遊戲式數學課程提升國小資源班數學學障生數概念之行動研究—以MIND為例

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(1)國立臺灣師範大學教育學院特殊教育學系碩士論文. 遊戲式數學課程提升國小資源班數學學障生數概念之行動研究—以 MIND 為例 An Action Research on Game-based Mathematical Program of Number Concepts for Elementary School Students with Mathematics Learning Disabilities – Taking MIND as An Example. 林宇婷. 指導教授：胡心慈博士中華民國 109 年 2 月.

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(3) Department of Special Education College of Education National Taiwan Normal University Master's Thesis. An Action Research on Game-based Mathematical Program of Number Concepts for Elementary School Students with Mathematics Learning Disabilities – Taking MIND as An Example. Lin, Yu-Ting Advisor: Hu, Sin-Cih, Ph.D. February 2020.

(4) 謝誌回首三年又六個月的日子，日日徘徊於職場與學業間，雙重身分，常有力不從心之感，謝謝自己的堅持，熬過艱難的時刻。一次次的磨練與挑戰讓心志越加茁壯，這份經驗將成為我生命中難忘且重要的一部分。感謝師大的師長們，傳授的不僅是知識，更是一份精神，一種身為教育工作者所賦予的使命感，記得老師曾說：「我們的孩子不善言辭，我們不為他們發聲，那他們的聲音如何被聽見？」即使我們所學只是知識的冰山一角，但這一點點，足以支持我們做很多的事，字字句句提醒我莫忘初衷。謝謝出現在論文中四個可愛的孩子，小文、小茹、小庭和小君，謝謝家長們全力的配合，成就了我們的驕傲；謝謝指導教授心慈老師，總是細心地回應我的問題，百忙中撥空陪我討論，每次看到您在 mail 上的鼓勵，就足以讓我開心好久好久；謝謝口委小蘭老師、慧婷老師指導我論文寫作的技巧以及修改的方向；謝謝恩師琮富老師，亦師亦友更如慈父，心中的謝意非三言兩語可以表達；謝謝同事及學妹們，芯葦、筱媛、雅芳、玉秀、祐萱，在我被壓力包裹時，捎來歡笑和關心、在蠟燭兩頭燒時，幫忙分攤許多事，謝謝你們！謝謝研究所同學山歌，一路走來相互扶持、互相提點，讓我感覺這條路上，自己不再孤單；謝謝弟弟志穎，時時關心我的進度，給我信心；謝謝男友佳甫，在我焦躁不安的時候，是我的定心丸，給我滿滿的安心，在有任何需要時，謝謝你一直都在！最後，謝謝我最親愛的父母，謝謝你們養育我，從小到大無條件支持每一件我想做的事，不管物質上還是精神上一應俱全，我遭受挫折，你們比我還難過；我即將完成學位，你們比我還開心，謝謝你們的愛，成就了今日的我，我愛你們！宇婷謹誌 109.2.15.

(5) 遊戲式數學課程提升國小資源班數學學障生數概念之行動研究—以 MIND 為例摘要由於研究者在數學教中面臨學習者投入大量的學習時間，但仍面臨部分學習者無法掌握數概念的困境，許多研究結果顯示遊戲式數學能提升學習動機及學習成效，因此，本研究採用行動研究，來探討使用遊戲式數學課程教學對於 3 位國小資源班數學學障生對於數概念的學習成效。選出在評量中進位加法與不退位減法兩項目皆低於 PR3 的 3 位中年級學生作為研究對象，以 MIND 為教材，施以每週 3 節，為期 16 週的教學，期間依據參與者者個別差異進行教學調整，藉由資料蒐集分析其在數概念的改變歷程及學習興趣與學習行為的轉變情形，研究結果如下：一、根據學習者現況能力、學習特質與需求，搭配調整策略來進行數概念教學。教學所面臨問題分為遊戲進行方式所面臨的教學困境、學習者能力差異、學習者行為問題以及視知覺能力問題。對應上述情形採取彈性的教與學、詳細的遊戲規則說明、提供增強和練習，建立正向的學習環境來增進學習興趣、增加社會互動機會以及提升學習動機。二、進行 MIND 教學後，學習者從加減法的感知，一路建構數字與數量概念，再運用前面基礎來熟練與自動化十的合成技能，以奠定加法計算的先備能力，將此能力用於加法計算策略中，最終達到獨立心算的目的。紙筆測驗及教學前後測結果發現，3 位研究參與者在學習單的答對率有維持穩定狀況、教學前後測答對率有提升。三、進行 MIND 教學後，三位研究參與者的學習興趣及學習行為均有正向的改變。關鍵字：遊戲式數學課程、數學學障、MIND 課程、行動研究 I.

(6) An Action Research on Game-based Mathematical Program of Number Concepts for Elementary School Students with Mathematics Learning Disabilities – Taking MIND as An Example Abstact Because researchers faced that even learners spent a lot of time in the learning mathematics, but some learners still faced the dilemma of number concepts. Many research results showed that game-based mathematics could improve learning motivation and learning effectiveness. So the purpose of this study was to explore the effectiveness of learning math concepts for 3 students with mathematics learning disabilities in elementary school special education classroom using game-based mathematical programs. This study used action research to discuss the learning effectiveness of students with mathematics learning disabilities. They were filtered by basic mathematical calculations, then selecting 3 middle school students whose carry addition and non-return subtraction were lower than PR3. After that, using MIND as the teaching material was going in duration of 3 times a week for 16 weeks. During the teaching period, the teaching adjustment was made according to the individual differences of the participants. Data were collected and analyzed by the participants' changes in the concept of numbers and the II.

(7) changes in learning interests and behaviors. The results show below: 1. The teaching of number sense was going with different strategies according to the learner’s current abilities, characteristics and needs. Some problems happened in teaching such as the teaching dilemma of playing games, differences of learners’ abilities, problems of learner’s behavior and learner’s visual perception. So flexible teaching and learing, detailed description of game rules and providing the chances of exercises were introduced to increace learning interest, socical interaction and motivation. 2. After teaching of MIND, learners could start forming from perception of add/sub. to concepts of number. Base on the previous foundation and sythetic skills of merge ten, the preparatory ability was used in add calculation. Eventually, learners equipped with mental arithmetic. Results of paper-and-pencil test and pre-and post test showed that 3 participates had stable performance. Rate of correct answer also increased than before. 3. After the teaching of MIND, the interest and behavior in learning of the 3 research subjects were all changed positively.. Keywords ： game-based mathematical programs, mathematics learning disabilities, MIND programs, action research III.

(8) 目錄第一章緒論 ................................................................................................. 1 第一節研究背景與動機 .......................................................................1 第二節研究目的與問題 .......................................................................4 第三節名詞釋義 ...................................................................................5 第二章文獻探討 ..........................................................................................7 第一節早期的數字概念及數感的定義與內涵 ...................................7 第二節數學學障學生的學習困難 .....................................................15 第三節遊戲式數學教學法的理念、實施原則與相關教學調整 ...........................................................................................................27 第三章研究方法 ........................................................................................35 第一節研究設計 .................................................................................35 第二節研究場域與參與人員 .............................................................37 第三節研究工具 .................................................................................46 第四節研究歷程 .................................................................................50 第五節 MIND課程教學設計方案 .....................................................53 第六節資料蒐集與分析 .....................................................................62 第七節研究品質 .................................................................................65 第四章研究結果與討論 ............................................................................67 第一節遊戲式數學課程的實施與調整...............................................67 第二節數概念之改變歷.....................................................................127 第三節學生學習興趣與學習行為之轉變情形.................................140 第四節綜合討論.................................................................................146 第五章結論與建議 ................................................................................. 157 第一節結論.........................................................................................157 第二節建議.........................................................................................159 參考文獻 ....................................................................................................162 中文文獻...............................................................................................162 英文文獻...............................................................................................165 附錄 ............................................................................................................179 附錄一家長同意書.............................................................................179 附錄二教案範例.................................................................................180 附錄三學習單範例.............................................................................183 附錄四 MIND 教學檢核表.................................................................184 附錄五教學活動.................................................................................185 IV.

