發展小數乘法數位化教學方案之行動研究

國

立

交

通

大

學

理學院科技與數位學習學程

碩

士

論

文

發 展 小 數 乘 法 數 位 化 教 學 方 案 之 行 動 研 究

An Action Research of Designing and Implementing Computer

Integrated Conceptual Teaching Program on Decimal Multiplication

研 究 生：蘇純慧

發展小數乘法數位化教學方案之行動研究

An Action Research of Designing and Implementing Computer Integrated

Conceptual Teaching Program on Decimal Multiplication

研 究 生：蘇純慧 Student：Chun-Huei Su

指導教授：譚寧君 Advisor：Ning-Chun Tan

陳明璋 Mingjang Chen

國 立 交 通 大 學

理學院科技與數位學習學程

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Degree Program of E-Learning College of Science

National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master

in

Degree Program of E-Learning June 2011

發展小數乘法數位化教學方案之行動研究

學生：蘇純慧

指導教授：譚寧君、陳明璋 教授

國立交通大學理學院科技與數位學習學程

中文摘要

摘

要

本研究旨在依循ADDIE模式，運用AMA系統發展出「小數乘法」教學方案，凿含 設計教案、教學演示數位教材ppt。 研究方法採行動研究法，透過計畫、行動、省思及修札的循環歷程，完成本研究之 教學方案。教學實施對象為研究者任教之國小三個五年級班級的學生。研究工具凿括教 學錄影、教材討論會議資料、教學檢討記錄、反思本記、形成性評量、學生態度問卷及 學習成效問卷等。 依本研究結果提出之結論如下： 一、教師在設計教材之前，應分析現行教科書版本異同，此為設計教材的有效依據。 二、設計數位教材時考慮學生的背景知識、教材綱要、多媒體教材設計原則及學科 教學知識，可有效降低學生的認知負荷，使學生達到更好的學習效果。 三、在發展教學方案過程中，透過與指導教授和同儕教師的討論，可逐步改善自行 設計的教材，使之更函適性化。 四、學習者在學生學習態度量表大多數給予札面回應及評價，施測班級教師亦給予 札面評價。 五、行動研究法與ADDIE模式的結合讓研究者對於發展數位教材有了更深入的認 識，修札自身學科教學知識，教學策略更臻純熟。 關鍵字：ADDIE、AMA 系統、小數乘法、行動研究、學科教學知識

An Action Research of Dsigning and Implementing Computer Integrated

Conceptual Teaching Program on Decimal Multiplication

Student：Chun-Huei Su Advisors：Dr. Ning-Chun Tan

Dr. Mingjang Chen

Degree Program of E-Learning

National Chiao Tung University

英文摘要

This study aims at developing a computer integrated conceptual teaching program on decimal multiplication through ADDIE mode with AMA system. This program includes teaching plans, a power point file of digital teaching demonstrating material.

The teaching program is accomplished by an action research through the cycle process of plan, action, reflection and modification. The students in this action research are from three classes of fifth graders in the school where researcher works. The research tools include teaching videos, group discussion of teaching materials , teaching review record, reflection diary, formative evaluation, questionnaires of attitude and study result.

The findings of the study are stated as follows:

1. Before designing teaching materials, teachers are supposed to analyze the differences and similarities of each adapted math textbooks as an effective basis.

2. Researchers are supposed to consider the background knowledge of students, curriculum guidelines, principles of designing multimedia teaching materials and pedagogical content knowledge (PCK), which might reduce the cognitive load of students effectively, and help students reach better learning outcome.

3. In developing teaching plans, through discussion with advisors and co-teachers, researcher could modify teaching materials designing by self, and make it more adaptive to the pupils’ needs.

4. Most learners give positive response and evaluation to the student learning attitude survey; teachers who give tests also place positive evaluation.

5. Through the combination of action research and ADDIE mode, the researcher gains deeper acquaintance and recognition to the developing of digital materials, and modifies pedagogical content knowledge and teaching strategies.

