數學學障學生的學習困難

本節首先描述過去文獻提到學習障礙學生顯現於數學學習上的困難，

再來從數學學障的定義到多元的認知特徵與學習歷程之關係，包含記憶、

注意力、視覺空間、語言等，接著討論這些能力缺陷如何造成數學學習 上的困難，特別是在數概念的學習上，最後提出相關教學建議。

壹、數學學習障礙之定義

數學學習障礙是指智力正常，但在數學能力卻出現顯著困難的個體

（Butterworth & Laurillard, 2010），根據國外的文獻統計，這種疾患盛行 率可高達 5 ∼ 8%（Geary, 2004）。數學學習障礙的名稱最早起源於神經心 理學中的失算症，也就是因生理或心理因素導致計算困難的疾患，這類 型 的 疾 患 又 可 分 為 兩 類 ， 第 一 類 是 發 展 性 失 算 症 （developmental dyscalculia），為先天性由於基因或腦部異常使患者產生數學能力之缺陷；

第二類是後天性失算症（acquired dyscalculia），也就是患者原先是具備完 整的數學能力，但因為後天中風或創傷導致腦部功能受損所產生的數學 計算困難，一般在教育或心理學領域關注的是發展性計算障礙，也常被 稱做數學學習困難（mathematical learning disabilities）或算術學習困難

（arithmetic learning disabilities）（Butterworth, 2005），在精神醫學領域，

根據最新版精神疾病診斷手冊（The Diagnostic and Statistical Manual of Mental Disorders, DSM-V），數學學習障礙被定義為特定型學習疾患

（Specific learning disorder）中具數學能力困難者（American Psychiatric Association, 2013；引自張葶葶、龍姿蓁，2017）。

貳、數學學習障礙學生在數學學習上的困難

發展性計算障礙的兒童 Developmental dyscalculia 在（DSM-V）

（American Psychiatric Association, 2013）中被定義為影響學習和日常生 活的數學學障(引自 Lafay,St-Pierre, & Macoir, 2017 )。特點就是在各種數 學領域上普遍出現困難，包括：計數原理、數字位值意義和數字符號之 間的轉碼、數字語法的理解、數字的事實知識和事實檢索（Jordan, Hanich, Kaplan, 2003）。DSM-V 對數學學習障礙特徵之描述為：數學學習障礙的 行為困難表現在數字感（計數、數數）、數學事實提取、計算正確性或流 暢性、數學推理能力和問題解決，也就是說數學學習障礙在初階的數學 能力上就已經出現困難，研究發現這樣的學生流行率約從 1% 到 10%

（ Devine, Soltész, Nobes, Goswami, & Szűcs, 2013）。多數研究發現數學 學 習 障 礙 者 的 基 礎 數 量 概 念 或 數 字 感 有 明 顯 異 常 （Butterworth &

Laurillard, 2010）。

世界衛生組織 WHO（1992）將一般和特定領域的計算障礙歸類為學 習技能的特定領域發展障礙，歸為一種數學障礙，但並無進一步說明，

這個標準指在充分獲得數學教育環境的前提下，學生智力和標準化數學 測驗的分數必須存在差異。相較之下，在最新版本的精神障礙診斷和統 計手冊（DSM-5；美國精神病學協會，2013）中，計算障礙被列為特定型

學習障礙，並且是在數字感知，換言之就是計算或數學推理能力有困難 從 ICD-11 可以預期其未來關於類似智力水準和數學分數將會被提出

（Siemann & Petermann, 2018）。

以下針對數學學習障礙中的發展性計算障礙在學習過程中所面臨的 困難進行討論：

一、簡單的計算困難

目前國外學者的研究中陸續提出數學學習障礙學生的學習困難，

Geary（1994）比較數學學習障礙學生和其他學生的文獻皆支持數學學習 障礙學生主要的問題是數學事實提取有困難，在數數過程中也有較多錯 誤發生（引自丘嘉慧、柯華葳，2014）。另外學者從數數的歷程來解釋缺 乏有效的記憶策略會造成在簡單的加法上處理速度過慢，例如 2+6 這樣 的題目，剛開始兒童會同時數被加數與加數，以全數計數的方法 1、2、