(9) 圖目錄圖 2-1 數學計算障礙之特徵與障礙之間的三因子模型的示意圖..........18 圖 3-1 教室內環境規劃圖..........................................................................38 圖 4-1 三位研究參與者各次學習單表現情形折線圖..............................138 圖 4-2 教學前後測答對率比較圖..............................................................139 圖 4-3 小文第一次紙筆測驗與教學後再評量比較圖................................148 圖 4-4 小茹第一次紙筆測驗與教學後再評量比較圖................................149 圖 4-5 小庭紙筆測驗評量結果....................................................................151. V.

(10) 表目錄表 2-1 數學學習障學習需求、MIND 課程及數學遊戲設計原則對應表……………………………………………………………………............33 表 3-1 小茹基礎數學計算評量結果.........................................................40 表 3-2 小文基礎數學計算評量結果.........................................................42 表 3-3 小庭基礎數學計算評量結果.........................................................44 表 3-4 三位研究參與者在數概念能力共同點.........................................44 表 3-5 三位研究參與者在數概念能力相異點.........................................45 表 3-6 原版 MIND 課程主題.......................................................................53 表 3-7 編碼符號舉例說明............................................................................64 表 3-8 研究工具與資料蒐集及研究問題之對照表....................................65 表 4-1 各單元與相配的活動名稱................................................................70 表 4-2 計畫與實際教學之對照表..............................................................124 表 4-3 開啟加法和減法的感知學習單表現情形......................................128 表 4-4 加數或減數為 1 學習單表現情形..................................................129 表 4-5 加數或減數為 2 學習單表現情形..................................................129 表 4-6 加數或減數為 1-4 學習單表現情形..............................................130 表 4-7 發展問題解決技巧學習單表現情形..............................................130 表 4-8 發展問題解決技巧學習單表現情形..............................................131 表 4-9 數字概念建構學習單表現情形......................................................132 表 4-10 將十的合成關係自動化學習單表現情形....................................132 表 4-11 將十的合成關係與數量表徵連結學習單表現情形....................132 表 4-12 將十的合成關係自動化學習單表現情形....................................133 表 4-13 將十的合成關係自動化學習單表現情形....................................133 表 4-14 將十的合成關係連結減法橫式學習單表現情形........................133 表 4-15 用十的合成概念進行多個一位數加法學習單表現情形............134 表 4-16 將數字拆解，重新組合為較好計算的整十數字之拆解數字學習單 VI.

(11) 表現情形......................................................................................................134 表 4-17 策略自動化，總評量活動學習單表現情形..................................135 表 4-18 兩位數加兩位數不進位加法、兩位數加一位數進位加法學習單表現情形..........................................................................................................135 表 4-19 兩位數加一位數進位加法學習單表現情形................................136 表 4-20 兩位數加兩位數，個位數字和剛好為 10 學習單表現情形…….137 表 4-21 兩位數加兩位數進位加法學習單表現情形................................137 表 4-22 前測表現情形................................................................................138 表 4-23 後測表現情形................................................................................139. VII.

(12) 第一章緒論本章分為三節，分為研究背景與動機、研究目的與問題以及名詞釋義。. 第一節研究背景與動機依據教育部（2012）所修訂的國民小學九年一貫課綱，提到數學的學習注重循序累進的邏輯結構，由此可知數學本身具備系統化特性，前一階段的學習根基未紮穩，要進入更深入的數學知識是有困難的。九年一貫課綱將數學內容分為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」、「連結」等五大主題，其中又以「數與量」的指標數佔據大宗，可見數與量在數學學習上對於概念與演算能力的養成扮演相當重要的角色。九年一貫數學學習領域在數與量部分教學目標為： (一) 第一階段(國小一至二年級)：能初步掌握數、量、形的概念，其重點在自然數及其運算，其中還能再細分為：具備聽、說、讀、寫 1000 以內的數，比較其大小，做位值單位的換算；理解加法、減法的意義與直式計算，解決生活中的問題；理解乘法、九九乘法的意義，解決生活中簡單整數倍的問題；在具體情境中，進行分裝與平分的活動。 (二) 第二階段(國小三至四年級)：在數方面要能熟練自然數的四則與混合計算，培養流暢的數字感；另外，應初步學習分數與小數的概念。 (三) 第三階段(國小五至六年級)：能熟練小數與分數的四則計算；能利用常用數量關係，解決日常生活的問題。綜合上述，可以看出在低年級階段強調的是在具體情境中對數的基本認識、了解生活中最常使用到的加減法概念、並具備倍數與分裝的概念。在兒童學習數學的過程中，熟練基本數字組合，是初級數學教育的主要目標，但是這個目標似乎不容易達成（陳彥廷，2008）。研究者在教學中遇到的資源班數學學障生，在數學學習的過程中常會出現的困難大多座落在低年級就應該具備的數與量觀念，出現的問題諸如運算的困難、 1.

(13) 高年級仍出現 10 以內的加減法需以手指輔助計算，簡單的分與合概念無法自動化，或是數學計算只流於對運算技巧和策略的記憶，並不是真的了解數概念，導致後續的學習困難。然而在過度強調運算技巧的教學主流下，學生靠死記的方式訓練出了計算技巧，但在具體情境操作時又無法達成目標，此結果透露了學生其實未真正理解數量的意義，基礎數感並未建立。正如陳埩淑（2007）提到在未發展出數的先備概念前，強行教算術，學生僅學會記憶，對於作數的推理與思考沒有幫助。數感指的是對數量之直覺與洞察力，兒童的數感越敏銳，其對數量與數字計算越有概念，根據 Gurganus（2004）實驗教學後評量顯示，兒童的數感與數概念均有顯著增進，故越增加數感之學習經驗，越能提升兒童的數概念發展，也越能啟迪其數學智能（引自蔡淑桂，2013）。由此得知，數感是數學學習的根基。以往在早期數感教學，教師常只讓學生不斷唱數、數實物、認讀數字等，然而，即使經過長時間的學習，部分學生始終仍未能按照某數取出對應數量的物件，未能掌握「數」與「量」之間的關係。陳昇飛（2009）教學實務觀察中，也發現有不少老師是透過反覆的書寫數字，或直接教兒童做加減的算式，這種為數學而學數學的方式，基本上已忽略了兒童在生活中如何使用數學的經驗與需求，使得兒童對數學的學習不感興趣，甚至產生不愉快的學習經驗。這促使研究者思考如何建立資源班有學習障礙的學生建立基礎數概念？ DSM-V （2013）認為數學學障者在學習上的困難會影響其學習和生活，特別是在各種數學領域上普遍出現困難，包括：數感、計數原理（無法瞭解數字、數字的大小以及關係，用手指算個位數的加法，而無法像一般同儕一樣直接提取出答案、在計算過程錯誤或是顛倒程序）、數字位值意義和數字符號之間的轉碼、數字語法的理解、數字的事實知識和事實檢索（Jordan, Hanich, Kaplan, 2003）。 Math Is Not Difficult, MIND 的作者 Su, H. F.是佛羅里達州 Nova Southeastern University 數學系副教授，專長是數學教學設計，因此教學者在數學概念的知識和邏輯的編排並無疑慮，然而，MIND 主要以系統 2.