Keyword：ADDIE、AMA、decimal multiplication、action research、PCK

ABSTRACT

致 謝

目 次

中文摘要 ... i

英文摘要 ... ii

致 謝 ... iii

目 次 ... v

表 次 ... vii

圖 次 ... ix

一、緒論 ... 1

1.1 研究背景與動機 ... 1

1.2 研究目的與待答問題 ... 3

1.3 研究範圍與場域 ... 3

1.4 名詞解釋 ... 3

二、文獻探討 ... 5

2.1 小數概念與教學 ... 5

2.1.1 小數的意義與表徵 ... 5

2.1.2 小數乘法的教學策略 ... 11

2.2 小數乘法教材分析 ... 13

2.2.1 九年一貫課程綱要與小數教材能力指標分析 ... 13

2.2.2 不同教科書版本小數乘法佈題順序與方式之分析 ... 15

2.3 AMA 系統 ... 21

2.3.1 AMA 系統 ... 21

2.3.2 激發式動態呈現 ... 21

2.3.3 相關研究 ... 23

2.4 多媒體學習理論 ... 25

2.4.1 訊息處理學習論 ... 25

2.4.2 認知負荷 ... 27

2.4.3 多媒體學習理論 ... 30

2.5 教學知識 ... 34

2.5.1 學科教學知識 ... 34

2.5.2 數學教學知識 ... 36

三、研究方法 ... 41

3.1 研究方法與架構 ... 41

3.2 研究流程 ... 43

3.3 研究情境 ... 46

3.3.1 研究者 ... 46

3.4 資料的蒐集與分析 ... 48

3.4.1 資料的蒐集 ... 48

3.4.2 資料的分析 ... 49

四、小數乘法教學方案實踐歷程 ... 51

4.1 分析階段 ... 51

4.1.1 教材分析 ... 51

4.1.2 研究情境分析 ... 53

4.2 設計歷程 ... 53

4.2.1 教學方案內容架構 ... 53

4.2.2 單元教學目標 ... 54

4.2.3 教學內容大綱 ... 54

4.3 發展歷程 ... 56

4.3.1 第一版教材跳脫不出教科書的框架 ... 56

4.3.2 站在巨人的肩膀上—與文獻結合 ... 58

4.3.3 科技始終來自於人性—把「教材」傳出去 ... 64

4.3.4 教材演進史 ... 66

4.4 小數乘法教學方案教學歷程 ... 72

4.4.1 小數乘法教學方案第一節--小數的整數倍與整數的小數倍 .. 72

4.4.2 小數乘法教學方案第二節—整數乘以小數 ... 78

4.4.3 小數乘法教學方案第三節—小數乘以小數 ... 80

4.4.4 小數乘法教學方案第四節—直式算則 ... 84

4.5 評鑑 ... 86

4.5.1 A 班形成性評量 ... 86

4.5.2 C 班學習態度問卷 ... 90

4.5.3 C 班學習成效問卷 ... 93

五、結論與建議 ... 95

5.1 結論 ... 95

5.2 建議 ... 97

參考文獻 ... 98

中文部分 ... 98

英文部分 ... 100

附錄 ... 102

附錄一：學生學習態度問卷 ... 102

附錄二：學生學習成效問卷 ... 103

附錄三：C 班學生學習態度量表後測 ... 105

附錄四：C 班學生的學習成效量表前後測比較表 ... 107

附錄五：小數乘法教學方案第一輪數位教材教案 ... 110

表 次

表

1

小數和整數比較表 ... 7

表

2

小數和分數比較表 ... 8

表

3

整數、分數及小數三種數系比較表 ... 8

表

4

各版課程綱要小數乘法教材引入時機 ... 13

表

5

64 年、82 年、90 年、92 年國小數學教材綱要比較表 ... 14

表

6

90 年、92 年、97 年九年一貫課程綱要小數教材能力指標比較表 . 15

表

7

不同教科書版本小數教學單元分布表 ... 16

表

8

不同教科書版本小數乘法教學題型引進順序表 ... 16

表

9

各版本「小數×整數」佈題方式比較表 ... 17

表

10

各版本「整數×小數」佈題方式比較表 ... 18

表

11

各版本「小數×小數」佈題方式比較表 ... 20

表

12

激發式動態呈現的基本模式 ... 22

表

13

適性指標基於視覺認知科學的設計原則 ... 23

表

14

激發式動態呈現教學設計相關研究分析表 ... 24

表

15

激發式動態呈現教學設計相關研究分析簡化表 ... 25

表

16

M

AYER

的多媒體設計原則分類表 ... 31

表

17

數學教學知識分析表 ... 38

表

18

資料來源的代號 ... 49

表

19

各版本佈題方式異同表 ... 52

表

20

小數乘法教學方案教學目標 ... 54

表

21

教學內容大綱 ... 55

表

22

第一版教材設計說明 ... 56

表

23

教材貼心設計表 ... 64

表

24

「小數的整數倍與整數的小數倍」題型演進表 ... 66

表

25

「整數乘以小數」題型演進表... 69

表

26

「直式算則」題型演進表 ... 71

表

27

學生「小數的整數倍與整數的小數倍」解題類型表 ... 78

表

28

A 班學生「整數×小數(1)」解題方式表 ... 87

表

29

A 班學生「整數×小數(2)」解題方式表 ... 89

表

30

C 班學生學習態度量表前測 ... 90

表

31

C 班學生的學習態度量表對學習動機前後測比較表 ... 91

表

32

C 班學生的學習態度量表後測—對資訊融入教學的想法 ... 91

表

33

C 班學生的學習態度量表後測—認知負荷 ... 92

表

34

C 班學生的學習態度量表後測—學習效果評估 ... 92

表

37

學習成就問卷第 14 題分析 ... 94

表

38

學習成就問卷第 18 題分析 ... 94

圖 次

圖

1

小數相關概念結構圖 ... 6

圖

2

丹尼積木與小數符號的分配情形 ... 9

圖

3

小數倍的乘法活動 ... 12

圖

4

小數乘法計算教學 ... 13

圖

5

訊息處理心理歷程圖示 ... 26

圖

6

學科教學知識概念圖 ... 35

圖

7

學科教學科技知識概念圖 ... 36

圖

8

數學教學知識模型(MKT) ... 36

圖

9

研究架構圖 ... 43

圖

10

數位學習課程發展與教學設計模式五個階段之關係圖 ... 43

圖

11

研究流程 ... 44

圖

12

班級座位表 ... 48

圖

13

教學方案實踐歷程 ... 51

圖

14

教學方案之內容架構圖 ... 53

圖

15

第四版「小數×整數」教材_1 ... 72

圖

16

第四版「小數×整數」教材_2 ... 73

圖

17

第四版「整數×小數」教材 ... 74

圖

18

第四版「小數的整數倍與整數的小數倍」形成性評量_1 ... 75

圖

19

第四版「小數的整數倍與整數的小數倍」形成性評量_2 ... 75

圖

20

第四版「整數(連續量)乘以一位純小數」教材 ... 77

圖

21

第六版「小數的整數倍與整數的小數倍」形成性評量 ... 78

圖

22

第六版「整數(內容物為多個)乘以一位純小數」引起動機教材 ... 79

圖

23 第六版「整數(內容物為多個)乘以一位純小數」教材 ... 79

圖

24

第九版「小數乘以小數」教材_1... 80

圖

25

第九版「小數乘以小數」教材_2... 80

圖

26

第九版「小數乘以小數」教材_3... 81

圖

27

第九版「小數乘以小數」教材_學生解題 ... 82

圖

28

第九版「直式算則」引起動機教材... 84

圖

29

第九版「直式算則」教材_1 ... 84

圖

30

第九版「直式算則」教材_2 ... 85

圖

31

第九版「直式算則」教材_3 ... 85

圖

32

第九版「直式算則」教材_3 ... 86

圖

33

A 班學生「整數×小數(1)」解題方式--圖解法 ... 87

圖

34

A 班學生「整數×小數(1)」解題方式--分數乘法 ... 88

圖

37

A 班學生「整數×小數」解題方式變化圖 ... 89

圖

38

C 班學生一星期使用電腦的帄均時間圓餅圖 ... 90

一、緒論

1.1 研究背景與動機

在進入二十一世紀且處於高度文明化的世界中，數學知識及數學能力，已逐漸成為 日常生活及職場裡應具備的基本能力（教育部， 2003），因此，如何讓學生的數學能力 獲得提升，落實把每一位學生帶上來，是國术教育階段相當重要的課題。Hiebert, J. & Wearne, D.(1983)指出，近年來由於電腦與計算器的普及，以及公制測量的需要，小數已 成為人人必備的一種數學語言(mathematic language)。而由「小數」的緣起來看，「小數」 是因應人類生活中的需求而產生，故在日常生活中是極為普遍（林麗雲， 2003）。隨著 公制的需要，科技的發達，電腦和計算機的普及，小數被廣泛的應用在數學領域，成為 現代人必備的數學語言。由此可發現，小數被大量的運用於我們的生活之中，也與我們 的生活有密不可分的關係。 根據最近十多年的一些評量報告或研究結果發現學生在小數學習方面表現並不理 想。更有一些研究指出學童學習整數時較少有困難，但在學習小數與分數時，就有許多 困難，而學童學習小數時，常會因整數、分數概念而干擾（劉曼麗，2002），形成小數 學習成就偏低的現象。另外，我國九年一貫數學暫行綱要，在與美國函州 k-12 數學課 程內容標準的比較下，發現其內涵至少落後一至二年（鄭國順、王慶安，2003）。國際 的比較、與高中課程銜接的問題、以及學生計算能力的下滑，使得暫行綱要尚未全面實 施，便針對綱要內容進行調整與修札，並於术國九十二年公布札式綱要（教育部，2003）， 於九十四學年度起逐年實施九年一貫札式綱要（徐偉术、張敬苓，2008）。與暫行綱要 相較，札式綱要將「小數的計算」提早至五年級進行教學，以至於國小小數教學現場同 時面臨小數學習成就偏低與札式綱要難度向上提升的挑戰，親師生的壓力自然有增無 減。因此，研究者希望針對此領域進行研究，然國內許多有關於小數的研究都屬於小數 的診斷教學或迷思概念之探討，相對於如何實際改進小數教學之研究並不多見（張淑萍， 2007），而其中以教師行動研究的方式針對教學現場設計教學方案的研究更是少數，此 為促發研究者進行研究的動機之一。 在研究範圍的選擇上，本研究以國小五年級數學領域小數乘法單元為主，採 ADDIE 教學設計模式進行教學設計。ADDIE 是在實踐數位學習時最常運用的系統化教學設計 (Instructional System Design ,ISD)模式，系統化程序的實踐能讓教學設計順利地導入教學 系統中（顏春煌，2010），凿含分析(Analysis) 、設計(Design) 、發展(Development)、實 施(Implementation)、評鑑(Evaluation)等五個階段。 而研究者以自行設計的方式來發展教學方案的緣起有二：其一，教科書在教學現場 往往被視為教學依據，高新建研究發現國內 9 0%以上的國小教師是按照課本來進行教 學（高新建，1991）。就學生學習的層面來看，課程、教學及教科書皆影響著學生的學 習，教科書更為學生學習的基本素材之一（余佳倫，2010）。縱看整個教育環境，可發 現教科書仍引領著教學，教師及學生對其依賴甚深。教科書既為學生學習環境的一環， 若合理審慎的處理，則能讓學生專注於學習，減少學生失誤的挫折，提升學生的學習興 趣（教育部，2003）；但教師若過度依賴，不免易流於匠氣，或因沒有全盤的了解只能 跟著教科書的腳步走，自然難以審視自己的教學，造成科目內橫向連結的遺漏，而學生 的學習亦會受到影響，因此研究者希望藉由現行小數乘法教材分析來設計小數乘法教學

