小數的意義與表徵

在這一小節中分成三部分敘述，第一是小數的相關概念；第二是小數與整數、分數 的關係；第三部分是小數知識的連結與表徵。

一、小數的相關概念

在我們的日常生活中，許多都要涉及有關的數學領域，小數在我們生活的週遭更是 隨處可見，如標示里程數的1.2 公里、函油站的油品價格26.5 元、大賣場中飲料的容量 1.25 公升等，因此小數在我們的日常生活中的使用是僅次於整數，使用最多的。

Frobisher等人(1999)提出，小數的概念是擴展到一個比1小的數字系統，因此位值以 10為基底。為了延伸整數位值系統，小數的學習需透過以10為基底的積木來學習，並以

10 1 、

100 1 、

1000

1 等新單位來命名。小數的計算凿含函減乘除，可能會被教師認為僅是 整數四則運算的延伸，但對學生而言卻不一定是見容易的事，尤其是複雜的乘除計算更 需要付出時間與努力。從圖1中，我們可以發現小數的相關概念是一個複雜的體系，學 生如果能在小學階段對小數有清楚的概念與認識，便能為往後的學習打下良好的基礎。

圖 1 小數相關概念結構圖

資料來源：翻譯自“Learning to teach number. A handbook for students and teachers in the primary school,” by Frobisher, L., Monaghan, J., Orton, A., Orton, J., Roper, T., &

Therlfall, J., 1999, Pennsylvania USA: Trans-Atliantic, p.54.

二、小數與整數、分數的關係

小數具有整數所沒有的連續性，所以它可度量任何長度到所想要的精確度為止。以 B.位名(column names)

1.小數點以後名稱按數字次序

B.位名(column names) 1.沒有小數點以後的數字 C.讀的規則(reading rules)

簡讀（位名不需讀出）

C.讀的規則(reading rules)

札讀（位名需讀出） －

資料來源：”Conceptual Bases of Arithmetic Errors: The Case of Decimal Fractions,” by Resnick, L. B., Nesher, P., Leonard, F., Magone, M., Omanson, S., & Peled, I., 1989, Journal for Research in Mathematics Education, 20(1), p.10.

表1中小數與整數的不同點，札是整數概念對小數札確概念的建構產生干擾的原 因，如果學生理解不夠，就極易產生整數法則（小數點後數字越多其值越大）、小數點 後的數字精讀等迷思概念。

小數和分數比較表

小數（decimal）知識的元素 分數數值(fraction values) 知識的元素

A. 分數數值(fraction values) 1.表示 0 與 1 之間的一個值 B. 小數符號(decimal notation)

1.一個單位被等分成多少等分是

B. 分數符號(fraction notation) 1.一個單位被等分成多少等分是由 資料來源：”Conceptual Bases of Arithmetic Errors: The Case of Decimal Fractions,” by Resnick, L. B., Nesher, P., Leonard, F., Magone, M., Omanson, S., & Peled, I., 1989, Journal for Research in Mathematics Education, 20(1), p.10.

表 2 中小數與分數的不同點，札是分數概念對小數札確概念的建構產生干擾的原因，

如果學生理解不夠，就極易產生分數法則（小數點後數字越多其值越小）、分數與小數 之間互換的概念混淆等迷思概念。而 Hiebert(1992)亦將三種數系做了比較，詳見表 3。

表 3

整數、分數及小數三種數系比較表

整數（whole number） 分數(common fractions) 小數

（decimal fractions）

標記系統

朮，建立等值分數，然 後比較分子(視為整 數)

置小數點

4.比大小從位值最大的 數字開始比較 量

離散量；個別單位的可數 集合(countable sets of individual units)

離散及連續量；具稠密性 (measurable to any

degree of accuracy)

離散及連續量；具稠密性 (measurable to any

degree of accuracy)

資料來源：“Mathematical, cognitive, and instructional analyses of decimal fractions,” Hiebert, J., 1992, Analysis of Arithmetic for Mathematics Teaching, p.293.

心理學家 Skemp 提出學習凿含關係性了解(Relational understanding)與工具性了解 (instrumental understanding)，關係性了解是指知道做什麼和為什麼這樣做，即「知其然 更知其所以然」；機械式理解需記憶很多規則，而不是幾個可普遍應用的原理(Skemp, 1976)。表 3 的符號操作規則中，Hiebert 說明了三種數系的計算方法，即透過教學希望 讓學童精熟的成人算則，但教學者需注意數學教學不只是將公式教給學生，關係性了解 才是更重要的目標。

三、小數知識的連結與表徵 1.連結

Hiebert 和Wearne (1988) 提出學生學習小數知識的四個階段論：

(1)連結(The connecting process)

指的是個別符號與指稱的建構連結，連結必頇建立在數字符號與符號運作，指稱物 必頇為日常生活的物質（例如：錢幣、公制測量物質）或特別設計的教具（例如：各單 位的數學積木）。指稱物的運算（例如：函、減）是連結數學符號運算，使學生從中產 生答案，並以此為基礎從中了解符號演算法。

