第二章 文獻探討
第二節 直線方程式概念
本節依據直線方程式所呈現的知識內容分為五個面向，分別為：坐標系 統、距離公式、分點坐標、直線的斜率與方程式、函數，探討各學習單元有關 之教材內容與學習概念。
一、 坐標系統
正式進入高職數學課程前，先複習國中所學「直角坐標概念」，再進一步針 對國中已習得之觀念，將教材內容加深加廣，藉由課程內容，使同學能靈活運 用並熟悉各象限的正負值。在進入直角坐標前先說明數系關係，延伸至數線及 坐標平面觀念。
（一） 數系關係
實數包含自然數、整數、有理數、無理數…等，如下說明（陳進春、張太 山、蘇哲欽，2008）：
1.自然數：又稱計物數，也稱為正整數。
2.整數：自然數計算物品個數，或來表示各種數的意義，有時也會有不足 的情況發生，或難以表示的地方，因此有了負數的概念與應用，正整數
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與負整數統稱為整數。
3.有理數：凡是可表為分數形式的數，統稱有理數，整數、分數、小數（有 限小數、循環小數），均為有理數。
4. 無 理數 ： 一個 數 若不 能 表 為 分數的 形式，稱 為無理 數 ，如 圓周 率 π
=3.14159…、 3 =1.7321…都不能表示為分數形式，都是無理數。
5.實數：上述之有理數與無理數，統稱為實數。
實數
→
整數
有理數 分數
小數 有限小數
循環小數
無理數 不循環的無限小數
圖 2-1 數係關係
（二） 數線
在一條水平線上取一點 O，並取適當長度為單位長，以 O 點為起點，在 O 點的左右各以一個單位長為間隔分別取點，並在 O 點的右方依序以 1、2、3…，
O 點的左方依序以-1、-2、-3...與這些點相對應，此時將 O 點對應到數字 0，並 稱 O 點為原點。這種由數與點的對應關係所形成的直線，就稱為數線（謝立人、
祝仰濤、林政宏、林建宏、張克旭，2011）。
圖 2-2 數線
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（三） 直角坐標系
1.直角坐標系形成
笛卡兒坐標系（Cartesian coordinate system），也稱直角坐標系，是一種正 交坐標系。二維的直角坐標系是由兩條相互垂直、O 點重合的數軸構成的。在 平面內，任何一點的坐標是根據數軸上對應的點的坐標設定的。在平面內，任 何一點與坐標的對應關係，類似於數軸上點與坐標的對應關係。採用直角坐 標，幾何形狀可以用代數公式明確的表達出來。幾何形狀的每一個點的直角坐 標必須遵守代數公式（維基百科，2014）。
二維的直角坐標系通常由兩個互相垂直的坐標軸設定，通常分別稱為 x-軸 和 y-軸；兩個坐標軸的相交點，稱為原點，通常標記為 O，既有「零」的意思，
又是英語「Origin」的首字母。每一個軸都指向一個特定的方向。這兩個不同線 的坐標軸，決定了一個平面，稱為 xy-平面，又稱為笛卡兒平面。通常兩個坐標 軸只要互相垂直，其指向何方對於分析問題是沒有影響的，習慣上，x-軸被水 平擺放，稱為橫軸，通常指向右方；y-軸被豎直擺放而稱為縱軸，通常指向上 方。x-軸刻畫的數值為 x-坐標，又稱橫坐標，稱 y-軸刻畫的數值為 y-坐標，又 稱縱坐標。這兩個坐標就是直角坐標系的直角坐標，標記為（x,y）（維基百科，
2014）。
直角坐標系的兩個坐標軸將平面分成了四個部分，稱為象限，分別用羅馬
數字編號為 ， ， ， 。依照慣
例，象限 的兩個坐標都是正值；象限 的 x-坐標是負值，y-坐標是正值；象 限 的兩個坐標都是負值的；象限 的 x-坐標是正值，y-坐標是負值。所 以，象限的編號是按照逆時針方向，從象限 編到象限 （維基百科，2014）。
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圖 2-3 直角坐標系的四個象限 2.直角坐標系學習脈絡
從直線坐標系中，用一個「實數」來表示一個點的位置，再延申到直角坐標 系中，以「數對」（a，b），也稱「坐標」來表示平面上一點的位置。如下圖（陸 思明編著，2013）：
圖 2-4 直角坐標系學習脈絡
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（四） 空間坐標系
1.空間坐標系形成
在空間任取一點 O，稱為原點，過 O 點做互相垂直的三直線，分別稱為 x 軸、
y 軸、 z 軸，此三直線通稱為坐標軸。 x 、 y 兩軸所形成平面稱為 x y 平面， y 、 z 兩軸所形成的平面稱為 y z 平面， z 、 x 兩軸所形成的平面稱為 z x 平面。
