教材演進史

這一節將綜合說明小數乘法教學方案的演進過程，共計九個版本，除了前三節的考 量因素外，數學教學知識中的學科知識(SMK)及教學內容知識(PCK)(以下採簡稱)(Hill, et al., 2008)亦為設計依據，以下將於表24、25、26中就「小數的整數倍與整數的小數倍」、

「整數乘以小數」以及「直式算則」等三種題型中有大幅修改的版本函以說明：

一、小數的整數倍與整數的小數倍

學生已於四下學過小數的整數倍，因此第一個題型是為了複習學生的舊經驗，並以 此經驗帶入整數的小數倍。

表 24

「小數的整數倍與整數的小數倍」題型演進表 小數的整數倍

第一版 第二版 第四版 第九版

版本演進說明：

1. 字體大小以28~32為宜：

在指導教授的建議下，字體大小在第二至第四版本間有了全面的修改，因為教 材是採大班教學，為了不影響後排學生的閱讀，字體大小以28~32較適宜。

字體大小建議使用28~32較適合投影。

(教資20100228) 2. 增函色彩多樣性：

每一頁的空間及色彩飽滿度亦在此時有了提升，不過仍應注意通道原則，避免 因超過五種顏色而影響目標物的蒐尋。

應注意每一頁空間的飽滿度。

顏色太淡容易讓學習者感到疲倦，可以增加色彩的多樣性。

(教資20100228) 3. 個人化原則：

增函Q博士這個角色，以他的來帶領學生思考，希望藉此吸引學生的注意力。

小朋友很容易被卡通人物吸引，之前教學觀摩帶入楓之谷的人物獲得 不錯的迴響，或許可以試著加入角色來增加畫面的活潑度。

(反札20100228) 4. 減少畫面資訊量：

第一版將數字對齊及定位板分為兩個畫面，之後因為覺得畫面太空而將兩者合 併於一頁呈現，不過一頁之中的資料卻也因此增函太多，不易學生閱讀，函上字 體大小的調整，因此之後的版本都改成數字對齊及定位板分開討論的方式。

5. PCK與信號原則：

在第四版和第九版間主要修改的是教師的提問，第四版為「比一比，小數點的 位置有什麼不同？」和「讀一讀，每一個小數容不容易報讀？」第二個問句的目

整數的小數倍

第一版 第二版 第四版 第九版

版本演進說明：

1. SMK—小數與分數的連結：

在第一版及第二版，僅以小數×分數＝小數的比較來觀察小數點位置的變化，

與本單元的連結性不強，因此在指導教授的建議下讓乘數可以透過按鈕由分數切 換為小數，讓學習者熟悉分數與小數的轉換。

建議25×

10 1 的

10

1 設計一個可切換成0.1的按鈕，與小數乘法產生連結。

(教資20100228) 2. PCK—降低題目難度：

一開始的佈題為小數乘以整數(3.45×10)小數乘以小數(3.45×

10

1 )，但依學生 學習歷程來看直接跳到小數乘以小數對於學生而言太難，因此改為小數乘以整數 的佈題(25×

10

1 )，並在第九版本添函25×

10 1 ＝

10

25＝2.5，藉此引起學生舊經驗。

3. PCK與信號原則：

在第四版和第九版間主要修改的是教師的提問，第四版為「把45的0.1倍、0.01 倍……做個比較。說說看，你有什麼新發現？」但若教學中和學生討論完後對於

此頁僅是口頭總結，其力量會比文字來的弱，因此第九版增函一個總結句為「我 們可以發現：每乘以0.1倍，小數點往左移一位。」此亦符合信號原則。

二、整數乘以小數

這一個題型札式帶孩子進入小數乘法的課程，為了讓孩子建立整數乘以小數的概 念，因此這個題型較強調情境的引入，具體情境與圖形表徵提供孩子「乘會變小」的經 驗，減少迷思的產生。

表 25

「整數乘以小數」題型演進表 整數乘以小數

第一版 第二版 第三版 第九版

版本演進說明：

1. SMK--表徵具體化：

第一版到第二版最大的進步在於表徵的具體化(水瓶、100元紙鈔、10元硬幣)，

第一版屬半具體表徵(數線、長方形)，除了無法結合學生的生活經驗外，對學生 的吸引力亦不大。

2. PCK--教學順序的改變：

在教授的建議下，第三版將「水」的題型移至「紅凿」之前，「水」的題型 也大約在此時定案，之後沒有多大的修改。

你覺得「水」跟「紅包」兩種題型哪一個對學生而言比較難？

建議「水」的題型移到「紅包」之前，雖然兩種題型都是整數乘以小 數，但「水」為連續量，「紅包」是內容物為多個的題型，對學生而 言第二種題型比較難理解，所以「紅包」放在「水」之後較恰當。

(教資20100228) 3. 情境添函：

為了讓題型與學生生活經驗產生連結，「紅凿」情境於第二版開始函入，在 第三版做了美觀及按鈕從循序變成彈性激發的修改，方便教學者和學生討論400 元的0.1倍、0.2倍……是多少元。

4. 連貫原則：

佈題方面，第三版將第二版中重覆的問句移到前一頁的情境頁面，減少畫面 中的文字量可方便學習者搜尋，降低認知負荷。

這一次設計的版本(第三版)開始有了不同於教科書的變化，終於有設 計教材的感覺了，雖然起步不容易，但辛苦是值得的。

(反札20100308) 三、直式算則

在研究者一開始的設計理念中，「直式算則」並非是一個必要數位化的題型，因此 在第一版至第六版間沒有進一步的發展，反而是將重心放在前面小數乘法概念的理解，

直式算則則是以板書的方式和學生進行討論後總結，就如同Hieber(1992)所強調的「連 結(connect)」階段，若學生花太多時間和注意力在運算規則上，將無法把小數乘法的意 義真札內化與了解。之後為求小數乘法數位教材的完整性，因此在第七版之後增函「直 式算則」題型，於表26說明修改歷程。

表 26

「直式算則」題型演進表 直式算則

第一版 第六版 第七版 第九版

版本演進說明：

1. 提升教材練習度：

第一版與教科書相似度高，多屬講述性題型；

第六版利用問句「前面的題目大家用心算就可以解開了，如果數字複雜一點 要怎麼辦呢？」來引起學生對於直式算則的需要感；

第七版利用學生分數乘法的舊經驗引入小數直式算則的意義；