校，位於臺中市都會區，與七期重劃區相接。學校創建於 民國九十七年，並於民國九十九年八月開始招生，是臺中市創校最晚、年紀最輕 的小學。目前班級數有三十五班，學生數九百多人，教職員五十七人。家長多任 職於工商、服務業。
學校創校之始，每個班級均配有班級電腦一部，互動式電子白板，以及短焦 單槍投影機，教學設備可謂先進又新穎。
本學年共有五班，班級導師均為正式教師，平均年齡為 41 歲，平均教學年 資為 15 年，教學經驗都極為豐富，平日同事之間溝通熱絡，不管是班級經營、
親師溝通或教學上的疑難雜症，都會互相交流，給彼此意見與協助。
貳、 研究對象
一、 教師研究者 (一) 學習歷程
研究者於 2001 年畢業於國立臺北師範學院（現國立臺北教育大學）數 理教育學系，畢業後應屆考取正式教師，之後隨即入伍服役，2003 年四月 退伍後，正式任職教師。擔任過九年導師，以及一年的自然與體育科任教師，
其中除第一年任教於四年級外，之後均擔任高年級導師與科任教師。
研究者從小就對魔術非常有興趣，但是當時並沒有良好的學習魔術環境，
要學習魔術只能透過翻閱坊間書籍，看著書中的文字描述與插圖，自行揣摩
如何表演，當然這樣土法煉鋼的學習方式，自然效果不佳，書中看起來很美 好的魔術效果，在自己手中卻慘不忍賭，因此學到最後常常就不了了之了。
真正開始接觸正式的魔術表演訓練是始於 2006 年 9 月加入博神──羅 賓所創立的輔仁大學魔術社之後，才開啟了踏入學習魔術的大門。在魔術社 裡，透過學長姐的教學與社員之間的交流，接觸到了琳瑯滿目的魔術道具，
認識了正式的魔術用語，學習到了正確的魔術手法，這才算是真正的開始學 習魔術。
此後，便經常現學現賣，將在魔術社所學習到的魔術做充分的練習之後，
經常利用課堂學習的空檔，表演給任教班級的學生看，一方面是當做練習表 演的機會，一方面也當做給學生的獎勵，即全班有優良的表現才可以欣賞老 師表演魔術，與透過班級經營的積分制度，學生累積足夠的點數，可以換取 學習某幾招魔術。
(二) 教育信念
研究者任職小學教學至今已邁入第十一個年頭，除了第一年是教四年級 之外，之後都是教高年級的孩子。這幾年來發現數學往往是多數孩子們最感 到頭痛的一科，不僅成績表現不佳，對學習數學更是視為畏途，即使是數學 成績好的孩子，也不一定對數學有興趣。雖然研究者總是鼓勵孩子們努力學 習，「不怕學不會，只怕你不學」，也竭盡心力提升孩子們的數學程度，激發 孩子們的學習興趣，但對於具有挑戰性的高年級數學，孩子們往往是鼓起勇 氣向前，卻屢屢敗下陣來，從此對數學再也提不起主動學習的意願。
於是研究者便極力思考：若是能將魔術與數學做結合，讓孩子們了解數 學並不是高深的學問，而是充滿神奇有趣的魔力的。讓孩子在學習魔術的同 時也能了解數學的概念與定義，如此一來，不是兩全其美嗎？何其有幸，研
究者於 2012 年 7 月順利進入臺東大學教學科技研究所就讀，趁此大好機會，
可以將理念與實務結合，讓數學與魔術做一次美好的邂逅。
二、 教學實施對象
本研究以一○二學年度，研究者所服務之學校擔任導師班級之學生，學生成 員組成為男生 16 人，女生 13 人，共計 29 人。
研究前，學生已具備之初始能力：
(一) 認識各種基本幾何圖形及其性質
如各種三角形(正三角形、等腰三角形、直角三角形)、正方形、長方形、平 行四邊形、梯形、菱形等，並知道其構成要素與邊、角關係。
(二) 了解基本幾何圖形之性質
如兩平面圖形全等的意義、平面上兩線垂直與平行的意義。
(三) 能畫出各種四邊形與瞭解其簡單性質。
能畫出正方形、長方形、平行四邊形、梯形、菱形等，並能口述說明各種四 邊形的簡單性質，如：長方形與平行四邊形對邊等長、梯形有一組對邊平行、菱 形四邊等長等性質。
參、 教師研究者的教學諍友