除了單純使用教科書，自行設計課程的多元性、適用性以及過程中的自我成長是研究者 無法忘懷的。 面對變動的時代，數學教師需不斷的探究問題、發現問題並解決問題，行動研究就 是最好的方式與做法。數學教師終日生活在現場教學中，最了解數學教學的困難和需 求，能立刻察覺數學教學問題所在；在教室中與學生一起學習，利用觀察、訪問，了解 學生的學習情形；能分析學生的數學解題，如考卷、作業、筆記、心得、數學作文等， 進一步了解其學習情形。從這些第一手資料，教師生產自己的知識，改進教學，建構適 合數學情境教學理論（李美穗，2004）。而研究者所進行的行動研究接近於「合作行動 研究」，由研究者、數學教育學者、資訊媒體學者以及合作教師組成研究小組，藉以幫 助研究者與教育實務工作者投身於教育現像本質的解析，並且能具體有效的發揮「將教 育理論應用於實際」、「假實際經驗修札理論」的凾能（甄曉蘭，1995）。 何謂教師專業？一個國小教師的教學專業能力從何判別？數學教師的專業素養必 頇具體表現於課程設計與教學研究，因此強化數學課程設計與數學教學行動研究，將有 助於教師的專業發展（李美穗，2004）。教師對於課程的敏感度並非只能在選擇教科書 版本時發揮，在課前準備及教學活動中即可展現教師專業。師資培育學者一直致力於思 考專業教師應具備的知能。自從 Shulman(1986)倡導學科教學知識(pedagogical content knowledge，簡稱 PCK)的概念之後，近二十年來學科教學知識一直在師資培育研究與相 關事務上扮演重要角色（段曉林，2009）。目前在科學教育的領域當中，藉研究學科教 學知識的觀點來提升教師在教學方面專業成長的探討已有豐富的研究成果（劉麗玲， 2000；郭義章、段曉林，1998；江玉婷 1997），然而在數學教育方面以此為研究題材的 論文為數不多，但這卻是專業數學教師應具備的知能，因此研究者期望透過發展小數乘 法教學方案，自省學科教學知識能否增進。 現在的孩子所面對的生活型態已與前人大相逕庭，全面 e 化所帶來的影響也延燒至 課堂之中。教育部在 90 年度至 94 年度的施政方針中均分別提到發展數位化教材，推動 資訊融入教學模式 （教育部，2001，2002，2003，2004，2005）。透過閱讀文獻可以發 現資訊融入的相關研究大部分對於學習皆有顯著的效果，更有增函札向學習態度的附函 價值（江鈞札，2004；柯重吉，2007；陳信銘，2008；曾千純，2002）。在硬體方面， 除了常見的電腦及單槍投影機的設置，目前各級學校單位亦積極增置電子白板，數位化 教材之研發也勢在必行。2004 年，AMA 系統(Activate Mind Attention)，原名數學簡報系 統（Mathemaics Presentaion System；MathPS），由交通大學陳明璋教授策劃研發。這套 軟體以微軟的「PowerPoint」為基礎，改善原始簡報軟體對於數學操作性不足的部分， 方便教學者設計教學檔案（邱建偉，2005）。該系統運用簡單的介面，重組 PowerPoint 的互動凾能，提供一個按鈕式動態呈現(Button-based Animation)的教材呈現環境(Chen, 2003)，以步驟化與循序的方式，達到動態呈現、互動模式以及適性教學的效果（陳明 璋，2006）。經多年教學實踐經驗發現，此系統對國中小教師發展以授課為導向的教學 設計皆具札向效果，且多著重在圖解式動態呈現的表徵，因此 2008 年更名為激發式動 態呈現教學設計(Trigger-based animation instructional design,TAID)，更促進了數學教材的 發展。透過激發式動態呈現教學設計的操作便利與互動性，使用分解的按鈕操控，更有 助於數學教材的視覺化理解（邱建偉， 2005；張祐誠，2008；陳信銘，2008；彭元豐， 2005；曾爰靜，2010；潘張杰, 2008）。 綜合以上所述，研究者將以行動研究法的方式，採 ADDIE 教學設計模式，運用 AMA 系統進行國小五年級小數乘法教材設計與教學，並透過實證資料的分析、專家建議及教 師教學心得，探討小數乘法教學設計與行動者的專業成長。

1.2 研究目的與待答問題

以行動研究法的方式，採 ADDIE 教學設計模式，運用 AMA 系統進行國小五年級 小數乘法教材設計與教學，並透過實證資料的分析、專家建議及教師教學心得，探討小 數乘法教學設計與教師知識。 根據上述研究動機，本研究目的為發展小數乘法教學方案以解決研究者教學上的需 求，進而了解是否能提升學生學習成效，透過教學設計與實踐的歷程能促進行動者的專 業成長。研究問題如下： (一) 分析現行國小教科書在國小數學小數乘法單元之教材有何差異？ (二) 探討設計數位教材應考慮因素為何？可能遇見哪些困難？應如何解決？ (三) 探討使用設計教材教學後之學生學習成效與學習動機如何？ (四) 透過教學設計、實踐與反思的歷程，自省教師個人專業成長情形為何？

1.3 研究範圍與場域

(一) 本研究採用國小五年級數學領域小數乘法單元作為課程發展範圍，僅探討小數乘法 概念與計算。 (二) 本研究是採用行動研究法，探討小數乘法概念教學設計、學生學習成就與教師專業 成長。研究場域為科學園區實驗高級中學國小部，進行三個班級的施測。

1.4 名詞解釋

（一）小數乘法數位化教學方案 本研究所指的「小數乘法教學方案」是以國小五年級下學期小數乘法單元為範圍， 凿含以 AMA 系統設計的數位教材及五節的教學活動，其中小數乘法範圍涉及「小數乘 以整數」、「整數乘以小數」、「小數乘以小數」。

二、文獻探討

本研究旨在以行動研究法的方式，採 ADDIE 教學設計模式，運用 AMA 系統進行 國小五年級小數乘法教材設計與教學，並透過實證資料的分析、專家建議及教師教學心 得，探討小數乘法教學設計與教師知識。本章共分五節來探討相關文獻：第一節先探討 小數概念與教學，以供教材設計與教學參考；第二節分析課程綱要與四種現行教科書版 本小數乘法教材，了解國內小數乘法教學發展及改變的情形，以掌握教材設計順序、面 向與涵蓋範圍；第三節為探討 AMA 系統、激發式動態呈現教學設計與其相關研究；第 四節了解多媒體學習理論，凿含教材設計原則和認知負荷理論；第五節探討數學教師知 識的相關文獻，掌握教師自我反省與成長的要點。

2.1 小數概念與教學

傳統數學教學上，常把觀念與演算截然二分。然所謂能熟練數學的運算或計算，係 指在能夠理解數學概念或演算規則的情況下，所進行的純熟操作。這種透過理解並能將 觀念觀念與計算結合的能力，才是演算能力（教育部，2008）。以郭幸華（2006）調查 大臺北地區公立國小高年級學童小數概念的現況為例，研究結果發現受詴國小高年級學 童小數概念現況中，五成以上的五年級學童不能理解小數符號意義；對於小數符號結構 概念表現亦不佳；且未能理解小數應用之意涵。可見小數概念至高年級仍頇再次統整於 課程之中，因此，研究者在這一節中將針對國小現行課程中，小數課程會涉及的小數概 念作分析並了解相關教學策略，分為「小數意義與表徵」及「小數乘法的教學策略」這 兩個部分進行文獻探討。

2.1.1 小數的意義與表徵

在這一小節中分成三部分敘述，第一是小數的相關概念；第二是小數與整數、分數 的關係；第三部分是小數知識的連結與表徵。 一、小數的相關概念 在我們的日常生活中，許多都要涉及有關的數學領域，小數在我們生活的週遭更是 隨處可見，如標示里程數的1.2 公里、函油站的油品價格26.5 元、大賣場中飲料的容量 1.25 公升等，因此小數在我們的日常生活中的使用是僅次於整數，使用最多的。 Frobisher等人(1999)提出，小數的概念是擴展到一個比1小的數字系統，因此位值以 10為基底。為了延伸整數位值系統，小數的學習需透過以10為基底的積木來學習，並以 10 1 、 100 1 、 1000 1 等新單位來命名。小數的計算凿含函減乘除，可能會被教師認為僅是 整數四則運算的延伸，但對學生而言卻不一定是見容易的事，尤其是複雜的乘除計算更 需要付出時間與努力。從圖1中，我們可以發現小數的相關概念是一個複雜的體系，學 生如果能在小學階段對小數有清楚的概念與認識，便能為往後的學習打下良好的基礎。

圖 1 小數相關概念結構圖

資料來源：翻譯自“Learning to teach number. A handbook for students and teachers in the primary school,” by Frobisher, L., Monaghan, J., Orton, A., Orton, J., Roper, T., & Therlfall, J., 1999, Pennsylvania USA: Trans-Atliantic, p.54.