(14) 化的教學，採取直接教學和鑲嵌式教學的策略來教導數學概念，例如提升數感和數學計算能力，教學前透過前測資料了解學生數學程度，根據學習者的個別差異來擬定教學目標。教學過程融入各式各樣的初階活動，包括遊戲、故事和以邏輯直覺為基礎的學習策略、音樂、歌謠、猜謎、藝術、體能活動、戶外活動等方式進行，讓學習變得更刺激有趣。李香慧（2005）、李嘉鈴（2006）、林靖宜（2013）、蔡宛臻（2014）等人的研究都結果皆顯示遊戲的方式來學數學能夠提升學生的學習動機及學習成效。課程之所以有成效是因為學生在活動中學習，讓他們透過執行數學任務學到很多不同的、適合自己的技巧，目前已在美國數百個教學現場實施。 MIND 先前的研究對象主要以普通教育的學生為主，後來逐漸延伸到自閉症的學習者，2016 年與臺南大學特教系合作，MIND 的前導實驗為準實驗研究前後測設計，研究對象為臺南市特教班六至十一歲之間的自閉症學童，由臺南市一群特教老師擔任教學者，教學前的介入訓練由 Su, H. F.親自授課一天，搭配之後每週一小時課程訓練。前導實驗運用假日時間實施課程，研究期程從 106 年 12 月 16 日到 107 年 1 月 21 日結束，共進行三十二節課。自閉症孩子透過遊戲情境與同儕進行大量社會互動並從中學習到數概念、建立基礎數感，在介入者的分享下，令人動容的是：「計畫結束的最後一堂數學課，自閉症孩子們哭著說他們還要再繼續上數學課，捨不得和好朋友們分開」，這顛覆了傳統我們對數學課以及自閉症孩子與同儕相處的認知，他們不但喜歡上數學，也期待著與同儕夥伴在遊戲中完成任務的過程。 MIND 課程將數學概念從學前到 12 年級，依照發展順序循序漸進，可以根據學習者的需求從各個階段切入，融入遊戲及同儕互動元素，並運用視覺提示，因此研究者以 MIND 課程進行教學介入，配合學生的學習需求進行課程、教學與評量調整，並邀請 MIND 前導研究的教學介入者擔任協同研究，協助研究者進行課程設計、檢核與調整，探討資源班數學學障生在進行 MIND 課程教學後之成效，並將過程中遇到的困境提出修正策略。 3.

(15) 第二節研究目的與問題本研究以國小資源班數學學障生為研究參與者，探討「MIND」課程教學的實施成效，研究目的與問題如下：. 壹、研究目的一、如何以遊戲式數學課程，以（Math Is Not Difficult, MIND）為例，進行數概念教學。二、課程進行期間，三位國小資源班數學學障生數概念之改變。三、課程進行期間，三位國小資源班數學學障生數學學習態度之轉變。. 貳、研究問題根據上述研究目的，提出以下研究問題：一、探討以 MIND 課程進行數概念教學期間，如何根據現有課程架構、學生能力進行課程調整以符合學生需求？二、探討以 MIND 課程進行數概念教學期間，三位國小資源班數學學障生數概念之改變歷程為何？三、探討以 MIND 課程進行數概念教學期間，三位國小資源班數學學障生在數學學習興趣與學習行為轉變情形為何？. 4.

(16) 第三節名詞釋義一、MIND（Math Is Not Difficult）課程 MIND 課程 Su, H. F.（2015）採取直接教學和鑲嵌式教學的策略來教導數學概念。研究者在教學前透過前測資料了解學生數學程度，根據學習者的個別差異來擬定教學目標。教學過程融入 MIND 各式各樣的初階活動，包括遊戲、以邏輯直覺為基礎的學習策略、音樂、歌謠、體能活動等方式進行，讓學習變得更刺激有趣。目的在幫助在數學科表現高風險的學生提升數學問題解決能力，透過結合創新的教學策略來補充和加強所使用的核心課程，讓學生互相合作，將數學應用於解決現實問題，並運用日常生活中收集的到的物件來解決實際生活的數學問題，本研究共實施五個單元，三十四個活動進行。. 二、遊戲式數學本研究除了採用 MIND 原本的遊戲外，另外根據學習者不足的能力設計銜接概念的遊戲，設計理念參考 Russo、Russo 與 Bragg（2018）遊戲教學四原則（1）學生要參與其中；（2）技巧和運氣；（3）以數學概念和技能為設計核心；（4）彈性的教與學，以及 Bright（1985）遊戲的三個原則：（1）對任務和對手間的挑戰；（2）一套明確的規則；（3）自由參與。教學過程應用遊戲的元素或功能來達成數學學習目的，使用點數、獎勵、任務、挑戰或立即性回饋等來促進學習目標達成（ Lämsä、 Hämäläinen、Aro、Koskimaa 與 Äyrämö，2018）。. 三、國小資源班數學學障生根據我國身心障礙及資賦優異學生鑑定辦法(2013)第三條第九款所稱學習障礙，統稱神經心理功能異常而顯現出注意、記憶、理解、知覺、知覺動作、推理等能力有問題，致在聽、說、讀、寫或算等學習上有顯著困難者；其障礙並非因感官、智能、情緒等障礙因素或文化刺激不足、 5.

(17) 教學不當等環境因素所直接造成之結果。前項所定學習障礙，其鑑定基準依下列各項規定： (一)智力正常或在正常程度以上。 (二)個人內在能力有顯著差異。 (三)聽覺理解、口語表達、識字、閱讀理解、書寫、數學運算等學習表現有顯著困難，且經確定一般教育所提供之介入，仍難有效改善。本研究所稱之 3 位「國小資源班數學學障生」以立意取樣的方式取自研究者所任教之班級，同時符合以下資格： (一)經由新北市「特殊教育鑑定與就學輔導委員會」鑑定通過之數學學習障礙學生，並持續接受特殊教育直接教學服務達一學期以上。 (二) 3 位研究參與者（2 位三年級、1 位四年級）在魏氏智力測驗四版測驗表現正常或正常以上。 (三) 3 位研究參與者在「基礎數學計算評量」（李俊仁、謝嘉恩，2015）中進位加法與不退位減法兩項目皆低於百分等級 3 以下。研究開始前，明確告知家長及孩子此研究的目的及預期達到的成效，參與此研究與否，不影響教師對孩子的觀感以及在校成績，純粹採自願制。. 四、數概念本研究所指的數概念主要聚焦在「數量感知」，簡稱「數感」，包含：數字辨別、計數、數量感知、數字比較、數字操作與估計的能力，並運用前述基礎概念來進行加法運算，最後達到心算的目的。. 6.

(18) 第二章文獻探討本章共分三節，首先定義早期數字概念與數感的意義與內涵，接著了解數學學障學生的學習困難，最後探究遊戲數學教學法的理念與實施原則，作為教學介入之理論依據。. 第一節早期的數字概念及數感的定義與內涵美國國際數學教育委員會（ National Council of Teachers of Mathematics, NCTM）指出，數感（number sense）是一種對「數」的直觀概念，是在日常經驗中對於「數與量」擁有良好的概念與運算能力，因此「數感」的概念在數學教育中具有重要意義。NCTM（2000）年頒布的數學標準認為學生應該要具備理解數字、表示數字的方式、了解數字與數字系統間的關係和數字操作的意義，並能進行流暢的計算和對未來的數學成就做適當的預測（引自 Er & Artut，2018）。因此數感如果沒有建立好，可能會導致之後數學學習的挫敗（Gersten, Jordan & Flojo, J. 2005 ; Jordan, Kaplan, Ramineni & Locuniak, 2009）。此外若無適當的介入，那些數感能力表現不佳的學童可能會出現數學低成就（Aubrey, Dahl & Godfrey, 2006 ; Geary, 2013）。從文獻中發現數感是早期數概念發展的重要能力之一，它們在定義和內涵上有諸多類似的地方，經常被放在一起討論。. 壹、早期的數字概念及數感的定義 Greeno（1991）將 Number Sense 定義為關於數量的靈活思維、計算預測技巧和識別技巧。McIntosh 和 Reys（1992）描述 Number Sense 是一個人對數字的一般理解以及結合運算的能力，能靈活的使用這種理解來作數學判斷和訂定處理及操弄數字的策略（Morais & Serrazina, 2013）。 Andrews 和 Sayers（2015）將數感區分為三類，按照發展順序分為： 7.