參與本研究之教師研究者的諍友為同為任教五年級的李老師（後稱李師）， 李師出身一般大學，透過修得小學教師師資班取得教師資格，目前正在臺中教育 大學教育測驗統計研究所攻讀碩士班。
李師有十一年的教學年資，對教學有極大的熱忱，做事細心，常能注意到他 人不易發現的小細節，以李師做為研究者的教學諍友，能協助研究者在教案的設 計上的缺失與教學活動中的盲點。
第三節 研究工具
本研究之研究工具有魔術融入線對稱單元教學之活動設計、教師諍友之教學 觀察記錄表、教師研究者之教學省思札記、學習者各項文件等，茲羅列詳述如 下：。
壹、 魔術融入線對稱單元教學活動設計
在參考相關文獻後，以結合線對稱單元中的觀念與線對稱圖形的性質，研發 與設計出三個魔術，這裡只列出教學綱要，詳細的教學內容與教案請參見附錄：
一、 魔鏡魔鏡 (一) 魔術表演
教師進行魔術示範表演。
(二) 小組討論、發表
魔術表演完畢後，請學生以小組為單位，討論這個魔術應該是怎麼變的。
討論時間結束後，各小組請上臺發表討論結果。
(三) 教師引導與解說
本魔術的關鍵有兩個，其一是利用拿魔鏡的時機，一併將蝴蝶標本取起。其 二是在蝴蝶標本掉落時，觀眾的目光都在蝴蝶標本身上時，迅速的將圖卡翻面，
翻面後鏡子仍需架在圖卡中間的位置（這非常重要！），看起來就好像圖卡上半 隻蝴蝶消失了！
魔術解說教學完畢後，教師可提問：
1. 變這個魔術一定要用蝴蝶標本嗎？
2. 還可以用哪些東西？（如：橡皮擦，只要是學生回答的是線對稱圖形即 可。）
二、 感應找牌 (一) 魔術表演
教師進行魔術示範表演。
(二) 小組討論、發表
魔術表演完畢後，請學生以小組為單位，討論這個魔術應該是怎麼變的。
學生如果沒有頭緒，教師可適時給予學生提示：「關鍵就在這 7 張撲克牌的 牌面圖形上。」討論時間結束後，各小組請上臺發表討論結果。
(三) 教師引導與解說
在各小組發表時，研究者（即教師）以學生發表的想法為基礎，適時的引導 學生思考，並引入「線對稱圖形的中間線稱為『對稱軸』」、「對稱軸兩側為全等 之圖形」、「對稱軸不是只有垂直的，也可以是水平的，甚至是斜的」等觀念。
只有一條垂直對稱軸的圖形，一旦被旋轉 180 度之後，很容易就會被發現，
但是有兩條對稱的撲克牌，則看不出來有被旋轉。所以我們在變這個魔術之前，
必須先把只有一條垂直對稱軸的撲克牌找出來，放置於牌頂之上。
(四) 思考與推廣
學生已經學會了利用「只有一條垂直對稱軸的撲克牌」來表演這個魔術，魔 師倒反手中的撲克牌，讓觀眾抽出的牌，成為唯一正立的牌，將是這個魔術是否 成功的關鍵，接著請學生思考與討論：
（一） 只能用「只有一條垂直對稱軸的撲克牌」來表演這個魔術嗎？為 什麼？
（二） 若是想把「有兩條對稱軸的撲克牌」，甚至是 J、Q、K 也加入這 個魔術表演中，該怎麼做呢？
三、 魔法預言 (一) 魔術表演
教師進行魔術示範表演。
(二) 小組討論、發表
魔術表演完畢後，請學生以小組為單位，討論這個魔術應該是怎麼變的。可 提示學生：用「逆推法」將魔術表演的程序倒過來推想。討論結束後，各小組上 臺發表討論結果。
(三) 教師引導與解說
在各小組發表時，研究者（即教師）以學生發表的想法為基礎，適時的引導 學生思考，並引入「線對稱圖形之對稱軸恰好將圖形平分成顏色、形狀、大小、
面積……等組成條件皆相等的兩半」之觀念，若以正方形的任一條對稱軸為旋轉 軸，旋轉 180 度後放下，正方形的相對位置並不會改變。
(四) 思考與推廣
學生已經學會了利用正方形的四條對稱軸來表演這個魔術，預言卡的翻轉方 式將是這個魔術是否成功的關鍵，接著請學生思考與討論：
（三） 只能用正方形來做預言卡嗎？
（四） 我可以用其他形狀的預言卡嗎？例如：正三角形、等腰三角形、
長方形、平行四邊形、梯形、正五邊形……等，如下圖 5 所示。