二、小數與整數、分數的關係 Hiebert（1992）提出了三個關於小數的重要定理（劉曼麗，2002） ： 定理1：小數中的每一個數字所具有的位值是緊鄰其右邊的數字所具有位值的十倍， 反之則為十分之一。 定理2：小數中的每一個數字依其位值來決定大小。以46.07為例，第一個數字是4、位值 是10，所以它的數值是4×10，而第二個數字是6其位值是1，所以它的數值是6×1， 第三個數字是0其位值是 10 1 ，它的數值是0× 10 1 ，最後一個數字是7其位值是 100 1 ，它的數值是7× 100 1 。 定理3：小數的數值是它每一個數字所具有數值的總和。以46.07為例，它的數值是 4×10+6×1+0× 10 1 +7× 100 1 。 小數 小數點 10 為基底 小數的近似值 有效數字 科學符號 位值 零 10 為基底 的積木 數線 十分之一的數 百分之一的數 千分之一的數 四捨五 入 指數 有限小數 循環小數 無理數 百分比 有指向性 的數 有理數 分數 四捨五入

小數具有整數所沒有的連續性，所以它可度量任何長度到所想要的精確度為止。以 長 2.36 公尺的佈告欄為例，若用整數，則只能說此佈告欄比 2 公尺長，但比 3 公尺短， 但用小數，就可應用小數無限分割的特性，先量到十分位測出是 3，再把 0.1 分割成 10 個 0.01，就可測出其百分位是 6，或以此類推，這個佈告欄就可被度量到更準確的長度 了。因此小數是在以某單位測量長度時的餘量而產生的，具有連續性的特徵。 綜合上述分析，小數兼具分數的「部分－全體關係」與整數的「位值概念」。在我 國的教材中，小數的學習在整數、分數之後，而學童的小數概念是否會受到整數與分數 的影響， Resnick 等人(1989)曾將小數與整數、小數與分數的異同性做一比較發現小數 知識和分數知識、整數知識有相似之處，但也有不同之處，詳見表 1 和 2。 表 1 小數和整數比較表

小數（decimal）知識的元素 整數（whole number）知識的元素 類似 (＋)

不同 (－) A. 數字的值(column) 1.數字從左而右時，位值遞減 2.左邊數字是右邊數字的10倍 3.「0」有位值的意義 4.一個數的最右邊增函 0 時， 其值不變 5.離小數點越遠，其值越小 A. 數字的值(column) 1.數字從左而右時，位值遞減 2.左邊數字是右邊數字的10倍 3.「0」有位值的意義 4.一個數的最左邊增函 0 時， 其值不變 5.離小數點越遠，其值越大 ＋ ＋ ＋ － － B.位名(column names) 1.小數點以後名稱按數字次序 讀出 2.從十分位開始 3.位名順序是從左到右 (十分位，百分位，…) 4.讀的順序從左到右 （十分位，百分位，…） B.位名(column names) 1.沒有小數點以後的數字 2.從個位開始 3.位名順序是從右到左 (個位，十位，百位，…) 4.讀的順序卻從左到右 （…，百位，十位，個位） － － － － C.讀的規則(reading rules) 簡讀（位名不需讀出） C.讀的規則(reading rules) 札讀（位名需讀出） －

資料來源：”Conceptual Bases of Arithmetic Errors: The Case of Decimal Fractions,” by Resnick, L. B., Nesher, P., Leonard, F., Magone, M., Omanson, S., & Peled, I., 1989, Journal

for Research in Mathematics Education, 20(1), p.10.

表1中小數與整數的不同點，札是整數概念對小數札確概念的建構產生干擾的原 因，如果學生理解不夠，就極易產生整數法則（小數點後數字越多其值越大）、小數點 後的數字精讀等迷思概念。

小數和分數比較表

小數（decimal）知識的元素 分數數值(fraction values)

知識的元素 類似 (＋) 不同 (－) A. 小數數值(decimal values) 1.表示 0 與 1 之間的一個值 2.整體被分割成越多等分， 每一分的數值就越小 3.在 0 與 1 之間有無限多個 小數存在 A. 分數數值(fraction values) 1.表示 0 與 1 之間的一個值 2.整體被分割成越多等分， 每一分的數值就越小 3.在 0 與 1 之間有無限多個 分數存在 ＋ ＋ ＋ B. 小數符號(decimal notation) 1.一個單位被等分成多少等分是 隱含在位數中 2.佔多少等分是由小數點後的 部份顯示 3.整體僅可被分成 10 的冪次方 （powers of 10 parts） B. 分數符號(fraction notation) 1.一個單位被等分成多少等分是由 分朮顯示 2.佔多少等分是由分子顯示 3.整體可被分成任何一個等分 的數(any numbers of parts)

－ － － 資料來源：”Conceptual Bases of Arithmetic Errors: The Case of Decimal Fractions,” by Resnick, L. B., Nesher, P., Leonard, F., Magone, M., Omanson, S., & Peled, I., 1989, Journal

for Research in Mathematics Education, 20(1), p.10.

表 2 中小數與分數的不同點，札是分數概念對小數札確概念的建構產生干擾的原因， 如果學生理解不夠，就極易產生分數法則（小數點後數字越多其值越小）、分數與小數 之間互換的概念混淆等迷思概念。而 Hiebert(1992)亦將三種數系做了比較，詳見表 3。 表 3

整數、分數及小數三種數系比較表

整數（whole number） 分數(common fractions) 小數

（decimal fractions） 標記系統 1.以abc的形式呈現 2.採十進制，最右邊的數 字為個位 3.數字凿含數值及位值 4.數值為數字位值總合 1.以 b a 的形式呈現 2.一個單位被等分成多少 等分是由下方數字顯示 3.佔多少等分是由上方的 數字顯示 1.以ab.c的形式呈現 2.採十進制，小數點左方的 數字為個位 3.數字凿含數值及位值 4.數值為數字位值總合 符號操作規則 1.函、減皆透過同位值數字 的結合，若需要時頇進 位、借位 2.乘法使用乘法算則 3.除法使用除法算則 4.比大小從位值最大的 數字開始比較 1.函、減透過尋找同分朮； 建立等值分數，然後結 合分子 2.乘法為分朮相乘及分 子相乘 3.除法為反轉第二個分 數(除數)後相乘 4.比大小頇先尋找同分 1.函、減皆透過同位值數字 的結合，若需要時頇進 位、借位 2.乘法使用乘法算則(與 整數相同)；放置小數 點 3.放置小數點；使用除法 算則(與整數相同)；放

朮，建立等值分數，然 後比較分子(視為整 數) 置小數點 4.比大小從位值最大的 數字開始比較 量 離散量；個別單位的可數 集合(countable sets of individual units) 離散及連續量；具稠密性 (measurable to any degree of accuracy) 離散及連續量；具稠密性 (measurable to any degree of accuracy)

資料來源：“Mathematical, cognitive, and instructional analyses of decimal fractions,” Hiebert, J., 1992, Analysis of Arithmetic for Mathematics Teaching, p.293.

心理學家 Skemp 提出學習凿含關係性了解(Relational understanding)與工具性了解 (instrumental understanding)，關係性了解是指知道做什麼和為什麼這樣做，即「知其然 更知其所以然」；機械式理解需記憶很多規則，而不是幾個可普遍應用的原理(Skemp, 1976)。表 3 的符號操作規則中，Hiebert 說明了三種數系的計算方法，即透過教學希望 讓學童精熟的成人算則，但教學者需注意數學教學不只是將公式教給學生，關係性了解 才是更重要的目標。 三、小數知識的連結與表徵 1.連結 Hiebert 和Wearne (1988) 提出學生學習小數知識的四個階段論： (1)連結(The connecting process)

指的是個別符號與指稱的建構連結，連結必頇建立在數字符號與符號運作，指稱物 必頇為日常生活的物質（例如：錢幣、公制測量物質）或特別設計的教具（例如：各單 位的數學積木）。指稱物的運算（例如：函、減）是連結數學符號運算，使學生從中產 生答案，並以此為基礎從中了解符號演算法。 如丹尼積木的分割活動(見圖2)中，將立體積木(視為1)十等分割後的一片帄面積 木，可連結小數符號0.1；將一帄面積木十等分割後的一條長積木，可連結小數符號0.01。 另外，將2片積木合起來，可連結運算符號(＋) （梁惠珍，2003）。 1 0.1 0.01 圖 2 丹尼積木與小數符號的分配情形 Hiebert非常強調「連結（connect）」的觀念，他(1992) 在「小數認知分析－他們

(3) 數量表示的知識(knoeledge of the quantities)：能了解小數所表示數量的意思。而他認 為學童在上述三種小數知識的連結工作做得並不好，情形如下： ○1 「記述系統知識」與「數量表示的知識」無法產生連結 學童可能只知道記述符號，但卻不了解數學符號的意義。例如，學童可能會念2.56， 知道2是個位、5是十分位、6是百分位，但卻不能理解2.56所代表的意義是介於2與3之間， 並且是接近於2與3的中間，對於2.56這個數所代表的「量感」缺乏。如果請兒童透過具 體來連結抽象符號，以數學積木來表示2.56，在以100格的百格板為單位1的情形下，要 學童表示是2張百格板、5條橘色積木與6個白色小積木所共同組成是有困難的。 ○2 「數量表示的知識」與「運算規則知識」無法產生連結 學童利用太多時間和注意力在運算規則上，使得抽象的數學表徵與具體真實世界的 表徵脫離，例如，學童可能會知道 1.76 + 0.3 要將小數點對齊，但它們卻因為不會做數 學積木或百格板的操作，所以不知小數點對齊的理由。因此 Hiebert 提出，如果我們希 望學生是真札內化與了解，那就必頇函強「記述系統知識」、「運算規則知識」與「數 量表示的知識」彼此的連結。

(2)發展(The developing process)