(19) (一) 獲得語言能力前的數感（preverbal number sense）反映出人類與生俱來對數字的洞察力和可以進行比較的較小數量，例如：六個月的幼兒可以區分 1：2 的數量，10 個月大的嬰兒能進行 2： 3 的數量（Feigenson, Dehaene, & Spelke, 2004），例如：Starr（2013）找 48 名六個月大的嬰兒來進行實驗，研究者用螢幕撥放兩張圖給嬰兒看，一邊呈現 10 個圓點圖，圓點的分布會改變，另一邊輪流出現 10 和 20 個圓點，圓點的分布也會改變，兩側螢幕的點會同時改變分布狀態，只是其中一邊會出現兩種數量交替的圓點，有些嬰兒會特別盯著 10 和 20 個點的那一側看，這推測六個月大的嬰兒其實可以分辨 1：2 的數量差異(汪芃，2013)。此外，三和四歲的幼兒可以準確估計一組 1 到 4 甚至 5 的數量，這種在獲得語言能力前的數感能力是獨立於正式教學之外的，是人類和其他物種先天演化的結果。 (二) 基礎數感（Foundational number sense, FONS）基礎數感是建立在兒童獲得語言能力前的數感，包含與數字相關的理解，通常是在剛進學校的第一年需要透過教學來習得的能力（Ivrendi 2011 ; Jordan & Levine, 2009），這是一種經由學習而獲得的概念而不是先天擁有的能力，如：對數字的基礎概念，也就是對數量的理解，或是形成心理數線，去了解數字在數列中的位置以及與數列的關係（Robinson et al., 2002）。 (三) 與核心數字相關的理解這一系列與核心數字相關的理解會散布在整個數學的學習中（Faulkner, 2009；National Council of Teachers of Mathematics, 1989），數感更一般性的說法是指所有成年人在職場所需要的數學能力，這些都是他們在學生時代義務教育中數學學習的主要目標（McIntosh, Reys, & Reys, 1992）。1994 年 Reys 說明它反映了一系列的理解和技能，使人們能夠在面對細節之前全面地審視問題，尋找數字和數字之間操作的關係，利用自己對數字關係的理解，應用一些標準去做數量的判斷和發現計算過程中出現不合理答案的過程，找出最有效的解決方法（引自 8.

(20) Andrews & Sayers，2015)。這與研究者在教學中觀察的情形一致：學習者在進行加法運算時會出現越加越少的情形，或無法善用估算來判斷答案，導致計算出來的結果明顯與正確解答有嚴重差距卻不自覺。 Whitacre、Henning 和 Atabaş（2017）整理出三種不同但相關的觀點：先天數感（Innate number sense, INS）、早期數感（Early number sense, ENS）以及發展成熟的數感（Mature number sense, MNS），其中最後一項為 Whitacre 等人自創的專業術語，為了區辨先前文獻提到的數感，其意義分述如下： (一) 先天數感（Innate number sense, INS）先天數感（INS）被認為是人類和一些動物與生俱來的能力，因此數感的研究也包含了嬰兒、兒童、成人和非人類的動物（Halberda & Feigerson, 2008 ; Libertus & Brannon, 2009）。在這裡數感指的是關於對量的感知和區分，而不是對數字符號的知識。 (二) 早期數感（Early number sense, ENS）早期數感（ENS）包括明確的數字知識，例如：使用數學文字數東西、數字符號表徵的比較……等，一些學者認為早期數感建立在先天數感之上（Andrew & Sayers, 2015），此能力受到教育和早期幼兒經驗的影響因人而異（Cheung & McBride-Chang, 2015）。早期數感被認為是預測學童在學校學習數學成功與否的重要指標（Dyson, Jordan, & Glutting, 2011）。由此得知早期數感（ENS）有助於學校的數學學習，特別是在年紀較小的幼兒園學童。 (三) 發展成熟的數感（Mature number sense, MNS） McIntosh 和他的同事於 1992 年提出了最常被引用或解釋 MNS 的定義：數感指的是人類對數量操作的一般性理解，並將此能力運用在做數學方面的判斷和發展出處理和操作數字方面的策略，它反映出了這是一種使用數字和數量方法作為溝通方式的能力。與早期數感（ENS）一樣，MNS 指的是學習到的知識，而不是與生俱來的，但不同的是，MNS 通常是描述概念結構和心智習慣而不是指技能（McIntosh et al., 1992）。 9.

(21) 著重的是一種心理習慣和數學行為的表現方式，這被認為是一種理想能力，如：可以靈活的操弄數字。以上描述說明了數感的意義，它時常被用在數學教育的討論上，國外學者根據數感的發展階段進行分類，雖然名稱不同但分類方式有高度的相似性，綜合上述文獻可將兒童數感的發展分為三階段，第一是學齡前嬰幼兒階段，即具備區分數量大小的先天能力，再來幼兒園階段，開始進入數字符號表徵，一種經由學習而獲得的能力，最後是學齡階段一直到成人所具備的數學判斷及策略使用的技能。. 貳、數概念的內涵以下整理國外學者對數概念內涵的分類：一、數感的五個要素 Reys、Bana 與 Farrell（1997）對數概念發展的分類，使用了五個主要類別用於描述數感的要素，說明如下： (一) 理解數字概念：理解數字代表的意涵及其所代表的範圍（Harç, 2010）。 (二) 使用多重的表徵：可以表示數字或其意義的各種方式。 (三) 使用同等意義的表徵方式：能夠以各種形式表達數字，即識別其等價物。 (四) 使用計算和計數策略：在解決問題時實施心理預測策略（Kılıç, 2011）。 (五) 了解操作的成效：能夠在計算過程中覺知數字的量，以及在操作時了解其變化如何影響結果（Yang, Reys, & Reys, 2009）。二、早期數感和發展成熟的數感 Whitacre 等人（2017）針對早期數感（Early number sense, ENS）和發展成熟的數感（Mature number sense, MNS）再進一步說明： (一) 早期數感（Early number sense, ENS）分為六項主要技能： 1. 數字辨別：數字辨別和兒童對數字的意義和詞彙相關的數字 10.

