應用數位工具探討三角形三心概念的教學成效

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(1)國立交通大學理學院網路學習學程碩士論文. 應用數位工具探討三角形三心概念的教學成效 A Study of the Effect on Applying Digital Tools into the Teaching of the Circumcenter, Incentre, and Centroid of a Triangle. 研究生：方淑美指導教授：袁. 媛教授. 中華民國九十七年七月.

(2) 應用數位工具探討三角形三心概念的教學成效學生：方淑美. 指導教授：袁媛博士. 國立交通大學理學院在職專班網路學習組. 摘. 要. 本研究主要是應用數位工具，針對九年一貫課程九年級數學「幾何」主題中「三角形的外心、內心、重心」單元進行教學設計，並以準實驗研究設計探討其教學成效。「軟體」採用謝銘祥(2007)利用 Flash 軟體開發輔助國中數學教師教學，並提供學生觀察與探索「三角形三心」的電腦輔助教學軟體；「硬體」採用教育部於民國 96 年「建構 E 化教學環境」補助方案配置的「互動白板」，提供教與學的互動平台。實驗研究主要發現如下：一、不同學業成就及接受不同教學模式的學生，在數學學習成就的後測與延後測表現未具有交互作用。從主要效果來看，學生的數學學習成就表現，高成就組優於低成就組；高成就的實驗組不如控制組，低成就的實驗組比控制組好但未達顯著水準；高成就實驗組和控制組與低成就實驗組延後測皆高於後測，但是低成就控制組延後測卻比後測退步。二、實驗組之高成就和低成就分組的學生對數位工具融入的教學模式均抱持正向的態度。在「解題方法與分享」、「電腦軟體與數學學科內容」、「數位工具操作方式」分項上，高成就組比低成就組具有顯著正向的認同，兩組學生在「分組問題討論態度」、「互動白板學習數學特色」則看法一致。高成就組在數學學習態度表現上優於低成就組，而且學生喜歡使用互動白板學習數學。三、數位工具融入的教學模式，提供精確、可變異、動態連續變化及高互動的特性，會改變教材呈現的順序以及教師的角色扮演，特別是使用互動白板，學習活動的設計可以更多元化。最後，根據研究結果提出建議以供教師教學及未來研究之參考。關鍵詞: 三角形三心、互動白板、幾何、國中學生 i.

(3) A Study of the Effect on Applying Digital Tools into the Teaching of the Circumcenter, Incentre, and Centroid of a Triangle Student：Shu-Mei Fang. Advisor：Dr.Yuan Yuan. Degree Program of E-Learning College of Science National Chiao Tung University. Abstract The study integrated digital tools into the design of instructional materials for 9th grader students’ learning of an algebra unit, the circumcenter, incentre, and centroid of a triangle, and applied a quais-experimental design to investigated the impact of this application on students’ academic achievement. Students in the experimental group were given an attitude questionnaire to investigate their attitude toward this instruction. The digital tools included the geometry exploration software designed by Hsieh (2007) and the interactive white board (IWB). Research results were as following: 1. There was no interaction between experimental treatment and achievement level. No matter students from what achievement level (the higher achievement level or the lower achievement level), no significant difference was found between the digital tools integration group and the traditional group both on the posttest and the retention test. 2. Students from the higher achievement group and the lower achievement group all expressed their positive attitude toward the digital tools integration instruction. They all liked the use of IWB in learning mathematics. It seemed that students in the higher achievement group expressed more positive attitudes toward problem solving strategies and idea sharing, computer software and mathematics content, and the use of digital tools than students in the lower achievement group. 3. The digital tools integration instruction can support exact representations, dynamic and interactive learning environment. Teachers can focus more on their instructional role in teaching. The use of IWB help teachers design multiple learning activities. Based on research results, suggestions for future study were proposed. Keywords: Circumcenter, Incentre, and Centroid of a Triangle, Interactive Whiteboard (IWB), Geometry,Junior High School ii.

(4) 誌. 謝. 在高職、國中任教十餘載，有機會重溫學生之生涯，實屬不易，感謝交大理學院在職專班提供教師在職進修的機會，讓我能藉由進修，向教授和教職的同學學習，開闊視野與視聽，再度激發教學的活力與動力，回饋於職場。本論文能完成，全賴袁媛教授的耐心指導，從教授處學到的不只是做學問的嚴謹，還有待人處事之風範，以及悉心指導學生之涵養，讓駑鈍的我從摸不著頭緒，逐步踏循教授的指點迷津，終於完成不可能的任務。此外感謝李榮耀教授及單維彰教授在百忙之中，批閱與指正並提供寶貴意見。研究期間，非常感謝 E 化團隊與楊光許多好同事的鼓勵與協助，讓我感受到生命中充滿貴人。更感謝家人的支持與關懷，兩個孩子懂事分攤家務，外子工作之餘幫忙照料孩子作全力的後盾，才得以順利完成學業。研究所生涯中，要致謝的人很多，無法在此詳述，謹向所有關心我、協助我的人，表達最誠摯的謝意，並將感恩回報之心注入我未來的教學中，把這份情傳承給我的學生。. 淑美謹識 2008 年 7 月. iii.

(5) 目. 錄. 中文摘要................................................................................................................. i 英文摘要................................................................................................................ ii 誌. 謝............................................................................................................... iii. 目. 錄............................................................................................................... iv. 表目錄................................................................................................................... vi 圖目錄.................................................................................................................. vii 第一章. 緒論 ..................................................................................................... 1. 第一節研究背景與動機.............................................................................. 1 第二節研究目的.......................................................................................... 5 第三節名詞釋義.......................................................................................... 5 第四節研究範圍與限制.............................................................................. 6 第二章. 文獻探討 ............................................................................................. 7. 第一節 Van Hiele 認知理論........................................................................ 7 第二節幾何學習內容.................................................................................11 第三節資訊融入教學設計........................................................................ 16 第四節互動白板........................................................................................ 22 第三章. 研究方法 ........................................................................................... 31. 第一節研究流程........................................................................................ 31 第二節研究設計........................................................................................ 32 第三節研究對象........................................................................................ 36 第四節研究工具........................................................................................ 37 第五節資料分析........................................................................................ 41 第四章. 結果與討論 ....................................................................................... 45. 第一節實驗教學對數學學習成就影響分析 ............................................ 45 第二節實驗組學生學習態度的影響 ........................................................ 49 第三節應用「數位工具」融入教學及「一般講述教學」教學模式的探討................................................................................................ 57 第五章. 結論與建議 ....................................................................................... 67. 第一節結論................................................................................................ 67 第二節建議................................................................................................ 70 iv.

(6) 參考文獻….......................................................................................................... 73 附錄一三角形三心教學活動設計表.............................................................. 79 附錄二三角形三心學習單.............................................................................. 87 附錄三數學學習成就測驗試題(後測、延後測) ........................................... 96 附錄四數學學習成就測驗試題(專家檢核) ................................................... 99 附錄五課程意見調查表................................................................................ 104 附錄六數學學習狀況問卷結果.................................................................... 106. v.

(7) 表目錄表 2.1「三角形三心」教材的教學活動設計 .................................................... 13 表 3.1 實驗設計模式.......................................................................................... 33 表 3.2 實驗設計分組細格.................................................................................. 34 表 3.3 實驗變項表.............................................................................................. 34 表 3.4 教學實驗流程.......................................................................................... 36 表 3.5 研究對象定期評量數學成績表現.......................................................... 37 表 3.6「三角形三心」單元之「數學學習成就測驗」試題雙向細目分析表 38 表 3.7 學習成就測驗試題難度與鑑別度.......................................................... 39 表 3.8 課程意見調查表問題敘述改編前後對照表 .......................................... 40 表 3.9 課程意見調查表題目分項與信度分析 .................................................. 41 表 4.1 學業成就下實驗組與控制組前測、後測及延後測得分之描述統計表45 表 4.2 各組學生在數學學習成就後測與延後測表現分析表 ........................... 46 表 4.3 二因子獨立一因子相依的三因子混合設計之變異數分析摘要表 ....... 46 表 4.4 實驗組高成就與低成就組對課程意見調查各問題之獨立樣本 t 檢定分析...................................................................................................... 49 表 4.5 高成就與低成就組對課程意見調查表各分項之獨立樣本 t 檢定分析 51 表 4.6 學生對「分組問題討論態度」的觀點 .................................................. 52 表 4.7 學生對「解題方法與分享」的觀點 ...................................................... 53 表 4.8 學生對「電腦軟體與數學學科內容」的觀點 ...................................... 54 表 4.9 學生對「數位工具操作方式」的觀點 .................................................. 55 表 4.10 學生對「互動白板學習數學特色」的觀點 ......................................... 56. vi.