實際用撲克牌試試看吧！
（五） 承上，如果可以，為什麼？如果不可以，為什麼？
圖 5
思考與討論：這些形狀可以用來做預言卡嗎？
討論、發表完畢後，再請學生思考：
（一）還有其他形狀適合做預言卡嗎？
（二）這些形狀有什麼共通點？
貳、 教師諍友之教學觀察記錄表
教學觀察記錄表包括：教學觀察前會談記錄表、學生投入課堂教學行為觀察 表、教學觀察後會談記錄表，共三張表格。
在實施教學前，會與教師諍友李師就教學設計與實施方式做意見交流與溝通，
並全程錄音；之後再就錄音內容進行轉譯與分析，完成後，將轉譯後的資料交由 李師確認是否有誤解之處後，再行修正。。
實施教學活動時，李師同時也會進入教學現場觀察與記錄，並於課程結束後 與研究者晤談，就其觀察記錄，進行意見交換，並提出具體建議。
為了避免研究者的個人強烈意識過度影響研究結果，需透過第三者(本研究 為教師諍友李老師)的觀察協助校正。設計教學觀察前記錄表之主要目的在於提 供觀摩者明確之觀察目標並記錄下來，教學觀察後記錄表則是用於研究者與觀摩 者於課後討論、研究改進及建檔工作。
參、 教師研究者教學省思札記
撰寫研究者教學省思札記的目的在於記錄實務教學工作的種種行動、思考與 情感，以便記憶、監控與分析研究者親身經歷過的特定事件(林筠菁，2005)。教 師研究者在撰寫研究省思札記時，要盡可能詳實的觀察與描述記載課堂中每一件 事，並對於該節教學活動進行自我評鑑與省思。
肆、 學習者各項文件
一、 學習單
在實施教學活動中，針對學習內容設計學習單，除提供學生練習之外，也藉 此觀察、瞭解學生的學習情形。
二、 回饋問卷
在實施教學活動後，以回饋問卷來了解學生對該節授課內容的喜好程度與需 要改進的地方，供研究者做加強、檢討與改良。
三、 晤談記錄
隨機抽取學生，以一對一當面晤談的方式，全程錄音，一方面補足回饋問卷 的不足之處，另一方面也可了解個別學生的學習情形與吸收程度，提供研究者更 多深入的看法與意見。
第四節 資料整理與分析
本研究採行動研究法，在教學情境中實施數學魔術融入線對稱單元教學，主 要在探討教學設計與教學活動，對教師和學生之影響。
研究者須透過各項資料的蒐集來驗證教學行動的成效，並從諍友與學生的回 饋中進行反思，使教學流程與內容兼具流暢性與合理性。
茲將資料整理與分析方式分述如下：
壹、 資料整理
一、 資料分類 (一) 文件資料
學生學習單、學生課後回饋問卷、教師教學札記、學生晤談轉錄資料、課室 觀察轉錄資料。
(二) 聲音或影像資料
教學現場錄影、訪談錄音。
二、 資料編碼
在資料分析之前先，需進行資料整理工作，包括：錄影錄音資料、教學札記、
教師諍友觀察記錄、訪談及學生學習單與回饋問卷等文件的整理。因此，研究者 首先在教學及訪談後，將錄影、錄音資料編碼、轉譯成逐字稿，並撰寫教學、觀 察與省思札記，再將以上資料仔細審查，做為教學或評量的修正與調整依據。整 理分析後，作為教學調整參考。
詳細編碼方式如下表 1：
表 1
質性資料編碼對照一覽表
T 教師（研究者）
Tf 教學諍友
S01 編號 1 號學生 G1 第 1 組
AS 全班學生
單-S01/20131115 編號 1 號學生於 2013 年 11 月 15 日完成之學習單 卷-S01/20131115 編號 1 號學生於 2013 年 11 月 15 日完成之回饋問卷
談-S01/20131115 研究者與編號 1 號學生於 2013 年 11 月 15 日進行之晤談記錄 談-Tf/20131115 研究者與教師諍友於 2013 年 11 月 15 日進行之訪談記錄 影/20131115 研究者於 2013 年 11 月 15 日進行之教學現場錄影
音/20131115 研究者於 2013 年 11 月 15 日進行之教學現場錄音 札/20131115 研究者於 2013 年 11 月 15 日完成之教學省思札記