(22) 表徵相關。 2. 計數：Gelman, R.與 Gallistel, C.R.（1978）提出計數包含五項原則： (1) 一對一數（one-to-one correspondence）：甲集合的一個元素與乙集合中的一個元素互相配對的關係，例如數數過程中，一個物件對應一個數詞。 (2) 標準數詞序列（the stable-order principle）：按照社會文化約定的排列方式，唱出一連串的語音，各個語音皆為數詞，例如「1.2.3.4.5……9.10」，而此被唱出的語音序列即為標準數詞序列。 (3) 基數原則（the cardinal principle）：正整數數詞可以用來標示某一群體物件的總量，此種功能稱之正整數數數詞的基數概念。因自然數在不同情況下有不同的意義，這裡指的是數量的意義，也就是物體有「多少個」用來表示事物數量的自然數。例如：將全班分組，一組有 5 人，這裡的「5」是表示一組裡面有多少人，代表的是人的數量。 (4) 抽象原則（the abstraction principle）：數字可以代表所計數任何可數的事物，例如：「6」可以代表六枝鉛筆，六位學生或是六張椅子，且在數數的活動時不受物體的特性影響（例如：大小、顏色、是否可接觸的到）。 (5) 次序無關原則（the order-irrelevant principle）：無論從哪一個物件開始數算，都不會影響這堆物件的總數，換句話說，也就是具備從任意數開始順數和倒數的能力。 3. 數字模式：指的是能夠進行數字模式（如：數列）的複製或從數列中找出遺失的數字。 4. 數字比較：對數字大小的覺知和比較兩個不同數字大小的能力。 5. 數字操作：包含進行 10 或 20 以內加減計算的基本能力。 11.

(23) 6. 估計：指的是對表徵和非表徵數量大小的估計，包含使用數線去辨別最接近目標數字的位置（Andrews & Sayers, 2015）。 Siegler 與 Booth（2005）將估計細分為四種類型： (1) 計算估計（computational estimation）：指對加、減、乘、除問題運算後數值的估計，例如：估計 89×69 的答案。 (2) 數量估計（numerical estimation）：指對一堆物品數量的估計，例如：估計盒子裡餅乾的數量有多少。 (3) 測量估計（measurement estimation）：是指以公制單位估計一條線的長度。如：在不使用尺測量的情況下，以目視估計這條線有幾公分長。 (4) 數線估計（number line estimation）：估計一個數值在一條有標註頭、尾數字的線上的位置。例如：估計數值 38 在 0-100 數線上的位置。 (二) 發展成熟的數感（Mature number sense, MNS）一般分為六個組成要素： 1. 理解數字的大小和意義（例如：分數的比較）。 2. 了解和使用等號來表示不同的數字，例如：以不同的方式寫出有理數（即可被整除的數）。 3. 了解數字意義和操作結果，如：推理出除以 0 和 1 之間數字的結果。 4. 理解並使用同等的表達方式，如：比較不同數字或操作方式間的不同。 5. 靈活的使用計算策略或心算、書面計算或計算機的使用策略，例如：選擇適當的計算策略和心算方式。 6. 測量基準，例如：估計物體的高度（Reys, Reys, McIntosh, Emanuelsson, Johansson, & Yang, 1999）。許多研究使用評量設計去測得數感的組成。綜合上述，數概念的內容包含辨別數字、運用數學符號表徵和數 12.

(24) 量概念進行計數活動、估計數量大小、心算策略的使用等能力，每一個概念都有其階段性，缺一不可。. 參、兒童數概念的發展歷程兒童會唱數並不代表就具備數量概念，有些幼童在還沒進入幼兒園之前就已經會唱數，甚至可以從 1 唱到 100，另外有兒童唱數時會出現跳數的情形，這表示數字在兒童的腦中形成的是一串聲音，但沒有實體物的對應關係，所以才會有跳數的情形發生，從皮亞傑的理論中可發現，此時的兒童尚未具備數量的一對一關係，因此在兒童尚未發展出數的先備概念以前，若強行教導計算，兒童只會學習到記憶計算的步驟和技巧，但無法對數進行推理與思考，因此並非真正的理解（Piaget, 1953）。陳埩淑（2007）整理皮亞傑的實驗研究（Piaget & Szeminska, 1952）發現幼童對數的了解與推理有三個發展階段：第一階段(四歲左右)，幼童對數量的概念是無法了解的，因為幼童無法用一對一的關係去判斷兩組數量相等的實物；第二階段（五至六歲），是過渡時期，會運用一對一對應關係建構同等數目；第三階段（六歲半以後），對數概念能真正理解的階段，幼童已能用各種方法建構同等性，例如：用數的，或用一對一對應方式，並且也能保留數目之不變性，不管外觀安排如何變化，都不會影響實物相等的判斷。（陳埩淑，2007，頁 47）. 因此根據皮亞傑認知發展，幼童的數量推理，在較小的幼童只能看著實物依靠數數來比較數的大小，還沒有建立起抽象數的順序與數的大小的明確關係。五歲半以後，一般幼童都能較順利地比較 10 以內數的大小。一般兒童數概念的發展歷程可以從量的察覺、數字表徵的理解、計數能力、數量估計能力及算術運算能力來探討（丘嘉慧、柯華葳，2014）： (一) 未滿一歲：嬰幼兒在量的察覺上已經能粗略區辨出個數間的差異（一個和兩個，兩個和三個是不一樣的），研究發現四個月大的嬰兒能區分數量 1 及 2，及數量 2 及 3。至 6 個月大，嬰兒已能辨識數量 8 和 13.

(25) 16 的不同（Xu & Spelke, 2000）將近一歲的嬰兒能大致理解數量上的變化，例如：1 個加上 1 個，數增多了；3 個少掉 1 個，數變少了。但是對唱數、數字的學習並不能理解，也不感興趣。 (二) 一歲~未滿三歲：一歲左右的幼兒大致可以理解數量多少的概念，例如 2 個比 1 個多，4 個比 3 個多。會開始學習唱數，但容易漏數或數錯，到了兩歲就會計數到 3 以上（Fuson, 1988）。將近三歲可數到 5 以上；會開始數物品的個數，但當數量超過 5 以上，比較容易失誤；可清楚告訴大人自己的年紀，並且用手指比出 3 這個符號。但並未了解數字的實質意義（陳念怡，2013）。 (三) 三歲~未滿五歲：三歲多的幼兒可唱數至 10，能用手指點數至少 5 件物品，也開始能辨識數目字與簡單幾何圖形，在算數部分三歲幼兒可以解決簡單 3 以下，使用實際物品呈現的加法和減法問題，例如：原本盒子裡有 3 個磚塊，拿走 2 個磚塊，盒子裡還有幾個磚塊？快到五歲的時候可唱數到 20，用手指點數至少 10 件物品。 (四) 五歲~未滿六歲：通常六歲以前孩子已能辨認並說出 0 到 10 的數字，還可仿寫出若干數字，也會進行 10 以內的簡單加減運算。此時，他們的計算策略變得較有效率，能以直接往上計數的方式加總（例如問他：3 個再加上 5 個是多少個？他會從 3 開始向上數：4、5、6、7、 8，8 個），甚至可以開始作具體實物的減法計算，例如：在實際物品呈現下，約 50%的 5 歲幼兒可以解決 5＋1、 6＋2 及 8－1 的問題（Klein & Bisanz, 2000）。 (五) 六歲~未滿七歲：幼兒進入具體運思期，發展出數量保留概念，開始進入對數概念能真正理解的階段。亦即幼兒能將數字和具體數量搭配在一起，完全理解數字符號所代表的意義，逐漸具有數量保留概念，明白即使將一組物品散開或聚集，數量也不會改變，也能明白物品的類別之下還有類別，並且依照不同的標準作分類，能進行個位數的加法和減法運算，學習理解算式與具體問題之間的聯繫（ Piaget & Szeminska, 1952）。 14.