(8) 圖目錄圖 2.1 教材地位分析........................................................................................... 14 圖 2.2 角形三心軟體操作畫面........................................................................... 19 圖 2.3 學生做特殊三角形三心位置的探索 ....................................................... 20 圖 2.4 互動白板架構圖...................................................................................... 23 圖 2.5 教室互動情境中的分析.......................................................................... 26 圖 3.1 研究流程圖.............................................................................................. 31 圖 4.1 教學模式與學業成就對數學學習成就後測影響之交互效果圖示（以學業成就為個別線）........................................................................ 47 圖 4.2 教學模式與學業成就對數學學習成就後測影響之交互效果圖示（以教學模式為個別線）........................................................................ 47 圖 4.3 教學模式與學業成就對數學學習成就延後測影響之交互效果圖示（以學業成就為個別線）........................................................................ 48 圖 4.4 教學模式與學業成就對數學學習成就延後測影響之交互效果圖示（以教學模式為個別線）........................................................................ 48 圖 4.5 學生旋轉學習單操作鈍角三角形外心的尺規作圖 ............................... 58 圖 4.6 高成就控制組：學生上課情形............................................................... 59 圖 4.7 高成就控制組：老師徒手用粉筆畫圖講解並用不同顏色粉筆補述 ... 59 圖 4.8 低成就控制組：上課情形(一) ................................................................ 59 圖 4.9 低成就控制組：上課情形(二) ................................................................ 59 圖 4.10 實驗組學生之間會互動討論................................................................. 60 圖 4.11 實驗組學生專心注視著同學上台發表 ................................................. 60 圖 4.12 學生作圖：三中線不交於一點............................................................. 61 圖 4.13 學生作圖：三中線保證交於一點 ......................................................... 61 圖 4.14 學生操弄數位工具找外心..................................................................... 61 圖 4.15 學生操弄數位工具：不同種類三角形與外心的位置關係 ................. 62 圖 4.16 學生操弄數位工具：三角形與圓的關係 ............................................. 62 圖 4.17 學生操弄數位工具：三角形與圓的關係 ............................................. 63 圖 4.18 學生操弄數位工具：三角形三頂點與內心連線分成三個小三角形與原三角形面積關係............................................................................ 64 圖 4.19 學生的證明過程..................................................................................... 64 圖 4.20 學生操弄數位工具：重心在任一中線上的比例關係 ......................... 65 vii.

(9) 第一章緒論本章旨在針對研究動機及背景，說明從事本研究的目的。全章共分四節：第一節為研究背景與動機，第二節為研究目的，第三節為名詞釋義，第四節為研究範圍與限制。. 第一節研究背景與動機隨著時代變遷與資訊科技的日新月異，影響整個國家和社會、經濟、企業、生活品質等各方面之發展，更衝擊著教育環境的現場，無論教學者與學習者的角色、學校的軟體與硬體設備等皆有所轉變。世界先進國家為了保持資訊科技的競爭優勢，紛紛將提升教師與學生的資訊素養納入教育政策。而我國資訊教育推廣也行之有年：在民國86年起推動為期10年之「資訊教育基礎建設計劃」；民國88年開始執行「資訊教育基礎建設計畫」擴大內需方案，完成國中小電腦教學環境之建置，讓各校均有電腦教室且可連上網際網路 (Internet)，並加強國中小全體教師的資訊素養(教育部，1999)；以及民國90 年提出的「中小學資訊教育總藍圖」，勾勒「資訊隨手得，主動學習樂；合作創新意，知識伴終生」的整體願景，以因應時代的潮流(教育部，2001)。教育部於民國92年公佈的「國民中小學九年一貫課程綱要」，也將電腦資訊素養列入十大基本技能之一，試圖將「學電腦」轉至「資訊科技融入教學」，即將電腦視為學習工具，從「學術面向」轉移到「應用面向」(江蕙茹，2002)，資訊不再單獨設科，而列為六大議題，將資訊科技應用於各學習領域之中，課程設計以學生為主體，以生活經驗為重心，以培養現代國民所需的十大基本能力，其中「欣賞表現與創新」、「生涯規劃與終身學習」、「運用科技與資訊」、「表達、溝通與分享」、「主動探索與研究」、「尊重、關懷與團隊合作」及「獨立思考與解決問題」等能力的培養，皆與資訊融入教學有關(教育部，2003)。根據 Mullis, I. V. S., Martin, M. O.,Gonzalez, E. J., & Chrostowski, S. J. (2004)針對國二學生所實施TIMSS 2003（Trends in International Mathematics and Science Study）的調查報告中顯示，臺灣的國中二年級學生在數 (Number)、代數(Algebra)、測量(Measurement)、幾何(Geometry)、統計(Data) 這五大主題的表現都相當不錯，遠超過國際平均得分，但臺灣學生顯示有高 1.

(10) 數學自信的人數百分比(26%)，遠低於國際平均水準(40%)，排名倒數第二。有低數學自信的人數百分比(44%)，遠高於國際平均水準(22%)，排名高居第二。換句話說，臺灣國中二年級學生相當缺乏學習數學的自信心。而臺灣學生在2003年對於「我喜歡學數學」這個問題的看法，相較於1999年的分析結果，「非常同意」的人數百分比顯著下降(從1999年的16%到2003年的13%)，而且均未達國際的平均水準(1999年25%，2003年29%)。至於「有點同意」的人數百分比也顯著下降(從1999年的42%到2003年的29%)，也均未達國際的平均水準(1999年44%，2003年36%)。臺灣學生對數學有高評價的人數百分比只有25%，中等評價人數百分比則有50%，低評價的人數百分比則是24%。這些看法與國際的平均差異甚大(高評價55%，中等評價35%，低評價10%)。總之，臺灣國中二年級學生在TIMSS 2003的整體表現還算不錯，與TIMSS 1999 的結果相較也毫不遜色，但是從另一個角度來看，臺灣國中二年級學生的成就分布全距比其他國家大，在四十五個參與國家中與成績表現墊底的南非差不多，亦即好得很好，幾乎是所有全部參加者的最高分，差的學生得分表現在領先的前五個國家當中，卻是最後一名。這其中亦包含為數不少的一群是拒絕數學或學習遲緩的學生，再加上學生自信心不足，以及對數學的喜好程度低落來看，國內數學教育還是有相當大的改善空間(張秋男主編，2005)。譚寧君(1992)指出學生普遍知道數學的重要性，卻對數學存著恐懼感。邱俊仁(2003)發現數學焦慮對學生的學習成就與學習態度確實有負面的影響，對焦慮程度較高的學生進行訪談時，發現學生普遍認為數學老師上課的方式太過枯燥乏味，引起不了他們的學習動機和興趣，顯見傳統的數學教學方式往住不能引起學生學習數學的動機和興趣，因此教師適時改變其教學方式是必要的。九年一貫數學領域課程綱要中，幾何為數學內容五大主題之一，幾何學具有悠久的發展歷史，Clements和Battista (1992)曾提出：幾何提供我們如何去闡釋與反映外在物理環境的一種方法，並且可作為學習其他數學和科學題材的工具，尤其更重要的是能加強幾何的空間思考，有助於高層次數學的創造思考(張英傑，2001)。然而相較於其他數學分支而言，幾何的學習成效並不理想，此現象各國皆然，美國尤甚之(Clements & Battista，1992)。學習幾何除了可使學生獲得數、量、形的相關知識與處理幾何問題的一些基本技能之外，還可以培養學生思考、分析與推理等等的能力，以促進其解決日常生活中之相關問題的能力，因此今日世界各國在數學教育中均極為重視幾何學 (左台益、王惠中，2000)。國編版時代的幾何教學偏重形式上的證明和推導性質，而研究者亦常用文字、符號或靜態的圖片來表徵幾何圖形的概念，並用尺規作圖在教室進行講述教學，近年來各家數學版本教材設計了不少摺紙 2.

