Van Hiele 認知理論

第二章 文獻探討

本章針對研究主題之相關文獻詳加闡述。全章共分四節：第一節為Van Hiele 認知理論，第二節為幾何學習內容，第三節為資訊融入教學設計，第 四節為互動白板(Interactive Whiteboard，IWB)。

第一節 Van Hiele 認知理論

近年來世界先進國家大都以荷蘭數學教育家 Dina Van Hiele-Geldof 和 她的丈夫Pierre Marie Van Hiele 在1957年提出的幾何學習發展理論為根據，

設計幾何方面的教材。Van Hiele夫婦認為一個人幾何概念思考模式可以分成 五個發展層次，每個層次有其發展特徵。

(一)第一層次：視覺期(visualization)

此階段學童可以分辨、稱呼、比較及操弄幾何圖形。透過視覺觀察具體 實物，以實物的整體輪廓來辨認圖形，在視覺下差異不大的圖形，他們可以 透過移動旋轉等方式辨識，可以使用非標準語言或標準數學術語描述物件的 形狀，如像門的形狀為長方形，像盤子的形狀為圓形。處於此發展階段的兒 童雖然知道物件的形狀何者稱為「正方形」、「三角形」、「圓形」、「長 方形」，卻不能瞭解其真正定義。因此，這階段的學童宜多安排感官操作的 活動，讓兒童透過視覺進行分類、造型、堆疊、描繪、著色等活動獲得形體 的概念。運思對象：個別幾何圖形。

(二)第二層次：分析期(analysis)

此階段的學童可以從圖形的構成要素以及構成要素之間的關係分析圖 形，並且可以利用實際操作（如折疊、尺量，以格子觀察或設計特別的圖樣）

的方式，發現某一群圖形的共有性質或規則。他們已具有豐富的視覺辨識經 驗，能察覺到長方形有四個邊、四個角，且有兩個長邊、兩個短邊及對邊相 等的特性，但不能解釋性質間的關係，如知道菱形的四邊均相等，正方形有 等長的對角線，但卻不能理解兩類圖形之間的包含關係。此階段的學童，宜 安排一些製作及檢驗的活動，使其能從製作與檢驗中獲得圖形的性質概念。

運思對象：各類幾何圖形概念。

(三)第三層次：關係期(relation)或非形式演繹期(informal deduction) 此階段兒童可以透過非正式地論證將先前發現的性質和規則邏輯地互

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相聯結起來，但對證明沒有整體了解，無法組織系列的敘述來檢驗觀察的 結果，能進一步探索圖形內在屬性關係及各圖形間的包含關係，如四邊形 兩雙對邊相等即是平行四邊形，而不必將所有屬性均描述出來才能確認其 圖形。在瞭解圖形內在關係後，可以建立長方形是平行四邊形的一種；平 行四邊形中，有一個角為直角時，此四邊形即為長方形；可以知道n 邊多 邊形的內角總和為(n－2)×180 度等概念。運思對象：各類幾何圖形的性質。

(四)第四層次：形式演繹期(formal deduction)

達此階段者，能用演繹邏輯證明定理，並且建立相關定理的網路結構。

他們可以在一個公設系統中建立幾何理論，他們不只是記憶圖形的性質，

而且能夠證明，並瞭解一個證明的可能性常不只一種方法。可以理解一個 定理的充分或必要條件之內在關係，發現正逆命題間的差異性。例如：能 瞭解正五邊形邊長均相等，內角亦均相等，但邊長均相等的五邊形不一定 是正五邊形。運思對象：幾何圖形性質的邏輯關係。

(五)第五層次：嚴密性(rigor)或公理性(axiomatic)

達此階段的人，可以在不同的公理系統中建立定理，並且分析比較或 欣賞這些系統的特性，了解公設系統中的性質，如一致性、獨立性及完全 性等。例如能區別歐氏幾何與非歐幾何的差異，也可瞭解抽象推理幾何，

甚至可自創一種幾何公設系統。此層次一般人很難達到，即使是以數學為 專業者亦不易達成。然而Usiskin(1982)發現此層次不是不存在就是不可測 驗的。運思對象：幾何圖形性質的邏輯關係之根基。

Van Hiele 層次的幾何思考模式有其特性。Usiskin(1982)將思考層次的特 性分為固定順序(fixed sequence)、毗鄰(adjacency)、特質(distinction)、分離 (separation)、達成(attainment)；Crowley(1987)則分為連續性(sequential)、進展 性(advancement)、內在與外在(intrinsic and extrinsic)、語言(linguistics)、不協 調(mismatch)。根據兩位學者的說法將其綜合敘述如下：

1.序列(fixed sequence/sequential)

學生幾何層次的發展有其順序性，學生要到達層次 n 前，必須先經歷 過層次 n-1。亦即要在某個特定層次成功地發展，必須要掌握先前層次的概 念和思維策略。

2.進展(advancement)

從層次到層次的進展依賴教學方法與內容的程度比依賴年紀的增長更 多；沒有教學方法可使學生跳過一個層次；「一個層次到另外一個層次的轉 變並非是自然的過程，它是在教與學的課程計畫的影響所產生的」(Van Hiele，1986，p.50)；某些教學方法可以促進進展，某些則可能延緩甚至阻礙 層次的轉移。

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3.語言(linguistics)

每個層次都有其獨特的語言符號，以及連結這些符號的關係系統，學生 進入下一層次時需重新調整或修正。例如層次三時教師接受學生利用口語或 操作的方式進行說明，到了層次四即不能接受這樣的論述方式，需轉化成形 式證明的模式。