(26) 依據上述文獻可得知，數概念與認知發展歷程有密切相關，這樣一個兒童數概念發展的里程碑，讓我們可以隨時檢視孩子的數概念是否正常發展，給予引導和啟發。各種唱數、點數、數量大小的比較到簡單的加減法，都是從生活中取材，因此早期的數概念能力應強調從兒童的日常生活來培養，然而從數學學障生在數概念發展的里程碑上，似乎比同齡學童還要慢，有賴教學者從教學過程及相關測驗來了解其數概念的能力及困難，才能給予合適的學習目標。. 小結：綜合上述，數概念在幼兒時期就已具備，且有階段性的發展，上一階段的能力是下一階段的基礎，若無循序漸進，兒童可能無法在數概念上獲得真正的理解，而只是習得策略與技巧，在之後的推理與思考可能會遭遇阻礙，甚至造成學習的挫敗。. 第二節數學學障學生的學習困難本節首先描述過去文獻提到學習障礙學生顯現於數學學習上的困難，再來從數學學障的定義到多元的認知特徵與學習歷程之關係，包含記憶、注意力、視覺空間、語言等，接著討論這些能力缺陷如何造成數學學習上的困難，特別是在數概念的學習上，最後提出相關教學建議。. 壹、數學學習障礙之定義數學學習障礙是指智力正常，但在數學能力卻出現顯著困難的個體（Butterworth & Laurillard, 2010），根據國外的文獻統計，這種疾患盛行率可高達 5 ∼ 8%（Geary, 2004）。數學學習障礙的名稱最早起源於神經心理學中的失算症，也就是因生理或心理因素導致計算困難的疾患，這類型的疾患又可分為兩類，第一類是發展性失算症（ developmental dyscalculia），為先天性由於基因或腦部異常使患者產生數學能力之缺陷； 15.

(27) 第二類是後天性失算症（acquired dyscalculia），也就是患者原先是具備完整的數學能力，但因為後天中風或創傷導致腦部功能受損所產生的數學計算困難，一般在教育或心理學領域關注的是發展性計算障礙，也常被稱做數學學習困難（mathematical learning disabilities）或算術學習困難（arithmetic learning disabilities）（Butterworth, 2005），在精神醫學領域，根據最新版精神疾病診斷手冊（The Diagnostic and Statistical Manual of Mental Disorders, DSM-V），數學學習障礙被定義為特定型學習疾患（Specific learning disorder）中具數學能力困難者（American Psychiatric Association, 2013；引自張葶葶、龍姿蓁，2017）。. 貳、數學學習障礙學生在數學學習上的困難發展性計算障礙的兒童 Developmental dyscalculia 在（DSM-V）（American Psychiatric Association, 2013）中被定義為影響學習和日常生活的數學學障(引自 Lafay, St-Pierre, & Macoir, 2017 )。特點就是在各種數學領域上普遍出現困難，包括：計數原理、數字位值意義和數字符號之間的轉碼、數字語法的理解、數字的事實知識和事實檢索（Jordan, Hanich, Kaplan, 2003）。DSM-V 對數學學習障礙特徵之描述為：數學學習障礙的行為困難表現在數字感（計數、數數）、數學事實提取、計算正確性或流暢性、數學推理能力和問題解決，也就是說數學學習障礙在初階的數學能力上就已經出現困難，研究發現這樣的學生流行率約從 1% 到 10% （ Devine, Soltész, Nobes, Goswami, & Szűcs, 2013）。多數研究發現數學學習障礙者的基礎數量概念或數字感有明顯異常（ Butterworth & Laurillard, 2010）。世界衛生組織 WHO（1992）將一般和特定領域的計算障礙歸類為學習技能的特定領域發展障礙，歸為一種數學障礙，但並無進一步說明，這個標準指在充分獲得數學教育環境的前提下，學生智力和標準化數學測驗的分數必須存在差異。相較之下，在最新版本的精神障礙診斷和統計手冊（DSM-5；美國精神病學協會，2013）中，計算障礙被列為特定型 16.

(28) 學習障礙，並且是在數字感知，換言之就是計算或數學推理能力有困難從 ICD-11 可以預期其未來關於類似智力水準和數學分數將會被提出（Siemann & Petermann, 2018）。以下針對數學學習障礙中的發展性計算障礙在學習過程中所面臨的困難進行討論：一、簡單的計算困難目前國外學者的研究中陸續提出數學學習障礙學生的學習困難， Geary（1994）比較數學學習障礙學生和其他學生的文獻皆支持數學學習障礙學生主要的問題是數學事實提取有困難，在數數過程中也有較多錯誤發生（引自丘嘉慧、柯華葳，2014）。另外學者從數數的歷程來解釋缺乏有效的記憶策略會造成在簡單的加法上處理速度過慢，例如 2+6 這樣的題目，剛開始兒童會同時數被加數與加數，以全數計數的方法 1、2、 3……一直數到 8，再來可以發展到相接計數，從 2 開始數，3、4、5、6、 7、8，這個階段都還會用手指頭來進行輔助，再來進階到直接用口頭數數，這些策略將成為日後產生數學問題答案的記憶表徵（Siegler, 1988），隨著計算能力逐漸成熟，對數學運算解題也越發熟練，這些重複出現的數學問題與答案慢慢在長期記憶中形成各自的表徵，在之後解題時，兒童開始能夠將這些表徵轉為自動化的提取（Widaman & Little, 1992），此時看到 2 + 6 馬上就能知道答案是 8，不需再透過數數的程序。一般而言兒童的數學解題策略會由數數發展為提取，然而有研究者發現數學學習障礙的孩子相較於一般兒童，似乎較無法使用提取的策略來解題（Geary, Hoard, Nugent, & Bailey, 2012），即便是在進行簡單的數學計算也必須大量的仰賴數數來進行解題（Hanich, Jordan, Kaplan , & Dick, 2001），同時這些孩子仰賴數數的時間也比一般學童長（Geary, Hamson, & Hoard, 2000）（引自張葶葶、龍姿蓁，2017）。Geary（2013）進一步觀察低年級學習障礙生在數數時大多數用手指或口語數，而隨著年級的增加，使用數數的策略不太會有改變。 Geary 等人（2012）提到計算障礙者不成熟的計數策略可能會阻礙算 17.

(29) 術運算和問題解決。類似的研究結果強調了基礎計算和記憶檢索的重要性（De Visscher & Noël, 2016），其他影響計算能力的其他因素也包括工作記憶（ Dumontheil & Klingberg, 2012 ）、注意力（ Vandenberghe, Molenberghs, & Gillebert, 2012），以及空間處理（Yang, Han, Chui, Shen, & Wu, 2012）。二、缺乏數感 Mazzocco 與 Thompson（2005）認為造成數學困難的原因有很多，其中缺乏數感是最常被指出和失算症（dyscalculia）最直接相關的障礙。其研究中提到數學困難的特徵與障礙之間存在第三個因子（Factor3）–算術運算過程中的工具(如圖 2-1)，而非先前文獻提到的二因子（Factor1 and Factor2）。失算症可能是由不同的潛在因素所引起的，Mazzocco 比喻這就好像蓋房子，如果基礎本身不夠健全（Factor1）就必須要採其他領域技能作為鷹架（Factor2），因為缺少適當的基礎房子就會不穩固。而數學困難的狀況就和這個比喻類似，其一般領域技能較缺乏，如：工作記憶，若是基礎和鷹架支撐都不穩固，那整個房屋就搖搖欲墜，若此時非數字符號表徵和數字符號表徵之間的連結又無法被建立，這就好像一個工匠擁有破碎的工具一樣。. 圖 2-1 數學計算障礙之特徵與障礙之間的三因子模型的示意圖資料來源：(Siemann & Petermann 2018, 7) 18.

