線對稱教學理論基礎

第二節 線對稱教學理論基礎

壹、 「線對稱」概念的意義

「對稱」具有相稱、均齊、均整的意思。對稱包括點對稱、線對稱、面對稱，

一般所謂的對稱圖形大部分是指線對稱圖形，也就是對稱中心為一條直線。所謂 線對稱圖形是以「一條線」為基準，在線的兩側方向以「等距離延展開」，兩側 所形成的圖形須形狀與顏色相同，可稱為「線對稱圖形」或「軸對稱圖形」，此 為基準的線可以是鉛直、水平或傾斜任一角度（傅銘傳、林品章，2001，2002）。 可以對摺方式來看這兩個全等的部分，若可以彼此完全疊合，此圖形就是「線對 稱圖形」；反之則否。

就數學上線對稱圖形的意義，可分別以兩種方式來闡述：

一、 幾何學上的定義（直觀的概念）

（一）在一個圖形的內部，可以找到「一條直線」，此線恰可將圖形平分成 顏色、形狀、大小、面積⋯⋯等組成條件皆相等的兩半。

（二）在其中一半的任何點、任何邊、任何角，恰好都可以在圖形的另一半 內，找到與其相對應的對應點、對應邊、對應角。

（三）將線對稱圖形平分成可重合之兩半的直線，稱為此線對稱圖形的「對 稱軸」。在對稱軸的兩邊所互相可疊合的點，叫做「對應點」；同理，在 對稱軸的兩邊所互相可疊合的邊，叫做對應邊；在對稱軸的兩邊所互相

可疊合的區域，叫做「對應區域」……。而在對稱軸上的點之對應點即 為其本身，則此圖形就可被稱為一「線對稱圖形」。

（四）各組對應點間所連成的直線段，會被對稱軸「垂直平分」。

（五）對稱軸可鉛直、水平或傾斜任意角度，如下圖所示。

圖 2

對稱軸通過圖形內部

二、 操作型定義

（一）若一個圖形可以沿著某一條直線被對摺，使線的兩側之圖形完全重合，

則此圖形即為相對於此摺線的對稱圖形，又簡稱為「線對稱圖形」，這 種檢查的方式可稱為「摺紙試驗」、「對摺試驗」（姚孟嘉，1988，1989；

南一出版社，2011，2012；康軒出版社，2011，2012）。

（二）此條摺線可以被「鏡子」取代，這種檢查的方式可稱為「鏡射試驗」

（Woodward & Buckner, 1987；南一出版社，2011，2012；康軒出版社，

2011，2012），我們可以發現：鏡中的成像與鏡後之另一半圖形完全吻合。

（三）藉由調整鏡面與桌面之夾角的角度，自 0°→180°，我們可以讓學生發 現：線對稱圖形的另一半與原半邊圖形可以 0°至 180°的方式進行「空中 翻轉」以獲得（Bidwell, 1987；Woodward & Buckner, 1987）。

（四）藉由鏡中的成像，我們可以透過視覺上的觀察，檢驗某幾何圖形是否 為線對稱圖形（Bidwell, 1987；Woodward & Buckner, 1987；南一出版社，

2011，2012；康軒出版社，2011，2012）。

貳、 「線對稱」概念的形成原理

（一）兩側對稱（bilateral symmetry）又叫做鏡對稱（mirror symmetry），是指 一個完整圖形的兩半，彼此互為鏡像時則稱之。

（二）手狀對稱（chiral symmetry）是發生在同時有兩個物件時，單獨的物 件本身並不需要具有對稱的性質，只要此兩物件呈現如同右手與左手般 的成對狀即可。

（三）幾何對稱（geometric symmetry）只會發生在當圖形是正多邊形與正 多面形（regular polygons and polyhedrons）時。