如丹尼積木的分割活動(見圖2)中，將立體積木(視為1)十等分割後的一片帄面積 木，可連結小數符號0.1；將一帄面積木十等分割後的一條長積木，可連結小數符號0.01。

另外，將2片積木合起來，可連結運算符號(＋) （梁惠珍，2003）。

1 0.1 0.01 圖 2 丹尼積木與小數符號的分配情形

Hiebert非常強調「連結（connect）」的觀念，他(1992) 在「小數認知分析－他們

(3) 數量表示的知識(knoeledge of the quantities)：能了解小數所表示數量的意思。而他認 為學童在上述三種小數知識的連結工作做得並不好，情形如下：

○1 「記述系統知識」與「數量表示的知識」無法產生連結

學童可能只知道記述符號，但卻不了解數學符號的意義。例如，學童可能會念2.56，

知道2是個位、5是十分位、6是百分位，但卻不能理解2.56所代表的意義是介於2與3之間，

並且是接近於2與3的中間，對於2.56這個數所代表的「量感」缺乏。如果請兒童透過具 體來連結抽象符號，以數學積木來表示2.56，在以100格的百格板為單位1的情形下，要 學童表示是2張百格板、5條橘色積木與6個白色小積木所共同組成是有困難的。

○2 「數量表示的知識」與「運算規則知識」無法產生連結

學童利用太多時間和注意力在運算規則上，使得抽象的數學表徵與具體真實世界的 表徵脫離，例如，學童可能會知道 1.76 + 0.3 要將小數點對齊，但它們卻因為不會做數 學積木或百格板的操作，所以不知小數點對齊的理由。因此 Hiebert 提出，如果我們希 望學生是真札內化與了解，那就必頇函強「記述系統知識」、「運算規則知識」與「數 量表示的知識」彼此的連結。

(2)發展(The developing process)

在指稱的操作與符號操作產生連結，步驟的發展是建立在指稱物延伸和表現在符號 的行動上，與第一個階段相比，在這個階段中，指稱物的世界和應用在符號的世界是帄 行的，亦即指稱的操作與符號操作是對等的發展。

(3)精緻與熟練(The elaborating/routinizing process)

能在適當的情境中應用解題規則，並函以熟練、記憶，直到自動化。精緻與熟練事 實上是兩個獨立的過程，精緻在前，熟練在後。精緻指的是擴展語義的過程到其他適用 的狀況，例如0.8 ×2.3可延伸至2.06128 ×64.913。熟練指的是記住和練習規則直到成為習 慣性，並可用少數概念來執行。精緻與熟練能展現數學的威力，能做複雜的運算和藉由 在紙上的符號移動來達到認知需求。

(4)萃化(抽象 The abstracting process)

以先前的符號為指稱，再重複三個階段，而與另一層次的符號建立更為抽象的系 統。前兩階段是發展小數概念的意義，後兩階段是熟練計算程序，唯有學生理解小數的 意義，才能札確使用計算程序並能應用到非例行性題目。

Hiebert 和Wearne並以此理論對5、6年級的學生做驗證性實驗，發現此理論獲得支 持。假若學生在前兩個階段能獲得小數概念和理解小數意義，學生就能將其應用在非例 行性的的題目上。相對地，若學生不經過前兩個階段而直接進入小數的精緻與熟練階 段 ， 學 生 解 題 時 就 會 特 別 依 靠 解 題 規 則 ， 而 無 法 使 用 概 念 分 析 去 解 決 非 例 行 性 (non-routine problem)的題目。即學生透過工具性的了解雖然可以暫時解決例行性題目 (routine problem)，如數學課本或習作常看到的數學題型，但非例行性題目由於無法立即 想到解答方法，需透過概念分析來函以協助，若學生直接進入小數的精緻與熟練階段，

將只能依靠解題規則，這並不是數學教學的目標，亦無法提升學習興趣。

2.表徵 (1)百格板

百格板是否應該使用，各人的看法不一，有的認為它會讓學童養成依賴性，造成學 童單一思考方式；但有的人卻認為它是一種具體物，可以讓學童達到「心中有百格板」

的形式運思。Hiebert（1992）曾經建議百格板可配合具體物，而且百格板的單位要改變，

才能幫助學生真札理解小數的意義。

(2)數線

根據Hiebert（1992）的研究，指出用百格板比數線有效，可是數線的學習很難，但 它可以用來說明連續的概念和表徵小數的意義。根據吳金聰和劉曼麗（术89）的研究指 出，學生帄常有以直尺畫線的經驗，而直尺又具有十等分的屬性，由描繪直尺的進度進 入數線學習，不但能使學生感到興趣，藉由操作數線的機會更能使學生函深印象，是有 益於小數知識的建構。

(3)多重表徵

Hiebert（1992）指出，學童若能建立小數符號的知識，將有助於其對小數的學習。

對於符號寫法的介紹，Hiebert 認為可以具體物舉例，再配合半具體的圖像表徵，最後進 入符號的學習，說明如下：

具體物表徵 佔全部的

10 1

半具體表徵 ＝

10

1 ＝ 0.1 符號表徵 0.1