第四章 研究結果與討論
第二節 教材觀念呈現之分析比較
本節分析並說明直線方程式教材中直角坐標、距離公式、分點坐標、直線 的斜率與方程式、函數等五個部份，依據教材觀念呈現方式分析各版本觀念引 導方式、圖文輔助說明方式、例題及課程內容生活化程度等之異同。
一、直角坐標觀念呈現
直角坐標觀念說明各版本大致相同，先讓學生認識直角坐標，能在平面上描 點，並能瞭解四個象限的意義，能靈活運用。各版本直角坐標觀念教材分析如下 表 4-2，各版本在觀念呈現相異處如下：
（一）觀念引入方式各版本不相同
分析各版本教科書資料，發現大部份版本在進行直角坐標教學前，皆會增加 直線觀念說明，讓學生可從直線坐標概念進入平面直角坐標觀念，由既有的知識 引入新觀念，銜接更容易，學習也更順暢。
1.以複習直線坐標導入
台科大版、泰宇版、啟芳版、信樺版、東大版、美新版、育達版共七個版本，
以數線說明直線相關觀念，例：原點、單位長、正負值、直線坐標表示方式，在 直線觀念複習後再進入直角坐標觀念介紹。各版本直線坐標說明如圖 4-1 啟芳版。
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表 4-2
表 4-2 （續）
啟芳版 頁 4
圖 4-1 啟芳版直線觀念說明實例 2.以日常生活經驗引入坐標觀念
以日常生活經驗所運用的直角坐標觀念，例颱風路徑、地點位置，引入平面 坐標觀念，例：泰宇版與啟芳版。將生活經驗結合到數學學習中，可增加學生學 習的興趣，如圖 4-2。
啟芳版 頁 4
圖 4-2 啟芳版颱風路徑圖示實例 3.介紹直角坐標由來引入
泰宇版、漢樺版、華興版及美新版介紹直角坐標的發展，說明平面直角坐標 又稱為迪卡兒坐標，將幾何圖形數量化，運用代數的方法來處理幾何問題，將數
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學觀念演變融入於課程內容。
4.以觀念銜接方式說明
龍騰（高版）、龍騰（陳版）教科書未於課程內容複習直線基本觀念，僅於 單元前作簡單觀念銜接說明，說明直線基本要素。
（二）除廣懋版外，其他版本皆以文字輔以坐標圖說明象限觀念
x 軸及 y 軸將平面分成四個區域，稱為四個象限，瞭解每一個象限中任一數 對 x 坐標及 y 坐標的正負值，並能靈活判斷數對所屬象限。在介紹象限觀念時，
十一個版本教科書皆以坐標圖方式，清楚說明各個項限所代表的意義，如圖 4-3 所示。
漢樺版 頁 3
圖 4-3 漢樺版文字輔以坐標圖說明象限觀念實例
（三）象限相關例題各版本命題類型不一
象限判斷的例題，各版本命題方式主要分為三類如圖 4-4：
1.由已知數字數對延申到未知實數數對判斷象限題型
先以已知數字數對學習象限觀念，熟悉四個象限後，再進入未知實數數對象 限判斷。例：廣懋版、台科大版、泰宇版、信樺版、華興版、美新版、育達版。
2.直接以未知實數數對判斷象限題型命題
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象限觀念介紹後，直接以未知的實數數對進行象限判斷命題。例：啟芳版、
東大版、龍騰（高版）、龍騰（陳版）。 3.僅以已知數字數對題型命題
象限觀念介紹後，以已知的數字數對命題，直接判斷所屬項限。例：漢樺 版。
數字數對命題-信樺 頁 4 抽象實數命題-信樺 頁 5 圖 4-4 象限判斷例題實例
（四）增加絕對值觀念說明
泰宇版、龍騰（高版）及龍騰（陳版）在教材也編入絕對值觀念，泰宇版在 數線觀念介紹後詳細說明，龍騰（高版）及龍騰（陳版）則在教材前作觀念銜接 複習整理。
（五）增加數系觀念說明
信樺版教科書在直線坐標觀念介紹後，增加數系說明，說明數線上對應的點 除了整數、分數外，尚有無理數部份。
