小數乘法教學方案第三節—小數乘以小數

小數乘法教學方案第三節的教學目標是「小數乘以小數」，由於研究者在研究之初 並未在任教班級使用到「小數乘以小數」的數位教材，因此本節所講述的內容為楊老師 的教學歷程，採用是第九版的教材設計。課程一開始以圖型表徵的方式讓師生討論 0.1×0.1的意義(圖24)。

圖24-1 圖24-2 圖 24 第九版「小數乘以小數」教材_1

接著在下一個佈題(圖25)，楊老師以抽籤方式讓一個學生到電腦前操作。

圖25-1 圖25-2 圖 25 第九版「小數乘以小數」教材_2

CT ：那現在我要 0.2 平方公尺的 0.3 倍，那麼應該要點幾格？(抽到 CS20) CS20：(到電腦前點出圖 25-2)

CT ：所以答案是多少？CS20 可以告訴我們嗎？

CS20：0.6。

CT ：單位是什麼？

CS ：單位是平方公尺。

CT ：對嗎？

CS ：不是 0.06 嗎？

CT ：好，那我們現在來看 0.6 和 0.06 差在哪裡？為什麼 CS20 會說是 0.6？

CS12：差 10

1 。 CS15：差 10 倍。

CT ：好，0.6 和 0.06 差 10 倍。那這樣到底是 0.6 還是 0.06？(手指圖 25-2) CS ：0.06。

CT ：0.06，它是幾分位呀？

CS ：百分位。

CT ：百分位，表示我把它切成多少份？

CS ：100 份。

CT ：所以 0.06 是 100 份裡面的…？

CS ：6 份。

(C教錄20110324) 在確認全班都達到共識後，楊老師進入下一個佈題(圖26)。

圖 26 第九版「小數乘以小數」教材_3 CT ：接下來換人出題，(抽籤)CS20。

CS20：0.9 平方公尺的 0.2 倍。

CS ：我，我，老師我會。(多位學生舉手搶答) CT ：你(CS20)指定回答。

CS20：老師你選。

CT ：(抽籤)CS25。

圖27-1 圖27-2 圖 27 第九版「小數乘以小數」教材_學生解題 CS ：老師，他的圖(圖 27-1)怪怪的。

CT ：CS25 說要看橫的不是看直的。

CS27：老師，可是它一開始給我們的時候是直的呀！

CT ：喔，那就是它不對啦。那你(CS25)覺得你自己這樣對嗎？

CS25：(點頭)

CT ：他覺得他自己這樣對。你覺得他這樣對的請舉手。(9 位) 你覺得他這樣不對的請舉手。(14 位)這麼多！

好，我們請一個人來說為什麼你覺得他這樣不對，

然後請一個人來說為什麼你覺得他這樣對。

CS27 你先說。

CS27：因為它一開始切的時候不是橫的切，是直的切。

CT ：那 CS8 你解釋一下 CS25 為什麼這樣子做？

CS8 ：他其實是把橫向的作為 0.9，把直向的視為 0.2。

CS ：蛤？？老師……

CT ：記得嗎，我們每次討論的時候，要在前一個人的意見之下說，否則大家 會聽不懂，本來只有兩個意見，再說出來三個、四個，全部就搞混了。

(C教錄20110324) 從楊老師和學生對話可以看到楊老師PCK的展現，有系統的帶領可以輕鬆的掌握班 上的討論步調，學生也能自在的發表自己的想法。學生多元想法的發表透過辯證可以讓 學生更深入且札確的了解小數乘以小數的意義。

CT ：剛剛 CS27 說，老師你給我看那個題目的時候是切直的呀！

可是剛剛 CS25 說他是切橫的，

那你(CS13)來解釋一下，為什麼你覺得他(CS25)畫的對？

CS13：因為他把這樣視為 0.1(手比劃出一橫條)。

CT ：他說這樣叫 0.1 平方公尺行不行？(手比劃出一橫條) CS ：可以啊！

CT ：那他(CS25)說的 0.9 平方公尺在哪裡？題目是 0.9 平方公尺的 0.2 倍。

(CS11 大叫老師)

CS11：(上台比劃出 0.9 平方公尺的範圍)

他的 0.9 平方公尺到這裡，最下面一橫條不是，然後取 2。

CT ：這樣對嗎？

CS ：對！

CT ：好，謝謝！(CS25 下台)

那照 CS27 的說法，你們應該怎麼畫？(多個學生舉手) 來，CS20 你來畫畫看。

CS20：(點出圖 27-2)

CT ：好，那這個圖跟剛剛 CS25 點出來的有什麼不一樣？

CS25：一個直的看，一個橫的看。

CT 作結。

(C教錄20110324) 由於設計的不足(僅考量將1帄方公尺直向10等分)讓學生有了認知衝突，但楊老師把 握了這一個討論的機會，讓札反兩方的學生各自發表了自己的想法並從中萃取出札確的 概念，「記述系統知識」與「數量表示的知識」因此產生了連結，即達成Hiebert(1992) 所強調的「連結（connect）」觀念。

楊老師：建議小數乘以小數的圖象表徵可以增加一個橫向的按鈕。

研究者：使用上有發生什麼問題嗎？

楊老師：因為今天班上有因為直向等分而有不同的意見，討論起來很有意思，

不過如果可以增加橫向按鈕會更方便解釋。

(教札20110324)

楊老師和學生的討論不管聽了幾次都覺得很有意思，這就是我想帶出的數 學討論。在學生各自表述時，楊老師適時的說：「記得嗎，我們每次討論的時 候，要在前一個人的意見之下說，否則大家會聽不懂，本來只有兩個意見，再 說出來三個、四個，全部就搞混了。」然後幫學生整理一下思緒，學生再接著 發表，討論自然可以順利完成。PCK的養成需要經驗的搭配，如果有相關的觀 摩機會應該多把握。

(反札20110325)