4.內在與外在(intrinsic and extrinsic/adjacency)

前一層次設定的能力與知識，在下一層次將隱藏而成內在物件，學生不 需刻意思索便能自然的操弄或提取。例如層次一時知道正方形的外貌與名 稱，到了層次二分析其性質時，外貌與名稱就成了內在的理解。

5.不協調(mismatch)

如果學生是在某個層次而教學是在不同的層次，則預期的學習和發展可 能不會發生。特別當教師、教學的材料、內容和字彙⋯等是在比學習者更高 的層次時，學生將不能跟隨所使用的思考過程一同進行著。例如：教師以形 式證明的方式進行教學，當學生只停留在實驗說明的階層，教師與學生是無 法溝通的，學生在無法理解的情形下學習當然沒有效果。

為了促使學生從一個思考層次提昇到另一個較高思考層次，Van Hiele提 出「五階段學習模式」（five-phase learning model），提供教師適當的教學方法 以協助學生進行學習。分別為：

第一階段：學前諮詢(information)

教師在教學之前，先與學生雙向溝通，教師經由觀察與發問，來了解 學生已具備那些知識，藉以作為教學準備之參考。

第二階段：引導學習方向(guided orientation)

教師引導學生探索、操作（例如：排列、組合、積木、摺紙等活動），

在學生探索活動過程中，教師宜有計畫的依序引導學生，使其了解幾何的 概念。

第三階段：解說(explicitation)

這個階段的學生，已逐漸了解幾何圖形的關係，教師引導學生討論學 習的主要內容，學生們藉由課堂上討論及觀察，建立其學習經驗，並利用 正確和合適的字彙和語言符號來表達，使其幾何概念提升到理解的層次。

第四階段：自由探索(free orientation)

進入這個階段的學生，大多數是知道學習的範圍，但仍需迅速地找到 學習方向，教師可以選擇適當的教材以及幾何問題，鼓勵學生思考與解答 這些幾何問題。學生在不同的方式上遭遇更多複雜且有許多步驟的課題，

若是靠自己解決這個課題時，將獲取經驗，並在概念的研究主題中，作出 了許多明確的關連性。

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第五階段：統整(integration)

最後的階段是統整，學生試著糾正自己並濃縮學習過的概念與知識，整 合探索與討論的經驗以形成完整的新概念。教師此時不再呈現任何新的事物 給學生，只需摘要地擷取一些學生已經知道的東西，供給「整體的概念」來 幫助學生印證與調整，以免妨礙學生對此概念形成共識。

國內外很多的研究者對於教師教導與學生學習幾何概念時，多以Van Hiele 層次的理論和特性，考驗其研究之適當性或提出批判。Burger 和 Shaughnessy (1986) 指出，發現學生的行為和 Van Hiele 夫婦原先對於層次行 為的描述大致是符合的，但是對於將學生指派到單一的層次，亦即層次是離 散的看法，則有一些質疑。在對幼稚園學生到大學生的訪談過程中，有學生 在不同的問題中，顯現出不同的思考層次，甚至有的學生在相同的問題也有 從一個層次變動的另一個層次的行為發生，特別是在層次二(分析)和層次三 (抽象)。Usiskin(1982)發現在層次間轉換的學生難以有效的分類。而

Mayberry(1983)指出學生在不同的概念會有不同的層次。利用Van Hiele的教 學理論，吳德邦(1995)發現對於我國師範學生，在非歐幾何學教學上採用Van Hiele五階段學習模式教學法比採用傳統的講授式教學法，更能產生較高的幾 何思考層次，而其數學學習成就也比採用傳統教學法顯著來得高。劉湘川、

劉好、許天維、易正明(1993)以國小學生中年級學生為研究對象，來進行個 別的訪談，發現學生在六項基本幾何概念的思考模式與Van Hiele 的理論是 一致的。林永發(1998)認為Van Hiele理論和學生的幾何臆測理論型態基本上 是相容的，足以刻畫學生的幾何臆測思維型態；其中層次一的學生能做視覺 式的臆測，層次二的學生能做分析式的臆測，層次三的學生能作命題式的臆 測。

綜觀上述理論與研究，Van Hiele 五個思考層次的發展是有其次序性，

學習者需擁有前一層次的各項概念與策略，才能有效進行下一層次的教學 活動；而層次的發展與年齡無關，但是年齡卻與我們所擁有的幾何經驗型 態有關；幾何經驗是進入下一個思考層次的重大影響因素，同時由於教材 內容屬性的差異，會影響學習者落入不同層次中，因此層次分析可以發現 學生的學習障礙，當學生處於較低層次時，遇到較高層次的字彙、概念、

性質及思考方式的問題，可預期到學生因學習層次無法提升，而易產生焦 慮降低學習動機。因此根據Van Hiele(1986)的理論，教師需透過對學生的 觀察與本身的教學經驗，釐清學生所屬的層次，並依此層次對應的認知能 力設計適當的教學內容與教學方式，才能產生良好的教學成效。國中時期

性質及思考方式的問題，可預期到學生因學習層次無法提升，而易產生焦 慮降低學習動機。因此根據Van Hiele(1986)的理論，教師需透過對學生的 觀察與本身的教學經驗，釐清學生所屬的層次，並依此層次對應的認知能 力設計適當的教學內容與教學方式，才能產生良好的教學成效。國中時期