(11) 的學習探索活動，讓學生能透過移動、旋轉、翻轉、切割、拼合等操作過程來發現幾何性質，也開發模型教具供操弄以增強學生空間能力；這些變革，企圖將單一靜態圖形轉為動態的方式呈現多元數學表徵。但是傳統國中幾何教學教師常面臨的困境是：教材教具準備不易、無多樣性及隨機性且無法重複使用，在幾何概念的建構以及從觀察、歸納而發現幾何性質的過程，常因多所限制而被忽略(謝銘祥，2007)。尺規作圖很耗時，研究者在以往教國三學生「三角形三心」單元時，為了呈現不同三角形外心的位置，通常限於時間僅能用單一特例圖形代表呈現之，即銳角、直角、鈍角三角形各畫一個並作圖找出外心位置，實無法做到「任意」鈍角(直角、銳角)三角形外心位於三角形外部(斜邊中點上、內部)，若為了多畫幾個不同鈍角三角形，以印證並歸納「任意」鈍角(直角、銳角) 三角形皆具相同性質，學生早就不耐煩於冗長耗時又乏味的尺規作圖，再加上後續的演繹推證，遑論提升學習的興趣。作圖應該要快速、精確，而且一定要能展現容易與清楚的特性，以呈現幾何性質間的關係，程序性的構圖交給電腦，教師可將重點著眼於概念的發展上，利用電腦構圖輔助教學，可有助於學生的幾何學習（Clements & Battista，1992）。對於幾何的學習，依Van Hiele 幾何思考的五個層次，國中階段學生大部分未達到層次三，葉福進(2005)提出他在實際教學經驗中，發現國三學生可以達到形式證明的約為三成。呂益昇(2005) 提出國三學生的幾何思考層次處於非形式演繹過渡至形式演繹期，學生的論證能力不足必會造成學習上的困難。就研究者教學經驗而言，國三學生學習幾何到了「三角形三心」單元需承接前面所學的三角形和圓的性質，若前面沒有建立起學習自信心或學習成就表現低落，易造成失去學習興趣與畫地自限的排斥心態。因此，以學生為主體的教學設計是本研究的出發點。評估研究者教學現狀，所教的國三學生數學課從國二起就採分組教學，同一群教師需同步上課，因此調課很吃力，再加上研究者學校九個年級中，從三至七年級有安排固定使用電腦教室的時間，即全校的兩間電腦教室除了 30班固定使用時間、學生社團時間、教師研習時間與維護時間外，幾無多少剩餘時間可供使用，若要搭配課程進度去上機實屬不易。就目前的動態幾何輔助教學軟體中，以動態幾何繪圖軟體GSP(Geometer’s Sketchpad)最受教師與學生的歡迎，透過軟體的操作，不但能節省繪圖時間，更可簡易地構造動態幾何圖形。根據胡凱華(2001)、林星秀(2001)、戴錦秀(2002)、吳鳳萍(2002)、林佳慧(2003)、陳裕亮(2003)、鄭志明(2003)、余酈惠(2003)、郭昭慧(2004) 等多位研究者，利用GSP輔助幾何教學學習表示實驗組學生對於使用電腦輔助學習持正向肯定態度。但是本研究考量到實驗組學生之前並未使用過動態 3.

(12) 幾何輔助教學軟體，要學生產生操作熟悉度是需要時間的，學習探索活動的時間必須足夠，才能讓學生有充份操作與探索的機會(尤冠龍，2006)。況且實驗組為國三學生面對升學壓力，一旦電腦輔助教學的時數過多，唯恐影響到正常的教學進度。而且評估電腦教室授課需克服老師與學生互動不足的現象(尤冠龍，2006)，以及在電腦教室中需要瞭解學生的學習情形，適時協助學生處理問題，常會分身乏術，造成學生有失序現象；學生會利用研究者不注意的時候，連結網路遊戲或去上無關於數學的網站(曾尹姿，2005)，謝銘祥(2007)提出以GSP來讓學生操作會讓教學過程很混亂，最常遇到的問題就是學生胡亂操作後存檔才發現無法回覆原始狀態(即使提醒再三仍會如此)，無法有效掌握教學進度，且每台學生用電腦還需備有GSP主程式，不是很方便。根據尤冠龍(2006)的建議，能有系統地開發以GSP幾何繪圖軟體為主的主題探究教學模組，將更有利於未來利用GSP軟體進行數學的教學。因此本研究數位工具中軟體部分採用謝銘祥(2007)利用Flash所開發的「三角形三心」工具，其特點為可利用電腦與投影機設備在班級教室上課，軟體的設計根據學習理論以及九年一貫課程綱要數學學習領域與「三角形三心」相關之能力指標和分年細目，操作簡單、方便、易上手，為可觀察、探索之模擬式電腦輔助教學軟體，既擷取電腦輔助教學的優勢更契合學生學習「三角形三心」幾何單元的目標。數位工具硬體部分採用具有互動性之電子白板設備，此乃 96學年度起，教育部計畫在「建構E化教學環境」方案之下，補助部分縣市試辦互動白板導入教室教學，並鼓勵逐步發展學科領域學習中心(Learning Center)(陳惠邦，2006)。研究者任教之學校於2007年亦獲補助建置「E化教室」安裝互動白板（Interactive WhiteBoard）。藉由此設備，讓師生能在互動白板前操作「三角形三心」軟體並作主題式探索，全班學生可清楚地看到詳細的操作過程並互相見習，呈現老師與學生、學生與學生、學生與教材高互動學習之對話情境。根據研究文獻顯示，技術支援、教師專業發展、教學資源與數位內容是互動白板導入教室教學成功的三項關鍵因素(陳惠邦，2006)。因此在進行本實驗之前，研究者在任教學校跟著 E 化團隊進修，重新檢視教學活動設計與實際教學的進行，以提升專業成長。基於上述的研究動機，研究者將資訊科技應用在教學與學習的活動中，最主要是達成「三角形三心」幾何單元的數學能力指標。選擇主題式的軟體教材，提供互動教室討論空間，規畫以學生為主體的學習情境，透過軟體與硬體的操弄與探索，提升學生學習數學的興趣。. 4.

(13) 第二節研究目的根據上述研究背景及動機說明，本研究希望結合軟體與硬體之數位工具融入國中九年級數學「幾何」主題中，「三角形的外心、內心、重心」進行教學設計，並以準實驗研究設計探討其教學成效。因此，主要的研究目的有三： 1. 探討應用數位工具融入三角形三心單元的教學，對學生數學學習成就的影響。 2. 探討應用數位工具融入三角形三心單元的教學，對學生數學學習態度的影響。 3. 比較數位工具融入三角形三心單元的教學模式與一般講述教學模式的異同。依據上述研究目的本研究欲探討下列問題： 1.學業成就不同的學生在不同的的教學模式下，對數學學習成就之後測與延後測是否產生的影響為何？ 2.實驗組高低成就分組的學生，在實施數位工具融入三角形三心單元之後的數學學習態度調查結果有何異同？ 3.數位工具融入三角形三心單元的教學模式與一般講述教學模式有何異同?. 第三節名詞釋義一、三角形三心本研究之教學內容，採用九十六學年度國民中學三年級上學期康軒版本第三章第二節「三角形的外心、內心、重心」單元。主要教學目標為： 1.能知道三角形三邊中垂線的交點就是外心，並了解外心的性質及外心與外接圓的關係。 2.能知道三角形三內角平分線的交點就是內心，並了解內心的性質及內心與內切圓的關係。 3.能知道三角形三中線的交點就是重心，並了解重心的性質。 4.能知道特殊三角形三心的關係。. 5.

(14) 二、一般講述教學本研究中的控制組有兩個班進行一般講述教學，一般講述教學所指的是教師在一般班級教室內利用講述式的單向教學模式，教學的過程中，教師僅使用粉筆與尺規作圖教具，並無多媒體教學或是資訊融入的情形。三、數位工具本研究中的數位工具分為軟體與硬體兩部分: 「軟體」採用謝銘祥(2007)利用Flash軟體開發輔助國中數學教師教學，並提供學生觀察、探索的「三角形三心」電腦輔助教學軟體；「硬體」採用E化教室配置的「互動白板」，互動白板是一個觸控式的顯示板，連接電腦和投影機，可作為電腦的輸出與輸入器，因而提供教與學的互動介面。四、數學高成就與低成就依據教育部於民國 94 年發佈的「國民小學及國民中學常態編班及分組學習準則」，國中八年級學生得就數學學習領域，以二班為一群，依學生學習特性，實施年級內之分組學習。本研究對象為四個班級，依其國中八年級六次學期評量數學學業成績在同一群較高者為高成就，較低者為低成就。. 第四節研究範圍與限制本研究屬於準實驗研究，以桃園縣某國中九年級的四個班級共 136 位學生為主要的研究對象，由於研究者受限於時間、經費、人力等因素，而且在 E 化教室僅能使用單機投影至互動白板上，對於研究者採用數位工具融入數學教學模式可謂初次嘗試，所以在研究結果僅能推論至與此研究範圍相類似者。. 6.

