早期的數字概念及數感的定義與內涵

美 國 國 際 數 學 教 育 委 員 會 （ National Council of Teachers of Mathematics, NCTM）指出，數感（number sense）是一種對「數」的直觀 概念，是在日常經驗中對於「數與量」擁有良好的概念與運算能力，因 此「數感」的概念在數學教育中具有重要意義。NCTM（2000）年頒布的 數學標準認為學生應該要具備理解數字、表示數字的方式、了解數字與 數字系統間的關係和數字操作的意義，並能進行流暢的計算和對未來的 數學成就做適當的預測（引自 Er &Artut，2018）。因此數感如果沒有建 立好，可能會導致之後數學學習的挫敗（Gersten, Jordan & Flojo, J. 2005 ; Jordan, Kaplan, Ramineni & Locuniak, 2009）。此外若無適當的介入，那 些數感能力表現不佳的學童可能會出現數學低成就（Aubrey, Dahl &

Godfrey, 2006 ; Geary, 2013）。從文獻中發現數感是早期數概念發展的重 要能力之一，它們在定義和內涵上有諸多類似的地方，經常被放在一起 討論。

壹、早期的數字概念及數感的定義

Greeno（1991）將 Number Sense 定義為關於數量的靈活思維、計算 預測技巧和識別技巧。McIntosh 和 Reys（1992）描述 Number Sense 是一 個人對數字的一般理解以及結合運算的能力，能靈活的使用這種理解來 作數學判斷和訂定處理及操弄數字的策略（Morais & Serrazina, 2013）。

Andrews 和 Sayers（2015）將數感區分為三類，按照發展順序分為：

(一) 獲得語言能力前的數感（preverbal number sense）

反映出人類與生俱來對數字的洞察力和可以進行比較的較小數量，

例如：六個月的幼兒可以區分 1：2 的數量，10 個月大的嬰兒能進行 2：

3 的數量（Feigenson, Dehaene, & Spelke, 2004），例如：Starr（2013）

找 48 名六個月大的嬰兒來進行實驗，研究者用螢幕撥放兩張圖給嬰兒 看，一邊呈現 10 個圓點圖，圓點的分布會改變，另一邊輪流出現 10 和 20 個圓點，圓點的分布也會改變，兩側螢幕的點會同時改變分布狀態，

只是其中一邊會出現兩種數量交替的圓點，有些嬰兒會特別盯著 10 和 20 個點的那一側看，這推測六個月大的嬰兒其實可以分辨 1：2 的數量 差異(汪芃，2013)。此外，三和四歲的幼兒可以準確估計一組 1 到 4 甚 至 5 的數量，這種在獲得語言能力前的數感能力是獨立於正式教學之 外的，是人類和其他物種先天演化的結果。

(二) 基礎數感（Foundational number sense, FONS）

基礎數感是建立在兒童獲得語言能力前的數感，包含與數字相關 的理解，通常是在剛進學校的第一年需要透過教學來習得的能力

（Ivrendi 2011 ; Jordan & Levine, 2009），這是一種經由學習而獲得的 概念而不是先天擁有的能力，如：對數字的基礎概念，也就是對數量的 理解，或是形成心理數線，去了解數字在數列中的位置以及與數列的關 係（Robinson et al., 2002）。

(三) 與核心數字相關的理解

這一系列與核心數字相關的理解會散布在整個數學的學習中

（Faulkner, 2009；National Council of Teachers of Mathematics, 1989），

數感更一般性的說法是指所有成年人在職場所需要的數學能力，這些 都是他們在學生時代義務教育中數學學習的主要目標（McIntosh, Reys,

& Reys, 1992）。1994 年 Reys 說明它反映了一系列的理解和技能，使 人們能夠在面對細節之前全面地審視問題，尋找數字和數字之間操作 的關係，利用自己對數字關係的理解，應用一些標準去做數量的判斷和 發現計算過程中出現不合理答案的過程，找出最有效的解決方法（引自

Andrews & Sayers，2015)。這與研究者在教學中觀察的情形一致：學習 者在進行加法運算時會出現越加越少的情形，或無法善用估算來判斷 答案，導致計算出來的結果明顯與正確解答有嚴重差距卻不自覺。

Whitacre、Henning 和 Atabaş（2017）整理出三種不同但相關的觀點：

先天數感（Innate number sense, INS）、早期數感（Early number sense, ENS）

以及發展成熟的數感（Mature number sense, MNS），其中最後一項為 Whitacre 等人自創的專業術語，為了區辨先前文獻提到的數感，其意義 分述如下：

(一) 先天數感（Innate number sense, INS）

先天數感（INS）被認為是人類和一些動物與生俱來的能力，因此數 感的研究也包含了嬰兒、兒 童、成人和非人類的動物（Halberda &

Feigerson, 2008 ; Libertus & Brannon, 2009）。在這裡數感指的是關於對量 的感知和區分，而不是對數字符號的知識。

(二) 早期數感（Early number sense, ENS）

早期數感（ENS）包括明確的數字知識，例如：使用數學文字數東西、

數字符號表徵的比較……等，一些學者認為早期數感建立在先天數感之 上（Andrew & Sayers, 2015），此能力受到教育和早期幼兒經驗的影響因 人而異（Cheung & McBride-Chang, 2015）。早期數感被認為是預測學童 在學校學習數學成功與否的重要指標（Dyson, Jordan, & Glutting, 2011）。 由此得知早期數感（ENS）有助於學校的數學學習，特別是在年紀較小的 幼兒園學童。