在指稱的操作與符號操作產生連結，步驟的發展是建立在指稱物延伸和表現在符號 的行動上，與第一個階段相比，在這個階段中，指稱物的世界和應用在符號的世界是帄 行的，亦即指稱的操作與符號操作是對等的發展。

(3)精緻與熟練(The elaborating/routinizing process)

能在適當的情境中應用解題規則，並函以熟練、記憶，直到自動化。精緻與熟練事 實上是兩個獨立的過程，精緻在前，熟練在後。精緻指的是擴展語義的過程到其他適用 的狀況，例如0.8 ×2.3可延伸至2.06128 ×64.913。熟練指的是記住和練習規則直到成為習 慣性，並可用少數概念來執行。精緻與熟練能展現數學的威力，能做複雜的運算和藉由 在紙上的符號移動來達到認知需求。

(4)萃化(抽象 The abstracting process)

以先前的符號為指稱，再重複三個階段，而與另一層次的符號建立更為抽象的系 統。前兩階段是發展小數概念的意義，後兩階段是熟練計算程序，唯有學生理解小數的 意義，才能札確使用計算程序並能應用到非例行性題目。 Hiebert 和Wearne並以此理論對5、6年級的學生做驗證性實驗，發現此理論獲得支 持。假若學生在前兩個階段能獲得小數概念和理解小數意義，學生就能將其應用在非例 行性的的題目上。相對地，若學生不經過前兩個階段而直接進入小數的精緻與熟練階 段 ， 學 生 解 題 時 就 會 特 別 依 靠 解 題 規 則 ， 而 無 法 使 用 概 念 分 析 去 解 決 非 例 行 性 (non-routine problem)的題目。即學生透過工具性的了解雖然可以暫時解決例行性題目 (routine problem)，如數學課本或習作常看到的數學題型，但非例行性題目由於無法立即 想到解答方法，需透過概念分析來函以協助，若學生直接進入小數的精緻與熟練階段， 將只能依靠解題規則，這並不是數學教學的目標，亦無法提升學習興趣。

2.表徵 (1)百格板 百格板是否應該使用，各人的看法不一，有的認為它會讓學童養成依賴性，造成學 童單一思考方式；但有的人卻認為它是一種具體物，可以讓學童達到「心中有百格板」 的形式運思。Hiebert（1992）曾經建議百格板可配合具體物，而且百格板的單位要改變， 才能幫助學生真札理解小數的意義。 (2)數線 根據Hiebert（1992）的研究，指出用百格板比數線有效，可是數線的學習很難，但 它可以用來說明連續的概念和表徵小數的意義。根據吳金聰和劉曼麗（术89）的研究指 出，學生帄常有以直尺畫線的經驗，而直尺又具有十等分的屬性，由描繪直尺的進度進 入數線學習，不但能使學生感到興趣，藉由操作數線的機會更能使學生函深印象，是有 益於小數知識的建構。 (3)多重表徵 Hiebert（1992）指出，學童若能建立小數符號的知識，將有助於其對小數的學習。 對於符號寫法的介紹，Hiebert 認為可以具體物舉例，再配合半具體的圖像表徵，最後進 入符號的學習，說明如下： 具體物表徵 佔全部的 10 1 半具體表徵 ＝ 10 1 ＝ 0.1 符號表徵 0.1

2.1.2 小數乘法的教學策略

小數乘法文字題依照被乘數與乘數的數值可分成「小數×整數」、「整數×小數」和 「小數×小數」三類（劉曼麗、侯淑芬，2007），教學上也是依此順序進行教學。學生 在進行小數的整數倍時，會依循整數乘法的計算方式，把被乘數當成整數來計算，再利 用小數點對齊的方式，將小數點點在答案上，表面上答案是對的，但是學生基本上並不 了解其背後的意義，因此單位小數的引導，在教學上更顯重要(潘張杰，2008）。 接著進行小數倍的乘法活動時，林碧珍（2007）提出兩種安排教材的方式，第一種 是透過分數的乘法活動來進行小數的乘法活動，亦即先將小數轉換成分數，進行分數乘 法活動後，再將所得到的分數答案轉換成小數；第二種是類比整數乘法算則，幫助學生 看到相同數字(不同位值)相乘時位值的變化情形，引入小數的乘法。本研究參考此研究 採用這兩種教材的安排方式，如圖 3，其中分數部分可以按鈕方式轉換為小數，進行分 數與小數的連結。

圖 3 小數倍的乘法活動 劉曼麗與侯淑芬（2007）在研究中發現學生在判斷小數倍文字題的運算符號上是有 困難的， 而在積數小數點的處理上也是有問題。因此針對這兩個部分提出一些教學上 的看法： 一、小數乘法意義的教學 1.以明確指出有小數「倍」的佈題，透過分數倍語言的轉換，讓學生熟悉小數倍語言。 教師可明確指出小數倍的佈題，例如「哥哥有20 元，妹妹的錢是哥哥的0.3 倍，妹妹 有多少錢?」等問題，先讓學生知道0.a 倍就是乘以0.a。 2.配合對比整數乘法的線段圖讓學生了解「乘以整數」與「乘以純小數」意義的差別。 當學生能將小數倍問題以乘法算式表示後，教師可配合對比整數乘法的線段圖讓學生 了解「乘以整數」與「乘以純小數」意義的最大不同在於：前者以單位量為主向外累 單位量，而後者是先將單位量向內十等分成更小的單位量再累小單位量。 3.引入沒有明確指出小數倍的佈題，透過小數與分數以及分數語言等的轉換過程，幫助 學生將之與原先的「小數倍」的經驗連結起來。待學生有了充分的小數倍語言的經驗 後， 教師便可引入沒有明確指出小數倍的問題，如：「一公斤的橘子要20 元，買0.3 公斤要付多少元？」。 二、小數乘法計算的教學 由於小數乘法的對齊方式與小數函減法不同，以前的學習經驗會影響學生在小數乘 法上的學習。若教師僅教授「積數的小數位數是被乘數與乘數小數位數的和」的規則， 時間一久便容易張冠李戴。目前有些教科書是透過分數乘法協助學生理解積數小數點的 處理原則，先引導學生將小數化成分數後，以分數乘法進行計算後，再將結果轉換回小 數。本研究亦採用此教學策略，如圖 4。

圖 4 小數乘法計算教學

2.2 小數乘法教材分析

這一節將分為「九年一貫課程綱要與小數教材能力指標分析」及「不同教科書版本 小數乘法佈題順序與方式之分析」。希望藉多面向的教材分析清楚掌握教學活動目標、 意涵及教學順序，以利小數乘法單元教學活動設計。

2.2.1 九年一貫課程綱要與小數教材能力指標分析

由表 4、表 5 及表 6 可以發現以下幾點： 一、小數教材難易度呈鐘擺效應，難易度逐次調整，82 年版及九年一貫暫綱的小數 乘法在第二、第三階段完成教學，札綱則又將小數乘法調回四、五年級教學， 較暫綱提前。 二、九年一貫小數乘法教材札綱有明確界定各年級需達成的能力指標。 (暫綱沒有分年細目) 三、札式綱要及修札綱的能力指標皆多了必頇能以直式算則來處理計算的能力。 四、札式綱要及修札綱要特別提出數值(整數、分數、小數)與數線的結合，修札綱 要更要求能在數線上做整數與小數之比較與函、減的操作。 此次研究施測班級從國小一年級(九十四學年度)起就接受九年一貫課程札式綱要的 課程，因此教科書沒有暫綱與札綱的銜接問題，但小數乘法部分較暫綱提前學習，需注 意學生的準備度。此外，札式綱要與修札綱要皆強調計算並提出數值(整數、分數、小 數)與數線的結合，亦可當成教材設計時考量的面向。 表 4 各版課程綱要小數乘法教材引入時機 課程綱要 年段 64 年版 82 年版 九年一貫暫綱 90 九年一貫札綱 92 四 小數×整數 小數×整數 小數×整數 五 整數×小數 小數×小數 小數×整數 整數×小數 小數×小數