（四）反覆對稱（repetitive symmetry）發生在將某一圖形以相同方式進行重 複的操弄，此方式可以是反射、旋轉或平移，所組成的整個平面的對稱

如此的圖形就是線對稱圖形。換言之，在對稱軸的兩側可以是某單一線對稱圖形 的一半，也可以是任何一個完整的圖形。

參、 線對稱教學在課程標準中的分析

一、線對稱教學在 82 年版國民小學課程標準中的分析（教育部，1993）

在數學的領域目標中之圖形與空間部分，明訂：能了解線對稱圖形的關係；

在高年級的分段目標裡，明訂：能認識平面圖形的線對稱；在教材綱要之圖形與 空間部分，明訂：二年級時透過摺紙、剪紙、鏡射等活動，觀察線對稱的現象；

六年級時透過操作活動，認識線對稱圖形。

二、線對稱教學在 90 年一月版九年一貫課程暫行綱要能力指標上的分析（教 育部，2001）

S-2-7 能辨認平面圖形上的線對稱關係。(幾何部分第二階段第 7 條)。

（一）各階段的能力指標

1.第二階段：具體表徵；察覺樣式（4-5 年級）。

S-2-7 能辨認平面圖形上的線對稱關係。

2.第三階段：類化具體表徵；辨識樣式間的關係（6-7 年級）。

S-3-8 能瞭解平面圖形線對稱的意義。（七年級）

3.第四階段：符號表徵；非形式化演繹（8-9 年級）。

S-4-6 能利用垂直平分的概念檢驗對稱軸。

（二）能力指標的闡釋：第二階段（4-5 年級）

1.教師提供平面對稱圖形（如：囍），供學生觀察並發表心得。

2.能對單一圖形以具體方式辨認其左右圖形是否完全疊合。

（三）能力指標的闡釋：第三階段（6-7 年級）

能透過格子點的引導辨識平面對稱圖形。

（四）能力指標的闡釋：第四階段（8-9 年級）

檢驗平面上兩全等圖形間的直線是否為對稱軸。

三、線對稱教學在 92 年十一月版九年一貫課程綱要能力指標上的分析（教 育部，2003）

（一）不管是康軒、南一、翰林或其他家的版本，在 92 年 11 月的國民中小 學九年一貫數學學習領域課程綱要頒布後，均須依此為課程規劃的藍本，

而進行課程單元的修正與調整，在九年一貫數學學習領域課程綱要中，

關於線對稱的分段能力指標只有 1 條：

S-2-06 能理解平面圖形的線對稱關係。(幾何部分第二階段第 6 條)。

（二）至於分年細目可分為國小部分與國中部分：

5-s-04 能認識線對稱，並理解簡單平面圖形的線對稱性質。(國小五年 級幾何部分第 4 條)。

8-s-10 能理解平面圖形線對稱的意義。(國中二年級幾何部分第 10 條)。

（三）5-s-04 分年細目的詮釋：

1.能在具體示例中判斷一圖形是否滿足線對稱，找出該圖形的對稱軸 ( 可能不只一條 )。理解哪些常見平面圖形具有線對稱的性質。

2.知道線對稱圖形的對應邊相等、對應角相等，並知道對稱軸兩側圖形 全等 ( 不需要證明 )。

3.知道如何描繪一簡單平面圖形的線對稱圖形。

4.8-s-10 分年細目的詮釋乃：

（1）以生活中的平面圖形為例，來理解單一圖形透過格子點作出線對 稱的鏡射圖形。

（2）認識對稱點、對稱線、對稱角、對稱軸。

（3）兩對稱點連線被對稱軸垂直平分。

（4）透過格子點作出直角三角形的線對稱圖形。

肆、 分析與比較

一、綜合以上分年細目的描述，我們得知線對稱單元之教學，由原先之八十 二年版規定於六年級時進行正式教學，自九十二學年度起乃改成固定在 國小五年級時實施教學，等到國中二年級再作更深入的教學與探討。

二、關於線對稱圖形的教學，不管是在 82 年版之國小課程標準或是 92 年版 之九年一貫課程，始終都主張必須藉由實物與操作活動來進行教學，以 促進學童的學習與了解。

三、兒童可透過各種形狀之實物的拼排、疊合、翻摺、著色、拆解及製作等 活動，來實際體會、習得圖形的各項性質。

兒童對於幾何概念的了解有其層次性與次序性，本研究之課程設計也強調兒 童應從實際操作、具體觀察的活動中，探討圖形的相關概念與結構特性。讓學童 應經由看、聽、讀、寫(畫)、親自做(試)、自己說等的觀察、討論、分析及推論 過程，對線對稱圖形的概念與運用，獲得有意義且深刻的學習。

伍、 兒童的線對稱迷思概念

造成學童在學習線對稱圖形時產生迷思概念的因素，大致有下列幾項：類似 概念、平行影響、部分子概念影響整體概念（陳天宏，2003），研究者歸納後有 下列三種迷思概念：

一、 學童常將線對稱與點對稱兩種概念混淆。

由於線對稱概念與點對稱概念相當類似，故學生在學習時，易發生混淆的情 形。

二、 誤認為線對稱概念就是平行性質。

學童會誤解線對稱圖形中對稱軸兩側圖形完全相同是平行性質。

三、 只看圖形中的某部分，導致判斷錯誤。

學童在判定是否為線對稱圖形時，沒有考慮到圖形的整體，單單只看到部分 圖形就下判斷。