(15) 第二章文獻探討本章針對研究主題之相關文獻詳加闡述。全章共分四節：第一節為 Van Hiele 認知理論，第二節為幾何學習內容，第三節為資訊融入教學設計，第四節為互動白板(Interactive Whiteboard，IWB)。. 第一節. Van Hiele 認知理論. 近年來世界先進國家大都以荷蘭數學教育家 Dina Van Hiele-Geldof 和她的丈夫Pierre Marie Van Hiele 在1957年提出的幾何學習發展理論為根據，設計幾何方面的教材。Van Hiele夫婦認為一個人幾何概念思考模式可以分成五個發展層次，每個層次有其發展特徵。 (一)第一層次：視覺期(visualization) 此階段學童可以分辨、稱呼、比較及操弄幾何圖形。透過視覺觀察具體實物，以實物的整體輪廓來辨認圖形，在視覺下差異不大的圖形，他們可以透過移動旋轉等方式辨識，可以使用非標準語言或標準數學術語描述物件的形狀，如像門的形狀為長方形，像盤子的形狀為圓形。處於此發展階段的兒童雖然知道物件的形狀何者稱為「正方形」、「三角形」、「圓形」、「長方形」，卻不能瞭解其真正定義。因此，這階段的學童宜多安排感官操作的活動，讓兒童透過視覺進行分類、造型、堆疊、描繪、著色等活動獲得形體的概念。運思對象：個別幾何圖形。 (二)第二層次：分析期(analysis) 此階段的學童可以從圖形的構成要素以及構成要素之間的關係分析圖形，並且可以利用實際操作（如折疊、尺量，以格子觀察或設計特別的圖樣）的方式，發現某一群圖形的共有性質或規則。他們已具有豐富的視覺辨識經驗，能察覺到長方形有四個邊、四個角，且有兩個長邊、兩個短邊及對邊相等的特性，但不能解釋性質間的關係，如知道菱形的四邊均相等，正方形有等長的對角線，但卻不能理解兩類圖形之間的包含關係。此階段的學童，宜安排一些製作及檢驗的活動，使其能從製作與檢驗中獲得圖形的性質概念。運思對象：各類幾何圖形概念。 (三)第三層次：關係期(relation)或非形式演繹期(informal deduction) 此階段兒童可以透過非正式地論證將先前發現的性質和規則邏輯地互 7.

(16) 相聯結起來，但對證明沒有整體了解，無法組織系列的敘述來檢驗觀察的結果，能進一步探索圖形內在屬性關係及各圖形間的包含關係，如四邊形兩雙對邊相等即是平行四邊形，而不必將所有屬性均描述出來才能確認其圖形。在瞭解圖形內在關係後，可以建立長方形是平行四邊形的一種；平行四邊形中，有一個角為直角時，此四邊形即為長方形；可以知道 n 邊多邊形的內角總和為(n－2)×180 度等概念。運思對象：各類幾何圖形的性質。 (四)第四層次：形式演繹期(formal deduction) 達此階段者，能用演繹邏輯證明定理，並且建立相關定理的網路結構。他們可以在一個公設系統中建立幾何理論，他們不只是記憶圖形的性質，而且能夠證明，並瞭解一個證明的可能性常不只一種方法。可以理解一個定理的充分或必要條件之內在關係，發現正逆命題間的差異性。例如：能瞭解正五邊形邊長均相等，內角亦均相等，但邊長均相等的五邊形不一定是正五邊形。運思對象：幾何圖形性質的邏輯關係。 (五)第五層次：嚴密性(rigor)或公理性(axiomatic) 達此階段的人，可以在不同的公理系統中建立定理，並且分析比較或欣賞這些系統的特性，了解公設系統中的性質，如一致性、獨立性及完全性等。例如能區別歐氏幾何與非歐幾何的差異，也可瞭解抽象推理幾何，甚至可自創一種幾何公設系統。此層次一般人很難達到，即使是以數學為專業者亦不易達成。然而 Usiskin(1982)發現此層次不是不存在就是不可測驗的。運思對象：幾何圖形性質的邏輯關係之根基。 Van Hiele 層次的幾何思考模式有其特性。Usiskin(1982)將思考層次的特性分為固定順序(fixed sequence)、毗鄰(adjacency)、特質(distinction)、分離 (separation)、達成(attainment)；Crowley(1987)則分為連續性(sequential)、進展性(advancement)、內在與外在(intrinsic and extrinsic)、語言(linguistics)、不協調(mismatch)。根據兩位學者的說法將其綜合敘述如下： 1.序列(fixed sequence/sequential) 學生幾何層次的發展有其順序性，學生要到達層次 n 前，必須先經歷過層次 n-1。亦即要在某個特定層次成功地發展，必須要掌握先前層次的概念和思維策略。 2.進展(advancement) 從層次到層次的進展依賴教學方法與內容的程度比依賴年紀的增長更多；沒有教學方法可使學生跳過一個層次；「一個層次到另外一個層次的轉變並非是自然的過程，它是在教與學的課程計畫的影響所產生的」(Van Hiele，1986，p.50)；某些教學方法可以促進進展，某些則可能延緩甚至阻礙層次的轉移。 8.

(17) 3.語言(linguistics) 每個層次都有其獨特的語言符號，以及連結這些符號的關係系統，學生進入下一層次時需重新調整或修正。例如層次三時教師接受學生利用口語或操作的方式進行說明，到了層次四即不能接受這樣的論述方式，需轉化成形式證明的模式。 4.內在與外在(intrinsic and extrinsic/adjacency) 前一層次設定的能力與知識，在下一層次將隱藏而成內在物件，學生不需刻意思索便能自然的操弄或提取。例如層次一時知道正方形的外貌與名稱，到了層次二分析其性質時，外貌與名稱就成了內在的理解。 5.不協調(mismatch) 如果學生是在某個層次而教學是在不同的層次，則預期的學習和發展可能不會發生。特別當教師、教學的材料、內容和字彙⋯等是在比學習者更高的層次時，學生將不能跟隨所使用的思考過程一同進行著。例如：教師以形式證明的方式進行教學，當學生只停留在實驗說明的階層，教師與學生是無法溝通的，學生在無法理解的情形下學習當然沒有效果。為了促使學生從一個思考層次提昇到另一個較高思考層次，Van Hiele提出「五階段學習模式」（five-phase learning model），提供教師適當的教學方法以協助學生進行學習。分別為：第一階段：學前諮詢(information) 教師在教學之前，先與學生雙向溝通，教師經由觀察與發問，來了解學生已具備那些知識，藉以作為教學準備之參考。第二階段：引導學習方向(guided orientation) 教師引導學生探索、操作（例如：排列、組合、積木、摺紙等活動），在學生探索活動過程中，教師宜有計畫的依序引導學生，使其了解幾何的概念。第三階段：解說(explicitation) 這個階段的學生，已逐漸了解幾何圖形的關係，教師引導學生討論學習的主要內容，學生們藉由課堂上討論及觀察，建立其學習經驗，並利用正確和合適的字彙和語言符號來表達，使其幾何概念提升到理解的層次。第四階段：自由探索(free orientation) 進入這個階段的學生，大多數是知道學習的範圍，但仍需迅速地找到學習方向，教師可以選擇適當的教材以及幾何問題，鼓勵學生思考與解答這些幾何問題。學生在不同的方式上遭遇更多複雜且有許多步驟的課題，若是靠自己解決這個課題時，將獲取經驗，並在概念的研究主題中，作出了許多明確的關連性。 9.

(18) 第五階段：統整(integration) 最後的階段是統整，學生試著糾正自己並濃縮學習過的概念與知識，整合探索與討論的經驗以形成完整的新概念。教師此時不再呈現任何新的事物給學生，只需摘要地擷取一些學生已經知道的東西，供給「整體的概念」來幫助學生印證與調整，以免妨礙學生對此概念形成共識。國內外很多的研究者對於教師教導與學生學習幾何概念時，多以Van Hiele 層次的理論和特性，考驗其研究之適當性或提出批判。Burger 和 Shaughnessy (1986) 指出，發現學生的行為和 Van Hiele 夫婦原先對於層次行. 為的描述大致是符合的，但是對於將學生指派到單一的層次，亦即層次是離散的看法，則有一些質疑。在對幼稚園學生到大學生的訪談過程中，有學生在不同的問題中，顯現出不同的思考層次，甚至有的學生在相同的問題也有從一個層次變動的另一個層次的行為發生，特別是在層次二(分析)和層次三 (抽象)。Usiskin(1982)發現在層次間轉換的學生難以有效的分類。而 Mayberry(1983)指出學生在不同的概念會有不同的層次。利用Van Hiele的教學理論，吳德邦(1995)發現對於我國師範學生，在非歐幾何學教學上採用Van Hiele五階段學習模式教學法比採用傳統的講授式教學法，更能產生較高的幾何思考層次，而其數學學習成就也比採用傳統教學法顯著來得高。劉湘川、劉好、許天維、易正明(1993)以國小學生中年級學生為研究對象，來進行個別的訪談，發現學生在六項基本幾何概念的思考模式與Van Hiele 的理論是一致的。林永發(1998)認為Van Hiele理論和學生的幾何臆測理論型態基本上是相容的，足以刻畫學生的幾何臆測思維型態；其中層次一的學生能做視覺式的臆測，層次二的學生能做分析式的臆測，層次三的學生能作命題式的臆測。綜觀上述理論與研究，Van Hiele 五個思考層次的發展是有其次序性，學習者需擁有前一層次的各項概念與策略，才能有效進行下一層次的教學活動；而層次的發展與年齡無關，但是年齡卻與我們所擁有的幾何經驗型態有關；幾何經驗是進入下一個思考層次的重大影響因素，同時由於教材內容屬性的差異，會影響學習者落入不同層次中，因此層次分析可以發現學生的學習障礙，當學生處於較低層次時，遇到較高層次的字彙、概念、性質及思考方式的問題，可預期到學生因學習層次無法提升，而易產生焦慮降低學習動機。因此根據 Van Hiele(1986)的理論，教師需透過對學生的觀察與本身的教學經驗，釐清學生所屬的層次，並依此層次對應的認知能力設計適當的教學內容與教學方式，才能產生良好的教學成效。國中時期學生對幾何的學習階段正處於分析期、或達到非形式演繹期之間，在這一階段中，學生的學習由具體的操作到能作非形式化推論的過渡時期，因此， 10.