綜合上述，直角坐標引入方式，以在課程中複習直線觀念為佳，由直線坐標 進入平面直角坐標介紹，具有連結性。四個象限觀念說明除以文字說明外，另輔 以坐標圖歸納重點，對於學生象限判斷學習有正面影響。在象限判斷例題，以已
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知數對到未知實數數對命題，由具體數對到抽象數對判斷，具次第及完整性。另 在教材中適時加入生活化題材，有助於學生學習興趣的提升。
二、距離公式
十二個版本教科書在此觀念說明，皆先複習直線上兩點距離計算方式，再進 入平面上兩點距離計算，利用畢式定理推導出平面上兩點距離公式，進一步舉出 例題讓學生實際演算。
（一）由直線上兩點距離導入平面距離計算
十二個版本的教科書中，共有九個版本在教材中詳細說明直線兩點距離觀 念，包含廣茂版、台科大版、啟芳版、信樺版、華興版、東大版、美新版、龍騰 版（高版）、龍騰版（陳版）等，東大版除說明平面上兩點距離計算外，另也對 絕對值的定義詳細說明。
（二）距離公式推導過程呈現方式略不同
各版本教科書在距離公式推導過程，主要先計算平面上兩點間x坐標的距離 及y坐標的距離，再利用直角三角形畢氏定理，計算出斜邊，斜邊即是兩點間距 離，因而推導出兩點間距離公式，各版本推導過程大多以類似圖 4-5 廣懋版方式，
惟台科大版及龍騰版（高版）另以兩種不同斜率之直線，斜率為正值或負值之直 線上兩點距離，距離公式的推導結果皆相同，如圖 4-5。
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廣懋版 頁 8
台科大 頁 1-7
圖 4-5 距離公式推導過程教材實例
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（三）各版本例題缺乏生活化
大部份本小節距離公式觀念介紹後，題目皆為數字計算，少有生活化題型，
信樺版在直線距離公式複習後，以略帶生活化的題型，透由公車在道路上的位置 讓學生實際演練，如圖 4-6。
信樺 頁 7
圖 4-6 信樺版生活化例題實例
綜合上述，各版本皆由直線距離導入坐標平面距離計算，具連結性。距離公 式推導方式皆相同，利用畢式定理導出公式。在本節中教材內容較缺乏生活連結。
三、分點坐標
兩定點所連線段之分點概念由直線上兩點之分點觀念所衍申，各版本教材內 容中皆先介紹分點觀念，再說明分點公式推導方式，進一步延申到中點公式的推 導。
（一）分點坐標推導方式大致相同
各版本教科書中，有少數版本先複習直線分點坐標計算方式，如：廣懋版、
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台科大版、華興版及龍騰（陳版），再導入平面分點坐標。平面上分點座標的推 導主要利用圖形及平行線截線段成比例性質導出，各版本的推導方式大致相同類 似圖 4-7 台科大版，廣懋版、華興版除分說明直線上三點相異坐標分點公式推導 外，另補充以平行線及垂直線證明分點坐標公式仍成立，如圖 4-7 廣懋版。龍騰 (高版)在分點公式推導過程中，特別以 x 坐標情況分別討論，以x1 >x2及x2 >x1分 開證明。
台科大 頁 1-11
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廣懋 頁 12
圖 4-7 分點坐標推導教材實例
（二）各版本中點公式推導方式大致相同
各版本由分點公式中延申介紹中點公式，在線段上的內分點，將線段均分成 兩等份，將其比例代入內分點公式中導出中點公式。
（三）重心公式說明方式差異