3……一直數到 8，再來可以發展到相接計數，從 2 開始數，3、4、5、6、

7、8，這個階段都還會用手指頭來進行輔助，再來進階到直接用口頭數 數，這些策略將成為日後產生數學問題答案的記憶表徵（Siegler, 1988）， 隨著計算能力逐漸成熟，對數學運算解題也越發熟練，這些重複出現的 數學問題與答案慢慢在長期記憶中形成各自的表徵，在之後解題時，兒 童開始能夠將這些表徵轉為自動化的提取（Widaman & Little, 1992），此 時看到 2 + 6 馬上就能知道答案是 8，不需再透過數數的程序。一般而 言兒童的數學解題策略會由數數發展為提取，然而有研究者發現數學學 習障礙的孩子相較於一般兒童，似乎較無法使用提取的策略來解題

（Geary, Hoard, Nugent, & Bailey, 2012），即便是在進行簡單的數學計算 也必須大量的仰賴數數來進行解題（Hanich, Jordan, Kaplan , & Dick, 2001），同時這些孩子仰賴數數的時間也比一般學童長（Geary, Hamson,

& Hoard, 2000）（引自張葶葶、龍姿蓁，2017）。Geary（2013）進一步觀 察低年級學習障礙生在數數時大多數用手指或口語數，而隨著年級的增 加，使用數數的策略不太會有改變。

Geary 等人（2012）提到計算障礙者不成熟的計數策略可能會阻礙算

術運算和問題解決。類似的研究結果強調了基礎計算和記憶檢索的重要 性（De Visscher & Noël, 2016），其他影響計算能力的其他因素也包括工 作 記 憶 （Dumontheil & Klingberg, 2012 ）、 注 意 力 （ Vandenberghe, Molenberghs, & Gillebert, 2012），以及空間處理（Yang, Han, Chui, Shen, &

Wu, 2012）。

二、缺乏數感

Mazzocco 與 Thompson（2005）認為造成數學困難的原因有很多，

其中缺乏數感是最常被指出和失算症（dyscalculia）最直接相關的障礙。

其研究中提到數學困難的特徵與障礙之間存在第三個因子（Factor3）–算 術運算過程中的工具(如圖 2-1)，而非先前文獻提到的二因子（Factor1 and Factor2）。失算症可能是由不同的潛在因素所引起的，Mazzocco 比喻這 就好像蓋房子，如果基礎本身不夠健全（Factor1）就必須要採其他領域 技能作為鷹架（Factor2），因為缺少適當的基礎房子就會不穩固。而數學 困難的狀況就和這個比喻類似，其一般領域技能較缺乏，如：工作記憶，

若是基礎和鷹架支撐都不穩固，那整個房屋就搖搖欲墜，若此時非數字 符號表徵和數字符號表徵之間的連結又無法被建立，這就好像一個工匠 擁有破碎的工具一樣。

圖2-1 數學計算障礙之特徵與障礙之間的三因子模型的示意圖 資料來源：(Siemann & Petermann 2018, 7)

Wong、Ho 與 Tang（2015）提出數學困難的潛在核心認知缺陷的兩 個主要假設：

(一) 數量感知缺陷假設（The number sense deficit hypothesis）

即處理非數量符號表徵缺陷，指在於對數量的感知和處理數字相關 的過程有缺陷（Wilson & Dehaene, 2007）。其中相近似數系統（The Approximate Number System, ANS）被提出是人類表示數量的先天系統之 一（Feigenson et al., 2004）這個系統可以讓人類用近似的方法去分辨數 量的大小。數量的大小感知上，除非兩個數量之間的差距夠大，否則人 類無法辨別。這種天生就具備的ANS 被認為是我們學習表徵性數學技能 的基礎（Dehaene, 2001）。一開始提出驗證的是 Halberda、Mazzocco 與 Feigenson（2008）其研究發現 14 歲青少年的數字敏銳度與他們之前的數 學成就有關。Chen 與 Li（2014）的研究也呈現出 ANS 與數學成就間呈 現中度但有顯著相關。此外，研究發現在控制四歲幼兒先前的數學能力 後，發現他們對數字的精確性能夠預測未來半年的數學能力（Libertus, Feigenson, & Halberda, 2013）；另一項研究（Starr、Libertus, & Brannon, 2013）先測量六個月大一般智力的嬰兒對數量的敏感度，來預測他們三 歲半後的數學能力，這兩項研究結果都說明了 ANS 可以作為我們象徵性 數學技能的基礎。這些研究都說明了數感和數字表徵技能之間有顯著相 關，因此有學者認為數感的缺陷可能是造成計算障礙的主因。