(19) 如何協助學生提升數學的推理證明能力就顯得很重要。陳創義(2003)指出，國中生對圖形的認知與分類並不成熟，容易受到腦中概念心像的影響，偏重於概念心像，而概念心像與概念定義間的溝通，還不通暢。尤其是在 Van Hiele 幾何思考層次尚未完全達到形式演繹期的學生來說，概念心像比概念定義扮演了更重要的角色，因此教材內容視覺化仍有其必要性(曾尹姿，2005)。因此本研究嘗試將此理論與跟幾何學習有相關的三角形三心單元結合在一起，在教學課程規畫時，適度融入數位工具輔以瞭解學生的幾何思考層次，期望有助於學生的學習。. 第二節幾何學習內容根據教育部於民國92年公布九年一貫課程綱要能力指標，在數學領域將九年國民教育區分為四階段：階段一為一至三年級，階段二為四、五年級，階段三為六、七年級，階段四為八、九年級。另將數學內容分為數與量、幾何、代數、統計與機率、連結等五大主題。 (一)幾何課程可概分為四階段： 1. 階段一(一年級到三年級)：較強調幾何形體的認識、探索與操作，學生對幾何形體中的幾何要素，也許能指認，但尚不清楚其結構意義。 2. 階段二(四年級到五年級)：由於數與量的發展逐漸成熟，學生開始結合「數」與「形」兩大主題，學習運用幾何形體的構成要素(如角、邊、面)及其數量性質(如角度、邊長、面積)。 3. 階段三(六年級到七年級)：透過形體的分割、拼合、截補、變形及變換等操作，來了解形體的性質與幾何量的計算及非形式化推理。透過方位描述及立體模型的展開與組合以培養空間能力及視覺推理。 4. 階段四(八年級到九年級)：開始由具體操作情境進入推理幾何情境中，最終目標是學會推理幾何證明，學習內容採漸進式安排，由基本幾何概念進入較深入的幾何推理領域中，學習方式最開始可由填充式推理幾何，慢慢養成完整能力，讓學生有能力及信心，快樂地學習幾何學領域的知識。教材內含有認識生活中的平面圖形，如三角形、四邊形、多邊形、圓形；認識點、線、角、符號及幾何相關名詞；使用基本性質描述某一類形體；能以最少性質對幾何圖形下定義、並熟練定義的相關操作；體會邏輯概念：包含關係、敘述及逆敘述、推理幾何；求角度問題、長度問題、面積(表面積)問題、體積問題；推理證明、尺規作圖、全等性質、相似性質、平行性質的應用、圓的相關性質。 11.

(20) 國中八至九年級幾何課程的學習仍以學生已有的幾何直覺經驗為前導，但強調主體或觀念的明確定義，及幾何量的代數運算。因此學習的內容是由非形式化的推理逐漸提昇至形式化的推理。研究者以教育部(2003) 所訂定「國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域」和本研究三角形三心單元相關的能力指標及分年細目與詮釋作陳述。. (二)「三角形三心」單元相關的能力指標(括號內)及分年細目與詮釋 9-s-08 能理解三角形外心的定義和相關性質。(S-4-13、S-4-14、S-4-15) 說明：過三角形三頂點的外接圓圓心稱為三角形的外心。理解三角形的外心至三頂點等距離。理解直角三角形斜邊中點到三頂點等距離。 9-s-09 能理解三角形內心的定義和相關性質。(S-4-13、S-4-14、S-4-15) 說明：三角形內切圓的圓心稱為內心。理解三角形的內心至三邊等距離。設△ABC周長 s ，內切圓半徑 r，則△ABC 的面積＝ sr/2。直角三角形中，內切圓半徑＝(兩股和－斜邊)÷ 2。 9-s-10 能理解三角形重心的定義和相關性質。(S-4-15) 說明：三角形三條中線必相交於同一點，這個點稱為三角形的重心。理解三角形的重心到一頂點距離等於它到對邊中點的兩倍。理解三角形三條中線將三角形面積六等分。 9-s-11 能以三角形和圓的性質為題材來學習推理。(S-4-15) 說明：幾何推理：是以『已知條件』及『已知為正確的幾何性質』，推導出結論，這個過程稱為『證明』。教學時可利用填充證明題開始，進而慢慢可獨立完成推理幾何證明的寫作，但推理步驟不宜過多。教學時可以垂直平分線性質、角平分線性質等來學習推理。學習推導三個內角分別為 30 度、60 度、90 度及 45 度、45 度、 90 度的直角三角形邊角關係，可為高中職課程中三角函數的學習基礎。學習推導正三角形面積及高的計算公式。檢視指標的範疇與參考康軒版數學教科書，為了教學之流暢將課程活動結合數位教材之進行如下表 2.1，並依此編製學生學習單。. 12.

(21) (三) 表 2.1「三角形三心」教材的教學活動設計表主題 1.三角形的外心. 教學活動 (1)三角形外心的存在及外心到三頂點等距離，此距離為外接圓半徑，外心為外接圓圓心。 (2)三邊中垂線會交於同一點就是三角形的外心。 (3)銳角三角形的外心在三角形內部，鈍角三角形的外心在三角形外部，直角三角形外心在斜邊的中點上。 (4)圓內接三角形任兩邊中垂線的交點(外心)即為圓心所在。 (5)任意一個三角形可畫出一個外接圓，任意一個圓可畫出無限多個內接三角形。 (6)圓內接三角形的一邊為直徑時，此三角形必為直角三角形，反之，圓內接三角形為直角三角形時，其斜邊必為直徑。 (7)圓內接直角三角形中，外接圓半徑 R＝斜邊÷2。 (8)銳角∆ABC 中，外心 O 與任兩頂點 B、C 連線的夾角 ∠ BOC 與第三個頂點 A 內角度數關係為 ∠ BAC=2 ∠ BOC。 (9)鈍角∆ABC 中，外心 O 與任兩頂點 B、C 連線的夾角 ∠ BOC 與第三個頂點 A 內角度數關係為 ∠ BAC=3600－ 1 ∠ BOC。. 節數 3節. 2. 2.三角形的內心. (1)三角形內心的存在及內心到三邊等距離，此距離為內切圓半徑，內心為內切圓圓心。 (2)三角形三內角平分線會交於同一點就是內心。 (3)任意三角形的內心在三角形內部。 (4)能了解三角形內心與內切圓的關係。 (5)圓外切三角形任兩角平分線的交點(內心)即為圓心所在。 (6)任意一個三角形可畫出一個內切圓，任意一個圓可畫出無限多個外切三角形。 (7)設△ABC周長 s ，內切圓半徑 r，則△ABC 的面積為 sr/2。 (8)直角三角形中，內切圓半徑＝(兩股和－斜邊)÷ 2。 (9) ∆ABC的內心I與任兩頂點B、C連線的夾角∠ BOC 與第三個頂點A內角的度數關係為 ∠BIC＝900＋ 1 ∠A。. 3節. 2. (續後頁) 13.

(22) 表 2.1「三角形三心」教材的教學活動設計表 3.三角形的重心. 4.特殊三角形的三心關係. (接前頁). (1)能發現三角形重心的存在，重心必在三角形內部。 (2)能知道三角形三中線的交點就是重心。 (3)能了解重心到頂點的距離等於重心到對邊中點距離的兩倍。 (4)三角形重心到一頂點的距離等於過該頂點之中線長的三分之二。 (5)三角形的重心與三頂點連線將三角形的面積三等分 (6)三角形的三中線將此三角形的面積六等分。 (1)等腰三角形的三心位置必在底邊中垂線(中線)上或頂角平分線上。 (2)正三角形的外心、內心、重心是同一點。 1 (3)直角三角形的外心到重心的距離是斜邊長的 6. 3節. 1節. 本單元教材已是國中幾何學習階段的壓軸，在 Van Hiele 五階段學習模式的第一階段「學前諮詢」中表示：了解學生已具備那些知識，藉以作為教學準備之參考。因此教師需掌握前面學生所學之先備知識，分析本單元所處的教材地位，方能在教學準備時，留意學生的學習狀況，並協助學生解決困難。 (四)本研究單元的教材地位如圖 2.1：. 圖 2.1 教材地位分析 14.