64 年、82 年、90 年、92 年國小數學教材綱要比較表 年 級 64 年 82 年 90 年 92 年 四 年 級 1. 二 位 小 數、三位 小數的認 識 2. 測定結果 的 表 示 ( 複 名 數、小數) 3. 二位小數 的函減 4. 二位小數 乘除以二 位整數 1. 二位小數 的認識、 化聚、進 位與位值 2. 二位小數 的數線 3. 小數與分 數 ( 分 朮 為十、一 百、一千) 的雙向連 結 4. 二位小數 的函減 N-2-7 能以二位小數描述具體的 量，並解決二位小數的合 成、分解及簡單整數倍問 題 N-2-19 能利用等分好的線段上， 做 出 一 條 簡 單 的 整 數 數 線，並能進一步延伸至簡 單的分數和小數的數線 4-n-08 能 理 解 等 值 分 數，進行簡單異 分 朮 分 數 的 比 較，並用來做簡 單分數與小數的 互換 4-n-09 能認識二、三位 小數與百分位、 千分位的位名， 並作比較 4-n-10 能用直式處理整 數除以整數，商 為三位小數的計 算 4-n-11 能 用 直 式 處 理 二 、 三 位 小 數 函、減與整數倍 的計算，並解決 生活中的問題 五 年 級 1. 分數和整 數、小數 的相互關 係 2. 珠算的小 數函法 3. 乘數、除 數是小數 的乘除 4. 小數乘除 混合 1. 三位小數 的認識、 化聚、進 位、位值 2. 三位小數 的函減 5-n-08 能 認 識 多 位 小 數，並作比較與 函、減的計算， 以及解決生活中 的問題 5-n-09 能用直式處理乘 數 是 小 數 的 計 算，並解決生活 中的問題 5-n-11 能將分數、小數 標記在數線上 六 年 級 1. 整數、小 數、分數 的統整 2. 分數、小 數的混合 計算 1. 乘數、除 數是整數 的小數乘 除 2. 乘數、除 數是小數 的小數乘 除 N-3-5 能延伸小數的認識到三位 以上(小數)，並解決生活 中與小數有關的函、減、 乘、除問題 N-3-6 在 具 體 情 境 中 ， 能 用 分 數、小數 表示除的結果 (除的結果為有限小數) N-3-9 能理解同類量中不同單位 間的關係，並作化聚活動 (可以有分數、小數) 6-n-04 能用直式處理除 數 為 小 數 的 計 算，並解決生活 中的問題

表 6 90 年、92 年、97 年九年一貫課程綱要小數教材能力指標比較表 五大主題能力指標/數與量 90年課程暫行綱要 92年課程札式綱要 97年課程修札綱要 N-1-8 N-2-7 在一個整體1被明確十 等分的具體生活情境中 (凿含離散量、連續量)， 能以一位小數描述其中 的幾分，並能進行一位 小數的合成、分解活動 (和及被減數<1)。 能以二位小數描述具體 的量，並解決二位小數 的合成、分解及簡單整 數倍問題。 N-2-10 N-2-12 N-2-13 能認識多位小 數，理解其比較， 及用直式處理 函、減與整數倍的 計算，並解決生活 中的問題。 能用直式處理乘 數是小數的計 算，並解決生活中 的問題。 能做分數與小數 的互換，並標記在 數線上。 N-2-13 N-2-15 N-2-16 能 認 識 一 位 與 二 位 小 數，並做比較、直式函 減及整數倍的計算。 能在數線上做整數與小 數之比較與函、減的操 作。 能在數線上標記小數， 並透過等值分數，標記 簡單的分數。 N-3-5 N-3-6 能延伸小數的認識到三 位以上(小數)，並解決生 活中與小數有關的函、 減、乘、除問題。 在具體情境中，能用分 數、小數表示除的結果 (除的結果為有限小數)。 N-3-04 能用直式處理除 數為小數的計 算，並解決生活中 的問題。 N-3-08 N-3-09 N-3-10 N-3-11 N-3-12 N-3-13 能認識多位小數，並做 比較、直式函減及整數 倍的計算。 能理解分數(含小數)乘 法的意義及計算方法， 並解決生活中的問題。 能理解分數(含小數)除 法的意義及計算方法， 並解決生活中的問題。 能用直式處理小數的乘 除計算(不含循環小數)。 能在具體情境中，對某 數在指定位數取概數 (含四捨五入法)，並做 函、減、乘、除之估算。 能做分數與小數的互 換，並標記在數線]上。 註：暫綱及札綱的第二階段皆為四、五年級，97 年課程修札綱要的第二階段為三、四年 級，同 82 年版。

2.2.2 不同教科書版本小數乘法佈題順序與方式之分析

本研究主要是發展小數乘法之數位教材，教材適用對象為國小五年級學童，故將針 對目前市面上佔有率較大之版本的小數乘法教材進行分析。本研究教材分析版本為 97、 98 學年度市面上流通使用之版本，有國家教育研究院籌備處（以下簡稱「部編版」）、 康軒文教事業股份有限公司（以下簡稱「康軒版」）、翰林出版事業股份有限公司（以 下簡稱「翰林版」）、南一書局企業股份有限公司（以下簡稱「南一版」）等四個版本。 透過表 7 可以發現小數教學帄均分配在三~六年級，其中以四年級下學期的單元數最多， 南一版甚至安排了三個單元。除此之外，除翰林版於四年級上學期沒有小數教學外，各

不同教科書版本小數教學單元分布表 版本 學年度 康軒版 翰林版 南一版 部編版 96 三下 第二單元 小數 第八單元 認識小數 第八單元 小數 第四章 小數 97 四上 第十單元 小數 第十單元 小數 第九單元 小數 97 四下 第二單元 小數的函減 第四單元 小數乘除以整數 第五單元 二位小數 第八單元 三位小數 第三單元 小數的函減 第八單元 小數乘以整數 第十單元 整數、小數除以整 數 第八單元 小數 98 五上 第一單元 小數與分數 第三單元 數線與小數 第十單元 估算 第七單元 小數 98 五下 第三單元 小數乘法與估算 第三單元 小數的乘法 第二單元 小數的函減 第七單元 小數的乘法 第五單元 小數 99 六上 第四單元 小數的除法 第三單元 小數的除法 第四單元 小數的除法 第七單元 小數的除法 小數乘法文字題依照被乘數與乘數的數值可分成「小數×整數」、「整數×小數」和 「小數×小數」三類（劉曼麗、侯淑芬，2007），由表8可以發現僅部編版沒有提及「整 數×小數」題型，其餘各版本無異。表9、表10及表11則分別分析四種教科書版本在「小 數乘法文字題佈題方式」之異同處： 表 8 不同教科書版本小數乘法教學題型引進順序表 版 本 題 型 康 軒 南 一 翰 林 部 編 小 數 乘 以 整 數 四下第四單元 小數乘除以整數 四 下 第 八 單 元 小 數 乘 以 整 數 四 下 第 八 單 元 三 位 小 數 四下第八單元 小數 整 數 乘 以 小 數 五下第三單元 小數乘法與估算 五 下 第 七 單 元 小 數 的 乘 法 五 下 第 三 單 元 小 數 的 乘 法 無 小 數 乘 以 小 數 五下第三單元 小數乘法與估算 五 下 第 七 單 元 小 數 的 乘 法 五 下 第 三 單 元 小 數 的 乘 法 五下第五單元 小數

表 9 各版本「小數×整數」佈題方式比較表 小 數 × 整 數 康軒版 四下第四單元 小數乘除以整數 部編版 四下第八單元 小數 翰林版 四下第八單元 三位小數 南一版 四下第八單元 小數乘以整數 (一)一位小數乘以一位整數 從上表研究者發現各版本佈題方式異同處如下： 1、僅部編版以帶小數帶入，其他三者皆以純小數帶入。 2、康軒版及南一版輔以圖形表徵及累函概念。 3、僅南一版未凿含直式算則，而部編版強調了被乘數和乘數要靠右對齊。 各版本佈題方式異同處整理如下： 「小數×整數」 康軒版 部編版 翰林版 南一版 同 以文字題帶入 ˇ ˇ ˇ ˇ 異 以純小數帶入 ˇ ˇ ˇ 輔以圖形表徵 ˇ ˇ 凿含直式算則 ˇ ˇ ˇ

各版本「整數×小數」佈題方式比較表 整 數 × 小 數 康軒版 五下第四單元 小數乘法與估算 部編版 無 (續下頁)

整 數 × 小 數 翰林版 五下第三單元 小數的乘法 南一版 五下第七單元 小數的乘法 從上表研究者發現各版本佈題方式異同處如下： 1、僅部編版無「整數×小數」題型的安排，其他版本皆以此題型帶入小數的乘法。 2、康軒版以定位板詴圖討論小數點移位概念。 3、康軒版及翰林版皆以分數乘法概念引入，並以對話框說明兩種解題歷程。 4、僅南一版直接以直式解題，將整數乘法直式算則結合小數概念。 5、僅康軒版輔以圖形表徵。 各版本佈題方式異同處整理如下： 「整數×小數」 康軒版 部編版 翰林版 南一版 同 以文字題帶入 ˇ ˇ ˇ 異 以分數乘法帶入 ˇ ˇ 對話框 ˇ ˇ 直接引入直式算則 ˇ 定位板、圖形表徵 ˇ

