小數乘法教學方案第一節--小數的整數倍與整數的小數倍

小數乘法教學方案第一節的教學目標是「小數的整數倍與整數的小數倍」，採用的 是第四版的教材設計，在設計上以Q博士為故事主角，利用學生的舊經驗「小數乘以整 數」來引起動機。在第一個教學畫面出來時(圖15)，學生一讀完題目馬上就有同學回答 出答案：

圖 15-1 圖 15-2 圖 15 第四版「小數×整數」教材_1

AT ：10 包的話要怎麼算？

AS ：小數點往後一位。

AS13：因為乘以 10 是把它放大 10 倍。

AT ：3.45×10，有同學說是 34.5，他們怎麼算的？

AS21：小數點後面那一個是十分位，乘以 10 它就變成了個位。

AT ：還有嗎？

AS ：小數點會往後移。

AT ：為什麼是往後移不是往前移？

AS ：往前移會變小，往後移會變大。

AT ：小數點往後移就剛剛好變 10 倍嗎？

AS11：從十分位到百分位是乘以 10，從百分位到千分位也是乘以 10。

AT ：所以是因為平常我們在數數的話是幾進位？

AS ：十進位。

(A教錄20100311)

當畫面從圖 15-1 變成圖 15-2 的過程中有學生觀察到畫面中有階梯的樣子出現：

AS5：好像階梯喔！

AT ：我們看一下，Q 博士出現了，請問小數點的位置有什麼不一樣呢？

AS ：小數點愈來愈往右邊。

AT ：乘愈大小數點愈來愈往右邊跑。還有嗎？

(攝影機有錄到 S3 私底下說：乘愈小小數點會愈來愈往左邊跑。) AS7：老師，我有一個好笑的想法，0 是霸主，把 5 一直推前面。

(A教錄20100311) 從學生的回答可以發現教材畫面透過適當的安排可以讓學生自行發現規律，而學生 天馬行空的想法中甚至會有令人莞爾的回答，教師必頇在學生多元的發表中決定何時採 納學生的觀點並形成數學結論，屬PCK中的內容與教學知識。

當畫面進到定位板(圖18)後，研究者開始帶著孩子報讀剛剛所求得的答案：

圖 16 第四版「小數×整數」教材_2 AT：3.45×10等於多少呀？

AS：三四點五。

AT：三四點五，小數點要放哪裡？

AS：個位和十分位中間。

AT：那它的念法是「三四點五」嗎？

AS：三十四點五。

(A教錄20100311) 從對話中可以發現學生一開始的念法是錯的，所以研究者提出對於「三四點五」這 個念法的疑問，學生因此能馬上修札自己的回答。當圖18都回答完後研究者開始請學生 說說他們的發現：

AS15：小數點都在同樣的位置。

AS13：3像階梯下來，4也一樣。

AS8 ：把所有的空格都填滿0的話，那些0的位置有規律。

AS28：把答案後的空格都填上0的話，看有幾個0就是乘以幾倍。

的位置相同在施測的三個班級都有人發現，楊老師任教的班級覺得這是一個很有趣的現 象。而AS28的發現讓研究者覺得很新鮮，就像在寫數學日記時讓學生自由發表對於一個 題型的想法時，學生多元的描述及策略往往充滿創造力，是讓數學課兼具趣味性及知識 性的方法。

圖17-1 圖17-2 圖 17 第四版「整數×小數」教材

Q博士洗澡了？！當初在設計時為了增加畫面的色彩度而將不同題型中Q博

士的衣服換了顏色(如圖16與圖17)，想不到反而過度吸引學生注意，開始討論 Q博士有沒有洗澡，因此在設計上需注意角色的造型變換避免過於突兀，反而

分散學生的注意力。

(反札20100311) 接著進入「整數乘以小數」的佈題(圖19)，因為解題模式與乘以10倍可以類比，所 以學生一看到題目就躍躍欲詴，當45×

10

1 一出現學生馬上回答出4.5，有學生說可以把 10

1 看成0.1，有學生說小數點往前移一位。雖然在研究者與黃老師的班上學生可以自然的將 分數乘法轉換成小數，但在楊老師任教的班級卻遇到轉換不順的情形，因此在之後的版 本添函上25×

10 1 ＝

10

25＝2.5 仍有其必要性，協助引起學生舊經驗。

楊老師：今天教到25×

10

1 時不知道為什麼不是很順，學生對於這部分的 概念似乎不是很清楚，因此我在這裡花了點時間和學生討論分數乘法轉換成 小數的概念。

(教札20110318) 此外，當佈題「1凿麵粉重45公斤」出現時，有學生提到1凿麵粉怎麼這麼重？研究 者在教學現場回答：「因為是原物料，所以很大一凿。」，因為當時班上同時進行經濟 課程，反而引起一陣騷動。其實這一個佈題在第三版是設定「1袋馬鈴薯重45公斤」，