x y 、 y z 、 z x 三個坐標平面把空間中不在這三個平面上的點分為 8 個卦限。
若 P 空間中的一點，過 P 點分別向 x 軸、 y 軸和 z 軸作垂直線，則 P 點的坐標為 )
, ,
(a b c 。如下圖（林原宏、謝闓如編著，2014）：
圖 2-5 空間坐標系 2.空間坐標的投影與對稱點
已知空間一點 P 之坐標為(a,b,c)，點 P 在各坐標軸和各坐標平面的投影及 對稱點如下表所示（林原宏、謝闓如編著，2014）：
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表 2-1
點P 在各坐標軸和各坐標平面的投影及對稱點 P(a,b,c) 正射影 對稱點
x 軸 (a,0,0) (a,−b,−c) y 軸 ( b0, ,0) (-a,b,−c) z 軸 (0,0,c) (-a,−b,c) x y 平面 ( ba, ,0) (a,b,−c) y z 平面 (0,b,c) (-a,b,c) z x平面 (a,0,c) (a,−b,c)
二、 距離公式
距離公式的觀念，由直線上兩點距離，再引入平面上兩點的距離公式，進一 步說明空間中兩點的距離。
（一）直線坐標上兩點距離
在一直線上，任取一點 O 作為原點，在選一個單為長度 a，在原點 O 的一 側（習慣上為右側）取一點 A，使得 OA 等於單位長度 a。再令實數 0 與點 O 對 應，1 與點 A 對應，其他實數則可以根據他的正負與絕對值大小，與此直線上的 點形成一對一對應。此對應即形成直線坐標系。在直線坐標系中，假若有 P、Q 兩點的坐標分別為 x 、y，則 P 與 Q 的距離為 y -x
（林原宏、謝闓如，2014）。
O P Q
0 x y
圖 2-6 直線坐標上 AB 距離
（二）直角坐標上兩點距離
平面上的兩點距離公式可以由畢式定理轉換為牽涉到坐標代數公式導出，
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如 下 圖 A 與 B 之 間 的 距 離 為 AB 的 長 ， 直 角 三 角 形 的 斜 邊 ，
一已知點（稱為圓心）為定距離（稱為半徑）的點的集合。假設圓心為( ba, )， 半徑為 r，(x,y)為圓上任一點，則圓的方程式為(x−a)2 +(y−b)2 =r2，當圓心 為原點時，圓的方程式簡化為x2 +y2 =r2（戴永久，1987）。
三、分點坐標
（一）平面上分點坐標意義
分點坐標概念，配合國中學過的比例觀念，再推衍出坐標平面上的分點坐 標公式。設 A、P、B 為坐標平面上相異三點，且 P 為 AB 上一點，則 P 稱為 AB 之內分點，以 A-P-B 表示。若 A、B 的坐標分別為 A(x1, y1)、B(x2, y2)，且內分 點 P(x,y)將 AB 分割成兩段，即 AP ： PB =m：n，則內分點坐標 P(x,y)為
) ,
( 1 2 1 2
n m
my ny n m
mx nx
+ + +
+ （謝立人、祝仰濤、林政宏、林建宏、張克旭，2011）。
圖 2-8 坐標平面上內分點 P(x,y)
（二）平面上分點坐標延申觀念
由內分點坐標公式中，若 m：n=1：1，即 AP ： PB =1：1，則 P 為 AB 的中
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點，則中點坐標 P(x, )為y )
通常一個斜坡的傾斜程度，水平方向每移動一單為距離時，鉛直方向上升 或下降多少個單位距離來表示。x1−x2和y1−y2分別表示斜坡 A 點爬到 B 點的 水平位移，若x1≠x2，利用下列比值來表示直線傾斜程度，以m表示比值（謝立
人、祝仰濤、林政宏、林建宏、張克旭，2011）： 1 2
2 1 1 2
1 2
x x
y y x x
y m y
−
= −
−
= −
；直線 L 若垂直於 x 軸，直線 L 斜率無意義、不存在；直線 L 若平行於 x 軸，直線 L 斜率 為 0；若斜率 m >0，如圖 2-9 左圖；若斜率 m <0，如圖 2-3-5 右圖。
圖 2-10 直線斜率 2.斜率的特點
斜率即代表直線的傾斜程度，所以斜率相同的直線，其傾斜程度也相同，
兩直線互相平行。斜率亦可用來判斷兩直線是否垂直，若兩直線垂直，假設直 線L1與L2均不垂直於坐標軸，斜率分別為m1、m2，則m1× m2 =−1。
(1)存在於同一條直線上的任意兩點，其得出來的斜率值都是相同的。