(23) 本實驗教學「三角形三心」教材是國中階段幾何學習的最後一個單元，從八年級開始學習幾何圖形的基本性質，到九年級逐步引入推理證明，最後在「三角形三心」單元，三角形和圓的圖形結合，將學習的內容由非形式化的推理逐漸提昇至形式化的推理，以奠定日後到高中幾何學學習的基礎。 (五)三角形三心的相關研究查詢國家圖書館之全國博碩士論文資訊網及交通大學理學院網路專班紙本論文，相關於研究「三角形三心」主題的論文共有四篇(粘憲昌，2004；郭昭慧，2004；呂益昇，2005；謝銘祥，2007)，研究者從上述相關的研究依教學對象設計教材和呈現的教學效果進行分析。 1.依教學對象設計教材：基於Van Hiele層次的幾何思考模式特性中，學生和教學是在不同的幾何認知層次，則預期的學習和發展可能不會發生，教材的設計需考量研究對象和背景，才能適度規劃符合學生的學習需求。郭昭慧(2004)針對國一學生設計電腦的GSP 幾何輔助課程，當時學生僅具備基本三角形的性質，所以教材由中垂線性質介紹到外心的形成，角平分線性質介紹到內心的形成，利用動態模擬的特性，呈現物件真實的旋轉或變換過程，加深學生對幾何圖形的印象。謝銘祥(2007)利用Flash軟體開發可輔助國中數學教師教學並提供學生觀察、探索的「三角形三心」幾何課程的電腦輔助教學軟體，對國三數學學習低成就學生7人進行補救教學。呂益昇(2005)亦認為先提供圖形讓學生察覺現象，引入學生熟悉的性質，解釋構圖的原理與存在性，然後提示不熟悉的性質，證明所發現的現象，或以圖形的操作解釋(非形式論證)，最後完成證明。是故在國三屬於高成就表現之特殊班級學生進行補救教學，先診斷學生學習困難點，設計以「類比遷移」、「局部推理與模仿」教學策略逐步引導學生跨越論證能力不足造成學習的困難。粘憲昌(2004) 針對國三學生分別探討學生在詮釋導向與探索導向的學習任務中所呈現的學習特徵與學習成效，參與實驗的學生經能力分組為全校27個班的前段7個班當中的2個班級。此亦即說明上述研究者在幫助學生跨越幾何思考層次時，會從建立圖形的心像著手，提供實際操弄圖形的經驗，培養觀察與非形式論證的能力、以建立數學思考模式。 2.呈現教學效果：四位研究者教學目標皆希望利用所設計的教材，激發學生主動學習數學和培養解決問題的能力，經實驗之後各有不同之效果。郭昭慧(2004)所得結果中實驗組的學生在圖形表徵的試題答對率優於控制組；但代數表徵的試題答對率並未因GSP輔助教學而提升。實驗組中分群學生在數學學習成效上， 15.

(24) 明顯優於控制組中分群學生，而高低分群學生則不顯著。謝銘祥(2007)得知參與電腦輔助補救教學的學生在數學學習成就測驗上後測成績顯著優於前測成績。參與電腦輔助補救教學的學生比未參與電腦輔助補救教學而自行複習學生進步。實施電腦輔助補救教學可以提高學生的學習興趣，增加學生的學習信心。粘憲昌(2004)之詮釋和探索導向學習任務的連結方面兩者表現相若；解題方面兩者亦都提升了。學習品質方面兩者的學習焦慮皆顯著下降，但在動機、信念、互動等向度兩者提升情形有顯著差異。呂益昇(2005)對高成就學生之補救教學給予正面的肯定且有效的使學生由形式證明的渾沌狀態趨向明朗化，並有效的協助學生解決學習困難。而呂益昇(2005)亦提出國三學生「外心與內心概念」學習困難的主要原因有: a.未能以正確、完整的數學語言或符號描述圖形或數學專有名詞。 b.未能將所學的知識整理成有系統的概念幫助學習。 c.論證觀念不完整，文字表徵與形式論證的能力不足。 d.缺少相關的解題經驗，沒有主動繪製參照圖的習慣。 e.未熟悉預備知識，缺乏利用已知性質推理的能力。因此電腦動態圖形輔助教學對於幾何初學者或無法理解平面教材內容者，提供直觀視覺化的環境以提昇學生的學習動機，讓學生具有探索、歸納與分析的經驗更奠定幾何推理論證之基礎。此亦印證Van Hiele所說，一個層次到另外一個層次的轉變並非是自然的過程，它是在教與學的課程計畫的影響所產生的。從以上研究者對於三角形三心的教學，皆致力於教學方法、導向及工具的應用，以解決學生學習的困難度。但由於課程內容的過於抽像化，使許多學生無法建立正確的幾何概念，而產生許多錯誤的概念(何森豪， 1999）。近幾年來，仍有不少的研究指出幾何教材教學上需要改進的一些缺失，譚寧君(1993)指出「形的教材」表面上已成功，然而事實上學生只是強記了許多抽象的公式，而無法透過實際的操作與推理來建立正確的幾何學概念，也因此而阻礙了未來在推理幾何上的學習。因此本研究參考上述論文的未來研究建議，利用數位工具融入教學，藉由活動讓學生探索、觀察、歸納以獲知數學性質；並由學生合作學習討論，以非形式或形式論證的方式說明或證明；練習用數學語言明確表達自己的想法與同學互動溝通；進行數學的批判分析與解讀；藉由圖形觀察或察覺規律進而發現與欣賞數學的美。以配合數學「圖形與空間」的課程目標和培養相關的數學能力。. 第三節資訊融入教學設計幾何圖形在幾何學習與解題活動中扮演著重要的地位然而幾何圖形亦 16.

(25) 有可能產生一些負面的影響 Harada、 Gallon-Dumeil 與 Nohda (2000)等人便指出這些負面的影響至少有三個： 1. 圖形使人產生錯誤的視覺判斷。 2. 圖形缺乏動態的觀點(dynamic viewpoints)。 3. 賴典型例。 Schattscheider (引自黃哲男，2002) 亦指出不精確的圖形會造成解題的錯誤，而單一的圖形有時候對解題較不具啟發性。研究者發現有些學生在尺規作圖時，由於基本概念尚未建立清楚，會因為操作不正確或作圖的誤差而產生質疑，在畫過特定圖形時卻無法推論至任意三角形的通論，但是卻已見課本所下的結論，或全盤接受或半信半疑或否定自己的作圖事實，將結論強迫儲存於記憶中。這亦即造成用死記法學數學，缺乏主動發現的樂趣，又怎能提升學習數學的動機呢？幾何不僅處理”數”的問題還處理”形”的問題，包含圖形的辨識與操弄傳統的幾何教學常忽略這些環節，而特別注重演繹推理，結果適得其反。致使學生因學習的挫折感而失去信心，轉而訴諸記憶式的學習。當龐大的記憶超過學生所能負荷的極限時，學生怎麼不會因而視學習為畏途?因此本研究利用電腦輔助教學的優勢以融入教學，並將考量的因素與課程規劃進行探究。一、電腦輔助教學之軟體考量因素電腦輔助教學是利用電腦一些相關科技來設計一套教學或學習的材料，協助教學者從事教學，或提供學習者自行操作學習的環境，使學生能依照自己的能力調整進度，並利用電腦多媒體以及立即回饋等特性，提高學生的學習動機及學習成效的一種教學方式(王全世，2000)。資訊科技的應用，幫助引導學生作進一步的學習，視電腦為認知學習的工具。融入此類工具的主要目的是在於促使學習者主動建構知識，以反應其對知識概念的理解程度 (Jonassen，1996)。有了電腦作為動態學習的輔助教學工具，加上優良的互動式軟體，不僅能夠簡單地呈現數學的動態圖形，或以編序教學為理論基礎之傳統電腦輔助教學，它也提供動態模擬、圖形變換的功能，同時誘發學生主動學習、操作、嘗試及實驗的興趣，如此我們才能兼顧數學「認知的發展」（李政豐，2003）。因此電腦輔助教學，並利用資訊科技的特性，使傳統的教學型態改變，提昇教學品質。教學輔助軟體是資訊融入教學的重要工具之一，輔助教學軟體可分單機操作或連線操作方式，因此選擇適當的軟體來輔助學習是極為重要的，張國恩(1999)提供下列參考因素： 1. 認知理論的學習環境：CAI 軟體和遊戲軟體的差別是否具有認知理論，選擇適當的CAI 軟體首要條件是學習的內涵與學習目標的達成程度，避 17.

