幾何學習內容

根據教育部於民國92年公布九年一貫課程綱要能力指標，在數學領域將 九年國民教育區分為四階段：階段一為一至三年級，階段二為四、五年級，

階段三為六、七年級，階段四為八、九年級。另將數學內容分為數與量、幾 何、代數、統計與機率、連結等五大主題。

(一)幾何課程可概分為四階段：

1. 階段一(一年級到三年級)：較強調幾何形體的認識、探索與操作，學 生對幾何形體中的幾何要素，也許能指認，但尚不清楚其結構意義。

2. 階段二(四年級到五年級)：由於數與量的發展逐漸成熟，學生開始結 合「數」與「形」兩大主題，學習運用幾何形體的構成要素(如角、

邊、面)及其數量性質(如角度、邊長、面積)。

3. 階段三(六年級到七年級)：透過形體的分割、拼合、截補、變形及變 換等操作，來了解形體的性質與幾何量的計算及非形式化推理。透 過方位描述及立體模型的展開與組合以培養空間能力及視覺推理。

4. 階段四(八年級到九年級)：開始由具體操作情境進入推理幾何情境中 ，最終目標是學會推理幾何證明，學習內容採漸進式安排，由基本 幾何概念進入較深入的幾何推理領域中，學習方式最開始可由填充 式推理幾何，慢慢養成完整能力，讓學生有能力及信心，快樂地學 習幾何學領域的知識。教材內含有認識生活中的平面圖形，如三角 形、四邊形、多邊形、圓形；認識點、線、角、符號及幾何相關名 詞；使用基本性質描述某一類形體；能以最少性質對幾何圖形下定 義、並熟練定義的相關操作；體會邏輯概念：包含關係、敘述及逆 敘述、推理幾何；求角度問題、長度問題、面積(表面積)問題、體 積問題；推理證明、尺規作圖、全等性質、相似性質、平行性質的 應用、圓的相關性質。

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國中八至九年級幾何課程的學習仍以學生已有的幾何直覺經驗為前導

，但強調主體或觀念的明確定義，及幾何量的代數運算。因此學習的內容 是由非形式化的推理逐漸提昇至形式化的推理。研究者以教育部(2003) 所 訂定「國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域」和本研究三角形三心單 元相關的能力指標及分年細目與詮釋作陳述。

(二)「三角形三心」單元相關的能力指標(括號內)及分年細目與詮釋 9-s-08 能理解三角形外心的定義和相關性質。(S-4-13、S-4-14、S-4-15) 說明：過三角形三頂點的外接圓圓心稱為三角形的外心。

理解三角形的外心至三頂點等距離。

理解直角三角形斜邊中點到三頂點等距離。

9-s-09 能理解三角形內心的定義和相關性質。(S-4-13、S-4-14、S-4-15) 說明：三角形內切圓的圓心稱為內心。

理解三角形的內心至三邊等距離。

設△ABC周長 s ，內切圓半徑 r，則△ABC 的面積＝ sr/2。

直角三角形中，內切圓半徑 ＝(兩股和－斜邊)÷ 2。

9-s-10 能理解三角形重心的定義和相關性質。(S-4-15)

說明：三角形三條中線必相交於同一點，這個點稱為三角形的重心。

理解三角形的重心到一頂點距離等於它到對邊中點的兩倍。

理解三角形三條中線將三角形面積六等分。

9-s-11 能以三角形和圓的性質為題材來學習推理。(S-4-15)

說明：幾何推理：是以『已知條件』及『已知為正確的幾何性質』，推 導出結論，這個過程稱為『證明』。

教學時可利用填充證明題開始，進而慢慢可獨立完成推理幾何證 明的寫作，但推理步驟不宜過多。

教學時可以垂直平分線性質、角平分線性質等來學習推理。

學習推導三個內角分別為30 度、60 度、90 度及 45 度、45 度、

90 度的直角三角形邊角關係，可為高中職課程中三角函數的學 習基礎。

學習推導正三角形面積及高的計算公式。

檢視指標的範疇與參考康軒版數學教科書，為了教學之流暢將課程活 動結合數位教材之進行如下表2.1，並依此編製學生學習單。

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(接前頁) 表2.1「三角形三心」教材的教學活動設計表

本單元教材已是國中幾何學習階段的壓軸，在Van Hiele 五階段學習模 式的第一階段「學前諮詢」中表示：了解學生已具備那些知識，藉以作為 教學準備之參考。因此教師需掌握前面學生所學之先備知識，分析本單元 所處的教材地位，方能在教學準備時，留意學生的學習狀況，並協助學生 解決困難。

(四)本研究單元的教材地位如圖 2.1：

圖2.1 教材地位分析 3.三角形

的重心

(1)能發現三角形重心的存在，重心必在三角形內部。

(2)能知道三角形三中線的交點就是重心。

(3)能了解重心到頂點的距離等於重心到對邊中點距離的 兩倍。

(4)三角形重心到一頂點的距離等於過該頂點之中線長的 三分之二。

(5)三角形的重心與三頂點連線將三角形的面積三等分 (6)三角形的三中線將此三角形的面積六等分。

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4.特殊三 角形的 三心關係

(1)等腰三角形的三心位置必在底邊中垂線(中線)上或頂 角平分線上。

(2)正三角形的外心、內心、重心是同一點。

(3)直角三角形的外心到重心的距離是斜邊長的 1 6

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本實驗教學「三角形三心」教材是國中階段幾何學習的最後一個單元，