(2)平面座標系中直線由左下向右上傾斜時，斜率為正。
(3)平面座標系中直線由左上往右下傾斜時，斜率為負。
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(4)兩平行線的斜率相等，兩垂直線斜率相乘等於-1。
(5)平面座標系中水平線斜率為 0，鉛直線則斜率不存在。
下圖表示斜率之變化：
圖 2-11 直線斜率變化
（二）直線方程式求法
1.平面上直線方程式求法
在平面坐標上，每一條直線都可以一個二元一次方程式（直線方程式）表 示，直線方程式的基本型（林原宏、謝闓如主編，2014）：
(1)點斜式：直線 L 通過點 A(x1, y1)，且斜率為m，直線 L 的點斜式 )
( 1
1 m x x
y
y− = − 。
(2)斜截式：若直線 L 與x軸相交於(a,0)則稱 a 為 L 的x截距；若直線 L 與 y 軸相交於(0,b)則稱 b 為 L 的 y 截距，直線方程式寫成y=mx+b。
(3)截距式：若直角坐標平面上有一直線 L，其x截距為 a，其 y 截距為 b（此
處 ab 0≠ ），則 L 的方程式可寫成 + =1 b
y a x
。
(4)一般式：對坐標平面上的任一直線，經整理後都可以化成一個二元一次
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方程式，ax+by+c=0的形式。
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五、函數
（一）函數基本概念
第一個變量如何去影響第二個變項之規則，技術上，函數(function)是介於 唯一地連結第一組的元素和第二組元素之間的對應規則，從第一組元素的變項 表徵稱為自變量(independent variable)，函數中第二組變項的值依照第一組變項 之值而改變，稱作依變量(dependent variable) （張英傑、周菊美譯，2005）。函 數以抽象方式表徵量與量的關係，並以關係、數列、公式、函數等方式呈現；
函數是表徵兩量關係的基本語言。函數概念的建立需要較長時間的鋪陳，可能 的鋪陳步驟為（教育部，2008）：
1.觀察樣式規律性。
2.列表紀錄測量所得之兩量，這是建立自變量與應變量的前置經驗。
3.以繪圖方式呈現兩量關係的規律性。
4.未知量的測量。
5.公式與函數模型的建立。
6.以方程式呈現兩量關係。
（二）函數圖形
函數圖形的繪製是培養學生「函數感」的重要歷程；而「函數感」是指對於 函數的圖形特徵、這些特徵所對應的現實意涵、以其作為數學模型的典型問題 等，三者綜合認識，一次函數圖形特徵有斜率與截距，二次函數的特徵包括：
頂點坐標、開口方向等（教育部，2008）。函數學習關係如圖 2-12。
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圖 2-12 高中的函數概念關係
資料來源：教學對高中生學習函數概念的影響，吳玫瑤，2001，頁 21。
1.一次函數圖形：
在函數y= f(x)中，若對每一個x的值確定後，y的值亦隨之可以確定，便 產生有序數對(x,y)，將這些有序數對(x,y)描繪在坐標平面上，則每一序對皆可 在坐標平面上找到其對應的點，所有的點以平滑的曲線連起來，即可得到
) (x f
y= 的圖形。凡能化成y=ax+b（a,b為實數，a≠0）之圖形之函數，稱 為一次函數，圖形為斜直線。若y=ax+b，當a=0時，稱為常數函數，圖形為 水平線。
2.二次函數圖形
凡能化為 f(x)=ax2 +bx+c(a≠0)之型式者，稱為二次函數。例：有一正方 方形的花園其邊長為x，面積為y，則關係式y=x2，y是x的二次式，稱此函
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數為 x 的二次函數。二次函數之圖形特徵：圖形為拋物線，在 y 軸左右對稱， y
1.實物情境(real scripts)表徵：由真實情境的物體或知識等，來解釋問題中的情 境或內容。例如：利用腳步長度來測量教室的長度與寬度，而推估教室的面 積。
2.教具模型(manipulative model)表徵：必需配合概念才具備意義的教具。例如：
利用玩具鈔票、圓形分數板等教具，建立符合問題情境的關係與運算。
3.圖形、圖示或圖表模型(static pictures)表徵：指靜態的圖形模式，透過圖形模
3.圖形、圖示或圖表模型(static pictures)表徵：指靜態的圖形模式，透過圖形模