(26) 免學習者迷失在多媒體技術的賣弄和趣味性的強調，而忽略學習的本質。 2. 視覺化或情境化的教學工具：教師在教導抽象概念或描述真實情境應與學生實際生活經驗結合，以達到學生有意義的學習；將軟體視為視覺化或情境化的教學工具，有助提升概念化的歷程。 3. 模擬軟體的應用：有些教材描述了與學生生活經驗脫離的知識，例如身體內的血流變化、天文星座、飛翔感覺、電腦運作、自然現象等，這類內容可應用軟體來模擬這些知識，有助於概念的澄清。部份課程需要反覆練習以精熟或自動技能者，例如實驗操作、電器之故障排除練習、飛行訓練、技職教育之技能訓練等，此等實驗平台有助於學生的學習。 4. 診斷式評量工具：傳統的評量都是採用紙筆測驗，此量化的結果如透過電腦診斷分析，如運用項目反應理論等，質化測驗如運用概念構圖的理念來紀錄認知歷程，藉以澄清迷思概念，了解學習的真實狀態，據以因材施教，將可激發學生潛能。 5. 互動式(Interactive)而非反應式(Reactive)的選用：所謂互動是指軟體操作環境中的某些動作反應，會因使用者的狀況不同而不同。就教學軟體而言，其所呈現的教材教法會因學生認知狀態不同而不同。 6.問題解決導向的應用設計：建構論強調知識是由學生自行建立而得，注重學生問題解決能力的培養，問題解決導向的軟體有助於融入教學的實施。基於上述考量因素，本研究採用謝銘祥(2007)所開發的「三角形三心」動態幾何軟體融入教學中，此軟體是有認知理論的根據，可動態模擬任意三角形三心的位置變化，將抽象的教材視覺化，提供簡便、易操弄、可探索及可互動的教學輔助工具，能協助教師進行幾何教學活動，讓學生觀察、歸納及推理，進而發現圖形的規律，建構幾何概念與性質，以提升學生學習成效，增加學習數學的信心。本研究並且設計學習單，學習單所拋出的開放性問題乃搭配本單元的學習活動，除了尺規作圖外，在探索過工具後將其發現作紀錄，與同儕討論，並結合填充式證明，讓學生練習推論證明，藉由學習單逐步的引導，以免學生漫無目的的學習。二、「三角形三心」動態幾何軟體此軟體由謝銘祥(2007)利用 Flash 提供 ActionScript 程式語言所設計，包含兩個程式：「三角形三心」和「圓與三角形」。整體畫面與按鈕功能如圖 2.2。. 18.

(27) 內角角度. 主題. 改變∆ 內部顏色圖形顯示區. 外心. 內心. 性質. 性質重心性質移動/固定∆ 畫筆/停止重來/清除. 等腰∆ 正∆ 直角∆. 主題. 內角角度. 內接∆ 改變∆ 內部顏色. 圖形顯示區. 外切∆ 畫半徑切線. 等腰∆ 正∆ 直角∆ 圖 2.2 三角形三心軟體操作畫面 19. 外心內心重心複製∆ 複製半徑調整半徑隱藏/顯示圓心畫筆/停止重來/清除.

(28) 「三角形三心」軟體特色： 1. 提供簡便、易操弄、可探索的功能。 2. 可實際操弄，符合尺規作圖，圖形可變異性且快速精確的呈現。 3. 檔案容量不大傳輸快速，可在電腦教室安裝，提供每一位學生操作，亦可使用單機在一般教室實施教學。 4. 圖形的動態連續變化，檢視三角形三心單元的各種定理及性質，尤其可隨時變換任意三角形，不受限於特例的情形。 5. 按鈕可以交互運用，可觀察任意三角形三心位置的關係。根據研究者以往教三角形三心單元的經驗，由於尺規作圖較費時，通常是用特例去闡述一般性。處於資訊蓬勃發展的時代，累積許多前人的研究貢獻，在硬體設備的改善，軟體教材的開發及教育實驗的分享，提供教學者更多的參考資源。因此研究者在選擇能與 E 化教室設備搭配並與本單元結合之相關資源時發現，一些建置在網路的資源雖然有三心內容，可以做到任意三角形之一個心的變換，但是無法利用任意三角形變換成特殊三角形與交互按出三心位置的觀察，舉例如圖 2.3：. 等腰三角形和三心關係. 直角三角形和三心關係. 正三角形和三心關係. 圖 2.3 學生做特殊三角形三心位置的探索若是要利用軟體將三心的性質帶入，用動態軟體引導教學是不錯的，不過若需要有電腦教室搭配讓學生參與操作的話，礙於電腦教室不夠用、教師資訊能力不足與升學壓力的殘酷(教得好沒用，學生考得好才有用)，實在不敢貿然進行。若只是利用動態軟體先設計好教學所必需的教材或用廠商提供的 GSP 軟體素材，用於 E 化教室中，則浪費了互動白板提供高互動性的資源，因此當研究者發現「三角形三心」軟體的特色，能讓師生輕鬆操弄軟體，在教學中結合互動白板，適時融入三角形三心單元課程，提供學生主動探索、學習數學的環境，亦能提升學生學習興趣。三、課程規劃研究者基於教學環境的改變，應用數位工具融入數學教學中進行本研究，課程規劃根據張國恩（1999）認為在進行資訊融入教學時應考量之五個 20.

(29) 項度作檢視： (一) 需求性：利用數位工具融入國中數學學習單元「三角形三心」，突破沒有電腦教室和一般傳統教室教學的限制。 (二)可行性：軟體採用模擬式(Simulation) 之教學策略(Stephen & Stanley， 2000)，已考慮到用「電腦學」(Learning with computer)的重要 Jonassen(2000)，提供學生在學習活動能操弄與觀察的環境。硬體採用「E化教室」建置的互動白板取代傳統教室黑板，並事先安排學生在異質小組中同步合作學習。 (三)符合學習理論：從Van Hiele夫婦提出幾何思維發展的理論觀點來看，幾何思維發展是從視覺化層次開始，因此很多幾何概念的建構可以藉由操控圖形來加以說明，而這種動態的過程，藉由電腦媒體表現出來是適合的方式(王永賢，2004)。皮亞傑理論和我國九年一貫教育對學生學習型態和認知型態的詮釋，正是編輯教材的參考準則(康軒文教， 2007)，而九年一貫強調學習的方式在不同階段的特徵為具體操作、具體表徵、類化具體表徵到符號表徵，可以看出課程改革的三大時代都運用表徵來幫助學生發展概念。因此表徵可使數學學習變得更加有趣及更吸引人，為使學生建構數學概念的多重表徵及表徵間連結轉換的概念心像，經過適當設計的電腦環境是理想的工具之一（謝哲仁，2001)。 (四)與原始學科教材結合之程度：軟體教材的開發是依據民國92年「國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域」能力指標與分年細目，分析「三角形三心」所需的教材內容針對課程需要製作成按鈕元件(謝銘祥， 2007)。 (五)資源性：為尊重智慧財產權，融入教學所運用的軟體已取得開發者的同意。在上述檢視項度(二)中，考量到數位工具融入教學是要提供學生在學習活動能操弄與觀察的環境，而實驗組學生對於數位工具尚未熟練，再從教學現場檢視：本研究進行之前，實驗組均未曾採用此教學法進行數學教學，高成就學習學生來自原來常態的兩個班級，在平時上課中一個班級學生與教師的互動較頻繁，另一個班級學生則較安靜，學習有問題時傾向課後個別提問，兩班學生平時上數學課的互動情形亦良好。因此在異質性分組時，會顧慮到學生積極度，肯主動發表之安排，小組競賽中並將攜帶尺規工具列入評分項目，因此實驗中發現，有一組小組長甚至還多帶一套尺規工具以預防組員未帶齊，充分發揮團隊精神。低成就學習學生來自原來常態的兩個班級，但在平時上課時因數學學習低落，課堂討論參與度低，甚至在實驗進行前練習操作互動白板的過程中，不願上台操作，因此分組時先考慮自由分組，結 21.