貳、 資料分析
本研究中，研究者要將所蒐集的資料加以整理、編碼、分析，藉以了解課程 設計的適切性和流暢性，並評估學生的學習效果，做為反省及改進教師教學之依 據。說明如下：
一、 將資料編碼分類
將資料編碼建檔，並將性質相近的資料整歸納，找出和研究目的相關的內 容。
二、 閱讀蒐集的資料
重複閱讀所蒐集的資料，了解教學過程的優缺點。
三、 持續蒐集資料並驗證資料
將所蒐集的資料與文獻探討以三角檢定法進行比對驗證。
四、 檢視修正並呈現報告
對於紀錄中不清楚明白的地方，進行查詢予以補充，視實際情形將資料彈性 修正應用，並交叉循環進行以上步驟。最後，整理出與研究目的相關資料並呈現 出研究報告。
第四章 研究結果與討論
Kurt Lewin(1952)在場地論中說每一個生活空間區域都有潛在的引力或「價」
（原子價或原質）(Valence)，當個人有了需求或意圖時，相關區域或系統就會形 成一種內在的張力(Tension)，並產生一股變化的力量(Force)，而發生所謂區域移 位(Locomotion)，因而形成一種個人生活空間的路徑。生活空間是個人與環境相 互為用的結果，而個人的行為又取決於特定的生活空間，所以個人的行為是個人 與環境的函數。
本研究即是依此理論設計，以線對稱概念為基礎，利用魔術本身特有之不合 常理、不可思議的性質，來激發學生的學習動機，使其對數學知識有需求、對魔 術表演有意圖，產生改變學習態度的力量。
本研究以行動研究法探究以數學魔術融入線對稱課程教學活動之歷程，主要 關心學生在欣賞魔術、思考魔術、學習魔術、表演魔術的過程中，是否習得相關 學數學概念與了解其性質，並在教學過程中，持續觀察學生對於數學的學習態度 轉變的情形；教師研究者也能透過教學前中後之計畫、會談、省思，進行教學策 略的修正與改進，如此循環進行，以改善教學現場實際發生之問題。
本研究期程自一○二學年度第一學期十一月起至十二月止，進行為期二個月，
包括數學魔術示範、討論數學魔術、學習數學觀念、展演數學魔術，以及後測、
二週後之保留後測等教學活動。
由研究者設計的三個數學魔術，做為三個教學研究循環，每回教學前後皆與 教師諍友會談，討論該節教學計畫與流程是否適切，教學中進行錄影觀察，書寫 學習單、課後回饋問卷，課後研究者則針對教學實際實施情況書寫教學省思札記，
做為下回教學的改良基礎與參考。
本章分成四節，前三節先闡述三個魔術的教學行動歷程，第四節為教學行動 對學生的影響。
第一節 鏡射概念理解
本節主要說明鏡射概念課程之設計理念、教學活動歷程與觀察描述，以及教 學後之檢討與改善方案。詳細之教案與教學活動照片，以及研究者教學錄影轉錄 資料請參閱附錄九與附錄十二。
壹、 鏡射概念課程之設計理念
一、 數學魔術教材發想與設計源由
本研究以魔術為教學工具，自然也要以魔術界中的主要效果來設計。「變化」
（transformation）即是維基百科中所羅列出的十九種效果之一，意指改變物體的 大小、形狀、性質、顏色或記號等。
線對稱圖形的定義是，對一個平面圖形來說，如果可以在這個圖形的的平面 上找到一直線，沿此一直線對摺，圖形的所有線條與其本身完全疊合時，我們稱 此圖形為「線對稱圖形」，也有人稱此一現象為「鏡射」或「反射」(reflection)，
因為與鏡子的反射效果相似（康軒出版社，2011，2012）。
為結合以上二者，課堂一開始，便先讓學生從操作鏡子，體驗從鏡射圖形中 感受線對稱圖形的魅力。鏡子反射出來的影像為假像，若能把這個假像與圖卡結 果成的完整圖像變成真實的物體，魔術的效果應該會非常好，故研發設計出此研 究者命名為「魔鏡魔鏡」之魔術。
二、 教學前會談修正教學活動與增加學習單