(三) 發展成熟的數感（Mature number sense, MNS）

McIntosh 和他的同事於 1992 年提出了最常被引用或解釋 MNS 的 定義：數感指的是人類對數量操作的一般性理解，並將此能力運用在做 數學方面的判斷和發展出處理和操作數字方面的策略，它反映出了這是 一種使用數字和數量方法作為溝通方式的能力。與早期數感（ENS）一 樣，MNS 指的是學習到的知識，而不是與生俱來的，但不同的是，MNS 通常是描述概念結構和心智習慣而不是指技能 （McIntosh et al., 1992）。

著重的是一種心理習慣和數學行為的表現方式，這被認為是一種理想能 力，如：可以靈活的操弄數字。

以上描述說明了數感的意義，它時常被用在數學教育的討論上，國 外學者根據數感的發展階段進行分類，雖然名稱不同但分類方式有高度 的相似性，綜合上述文獻可將兒童數感的發展分為三階段，第一是學齡 前嬰幼兒階段，即具備區分數量大小的先天能力，再來幼兒園階段，開 始進入數字符號表徵，一種經由學習而獲得的能力，最後是學齡階段一 直到成人所具備的數學判斷及策略使用的技能。

貳、數概念的內涵

以下整理國外學者對數概念內涵的分類：

一、數感的五個要素

Reys、Bana 與 Farrell（1997）對數概念發展的分類，使用了五個主 要類別用於描述數感的要素，說明如下：

(一) 理解數字概念：理解數字代表的意涵及其所代表的範圍（Harç, 2010）。

(二) 使用多重的表徵：可以表示數字或其意義的各種方式。

(三) 使用同等意義的表徵方式：能夠以各種形式表達數字，即識別其 等價物。

(四) 使用計算和計數策略：在解決問題時實施心理預測策略（Kılıç, 2011）。

(五) 了解操作的成效：能夠在計算過程中覺知數字的量，以及在操作 時了解其變化如何影響結果（Yang, Reys, & Reys, 2009）。

二、早期數感和發展成熟的數感

Whitacre 等人（2017）針對早期數感（Early number sense, ENS）和 發展成熟的數感（Mature number sense, MNS）再進一步說明：

(一) 早期數感（Early number sense, ENS）分為六項主要技能：

1. 數字辨別：數字辨別和兒童對數字的意義和詞彙相關的數字

表徵相關。

2. 計數：Gelman, R.與 Gallistel, C.R.（1978）提出計數包含五 項原則：

(1) 一對一數（one-to-one correspondence）：甲集合的一個元 素與乙集合中的一個元素互相配對的關係，例如數數過 程中，一個物件對應一個數詞。

(2) 標準數詞序列（the stable-order principle）：按照社會文化 約定的排列方式，唱出一連串的語音，各個語音皆為數詞，

例如「1.2.3.4.5……9.10」，而此被唱出的語音序列即為標 準數詞序列。

(3) 基數原則（the cardinal principle）：正整數數詞可以用來標 示某一群體物件的總量，此種功能稱之正整數數數詞的 基數概念。因自然數在不同情況下有不同的意義，這裡指 的是數量的意義，也就是物體有「多少個」用來表示事物 數量的自然數。例如：將全班分組，一組有 5 人，這裡的

「5」是表示一組裡面有多少人，代表的是人的數量。

(4) 抽象原則（the abstraction principle）：數字可以代表所計 數任何可數的事物，例如：「6」可以代表六枝鉛筆，六位 學生或是六張椅子，且在數數的活動時不受物體的特性 影響（例如：大小、顏色、是否可接觸的到）。

(5) 次序無關原則（the order-irrelevant principle）：無論從哪一 個物件開始數算，都不會影響這堆物件的總數，換句話說，

也就是具備從任意數開始順數和倒數的能力。

3. 數字模式：指的是能夠進行數字模式（如：數列）的複製或 從數列中找出遺失的數字。

4. 數字比較：對數字大小的覺知和比較兩個不同數字大小的能 力。

5. 數字操作：包含進行 10 或 20 以內加減計算的基本能力。

6. 估計：指的是對表徵和非表徵數量大小的估計，包含使用數 線去辨別最接近目標數字的位置（Andrews & Sayers, 2015）。 Siegler 與 Booth（2005）將估計細分為四種類型：

(1) 計算估計（computational estimation）：指對加、減、乘、

除問題運算後數值的估計，例如：估計89×69 的答案。

(2) 數量估計（numerical estimation）：指對一堆物品數量的估 計，例如：估計盒子裡餅乾的數量有多少。

(3) 測量估計（measurement estimation）：是指以公制單位估 計一條線的長度。如：在不使用尺測量的情況下，以目視 估計這條線有幾公分長。

(4) 數線估計（number line estimation）：估計一個數值在一條 有標註頭、尾數字的線上的位置。例如：估計數值 38 在 0-100 數線上的位置。

(二) 發展成熟的數感（Mature number sense, MNS）一般分為六個組成 要素：

1. 理解數字的大小和意義（例如：分數的比較）。

2. 了解和使用等號來表示不同的數字，例如：以不同的方式寫出 有理數（即可被整除的數）。

3. 了解數字意義和操作結果，如：推理出除以 0 和 1 之間數字的 結果。

4. 理解並使用同等的表達方式，如：比較不同數字或操作方式間 的不同。

5. 靈活的使用計算策略或心算、書面計算或計算機的使用策略，

例如：選擇適當的計算策略和心算方式。

6. 測量基準，例如：估計物體的高度（ Reys, Reys, McIntosh, Emanuelsson, Johansson, & Yang, 1999）。許多研究使用評量設 計去測得數感的組成。

綜合上述，數概念的內容包含辨別數字、運用數學符號表徵和數

量概念進行計數活動、估計數量大小、心算策略的使用等能力，每一

量概念進行計數活動、估計數量大小、心算策略的使用等能力，每一