從八年級開始學習幾何圖形的基本性質，到九年級逐步引入推理證明，最後 在「三角形三心」單元，三角形和圓的圖形結合，將學習的內容由非形式化 的推理逐漸提昇至形式化的推理，以奠定日後到高中幾何學學習的基礎。

(五)三角形三心的相關研究

查詢國家圖書館之全國博碩士論文資訊網及交通大學理學院網路專班 紙本論文，相關於研究「三角形三心」主題的論文共有四篇(粘憲昌，2004；

郭昭慧，2004；呂益昇，2005；謝銘祥，2007)，研究者從上述相關的研究依 教學對象設計教材和呈現的教學效果進行分析。

1.依教學對象設計教材：

基於Van Hiele層次的幾何思考模式特性中，學生和教學是在不同的幾何 認知層次，則預期的學習和發展可能不會發生，教材的設計需考量研究對象 和背景，才能適度規劃符合學生的學習需求。郭昭慧(2004)針對國一學生設 計電腦的GSP 幾何輔助課程，當時學生僅具備基本三角形的性質，所以教材 由中垂線性質介紹到外心的形成，角平分線性質介紹到內心的形成，利用動 態模擬的特性，呈現物件真實的旋轉或變換過程，加深學生對幾何圖形的印 象。謝銘祥(2007)利用Flash軟體開發可輔助國中數學教師教學並提供學生觀 察、探索的「三角形三心」幾何課程的電腦輔助教學軟體，對國三數學學習 低成就學生7人進行補救教學。呂益昇(2005)亦認為先提供圖形讓學生察覺現 象，引入學生熟悉的性質，解釋構圖的原理與存在性，然後提示不熟悉的性 質，證明所發現的現象，或以圖形的操作解釋(非形式論證)，最後完成證明。

是故在國三屬於高成就表現之特殊班級學生進行補救教學，先診斷學生學習 困難點，設計以「類比遷移」、「局部推理與模仿」教學策略逐步引導學生 跨越論證能力不足造成學習的困難。粘憲昌(2004) 針對國三學生分別探討學 生在詮釋導向與探索導向的學習任務中所呈現的學習特徵與學習成效，

參與實驗的學生經能力分組為全校27個班的前段7個班當中的2個班級。

此亦即說明上述研究者在幫助學生跨越幾何思考層次時，會從建立圖形 的心像著手，提供實際操弄圖形的經驗，培養觀察與非形式論證的能力、以 建立數學思考模式。

2.呈現教學效果：

四位研究者教學目標皆希望利用所設計的教材，激發學生主動學習數學 和培養解決問題的能力，經實驗之後各有不同之效果。郭昭慧(2004)所得結 果中實驗組的學生在圖形表徵的試題答對率優於控制組；但代數表徵的試題 答對率並未因GSP輔助教學而提升。實驗組中分群學生在數學學習成效上，

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明顯優於控制組中分群學生，而高低分群學生則不顯著。謝銘祥(2007)得知 參與電腦輔助補救教學的學生在數學學習成就測驗上後測成績顯著優於前 測成績。參與電腦輔助補救教學的學生比未參與電腦輔助補救教學而自行複 習學生進步。實施電腦輔助補救教學可以提高學生的學習興趣，增加學生的 學習信心。粘憲昌(2004)之詮釋和探索導向學習任務的連結方面兩者表現相 若；解題方面兩者亦都提升了。學習品質方面兩者的學習焦慮皆顯著下降，

但在動機、信念、互動等向度兩者提升情形有顯著差異。呂益昇(2005)對高 成就學生之補救教學給予正面的肯定且有效的使學生由形式證明的渾沌狀 態趨向明朗化，並有效的協助學生解決學習困難。而呂益昇(2005)亦提出國 三學生「外心與內心概念」學習困難的主要原因有:

a.未能以正確、完整的數學語言或符號描述圖形或數學專有名詞。

b.未能將所學的知識整理成有系統的概念幫助學習。

c.論證觀念不完整，文字表徵與形式論證的能力不足。

d.缺少相關的解題經驗，沒有主動繪製參照圖的習慣。

e.未熟悉預備知識，缺乏利用已知性質推理的能力。

因此電腦動態圖形輔助教學對於幾何初學者或無法理解平面教材內容 者，提供直觀視覺化的環境以提昇學生的學習動機，讓學生具有探索、歸納 與分析的經驗更奠定幾何推理論證之基礎。此亦印證Van Hiele所說，一個層 次到另外一個層次的轉變並非是自然的過程，它是在教與學的課程計畫的影 響所產生的。從以上研究者對於三角形三心的教學，皆致力於教學方法、導 向及工具的應用，以解決學生學習的困難度。但由於課程內容的過於抽像 化，使許多學生無法建立正確的幾何概念，而產生許多錯誤的概念(何森豪，

1999）。近幾年來，仍有不少的研究指出幾何教材教學上需要改進的一些缺

1999）。近幾年來，仍有不少的研究指出幾何教材教學上需要改進的一些缺