應用「數位工具」融入教學及「一般講述教學」教學模式的

對實驗組進行的教學設計，在尺規作圖內容與課本例題、隨堂練習、

自我評量及習作的檢討部分和控制組是一致的，而數位工具則融入於三角 形三心的概念建立與性質的探索。以下分析一般講述教學上課的情形與數 位工具融入教學之觀察。

一、 一般講述教學上課的情形

一般講述教學中，研究者將教學生尺規作圖的狀況與控制組上課時對學 生參與度的觀察，分述如下。

(一)尺規作圖

傳統教室由老師掌握教學進度，利用粉筆在黑板上書寫教學內容進行 講述教學，課本是很重要的教材依據，在本單元「三角形三心」的幾何教 學課程中，研究者認為幾何圖形的尺規作圖學習經驗對學生很重要，在不 了解作圖的過程之前，不可貿然用資訊科技取代，因此老師要求學生上課 時必需要帶尺和圓規來作圖。

在低成就班級，教師較需要逐步操作尺規作圖程序，讓學生一步一步 看清楚跟著畫，例如畫三角形外心時教師就依學生學習之需要，按課本之 學生活動先畫銳角，再畫直角，再畫出鈍角的外心讓學生跟著做，而在高 成就班級，老師只帶畫一個三角形的外心，其餘的就讓學生自己畫，有些 學生甚至不需要老師先做示範，就利用已學過中垂線的畫法，畫出各種類 型三角形的外心，有些學生會參考同學的做法自己畫。

學生作圖的過程中，銳角三角形的作圖比較會，直角三角形次之，以 鈍角三角形的作圖較不易掌握，經研究者在課堂上發現此情形，建議學生 可將學習單的紙面旋轉(圖 4.5)，讓三角形的邊呈現水平再作圖，如此學生 困難情形便改善不少。也就是說，一般講述教學時在作圖線段的中垂線時，

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大多是先畫水平線段，再以線段兩端點畫弧作出中垂線，教學時較少用傾 斜線段作中垂線。這也是一般講述教學中需注意到，教學範例常是只用一 兩個特例，在黑板上無法靈活的旋轉圖形，或作較多例子的探索，最後終 將淪為記憶一堆數學性質，強迫接受再套用於解題技巧中。

圖4.5 學生旋轉學習單操作鈍角三角形外心的尺規作圖 (二)學生上課參與度

從控制組高成就班級一節課的教學現場，實地觀察學生上課的學習狀 況，這是本單元預定教學10 節課的第七節，任課老師教學進度已在檢討 課本的本章自我評量。高成就班級有些學生非常認真聽老師講述，少數學 生會適時回應老師的提問，大部分的學生知道老師的教學流程(按照課本的 例題，演練隨堂練習，作本章自我評量，再作習作)，有些學生埋頭苦幹先 自己作答，等老師教到該題再對答；有些學生則等老師講解完畢再抄寫過 程；有些學生則埋首於課後練習講義或補習班教材中，似乎有自己的進度，

並與老師的講解不同步，對於研究者在教室中觀察注視，也不覺得有什麼 妨礙，自己做自己的題目；僅少數的學生容易分心，東張西望，也不跟進 度。教師則扮演整節課講述教學的角色，一題一題講解，對於題目所需的 圖形，則徒手用粉筆畫圖(沒有使用尺規工具)，講解時會用不同顏色粉筆 補述從題目的已知條件求出所需的數據或畫輔助線，而且一邊講解一邊寫 作法(如圖 4.6 及圖 4.7)。

同樣本單元預定教學 10 節課的第七節去觀察控制組低成就班級學生 的上課情形，有些學生很認真的聽講，並作記錄，但是較依賴老師的講解，

整個課堂沒有回應，老師只得唱獨腳戲，有些學生則不帶課本，坐在教室 後面有五、六個學生會干擾學習甚至不理會教師上課。經訪談控制組低成 就班級上課教師，老師表示對他們的行徑也常不斷要求修正，但因會妨礙 教學進行，有時只好睜一眼閉一眼，只要學生不過度干擾上課；還有學生

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頻頻回頭看教室後面的時鐘或做自己的事(如圖 4.8)；課程進行到一半，已 有幾個學生趴著睡覺(圖 4.9)。有些學生表示很想學，但是仍聽不懂，所以 數學課很難熬。作自我評量之前，老師先複習本章節三角形三心的性質，

再一題一題講解，深怕學生聽不懂就再重述一次。

圖4.6 高成就控制組：學生上課情形 圖 4.7 高成就控制組：老師徒手用粉 筆畫圖講解，並用不同顏色粉筆補述

圖4.8 低成就控制組：上課情形(一) 圖4.9 低成就控制組：上課情形(二) 從上述一般講述教學的觀察，高成就學生較能積極主動學習，當學生 跨越了非形式演繹的幾何學習層次邁入形式演繹層次，就有能力推理邏輯 證明定理，此時對於性質應用於解題的技巧或發展自由探索與統整的能力 增強，就不再依賴老師的逐題講解，但未跨越學習層次者，就需要引導。