在正式教學活動的前一週，與研究者的教師諍友李師會談，李師也認為學生 一定會非常感興趣。
Tf：哇！用魔術來教數學啊！感覺很有趣耶！學生應該會很有興趣。【談 -Tf/20131115】
除了給予研究者鼓勵之外，也提出質疑：
Tf：學生會不會只想看魔術，或是學完之後只記得魔術，完全忘了該學的數學觀念 呢？【談-Tf/20131115】
感謝李師的提醒，的確，這一點非常重要，於是便決定未來在每一個數學魔 術課程之中，一定要先將闡述與教授線對稱圖形的觀念列為教學重點，再接著進 行魔術教學，然後在課程最後，針對這次上課的內容設計一張學習單，以檢驗學 生在該堂課的學習成效。
但其實研究者想做的不只是教魔術，還要透過破解魔術，來讓孩子學習破解 數學。
T：「我是這麼想的，為什麼我會想要用魔術來教數學，除了引起學生的學習 興趣與動機之外，還有一點，就是我想用『破解魔術背後的祕密的歷程』來 教孩子了解學習數學也是同樣的道理。第一、魔術和數學都是具有邏輯的，
只是魔術利用各種手法（障眼法）讓觀眾一時看不透，所以覺得神奇，但是 只要靜下心來，用『逆推法』細細推敲，慢慢就能夠找到線索，進而解開魔 術背後的祕密。這就像玩圖卡迷宮遊戲一樣，從起點開始走的話，不容易走 到終點，但是如果從終點開始走，卻會很容易就走到起點。第二、我們都知 道魔術在同一時間不能表演第二次，除了新鮮感會消失之外，更重要的是觀 眾已經知道結果了，很容易就能夠發現祕密所在，我想利用這一點來教孩子，
學習數學也是一樣，我們學第一次學不會時，就像看第一次看魔術表演一樣，
看不透背後的祕密，但是只要多練習幾次，肯定能夠發現數學背後的關鍵與 觀念，就可以像破解魔術一樣破解數學了！」
Tf：「哇！我真佩服你的想法，沒想到魔術與數學竟然有這樣的關係，實在是 非常期待你的教學哦！」【談-Tf/20131115】
感謝李師的肯定，之後在實際的教學歷程中，透過上課的觀察與課後的回饋 問卷，發現學生也頗能接受這個想法，進而改變自己對數學的學習態度。
貳、 教學活動歷程與觀察描述
一、 引起學生強烈學習興趣
鏡射遊戲本身即很有魔術的效果，因為鏡射出來的影像會隨著鏡子的擺放位 置和旋轉角度，而呈現出有如萬花筒般的效果。
在進行「活動一、鏡子遊戲」時，學生非常投入，覺得相當感興趣，在圖卡 上將鏡子轉來轉去，有如發現新大陸一樣，不斷的發表他們在透過鏡子看到的圖 案。
S08：老師！你看！變箭頭！【影-S08/20131118】
S16：愛心變８了！【影-S16/20131118】
由於這部分相當容易又有趣，學生們玩得不亦樂乎，多數學生都能夠很快的 透過鏡子的輔助，找到對稱軸的位置。
從鏡射活動來引起學生的學習動機，可說是非常成功，當研究者拿只印有半隻蝴 蝶的圖卡（如下圖 6）時，學生的反應也很直接。
圖 6 半隻蝴蝶圖卡
S04：「老師！是不是用鏡子把牠變成好的？」
S12：「對！用鏡子照出另一半。」【影-S04/20131118】
從學生迫不及待的舉手發言，可以看出學生在玩過鏡射遊戲之後，很直覺的 就能夠體會線對稱圖形的意義。
S29：「怎麼可能？」
S08：「老師，你好威哦！」
S04：「那是真的嗎？」
T：「當然是真的啊！」
S08：「怎麼變的？老師教我！」【影/20131118】
在整個魔術的表演過程中，大部分的學生都能投入在魔術的情境中，隨者研 究者的話術，不知不覺就配合了魔術的演出，所以整個魔術的效果出奇的好。特 別是在研究者變出蝴蝶標本後，學生的反應很熱烈，積極的想知道魔術背後的祕 密。
二、 從拆解魔術學數學推理
S08：「老師把蝴蝶藏在手中。」
S12：「鏡子中間的縫可以放蝴蝶。」【影/20131118】
在討論與發表，蝴蝶是怎麼變出來的時候，大部分的學生可以想到一定是在 某個地方藏著蝴蝶，但是要猜到魔術背後真正的手法卻不容易。研究者也擔心學 生的學習只會停留在魔術的祕密和效果上，於是，研究者繼續延伸學習：
