第四章 研究結果與討論
第二節 幾何概念理解與解題成效之結果分析
本節主要分三個方面來說明，第一是受補救教學學生成績分析；第二是補教 教學之個案答題分析。
壹、 補救教學學生成績分析
接受補救教學的對象是從六年級的班級共 22 名學生中所選取出來的。首 先，以幾何概念前測卷施測，挑選出答題率低於 50%（題目總數 20 題）的學生 共 7 人，參酌其學習狀況與分數單元各項成績(包含小考、平時考、月考)，並考 慮家長的配合度及接受補救意願，最後挑選出 5 人接受補救教學，前測的成績為
5 分、6 分、7 分、8 分、10 分，再參考每個概念的得分狀況，依總分 20 分來看
一、 立體圖形概念
此題型主要在了解學生是否能辨認立體圖形的基本要件「點、邊、面」及具 有「平行、垂直、相鄰」等幾何概念。
【第一題】要製作一個如下圖正方體的燈籠骨架，需要多少根 5 公分長的木 條？ ○１ 8 根 ○２ 12 根 ○３ 5 根 。
表 6
前測 A-1 答題情形
答案選項 選項 1 選項 2 選項 3 選項內容 8 根 ※12 根 5 根 選擇學生 S2 、S4 S1、S3、S5
※表示正確答案
在 A-第一題中得到，S2 、S4 選擇第一個答案，其理由都是認為只要點數眼 前所見的邊，就是題目講的數量，很明顯的是對於「點、邊、面」的意義不清楚，
不知道需要透視看不到的邊線。
【第二題】下圖為一個長方體，下列 8 個圖形中，有哪個組合可以拼成此長 方體？○１ 1、2、4 ○２ 1、3、4、5、7、8 ○３ 1、2、4、5、6、8。
表 7
前測 A-2 答題情形
答案選項 選項 1 選項 2 選項 3
選項內容 1、2、4
1、3、4、5、7、
8
※1、2、4、5、
6、8 選擇學生 S1 S3、S4 S2、S5
在 A-第二題中得到，S1 選擇第一個答案，其學生沒有組成立體圖形基本要 件「面」的概念。而 S3、S4 雖知道需 6 面才能組成長方形體，但未能釐清及判 別邊與邊的關係之間，誤以為底面的邊長是「2×2」「3×3」所組成。
【第三題】以下何者「不是」與圖中長方體的 AB 邊互相平行？○１ CD 邊 ○２ GH 邊 ○３ CG 邊 。
表 8
前測 A-3 答題情形
答案選項 選項 1 選項 2 選項 3 選項內容 CD 邊 GH 邊 ※CG 邊 選擇學生 S2、S3、S5 S1 S4
※表示正確答案
在 A-第三題中得到，S2、S3、S5 選擇第一個答案，其學生誤以為要選「是」
平行的答案，就直接選擇，故受到題型之混淆。S1 則是無平行之概念，隨意選擇 答案所致。
【第四題】想把下圖的長方體裝進中空且高度相同的圓筒裡，下列選項何者 最適合且較不浪費空間？ ○１直徑是 5 公分的圓筒○２直徑是 8 公分的圓筒○３直徑 是 12 公分的圓筒。
表 9
前測 A-4 答題情形
答案選項 選項 1 選項 2 選項 3
選項內容 ※直徑是 5 公分 的圓筒
直徑是 8 公分的 圓筒
直徑是 12 公分的 圓筒 選擇學生 S2 S1、S3、S5 S4
※表示正確答案
在 A-第四題中得到，S1、S3、S5 選擇第二個答案，其學生雖有「不浪費空 間」概念，但未發現 5 公分的邊長無法裝下 8 公分的圓，而選擇錯誤。S4 則是無 重疊之概念，隨意選擇答案所致。
【第五題】下圖的正四面體，灰色面有幾個相鄰的面？○１1 個 ○２2 個
○３3 個。
表 10
前測 A-5 答題情形
答案選項 選項 1 選項 2 選項 3
選項內容 1 個 2 個 ※3 個
選擇學生 S1、S2 S3、S4、S5
※表示正確答案
在 A-第五題中得到，S1、S2 選擇第二個答案，其理由都是認為只要點數眼 前所見的面，就是題目的數量，其顯示學生沒有「相鄰」的概念而未能正確回答。
【第六題】下圖的長方體中，和面ㄅㄆㄇㄈ相鄰並互相垂直的面有幾個？○１3 個 ○２4 個 ○３5 個。
表 11
前測 A-6 答題情形
答案選項 選項 1 選項 2 選項 3
選項內容 1 個 ※4 個 5 個
選擇學生 S1、S2 S3 S4、S5
※表示正確答案
在 A-第六題中得到，S1、S2 選擇第一個答案，其理由都是誤認為「對面的 面」是垂直的關係而導致錯誤。S4、S5 選擇第三個答案，學生認為「所有的面」