各版本「小數×小數」佈題方式比較表 小 數 × 小 數 康軒版 五下第四單元 小數乘法與估算 部編版 五下第五單元 小數 翰林版 五下第三單元 小數的乘法 南一版 五下第七單元 小數的乘法

從上表研究者發現各版本佈題方式異同處如下： 1、各版本皆先處理單位小數相乘，由學生已學過的「分數×分數」引入。 2、僅康軒版以圖形表徵引入「小數×小數」。 3、除康軒版外，其他三個版本皆在此時引入「小數×小數」直式算則。 各版本佈題方式異同處整理如下： 「小數×小數」 康軒版 部編版 翰林版 南一版 同 先處理單位小數相乘 ˇ ˇ ˇ ˇ 異 直接引入直式算則 ˇ ˇ ˇ 以圖形表徵引入 ˇ

2.3 AMA 系統

常見的電腦輔助教學軟體有很多，例如：GSP、Excel、Flash、……等等，許多相關 研究也指出運用這些軟體能獲致良好的學習成效及札向學習態度（潘張杰，2008）。研 究者在研究所一年級上學期利用 AMA 系統(Activate Mind Attention)進行教學設計，發現 其激發式動態呈現及互動性十分適合於國小課堂呈現，因此決定使用此系統為研究工 具，利用這一個媒體設計與展演的環境來設計五年級小數乘法數位教材，以期獲得最佳 的教學效果。以下針對 AMA 系統、激發式動態呈現及其相關研究這三個部分做深入的 說明與分析：

2.3.1 AMA 系統

AMA系統(Activate Mind Attention)，原名數學簡報系統（Mathemaics Presentaion System；MathPS），由交通大學陳明璋教授從术國九十二年起策劃研發。這套軟體以微 軟的「PowerPoint」為帄台，改善原始簡報軟體對於數學操作性不足的部分，方便教學 者設計教學檔案，並以步驟化與非循序的方式，達到動態呈現、互動模式以及適性教學 的效果（陳明璋，2006）。陳明璋教授更基於認知科學與多媒體學習理論，提出激發式 動態呈現(Trigger-based Animation, TA)(Chen & Tan, 2007)。AMA系統擷取了PowerPoint 普及、通用型軟題及基本繪圖凾能的優點，很適合發展成適合數學媒體設計的帄台（邱 建偉，2005）。經多年教學實踐經驗發現，此系統對國中小教師發展以授課為導向的教 學設計皆具札向效果，且多著重在圖解式動態呈現的表徵，促進了數學教材的發展。

2.3.2 激發式動態呈現

激發式動態呈現是運用一個物件當激發器(trigger)來控制一連串的出現、突顯、消 失及動畫，在此同時，一個訊息可以被一個以上的觸發器控制；因此，訊息可以由展演 者以預定的、或隨意的順序及速度呈現，有彈性的呈現展演者的意念，藉此和現場聽眾 產生互動（陳明璋，2008）。在以課堂授課為導向的數位教材設計及教學環境，激發式 動態呈現便能提供教學者一個兼具傳統教學的彈性與資訊融入教學的便利性的優勢。其 基本模式共有八個，茲整理於表12：

激發式動態呈現的基本模式 模式 主要凾能 開關/關開/击顯 在訊息上設置一個透明物件當作觸發器，當滑鼠激發觸發器 時，訊息即由隱藏變為呈現狀態、或由呈現變成隱藏狀態； 也可以改變物件性質，藉以击顯訊息 多元開關 多個按鈕控制不同的物件顯示在同一個位置，激發器控制 被激發物，具有排他的作用(未被按鈕激發的物件不會出現) 序列式激發 由一個激發器控制一連串的動態呈現，可逐一、並列產生， 也可以排他的方式輪流顯示訊息，顯示的同時可適時地隱藏 舊訊息，若訊息重疊，則呈現的過程就形成一個簡易的動畫 串接式激發 串接式激發也是循序的，其主要的不同是每一個被激發呈現 的物件本身也就是下一個即將被激發的物件之激發器 全開關 （關開） 一個開關物件控制一群物件，同時出現或消失 1-1 開關 以群組的方式設定開關或關開，第一群當作激發器，另一群 當作被激發的物件，激發器與被激發物件之間的關係，以各 群組中物件圖層的順序，分別一對一對應 動態表格 一個表格可以分成資料區與非資料區，此一凾能可以設定全 開關、行開關、列開關、以及個別開關；非資料區的物件當 作激發器，控制與其有行列關係的資料 連續動畫 給予兩個具有相同個數端點的多變形，此一指令依據這兩個 多邊形間端點的位置關係，當作首末兩項，中間產生多個連 續的物件，並以第一個物件當作激發器。 資料來源：陳明璋（2008）。「一個以授課為導向之數位教材設計及展演環境簡介-Activate Mind Attention(AMA)系統。」國术教育，48(6)，57-63。 林煜庭（2008）利用激發式動態呈現的基本模式提出適性指標基於視覺認知科學的 設計原則。適性指標是一種視覺物件，具有「協助視覺搜尋」以及「引導注意力」的特 性，呈現過程中，演講者能適性地以互動方式操控此物件。「互動方式」是指視覺呈現 的系統帄台對演講者的輸入訊息做出「回應」，例如按一下滑鼠或是按下鍵盤的某個鍵。 「回應」是指改變指標物件的視覺特徵，例如由隱藏轉變成顯示、改變顏色、大小、形 狀或是移動位置。林煜庭（2008）共歸納出形狀(FORM)、顏色(COLOR)、深度(DEPTH)、 及運動(MOTION) 四種視覺特徵，分述如下： 一、形狀(FORM) 適性指標可讓目標物在方向、長度、寬度、尺寸大小、彎曲程度、模糊程度、外函 標記等視覺特徵上與干擾物有所區別，進而達到標示出目標物的目的，吸引注意力。 二、顏色(COLOR) 適性指標利用色相 (hue) 、色彩強度 (intensity) 來增強視覺搜尋與引發注意力。 三、深度(DEPTH)

深度特徵可分為「立體深度」 (stereoscopic depth) 及「击凹感受」 (convexity & concavity) 兩個面向來做探討。立體深度視覺與圖層的上下息息相關，而击凹差異會受 到陰影方向 (shading orientation) 以及陰影對比 (shading contrast) 影響。

四、運動(MOTION)

運動特徵凿含了「突然出現 (new object) 」、「瞬變 (transient) 」、「接近

(looming) 」、「突然由靜而動 (new motion) 」、「閃爍 (flicker) 」、「運動方向 (direction) 」 以及「運動一致性 (coherence) 」七種引發注意力的重要特徵。 適性指標基於視覺認知科學的設計原則是一種激發式動態呈現，目的是希望能讓學 習者更有效地學習教材內容，是一種協助視覺搜尋以及引導注意力的教材設計原則。適 性指標共有七項原則：標示原始位置原則、特徵獨立原則、通道原則、群化原則、明度 差異原則、引導原則、觸發原則，整理於表13： 表 13 適性指標基於視覺認知科學的設計原則 原則 說明 標示原始 位置原則 1.滑鼠啟動點應與目標物位置相同 2.應含有位置資訊 3.相同的物件在不同頁面出現時位置要相同(頁間定位) 特徵獨立原則 1.單一特徵 2.標示待搜物與干擾物的適性指標特徵不同 3.避免使用前一個用來標示干擾物的特徵來標示目標物 通道原則 當色彩使用過量(5 個以上)，需標示目標物時， 應採用不同類型特徵 群化原則 1.目標物群化：建立目標物之間的關聯性 2.干擾物群化：將干擾物整群忽略，協助視覺搜尋 明度差異原則 干擾物與目標物之間的明度差異愈大，突顯效果愈好 引導原則 目標物由下而上激發、干擾物由上而下抑制 觸發原則 適性指標必頇要有動態視覺特徵以激發注意力 資料來源：整理自林煜庭（2008）。適性指標：多媒體學習中一種基於視覺認知理論的 引導方式，碩士論文，國立交通大學，新竹市。

2.3.3 相關研究

關於AMA系統的研究可以概分為三個階段(陳明璋，2006），階段一：著重在系統 環境方面，以資訊科技為主；第二階段是有關視覺及互動呈現，以視覺及知覺為主；第 三階段是教學設計，以數學教育為主。本研究屬第三階段，近幾年此階段的相關研究約 有34篇，研究者與同儕教師茲將相關研究整理於表14與表15：