T：「S06 請問為什麼你看出來了？」
S06：「因為想來想去，只有可能在那個時候把東西藏在後面。」
T：「老師做了什麼事，才讓你有機會看出來？」
S06：「變魔術。」
T：「變了幾次？」
S06：「三次！」
T：「老師變了三次，S06 就看出來了！相信剛才 S23 也看出來了！只是 S06 先 說而已，對嗎？如果老師再多變幾次，你覺得你也能夠看得出來嗎？」
AS：「可以。」
T：「請舉手。」
有 21 位學生舉手。
T：「請放下。」
T：「其實學數學和破解魔術是一樣的，魔術雖然神奇，但是一定有它的道理 可循，數學也是，就像剛才老師第一次變魔術，大家都看不出來怎麼變的，
但是變第二次、第三次，大家就漸漸看出來了！學數學也是一樣，學第一次 學不會，再學第二次、第三次，總是能夠慢慢的學會的，要對自己有信心，
堅持到底。」【影/20131118】
該堂課教學至此，已經看到部分同學的眼神變得不同，接下來發下「找出線 對稱圖形」的學習單，多數學生不到三分鐘的時間就完成了！
參、 檢討與改善方案
一、 從教學檢討改善教學 (一) 展示圖卡過小
S20：「老師！我看不清楚！」
S22：「我也沒看到。」【影/20131118】
在課程中，研究者所準備的圖卡太小，與鏡子的反射圖像，對坐在教室 後方的學生來說是不易看清楚的，這讓魔術的效果打了一點折扣，於是在下 一節課的「感應找牌」魔術中也會展示到的撲克牌，即換成魔術道具店販賣 的表演專用的特大號撲克牌，讓每個學生都能夠清楚看到魔術效果。
(二) 魔術本身與課程的連結不夠
Tf：「從最後的教學效果看起來是很成功的，但是總感覺這個魔術與這個 單元的連結性不夠強。」【談-Tf/20131118】
感謝諍友的建言，「魔鏡魔鏡」是一個很令人驚奇的魔術，以鏡子的鏡 射影像為引子，轉虛為實，變出真正的東西來，雖然魔術的前半段是利用鏡 射成像的現象的舖陳，但嚴格來說，的確，這個魔術的最終效果本身並沒有 利用到線對稱的原理與性質。不過，這一點在下一節課馬上修正了，第二個 魔術「感應找牌」中，就會應用到線對稱的相關概念了！
二、 從學習單檢視教學成效
這堂課發下的是「判斷線對稱圖形」學習單，詳細的學習單內容請參閱附錄 十五。從學生學習單的填答中可以看到，絕大多數的同學都能夠正確的做答，只 要極少數的學生對判斷對稱軸不是垂直的圖形有困難，如下圖 7，在第三部分第 (2)題的箭頭題，有 2 位學生沒有回答正確，於是利用課餘時間進行訪談：
圖 7
題(2)對稱軸為水平時，學生容易判斷錯誤
S25：「因為兩邊(手比左右)沒有對稱軸。」
T：「對！左右沒有對稱，那上下呢？」
S25「有耶！有對稱。」【談-S25/20131119】
T：「為什麼第(2)題不是線對稱圖形呢？」
S27 ：「 因 為 它 左 右 沒 有 對 稱 … … 啊 ！ 有 ！ 它 有 上 下 有 對 稱 。 」【 談 -S27/20131119】
從訪談可以發現學生對於對稱軸垂直的圖形比較拿手，對於對稱軸水平的圖 形在第一時間的判斷上比較不容易，但只要給予多一點的時間和引導，也都能夠 做出正確的判斷。
另外有一位學生比較特別，在第一部分的第(4)題並沒有判斷正確，如下圖 8，
經訪談後才了解，因為該生長期學習硬筆字和書法課程，「A」「羊」這兩個字，
在書寫時的筆劃上是沒有線對稱的，所以影響了他的判斷。
S25：「因為在寫英文草寫和毛筆字的時候，它沒有對稱。」
T：「那『口』應該也沒有才對。」
S25：「對厚！可是『口』我一看就覺得是對稱，啊！我寫太快了啦！」
T：「所以如果你慢慢寫就可以判斷正確囉？」
S25：「沒錯！」【談-S25/20131119】
圖 8
學生受其他學習影響而判斷錯誤