(二) 數字符號表徵獲取缺陷假說（The access deficit hypothesis）

另一派認為數學學障的核心缺陷主要在於獲得辨識數量大小的數量 表徵出現困難（Rousselle & Noël, 2007），在先前的研究中，讓二年級有 數學困難的學障組與同齡一般組進行數字符號表徵和非符號表徵的任務 並進行比較，研究結果顯示兩組有顯著差異，在數字符號表徵任務中學 障組與一般組有明顯的差異，一般組明顯優於學障組，但兩組在非符號 表徵的任務中，其表現是相當接近（Rousselle & Noël, 2007），這也說明 學障生的困難僅限於對數字符號表徵的處理。De Smedt 和 Gilmore（2011）

進一步研究了一年級學生在數字符號表徵獲取缺陷的情形，在實施多元

評量後證明數學學障兒童在數學符號表徵中的表現比非數學符號表徵差，

這也為數字符號表徵獲取缺陷假說提供更進一步的支持。

綜合上述，數學學習障礙學生主要在計數、數數、計算的正確率與 流暢性、事實提取、推理和問題解決上明顯落後同儕，其困難嚴重影響 數學學習，多數的學者將主要原因歸因為計算困難和缺乏數量感知，這 兩項能力皆屬基礎能力，就如 Mazzocco 與 Thompson（2005）先前提到，

基礎不穩，後續的學習更如搖搖欲墜的大樓，所以提供更多的鷹架支持 以及擴展其他優勢領域技能來輔助學習是非常重要的。

參、數學學習障礙之成因

一般數學領域常提到的數學能力指的是特定與數量相關的算術，算 術能力由淺入深可以分為三個層次：最初階的是對基礎數字處理與數量 基本概念的認識，又被稱作數感（number sense），再來更進階的是能夠 理解數字和其所代表的數量，以及數量之間的關係，能夠進行不同表徵 數量的大小比較，具備基本的數字處理概念後，下一個階段是將數量搭 配運算符號（加、減、乘、除）進行操弄，產生新的數量，運算會使用到 兩種策略，一種是直接提取答案，如從已經背好的九九乘法表中提取某 個一位數相乘的答案，另一種是經過多重步驟算出答案，例如減法，學 會這些基礎的運算規則後，便可運用這些先備能力進行更高階的複雜運 算，如多位數借位減法，此階段便需要更多認知資源來協助，如：注意 力、工作記憶與視覺空間處理等（Menon, 2010；引自張葶葶、龍姿蓁，

一般數學領域常提到的數學能力指的是特定與數量相關的算術，算 術能力由淺入深可以分為三個層次：最初階的是對基礎數字處理與數量 基本概念的認識，又被稱作數感（number sense），再來更進階的是能夠 理解數字和其所代表的數量，以及數量之間的關係，能夠進行不同表徵 數量的大小比較，具備基本的數字處理概念後，下一個階段是將數量搭 配運算符號（加、減、乘、除）進行操弄，產生新的數量，運算會使用到 兩種策略，一種是直接提取答案，如從已經背好的九九乘法表中提取某 個一位數相乘的答案，另一種是經過多重步驟算出答案，例如減法，學 會這些基礎的運算規則後，便可運用這些先備能力進行更高階的複雜運 算，如多位數借位減法，此階段便需要更多認知資源來協助，如：注意 力、工作記憶與視覺空間處理等（Menon, 2010；引自張葶葶、龍姿蓁，