(30) Wong、Ho 與 Tang（2015）提出數學困難的潛在核心認知缺陷的兩個主要假設： (一) 數量感知缺陷假設（The number sense deficit hypothesis）即處理非數量符號表徵缺陷，指在於對數量的感知和處理數字相關的過程有缺陷（Wilson & Dehaene, 2007）。其中相近似數系統（The Approximate Number System, ANS）被提出是人類表示數量的先天系統之一（Feigenson et al., 2004）這個系統可以讓人類用近似的方法去分辨數量的大小。數量的大小感知上，除非兩個數量之間的差距夠大，否則人類無法辨別。這種天生就具備的 ANS 被認為是我們學習表徵性數學技能的基礎（Dehaene, 2001）。一開始提出驗證的是 Halberda、Mazzocco 與 Feigenson（2008）其研究發現 14 歲青少年的數字敏銳度與他們之前的數學成就有關。Chen 與 Li（2014）的研究也呈現出 ANS 與數學成就間呈現中度但有顯著相關。此外，研究發現在控制四歲幼兒先前的數學能力後，發現他們對數字的精確性能夠預測未來半年的數學能力（Libertus, Feigenson, & Halberda, 2013）；另一項研究（Starr、Libertus, & Brannon, 2013）先測量六個月大一般智力的嬰兒對數量的敏感度，來預測他們三歲半後的數學能力，這兩項研究結果都說明了 ANS 可以作為我們象徵性數學技能的基礎。這些研究都說明了數感和數字表徵技能之間有顯著相關，因此有學者認為數感的缺陷可能是造成計算障礙的主因。 (二) 數字符號表徵獲取缺陷假說（The access deficit hypothesis）另一派認為數學學障的核心缺陷主要在於獲得辨識數量大小的數量表徵出現困難（Rousselle & Noël, 2007），在先前的研究中，讓二年級有數學困難的學障組與同齡一般組進行數字符號表徵和非符號表徵的任務並進行比較，研究結果顯示兩組有顯著差異，在數字符號表徵任務中學障組與一般組有明顯的差異，一般組明顯優於學障組，但兩組在非符號表徵的任務中，其表現是相當接近（Rousselle & Noël, 2007），這也說明學障生的困難僅限於對數字符號表徵的處理。De Smedt 和 Gilmore（2011）進一步研究了一年級學生在數字符號表徵獲取缺陷的情形，在實施多元 19.

(31) 評量後證明數學學障兒童在數學符號表徵中的表現比非數學符號表徵差，這也為數字符號表徵獲取缺陷假說提供更進一步的支持。綜合上述，數學學習障礙學生主要在計數、數數、計算的正確率與流暢性、事實提取、推理和問題解決上明顯落後同儕，其困難嚴重影響數學學習，多數的學者將主要原因歸因為計算困難和缺乏數量感知，這兩項能力皆屬基礎能力，就如 Mazzocco 與 Thompson（2005）先前提到，基礎不穩，後續的學習更如搖搖欲墜的大樓，所以提供更多的鷹架支持以及擴展其他優勢領域技能來輔助學習是非常重要的。. 參、數學學習障礙之成因一般數學領域常提到的數學能力指的是特定與數量相關的算術，算術能力由淺入深可以分為三個層次：最初階的是對基礎數字處理與數量基本概念的認識，又被稱作數感（number sense），再來更進階的是能夠理解數字和其所代表的數量，以及數量之間的關係，能夠進行不同表徵數量的大小比較，具備基本的數字處理概念後，下一個階段是將數量搭配運算符號（加、減、乘、除）進行操弄，產生新的數量，運算會使用到兩種策略，一種是直接提取答案，如從已經背好的九九乘法表中提取某個一位數相乘的答案，另一種是經過多重步驟算出答案，例如減法，學會這些基礎的運算規則後，便可運用這些先備能力進行更高階的複雜運算，如多位數借位減法，此階段便需要更多認知資源來協助，如：注意力、工作記憶與視覺空間處理等（Menon, 2010；引自張葶葶、龍姿蓁， 2017）。數學障礙可以根據不同的分類方式分成不同的亞型，每個亞型也都間接地描述各類數學學障的特質或成因，但導致數學障礙的成因究竟為何？目前的研究文獻中仍然沒有一個定論，不過從國內外的研究發現數學學障學生之間仍有具備相似的認知缺陷，然而這些缺陷是否造成數學學習障礙的成因，還需要進一步的研究（趙旼冠、楊憲明，2006）。綜合文獻，數學學障生在數學表現困難的成因可歸類為下列幾項： 20.

(32) 一、訊息處理困難 Geary 等人（2007）提出許多訊息處理元素與數學的學習有密切相關，例如：工作記憶、視覺空間處理、長期記憶的提取、動作技能…等。 (一) 短期記憶（Short-term memory）缺陷學者探討兒童計算困難上，提出了許多在這些困難上背後的認知機制，其中常被提出的是關於短期記憶缺陷，短期記憶扮演的是儲存和處理功能，在人們進行閱讀和計算時發揮作用，因此其在計算過程中相當重要，在基礎教育技能扮演技能習得和執行的核心角色（Hitch & McAuley, 1991 ; Siegel & Linder, 1984 ; Siegel & Ryan, 1989 ; Swanson, 1993）。學習障礙在短期記憶上的困難，還有李秀妃（2010）提出檢索（retrieval）困難，也就是提取記憶區內已經編碼的訊息過程，這需要解碼（decoding）的能力，當然這個過程是否順利，取決於訊息初次輸入時的編碼（encoding）有關，如果編碼的過程就不完整，換句話說，也就是進入短期記憶的訊息就已經出現遺漏或錯誤，即使訊息最終能夠進入長期記憶，資訊的儲存可能有誤或不完整，如此導致日後資訊的檢索有問題，因為源頭就已經出現錯誤，再加上時間因素導致記憶的遺忘，回憶的內容只會更加零碎和艱辛。其他學者也同樣提出數學障礙的學生有短期記憶的缺陷（Hitch & McAuley, 1991；Hulme & Roodenrys, 1995；Siegel & Ryan, 1989；Swanson, 1993），而此缺陷反映在數學學習上的困難，例如：無法記住數學事實、忘記步驟的順序、忘記應用題的多重步驟。 (二) 工作記憶（Working memory）缺陷學者對於學習障礙的短期記憶各持不同論點。Swanson（1994）的研究顯示，相較於短期記憶，工作記憶對閱讀能力的影響顯著，再來 McLean 與 Hitch（1999）的研究發現，有計算障礙但是能進行閱讀的數學障礙學生有正常的音韻工作記憶，除此之外在空間記憶和部分執行系統上有損傷，相較於控制組，學障的學生在長期記憶的保留和處理訊息的執行程序有缺陷，但是 Little 與 Widaman（1995）卻 21.