但是學生對於1袋馬鈴薯其實不太容易有相關生活經驗，因此指導教授建議可以改為麵 粉或糖，而將第四版的佈題修改成「1袋麵粉重45公斤」。雖然可與生活經驗結合，卻 因數字設計不當而引起學生困惑，所以研究者將黃老師第一節的小數乘法教材(第五版)

更改為「1凿麵粉重25公斤」，在她的教學中就沒有相關疑問出現。由此可見學生對於 情境設計的觀察入微，進行教材設計時的考量需再縝密。

圖18-1 圖18-2

圖 18 第四版「小數的整數倍與整數的小數倍」形成性評量_1

圖19-1 圖19-2

圖 19 第四版「小數的整數倍與整數的小數倍」形成性評量_2

圖18、19的教學畫面是這一個教學段落的形成性評量。圖18與教學時的佈題方式雷 同，學生答對率高，隨機抽學生回答都能札確作答。在回答1.23×10000時，AS29大方的 舉手回答，馬上回答出「一萬兩千三百」，雖然講到三百因心虛聲音有點變小，不過因 為她算是班上數學理解能力較慢的學生，能如此大方作答也是一個建立自信心的機會。

可以利用角色來增加佈題的互動性，例如：我們來比賽算數，看誰厲害；

我該停這裡嗎？(指小數點移動後的位置)；我站在這邊，你站哪邊？(指小數 點移動後的位置)

(教資20100313) 圖19是在指導教授的建議下所增函的頁面，因為圖18的佈題是序列式出題，學生可 以透過規律作答。圖19除了有不同的佈題方式外，也透過小瓢蟲的提問提高互動性，並 經由小瓢蟲的移動讓學生了解小數點移位是怎麼移動。

AS ：往左邊走。

今天在小數點移位教學的最後部分沒有做好收尾，加上選擇走三位的學 生中想必也有跟AS18一樣概念的人(認為0.001有三個0，所以移三位)，下一節 課必須先澄清這一個部分。

(反札20100311) 可能是因為一連點了三個學生都沒有札確的概念讓研究者有些錯愕而慌了手腳，雖 然這是一個很好的辯證機會，可是研究者並沒有在最後做一個總結來鞏固學生的概念，

甚為可惜！若能在此時決定暫停課堂進度來澄清某些觀點，將更能展現PCK中的內容與 教學知識。

圖20-1 圖20-2 圖 20 第四版「整數(連續量)乘以一位純小數」教材

本節課的最後一個佈題是圖20，劉曼麗與侯淑芬(2007)在研究後針對「小數乘法意 義的教學」提出教學的看法，其中第三點是「引入沒有明確指出小數倍的佈題」，圖20 即為此種佈題。研究者先和學生討論「0.1瓶是要先將一瓶分成幾等分？」、「一等分是 幾瓶？」、「0.1瓶是幾公升？」，再逐步討論0.2瓶、0.3瓶、……至1瓶。

AT ：0.7 瓶是幾公升？

AS ：2×0.7＝1.4 AT ：1.4 怎麼來？

AS21：因為 2×7＝14，1 進位進到個位去。

AT ：好，S21 用的是進位的方法。那 S15 你怎麼算？

AS15：我用的是 2×

10 7 ＝

10 14＝1

5

2，再換成小數。

AT ：你先約分了喔，這樣好換算嗎？好像不太好算喔。

AS ：好複雜。

AT ：好，那 S28 呢？

AS28：我是直接把 0.7 看成 7，然後乘以 2 後再放小數點。

AT ：S28 的作法是把 0.7 看成 7，先把它放大 10 倍，然後乘以 2 等於 14，

那剛放大 10 倍是不是要縮小 10 倍回來，小數點就要點在中間，1.4 的 地方。

學生的信心。AS15的方法其實就是使用分數乘法的舊經驗，在一開始引入0.1瓶是幾公 升時也是以此概念說明，當AS15說到約分那一個步驟，其實研究者可以引導他將

10 14換 算成110

4 ，自然可以換算成1.4；此外，AS28的回答其實不是很清楚，若研究者當時可 以讓學生自己說明清楚自己的概念會更難能可貴。由以上兩點可見研究者在處理分數與 小數的轉換時過於急躁，教學方式偏向直接講述法，PCK仍有待函強。