(30) 果同一班要好的學生會湊在一起，這樣的組別成員間互動良好，但剩下的一組就有不同班且學習狀況不理想的成員最多，雖然在第一、二節課時，各組皆會有自願上台操作的學生，但是在剩下的一組卻形成無法進行學習單之探討，無力作建設性的相互學習，造成聊天干擾上課秩序的現象，因此，第三節課研究者將該班學生重新分組，並增強組別競賽獎勵辦法，強化同組互賴之功能。教學過程中不斷以紀豐裕(2003)在非導師班實施合作學習策略可能遇到的問題隨時檢視：1.場面秩序難以控制，嚴重影響教學活動之進行，2. 組員聊天玩耍干擾小組討論之進行，3.小組缺乏積極互賴之功能，4.時間不夠用，教師頗感力不從心，5.時間掌控不佳，佔用到下課時間，6.學生缺乏發表數學想法的經驗，上台發表不諳表達，7.小組成員缺乏積極參與討論， 8.學生缺乏數學學習動機，9.學生不預習；作業不配合，10.學生排斥隨堂測驗，有考試恐懼症。基於上述考量及許多學者們(王千倖，1997；黃政傑、林佩璇，1996； Johnson & Johnson，1987；Slavin，1985；West & Watson，1996），皆認同「合作學習」是一個可以實施「以學生為主體」的教學技術。因此本研究採用合作學習的教學法，讓學生藉由同儕的相互學習來克服數學學習的焦慮，以及避免對軟體和互動白板操作之不熟悉產生學習障礙。. 第四節互動白板(Interactive Whiteboard，IWB) 資訊與通訊科技(Information Communication Technology，ICT)的快速發展影響學校教育目標、教育內容(課程)、教學方法、教師專業成長及教育行政工作至鉅，ICT教育已成為當前教育革新的重點方向。IWB為資訊科技融入教育的先端科技，英國、美國、加拿大、澳洲、日本等國已將IWB應用於教學上。我國自民國96年起，教育計畫在「建構E化教學環境」方案之下，正式引進互動白板並補助部分縣市試辦互動白板導入教室教學，並鼓勵逐步發展學科領域學習中心(Learning Center)(陳惠邦，2006)。一、互動白板的基本認識互動白板核心硬體包括一塊電子感應板(electronic whiteboard)及其感應器。電子感應板相當於觸控式螢幕，是PC的監視器，也是具有正常書寫功能的傳統白板。感應器是一支相當於滑鼠功能的感應筆(electronic stylus)，連續書寫時就具有數位墨水(digital ink)功能。互動白板必須結合電腦(PC)、投影機才能發揮功能。根據硬體規格與感應技術的不同可將互動白板分成三類：電磁感應(Electromagnetic)、類比電阻壓感(Analog resistive)及超音波、雷射和 22.

(31) 紅外線感應(Ultrasonic, laser and infrared)。表面上看來，互動白板外觀及功能均與傳統白板（黑板）相同，接上PC、投影機後，互動白板可以透過其驅動軟體並連上網際網路或衛星傳輸，形成人機、人際多重且高度互動的教學體系(陳惠邦，2006)。本研究使用互動白板架構圖如圖2.4所示：. 圖2.4 互動白板架構圖. 目前各種品牌的互動白板在硬體、軟體應用及價錢方面有所差異，也各具特色，但其教學應用的基本功能差不多。互動白板的共同缺點則有：缺乏中文辨識系統、價錢昂貴、尚無結合中小學實際教材與教學資源的設計、未普及應用等。互動白板是眾多資訊與通訊科技(ICT)產品中的一種，互動白板導入教室教學其實也是資訊融入教學的一種形式，只不過所用的媒介是互動白板。不可否認的，所有的ICT 都可以改善教學環境、方法與豐富教學，但應用ICT 本身並不保證會提高教學效率與達成教育目標(陳惠邦，2006)。互動白板提供教學創新的可能性，但互動白板本身並不代表教學創新。表面上來看，教學創新可能涉及教學內容、方法、媒介、學習方式的創新改變，實質上教學創新包含教學目標的達成、教學效能或學習品質的提升。更深入視之，教學創新應蘊含教師教學信念、教學方法或習慣以及學生學習的改變。根據Beauchamp (2004)導入IWB教師及學生的轉變過程有五階段架構如下： 23.

(32) (一) 黑板/白板交替期(Black/Whiteboard Substitute) 1.系統操作及檔案管理：大部份被使用做為書寫和畫圖或是啟動應用程式。 2.操作技巧：教師開始學習操作：書寫和畫圖。IWB電子筆被用來瀏覽作業系統(點選或拖曳)，即取代滑鼠的功能。 3.程式因素：大部分使用IWB 原有軟體或文書處理軟體。 4.教室管理及教學法：在教學上的改變，有課程的進度加快、學生的注意力更集中及資訊的展示更為豐富等特點。 (二) 學徒期(Apprentice User) 1.系統操作及檔案管理：教師大量的使用自編的教材，並儲存檔案做為參考或證明。 2.操作技巧：學生在教師的計畫下開始用IWB，師生間使用特定的ICT操作指令來操作IWB。 3.程式因素：用 PowerPoint 軟體、照片、美工圖案等圖庫。 4.教室管理及教學法：在教學資源上利用「外部」的教材整合，如 Internet 或校內網路的教學資源，在教學上的應用，大部份在主要學科如語文、數學、科學的教學上。 (三) 創始期(Initiate User) 1.系統操作及檔案管理：教師在教材內容上整合更多樣的特效與多媒體，包括更廣泛的圖片、聲音檔與其他外在的資源。 2.操作技巧：教師逐漸熟悉IWB的操作，有能力開啟與切換數個程式，並使用已儲存之一系列的頁面，如IWB軟體所提供的活動掛圖。 3.程式因素：應用程式或 Internet 網站。 4.教室管理及教學法：在學科上廣泛運用在藝術、音樂、歷史、地理等。 (四) 進階期(Advanced User) 1.系統操作及檔案管理：教師從掃瞄影像資源加入教材的使用，例如教學活動、教科書內容、學習單等，讓全班都能使用。 2.操作技巧：學生對IWB 操作熟練；教師常不經意的讓學生示範並表達其意見。 3.程式因素：使用超連結及超文件來展示教材或網站。 4.教室管理及教學法：師生使用 IWB，藉由示範與互動進行教學活動，且重視學生的學習，而不是科技設備。 (五) 協進期(Synergistic User) 1.系統操作及檔案管理、操作技巧與程式因素：師生皆具備高層次的能力。 2.教室管理及教學法：教師展現出一個直覺與科技互動的教學方式，並能促進一個流暢的教學活動架構。教師與學生皆能建構學習活動之含義， 24.

(33) 並能陳述下一階段學習活動的導向、要素及規模。本研究進行之前，師生均需時間去適應與學習使用互動白板，一來學習白板廠商提供的操作軟體，常用的功能及策略有拉幕、探照燈、拍照、擦除、遮蔽、隱藏、板書、超連結、捷徑等。一來在實驗進行之前自然地接觸此工具，可降低數位工具帶來的新奇效應（novice effect）影響。二、「E 化教室」中的互動概念互動白板所要發揮的特點不在白板，而是在互動。在數位學習和遠距教學中，較常被提及的概念為即時或延遲互動、同步或非同步互動等，而互動的途徑有電子郵件、即時通、視訊會議、部落格等。但從相關文獻中卻沒有針對互動的教育概念作定義，過去 Moore(1989) 曾歸納三種教學互動的模式包括：教師與學生、學生與學生及學生與內容，但這只是粗略的區分，後來 Wagner(1994)認為互動的功能定義需考慮學習理論、教學理論、教學設計、教學傳遞媒介等四個背景因素，並且以溝通、參與及回饋作為分析互動功能的向度。Szczypula, Tschang 和 Vikas 在 2001 年指出，網路促進學習社群之互動，此互動包括學生與教師、學生與同儕、學生與學習資源互動(吳美娟，2002)。1999 年 Gilbert 和 Moore 提出一個新的學習互動面向，將互動分為社會互動和教學互動兩個類型。老師和學生、學生與同儕互動的關係兼具教學和社會化的重要影響因素，互動關係對學習氣氛、學習成效、教與學感受，乃至人際間的交往等影響明顯(陳嘉彌，1997)。蔡崇元(2001)在網路教學者教學互動策略之研究中，綜合文獻上論述不同層面的互動面向，將互動的類型分為五類： 1. 師生之間的教學互動：師生之間進行有關學習任務的互動，如彼此的問答、教師解釋說明，以及作業繳交與評量等。 2. 師生之間的社會互動：師生之間認識彼此、閒話家常，以及與教學無關的問答。 3. 學生之間的教學互動：學生彼此合作、或與教學內容或學習任務上的請求與幫助。 4. 學生之間的社會互動：學生之間認識彼此、閒話家常，以及與教學無關的問答。 5. 學生與教材的教學互動：學生利用各式教材進行學習，而無人際互動的行為。本研究根據陳惠邦(2006)論述從教室教學情境中的系統分析出發，將互動的形式與方向圖示如下： 25.