均與面ㄅㄆㄇㄈ是垂直的關係，其顯示學生有「垂直」的迷思概念，需待澄清。
二、 體積的計算
此題型主要在了解學生是否能了解積木堆疊與體積的關係及設計熟練計算體 積的方法。
【第七題】下面的立體圖形是用每邊長 1 公分的正方體堆成的，體積是多少 立方公分？○１ 12 個 ○２ 11 個 ○３ 10 個 。
表 12
前測 B-7 答題情形
答案選項 選項 1 選項 2 選項 3 選項內容 ※12 個 11 個 10 個 選擇學生 S2、S4、S5 S3 S1
※表示正確答案
在 B-第七題中得到 S3 選擇第二個答案，其理由都是認為只要點數眼前所見 的積木塊，雖知道積木塊堆疊與體積的相關性，但因無法透視看不到的積木，而 沒有加入導致錯誤。S1 選擇第三個答案，很明顯的是對於「體積」的意義不清 楚。
【第八題】下圖為一正方體，其體積為多少立方公分？ ○１ 8 × 8 立方公分○２ 8 × 8＋8 × 8立方公分○３ 8 × 8 × 8 立方公分。
8
表 13
前測 B-8 答題情形
答案選項 選項 1 選項 2 選項 3
選項內容 8 × 8 立方公分
8 × 8＋8 × 8 立方 公分
※8 × 8 × 8 立方 公分 選擇學生 S1、S2、S3 S5 S4
※表示正確答案
在 B-第八題中得到 S1、S2、S3 選擇第一個答案，其沒有保留對體積計算的 概念，僅作面積的計算。S5 選擇第二個答案，則是遺忘「體積」的概念及計算方 式。
【第九題】選出圖中立體圖形的體積。○１ 154 立方公分 ○２ 54 立方公分 ○３ 90 立方公分 。
表 14
前測 B-9 答題情形
答案選項 選項 1 選項 2 選項 3 選項內容 154 立方公分 54 立方公分 ※90 立方公分 選擇學生 S4 S1、S2、S3 S5
※表示正確答案
在 B-第九題中得到 S4 選擇第一個答案，求出來的數值是使用加法所求出
「（3+3+2）×（6+6+2）＝154」其學生對於計算體積之方法尚未成熟及內化，材 使用加法作答。S1、S2、S3 選擇第二個答案，其學生已知道計算體積的方法，但 是卻使用兩者相減「（6×6×2）－（3×3×2）＝54」，無法理解此圖形為兩立體圖形 為推疊之關係，而沒有使用加入導致錯誤。
【第十題】選出圖中立體圖形的體積。○１ 154 立方公分 ○２ 54 立方公分 ○３ 90 立方公分 。
表 15
前測B-10答題情形
答案選項 選項 1 選項 2 選項 3 選項內容 1950 立方公分 ※9000 立方公分 11000 立方公分 選擇學生 S1、S2、S3 S4 、S5
※表示正確答案
在 B-第十題中得到 S1、S2、S3 選擇第一個答案，求出來的數值是使用加法 所求出「（20+25+20）×（10+10+10）＝1950」其學生對於計算體積之方法尚未成 熟及內化，材使用減法作答。S4、S5 選擇第三個答案，其學生已知道計算體積的 方法，但是卻使用兩者相加「（20×25×20）＋（10×10×10）＝11000」，無法理解 此圖形被切割之想法，而沒有使用加入導致錯誤。
三、 柱體與椎體概念
此題型主要透過生活上具體物品及展開圖，來辨認柱體與椎體的差異，加強 對柱體與椎體的概念。
【第十一題】下列那一種形體「不是」屬於錐體？ ○１ ○２
○３ 。
表 16
前測 C-11 答題情形
答案選項 選項 1 選項 2 選項 3
選項內容
※
選擇學生 S2、S3 S1、S4、S5
※表示正確答案
在 C-第十一題中得到 S2、S3 選擇第一個答案，訪談 S3 學生時，提到因為第 一個選項的底面為圓形，另外兩個底面是矩形的，所以猜測第一選項。其二者學 生沒有理解柱體與椎體之概念，而導致錯誤。
【第十二題】下列那一個物品的形體是四角柱？ ○１ ○２
○３ 。
表 17
前測 C-12 答題情形
答案選項 選項 1 選項 2 選項 3
選項內容
※
選擇學生 S2、S4 S1、S3、S5
※表示正確答案
在 C-第十二題中得到 S2 選擇第二個答案，雖使用生活中的物件來判別，但 學生辨認立體圖形的基本要件及椎體和柱體的概念，而無法作答。
【第十三題】下列那一個形體是直圓柱？ ○１ ○２ ○３
。
表 18
前測 C-13 答題情形
答案選項 選項 1 選項 2 選項 3
選項內容
※
選擇學生 S1、S2、S4 S3、S5