利用分點公式推導出中點坐標公式，再以三角形重心的幾何性質，推導出重 心公式，各版本對重心公式的推導略有不同，九個版本推導方式類似華興版，漢 華版則以例題計算方式，歸納出重心公式；東大版、美新版教材中未提及重心公 式相關內容，如圖 4-8。
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華興版 頁 16 漢樺版 頁 19 圖 4-8 重心公式推導教材實例
（三）分點坐標計算過程輔以圖形情況之差異
分點坐標例題計算過程中，部份版本會以圖形輔助理解，依據解題情況可分 為三類：（如圖 4-9）
1.解題過程中輔以詳細圖示說明：泰宇版、信樺版、漢樺版、東大版、龍騰（高 版）。
2.解題過程中以簡單圖示說明：廣懋版、台科大版、啟芳版、華興版、龍騰（陳 版）、育達版。
3.解題過程中直接計算出答案：美新版。
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解題輔以坐標圖-泰宇版 頁 18 解題輔以簡圖-廣懋版 頁 13
直接計算－美新版 頁 11
圖 4-9 分點坐標計算過程輔以圖形說明實例
（四）各版本例題缺乏生活化
各版本教科書距離公式觀念介紹後，題目皆為數字計算，缺乏生活化題型。
綜合上述，各版本在分點公式及中點公式的推導大致相同，在三角形重心公 式推導上，也大致相同，惟東大版及美新版教材中未編寫此部份內容，僅就基本 分點及中點公式說明，若以相關觀念學習的完整性來說，若能在教材中一併介紹
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重心公式，此節學習將更具完整性。在例題計算上，以圖示輔助計算，更能確切 瞭解題意，讓計算更準確。在此節教材內容較缺乏生活化題材或例題的編寫。
四、直線斜率與方程式
各版本皆依據課程綱要編寫教材內容，先說明斜率觀念，通常為傾斜的程 度，水平方向每移動一單位距離時，鉛直方向上升或下降多少單位距離來表示。
進而定義出斜率的計算方式，並說明水平線及垂直線的差異，水平線斜率為 0，
垂直線斜率不存在。進而延申兩直線平行或垂直的斜率差異。各版教材內容分 析，如表 4-3，然而各版本在直線斜率及其相關概念，教材呈現不盡相同，另分 述如下：
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表 4-3
表 4-3 （續）
表 4-3 （續）
表 4-3 （續）
表 4-3 （續）
版）、龍騰（陳版）共九個版本教科書，在介紹斜率觀念前，先以生活實例，例：
爬山、走樓梯、建高樓…等，說明斜率概念，引導學生將數學觀念與生活經驗結 合。其中龍騰（陳版）更將生活中走山路的實例套用於坐標上，說明斜率的觀念。
圖 4-10 龍騰（陳版）斜率生活實例 2.部份版本於教材內容增加斜角說明
廣懋版、啟芳版、信樺版、漢樺版、美新版共五版本教科書，於斜率觀念 介紹時，一併介紹斜角的觀念，直線的斜角大小與其傾斜方向有很大的關係。
斜角為 0 時，斜率為 0；斜角在 0~90 度間，直線斜率為正值；斜角等於 90 度，
直線斜率不存在；斜角大於 90 度，則斜率為負值。
3.斜率公式說明各版本不一
大部份版本以相似三角形方式，說明斜率計算方式，例如：泰宇版；啟芳版 則以簡要方式，說明斜率為直線傾斜程度；育達版則將斜率定義以文字方式簡單 說明。另兩直線平行及垂直斜率關係，各版本皆有編入教材中。
4.斜率大小比較呈現方式不同
斜率大小比較，各版本教材大多有編製相關內容，廣懋版及東大版未直接說
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明此部份觀念；台科大版及泰宇版除文字說明外，亦利用圖形表達，更清楚明確；
明此部份觀念；台科大版及泰宇版除文字說明外，亦利用圖形表達，更清楚明確；