低成就學生由於對數學學習沒有興趣，累積太多學習障礙，雖然老師很賣 力的一遍又一遍的講解，仍很難引起學生的共鳴，研究者認為若是從頭到 尾都是講述教學，學生參與情況就是如此，如同TIMSS 2003 的調查報告 一樣，臺灣學生在數學的表現是好得很好，差的也很多，呈現缺乏自信心 的現象，一般的講述教學方式太過枯燥乏味，往住不能引起學生學習數學 的動機和興趣。因此教師在教學現場許可的條件下，依學生需要適度作教 學的改變是有必要的。

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二、 應用「數位工具」融入教學情形

研究者將數位工具融入在三角形三心概念的形成與性質的探索。但是 學生從未操作過「三角形三心」軟體，大部分學生對於觸控白板的電子筆 也不熟練，所以第一節課花比較多的時間教導學生操作，剛開始學生上台 演練時會給予提示，而學生對於新的數位工具亦勇於嘗試，再加上學生在 互動白板操弄的同時，其他同學亦在互相見習。不過學生需要時間探索三 角形三心性質，還要小組討論與上台發表，因此比預定進度延後一節課，

所以在講解課本與習作的題目就很趕，雖如預定進度在第10 節課教完此單 元，但控制組早已教完此單元，甚至做過一次試卷的評量了。一般講述教 學似乎較能掌握進度，有效率地完成知識的傳達。

從教學活動的錄影觀察，實驗組課程進行中，教師有較多的時間在各 組間巡視，發覺學生學習的問題而適時指導，而學生之間的互動亦增加，

小組討論時會彼此交流，學生上台發表時，台下亦專心注視著上台同學，

並隨時提供意見(如圖 4.10 及圖 4.11)。

圖4.10 實驗組學生之間會互動討論 圖4.11 實驗組學生專心注視著同學 上台發表

應用數位工具引導學生學習三角形三心的過程中，由於軟體的優點可 提供準確作圖與靈活移動三角形內角的角度，加上互動白板的特性可提供 多元學習型態，讓學生不拘泥於平面教材的敘述，在互動白板上靈活操弄 展示軟體教材，並激發不同思考方向。因此研究者觀察到實驗組學生對於 三角形三心性質的操弄，在教與學中有下列影響：

(一) 數位工具的精準性

用數位工具和尺規作圖有何不同？以「三角形三邊的三中線交於一點 嗎？」為例：

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圖4.12 學生作圖:三中線不交於一點 圖4.13 學生作圖: 三中線保證交於一 點

圖4.12 甲學生在外心的尺規作圖時，因畫出三中垂線不交於一點而產生質 疑。

圖4.13 乙學生翻閱課本，已知三中線會交於一點，塗很大點掩飾作圖的誤 差。

圖4.14 學生操弄數位工具找外心

圖4.14 學生應用數位工具先按出兩條中垂線，用畫筆點出交點，再按出第 三條中垂線，也會通過此交點，所以學生知道作圖時只需畫出兩條中垂線，

就可以找到外心了，也提供學習經驗舉一反三應用到內心和重心的尺規作 圖。這歸功於數位工具作圖很精準，提供便於觀察的最佳介面。

(二)可變動性、改變教學流程

「三角形三心」軟體的按鈕設計可以交互運用，當學生在探索工具時操作 的流程並非唯一性，以「何謂外心？外心的位置? 」的探索為例：

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圖4.15 學生操弄數位工具:不同種類三角形與外心的位置關係 圖4.15 將外接圓顯示出來，學生較容易接受外心名稱(外接圓圓心)，當慢 慢移動三角形頂點改變內角角度時，不同種類三角形的外心位置就一目瞭 然。同樣效果推演至內心(內切圓圓心)的位置探索，此時亦呈現軟體的可 變動性。

學生在數學科學習狀況問卷中提到三心學習的困難度在於很容易搞混 定義和性質，例如探討外心的位置時，講述教學時一定先講定義，再作中 垂線的尺規作圖得交點叫外心，然後分別畫銳角、直角、鈍角三角形再作 中垂線尺規作圖得外心位置分別在三角形的內部、斜邊上、外部。然後用 中垂線性質再推演外心和頂點等距離，此時再畫出外接圓。繞了一大圈才 將外心與外接圓連接起來。

數位工具的應用會顛覆上述的教學流程，學生點出外接圓含圓心與半 徑的功能按鈕，而半徑的線段可以固定一端點於圓心，繞者圓心轉動產生 外接圓，當移動頂角改變內角度數，即變換不同種類的三角形，一來可觀 察圓心位置又可連接外接圓圓心叫外心的名稱，而半徑轉動軸又帶來外心 到頂點等距離的性質，再用中垂線性質，說明外心一定會落在中垂線上。

誠如呂益昇(2005)針對三角形外心與內心概念學習困難提出的建議 中，加強繪製參照圖與轉化能力，學生一方面由圖形思考相關問題，一方面 由圖形歸納幾何性質，將有助於提升學生的數學層次與論證能力。

誠如呂益昇(2005)針對三角形外心與內心概念學習困難提出的建議 中，加強繪製參照圖與轉化能力，學生一方面由圖形思考相關問題，一方面 由圖形歸納幾何性質，將有助於提升學生的數學層次與論證能力。