※表示正確答案
在 C-第十二題中得到 S2 選擇第二個選項，尚未內化辨認立體圖形的基本要 件及椎體和柱體的概念，而判別錯誤。
【第十四題】下列那一個形體是五角錐？ ○１ ○２ ○３
表 19
前測 C-14 答題情形
答案選項 選項 1 選項 2 選項 3
選項內容 ※
選擇學生 S1、S3、S5 S2、S4
※表示正確答案
在 C-第十二題中得到 S1、S3、S5 選擇第二個選項，顯示大部分的學生雖有 椎體的概念，但無發現錐體的名稱與底部形狀的關係，而判別錯誤。
【第十五題】下列那一個是直圓柱的展開圖？ ○１ ○２
○３ 。
表 20
前測 C-15 答題情形
答案選項 選項 1 選項 2 選項 3
選項內容
※
選擇學生 S3、S4、S5 S1、S2
※表示正確答案
在 C-第十五題中得到 S1、S2 選擇第一個答案，學生誤以為直圓柱都是圓形 呈現，所以猜測第三選項，故沒有理解柱體與椎體之概念，而導致錯誤。
【第十六題】下列那一個是直圓錐的展開圖？ ○１ ○２ ○３
。
表 21
前測 C-16 答題情形
答案選項 選項 1 選項 2 選項 3
選項內容
※
選擇學生 S3、S4、S5 S1、S2
※表示正確答案
在 C-第十六題中得到 S3、S4、S5 選擇第二個答案，學生誤以為直圓柱都是 圓形呈現，所以猜測第二選項，故沒有理解柱體與椎體之概念，而導致錯誤。
（四）柱體的體積
此題型主要透過計算體積，加強對立體圖形空間的概念，更藉著學過的面 積，建構並強化柱體體積等於底面積和柱高的乘積。
【第十七題】有一個長方體盒子，內部的長、寬、高分別是 10 公分、8 公 分、6 公分，如果要裝每邊長 1 公分的正方體積木，最多可以裝幾個？ ○１ 80 個○２ 24 個○３ 480 個。
表 22
前測 D-17 答題情形
答案選項 選項 1 選項 2 選項 3 選項內容 80 個 24 個 ※480 個 選擇學生 S5 S2、S3 S1、S4
※表示正確答案
在 D-第十七題中得到 S5 選擇第一個答案，僅以長和寬作答 10×8＝80，未將 高計算其中。作為答 S2、S3 選擇第二個答案，，是以加法來計算（10＋8＋6＝
24）學生忘記體積計算方法，尚未將體積計算內化，而導致錯誤。
【第十八題】底面為正方形的直柱體，底面積為 9 平方 公分，高為 5 公 分，體積是多少立方公分？ ○１ 9 立方公分○２ 114 立方公分○３ 45 立方公 分。
表 23
前測 D-18 答題情形
答案選項 選項 1 選項 2 選項 3 選項內容 9 立方公分 14 立方公分 ※ 45 立方公分
選擇學生 S1、S3、S5 S2、S4
※表示正確答案
在 D-第十八題中得到 S1、S3、S5 選擇第二個答案，使用加法來計算（9+5
＝14）學生忘記體積計算方法，尚未將體積計算內化，而導致錯誤。
【第十九題】計算下圖三角柱的體積。○１ 32 立方公分○２ 240 立方公分○３ 120 立方公分。（單位：公分）
表 24
前測 D-19 答題情形
答案選項 選項 1 選項 2 選項 3 選項內容 32 立方公分 240 立方公分 ※ 120 立方公分 選擇學生 S1 S3、S5 S2、S4
※表示正確答案
在 D-第十九題中得到 S5 選擇第一個答案，學生忘記體積計算方法，使用加 法來計算（8＋5＋6＝32）尚未將體積計算內化，而導致錯誤。S3、S5 選擇第二 個答案，其學生尚有體積礎算式能力，但因底面積為三角形，必須除以 2，才為 正確答案。
【第二十題】計算下圖底面為平行四邊形的直角柱體積。○１ 210 立方公分
○
２ 350 立方公分○３ 1050 立方公分。（單位：公分）
表 25
前測 D-20 答題情形
答案選項 選項 1 選項 2 選項 3 選項內容 ※210 立方公分 350 立方公分 1050 立方公分
選擇學生 S3、S4、S5 S1、S2
※表示正確答案
在 D-第二十題中得到 S3、S4、S5 選擇第二個答案，學生將所有的邊相乘來 計算（5×7×10＝350），但平行四邊形的底面積要乘上「高」而不是「邊」。而
在 D-第二十題中得到 S3、S4、S5 選擇第二個答案，學生將所有的邊相乘來 計算（5×7×10＝350），但平行四邊形的底面積要乘上「高」而不是「邊」。而