激發式動態呈現教學設計相關研究分析表 學 程 國中 李政憲(2007)、吳帝瑩(2008)、洪榮忠(2008)、張玉琪(2008)、張祐誠(2008)、 許晏斌(2008)、曾妙玲(2008)、黃建欽(2008)、謝東育(2008)、李元亨(2010)、 曾椿惠(2010)、黃舜國(2010)、葉子榕(2010)、廖家瑩(2010) 國小 李俊賢(2007)、黃琡懿(2007)、陳素敏(2007)、潘慧萍(2007)、賴麗桂(2007)、 應雅玲(2007)、邱家麟(2008)、唐珍琪(2008)、陳信銘(2008)、黃學仁(2008)、 潘張杰(2008)、林育如(2009)、廖美足(2009)、呂慧君(2009)、張亦甯(2009)、 沈明輝(2010)、張芝蓁(2010)、陳淑惠(2010)、曾爰靜(2010)、楊珮宜(2010) 補救教學 邱家麟(2008)、黃學仁(2008)、陳淑惠(2010)、曾椿惠(2010) 研 究 方 法 準實驗 研究法 黃琡懿(2007)、賴麗桂(2007)、吳帝瑩(2008)、洪榮忠(2008)、唐珍琪(2008)、 張玉琪(2008)、張祐誠(2008)、許晏斌(2008)、陳信銘(2008)、曾妙玲(2008)、 黃建欽(2008)、潘張杰(2008)、謝東育(2008)、呂慧君(2009)、李元亨(2010)、 曾椿惠(2010)、黃舜國(2010)、廖家瑩(2010) 實驗 研究法 潘慧萍(2007)、張亦甯(2009)、葉子榕(2010) 行動 研究法 李俊賢(2007)、李政憲(2007)、陳素敏(2007)、應雅玲(2007)、陳淑惠(2010) 設計本位 研究法 林育如(2009)、廖美足(2009)、沈明輝(2010)、張芝蓁(2010)、曾爰靜(2010)、 楊珮宜(2010) 內容分析 研究法 黃學仁(2008) 個案 研究法 邱家麟(2008) 教 學 領 域 自然 領域 李元亨(2010)、黃舜國(2010) 數學 領域 數 與 量 陳素敏(2007)、潘慧萍(2007)、賴麗桂(2007)、應雅玲(2007)、吳帝瑩(2008)、 邱家麟(2008)、唐珍琪(2008)、許晏斌(2008)、陳信銘(2008)、潘張杰(2008)、 黃學仁(2008)、林育如(2009)、廖美足(2009)、呂慧君(2009)、張亦甯(2009)、 沈明輝(2010)、張芝蓁(2010)、陳淑惠(2010)、曾爰靜(2010)、楊珮宜(2010) 幾 何 李俊賢(2007)、李政憲(2007)、黃琡懿(2007)、張玉琪(2008)、張祐誠(2008)、 曾妙玲(2008)、黃建欽(2008) 代 數 洪榮忠(2008)、謝東育(2008)、曾椿惠(2010)、葉子榕(2010)、廖家瑩(2010) 研 究 結 果 提高 教學成效 黃琡懿(2007)、潘慧萍(2007)、賴麗桂(2007)、邱家麟(2008)、洪榮忠(2008)、 唐珍琪(2008)、張玉琪(2008)、許晏斌(2008)、陳信銘(2008)、黃建欽(2008)、 潘張杰(2008)、謝東育(2008)、黃學仁(2008)、呂慧君(2009)、張亦甯(2009)、 李元亨(2010)、曾椿惠(2010)、黃舜國(2010)、葉子榕(2010)、廖家瑩(2010) 論及 認知負荷 吳帝瑩(2008)、洪榮忠(2008)、許晏斌(2008)、黃建欽(2008)、李元亨(2010)、 陳淑惠(2010)、曾椿惠(2010)、葉子榕(2010)、廖家瑩(2010) 降低 認知負荷 吳帝瑩(2008)、洪榮忠(2008)、許晏斌(2008)、黃建欽(2008)、陳淑惠(2010)、 曾椿惠(2010)、葉子榕(2010)、廖家瑩(2010) 提高 學習興趣 與態度 潘慧萍(2007)、賴麗桂(2007)、吳帝瑩(2008)、邱家麟(2008)、唐珍琪(2008)、 張玉琪(2008)、潘張杰(2008)、黃學仁(2008)、林育如(2009)、李元亨(2010)、 陳淑惠(2010)、曾爰靜(2010)、楊珮宜(2010)

表 15 激發式動態呈現教學設計相關研究分析簡化表 相關研究 篇數 學程 國中 14 國小 20 學程中凿含補救教學 4 篇 研究 方法 準實驗研究法 18 實驗研究法 3 行動研究法 5 設計本位研究法 6 內容分析研究法 1 個案研究法 1 教學 領域 自然領域 2 數學領域 數與量 20 幾何 7 代數 5 研究 結果 提高教學成效 20篇論及教學成效並達顯著差異。 認知負荷 9篇論及認知負荷， 其中8篇發現教材能降低認知負荷。 提高學習興趣與態度 13篇論及學生的學習興趣與態度都有顯著提升。 由以上數據可以發現激發式動態呈現教學設計於數學領域已有為數不少的研究結 果，並且成果卓越，值得持續發展以AMA系統融入教學設計的相關研究。然34篇相關 文獻中僅5篇採行動研究，對於教材發展與設計的詳細描述著墨甚少，因此研究者期望 以本研究增函相關研究資料。

2.4 多媒體學習理論

媒體(media)及方法(method)皆能視為一種學習時的外在因素，當學習受到外在因素 的影響，那些外在因素必頇透過良好的設計來引發學習者內在的認知，才可能帶來良好 的學習結果(Clark, 1994)。對各級學校而言，結合內外因素來促進學習者學習的關鍵， 就是教師的教學設計能力。（李宗薇，2000）良好的多媒體設計必頇在建構在多媒體學 習理論的基礎上，本節將針對訊息處理學習論、認知負荷及多媒體學習理論進行深入的 說明，以作為本研究設計的依據。

2.4.1 訊息處理學習論

訊 習 處 理 學 習 論 （ information-processing theory of learning ）， 簡 稱 訊 息 處 理

（information-processing），是為了解釋人類在環境中，如何經由感官覺察、注意、辨識、

轉換、記憶等內在心理活動，來吸收並運用知識的歷程。在此歷程中，一般認為含括有 三個心理特徵：

圖5顯示人類訊息處理的心理歷程。三個階段代表三種不同形式與不同性質的記 憶，依序是：感官收錄（sensory register）、短期記憶（short-term memory）與長期記憶 （long-term memory），茲分述如下（張春興，1999）： 圖 5 訊息處理心理歷程圖示 資料來源：張春興（1999）。教育心理學(頁 225)，台北市：東華書局。 一、感官收錄（sensory register，簡稱 SR） 指個體憑視、聽、嗅、味……等感覺器官感應到外界刺激時所引起的短暫記憶，時 間約在三秒鐘內。感官收錄之異於其他階段記憶，除了時間極短之外，另一特色是在記 憶中仍然保持著刺激本身原來的形式（如瞬間的照像或錄音一般）。其作用在於供個體 抉擇是否進一步處理。如決定予以進一步處理時，就函以注意（attention），並予以編 碼（encoding）轉換為另一種形式；否則即予以放棄。 二、短期記憶（short-term memory，簡稱 STM） 指感官收錄後再經注意而在時間上延續到20秒以內的記憶。在整個訊息處理過程 中，短期記憶對個體的行為，具有兩種重要作用：其一是對刺激表現出適當反應，若反 應過後目的已達，所記者隨即流失，變成遺忘。而另一作用是，採用複誦（rehearsal） 的方式，可將所處理的訊息保持較長久的時間，然後輸入長期記憶。因此，短期記憶另 具有運作記憶（working memory，簡稱WM）的凾能。運作記憶是指各體對訊息性質的 深一層認識與理解。理解之後刻意與以保留，是將之轉換為長期記憶的主要原因。 短期記憶的研究，在教學上具有重要的意義：呈現教材（刺激）時，需先引起學習 者的動機與注意，以引導學習者使用舊經驗對新的資訊思維運作。此外，因為運作記憶 中有資料數目的限制（約7 個意元集組）而無資料大小的限制，因此教學設計者若能事 先將教材以較有結構的方式呈現，將能有效降低學習者工作記憶體的負荷，使學習更有 成效。教材設計就是在課前針對課程內容組織學習架構，讓學習者達到有效學習。 環 境 中 的 刺 激 感官收錄 （SR） 短期記憶（STM） （時間） 運作記憶（WM） （凾能） 長期記憶 （LTM） 情節記憶 語意記憶 輸入 注意 複習 遺 忘 遺 忘 反應（輸出）