(33) 不這麼認為，他提出數學障礙學生的工作記憶並沒有缺陷，只是容量較少，導致無法快速的處理大量的訊息。同時也有其他學者提出類似的兩個觀點，（1）數學障礙學生的工作記憶容量也是和一般兒童相當，只是缺乏有效的策略，所以需要消耗較多的心理資源來解決問題，佔用了工作記憶的容量（Holzman, Pellegrino, & Glaser, 1982）；（2）在工作記憶容量和一般兒童相當的情況下，他們的抑制過程較差，致使無法排除無關的訊息，而增加了工作記憶容量的負荷（Passolunghi & Siegel, 2001）。 (三) 處理速度（Processing speed）慢 Kail（1992）認為認知操作可以執行的最快速率應該被視為處理資源的能力，一種建立在處理訊息的速度和過程的認知表現，其研究提出特定領域中處理速度的變化來自經驗，其中處理特定領域所需的訊息因為豐富的連結和協調形成更大的組塊，因此變得更容易提取，訊息處理的負荷量減低了，自動化也因此產生。Hitch 和 McAuley （1991）的研究奠定了造成數學計算能力困難的認知缺陷，其建議中提到認知缺陷和數學能力間可能存在著複雜的相互依賴關係，為計算障礙的兒童在處理速度慢和長期記憶提取困難提出了合理的解釋。由此可推測，處理速度慢是造成數學學習障礙的原因之一。其他數學學障生會出現的認知特徵還有注意力問題，可以分為兩部分，（1）在進行數學計算步驟執行的注意力不佳；（2）在數學學習過程中專注力不佳，導致訊息一開始就沒有完整的接收。再來是動作及視覺空間處理問題，導致計算時呈現數字排列困難、字跡模糊凌亂、無法進行對位、在狹小的空間書寫數字困難等（詹士宜譯，2016； Bley & Thornton, 2001）；另外還有 Montis（2000）透過個案觀察發現數學學障生對一個想法無法做多重方式的呈現，例如：無法將五分之一個披薩和 0.2 個披薩視為相同的數量，將此解釋為概念缺乏彈性（Concept inflexibility）。 22.

(34) 二、語言能力缺陷早期的數概念已經被證實會受到兒童語言使用的影響，例如：更多、大的、小的、少一點、吃光了等，雖然有些有數學困難的學生擁有優異的口語能力，但大部分的數學學障生伴隨口語和閱讀缺陷，這些語言問題會導致他們在數學名詞上混淆，例如：比較多、幾倍、拿走、加、減、進位、借位、平分……等。特別是數學文字題對有閱讀障礙的學生來說更是困難，如果無法理解文字所傳達的意思，便無法進一步列式和計算（詹士宜譯，2016；Bley & Thornton, 2001）。三、視知覺能力缺陷視知覺能力缺陷會導致數學學障學生在辨識或閱讀數字與數學符號、分類等能力上面出現困難（黃德華、羅家健，2009）。四、注意力缺陷黃德華、羅家健（2009）指出合併注意力缺陷的數學學障生在數學學習上常會出現以下問題： 1. 上課容易分心，因此忽略了重要的課程訊息； 2. 多話且對課堂學習活動配合度低； 3. 在非活動時間擅自離開位子，甚至四處跑，時常無法完成指定的課堂活動； 4. 運算過程常粗心，導致出現不必要的錯誤。因為過動與衝動特質，也很容易與同儕產生摩擦，以致整個小組合作過程，不僅在數學概念理解、抄寫算式、運算歷程、檢視運算結果等都會出現問題。五、學習動機與態度低落由於長期經歷數學學習上的失敗與挫折，數學學障生容易在情緒特質上出現學習被動、低自尊甚至在面對數學問題或考試時感到不知所措所帶來焦慮，這是來自於在學校學習的失敗而導致害怕和自信心喪失所引起的數學焦慮（詹士宜譯，2016；Ashcraft, Krause, & Hopko, 2007 ; Barkley, 2005 ; Slavin, 2009），以及思考混亂而缺乏組織、逃避、堅持度 23.

(35) 不夠、負向的自我概念、負向的數學態度與信念、不當的歸因以及缺乏自我效能，對教師的依賴感重、缺乏動機、甚至是習得無助感，因此就算是有基本的數學知識，也會因為害怕而犯錯，甚至是放棄作答。（引自王雪瑜，2006）綜合上述，數學學障者在學習數學困難的造成因素中可歸納為訊息處理、語言能力缺陷、注意力缺陷等因素所造成，進而在長期的失敗經驗中造成學習動機與態度問題，甚至出現數學焦慮等徵狀。. 肆、提升數學學障學生數概念之教學活動設計原則近年來國內外學者都致力於數學學障學生本質的研究，為的是希望透過更了解數學障礙的類型、生理成因和學習特質後，能夠針對前述訊息提供更有效率的介入，來解決數學學障學生在數學表現落後的情形（趙旼冠、楊憲明，2006）。另外，Su（2006）提到對於數學學障生並非單一原因造成學習困難，因此教學策略也非只有一種，根據其所觀察，發現在普通教育和特殊教育當中，數學學習困難相當普遍，學習者可能因為反覆練習得不到成效而放棄努力，造成焦慮、自尊心降低等逃避學習的行為。研究者歸納出以下幾種數學學習障礙相關教學策略，如下：一、教導早期數字技巧著重在教導兒童進行分類、配對與排序，並透過簡單的計數活動，如：配合肢體活動以及運用多感官刺激來建立數數原則，再來是視覺的數字確認，兒童要能夠將數字（1、2、3）與國字（一、二、三）相對應，且具備將數字書寫形式與口說語言整合的能力。若學生在數字符號書寫上產生混淆，這時可以用顏色的視覺提示協助其辨認數字符號（詹士宜譯，2016）。二、教導計算技巧 (一) 部分—整體觀念：加法與減法具有部分—整體關係，將兩個或兩個以上的部分合起來成一個全部整體；或是從全部減去部分，找 24.

(36) 出缺少的另一部分，可以搭配圖示法、圖片等教具呈現部分—整體關係讓學生理解。 (二) 基本計算技巧：基本的計算技巧包括加法、減法、除法、分數、小數、百分比的計算，教學者可以透過自製教具、數位數學遊戲來進行教學。 (三) 加法：加法事實的知識是其他基本計算的基礎，可以被想像為「部分加部分等於全部」，其他需要學習的重要數學符號，如「」（加或合起來）與「=」（等於），可以先使用具體物教學，再使用卡片的圖形表徵數字，最後直接使用數字列式來表示，過程中搭配可操作的教具，讓學生實際經驗加法的過程，也能提供數線，從視覺歷程了解加法。 (四) 減法：加法概念穩固後再教導減法，運算符號中的「–」表示「減」或「拿走」，可從可操作的具體物中拿走一定數量的物品，問學生還剩下多少，接著教導算式，並使用圖卡輔助。 (五) 學習計算事實：當隱含在事實背後的概念被理解後，學生就需要將這些事實記下來，因此需要營造各種學習機會，如可以寫出和說出事實，進行速度遊戲等，而數學困難的學生需要更充足的具體物操作經驗，才能進入抽象與表徵數字階段，所以教學者可透過具體物品與教材的實際操作，分解與組合，協助學生在過程中觀察出部分與整體的關係（詹士宜譯，2016）。三、運用視覺回饋及從生活中學數學數學的教學應從具體到抽象，以減少數學學障生在理解上的負荷，日常生活中常遇到的數學概念如形狀、長度、次序、分類、空間規劃、次序、幾何、錢幣、購物、預算規劃等內容都建議可以直接用視覺圖示呈現，協助學習者解題，最後更提到可以將數學計算練習透過遊戲的方式在生活中進行，來達到精熟學習，例如運用數獨、大富翁、撲克牌遊練習數字概念以及加減法能力，或是用積木來建構空間概念與幾何能力(王淑惠，2013)。 25.

(37) 四、加強在數學學習方面的表達能力 Su（2006）強調語言障礙也會影響數學學習，特別是許多學障生在數學活動中都不會主動表達，傳統的教學容易助長這樣的趨勢，因此引導與鼓勵數學學障生用口語表達出數學的思考歷程以及舉例說明，有助於改善數學學障生在主流的數學環境中面臨的阻礙。五、透過趣味化活動啟發學習興趣對於伴隨 ADHD 或長期失敗經驗導致低自尊的數學學障生，對於他們不專注的學習行為以及學習興趣低落等問題，黃德華、羅家健（2009）建議可以透過具趣味化的活動及多善用教具等方式來啟發及提升他們的學習興趣。綜合上述文獻，數學學障學生數概念之教學活動設計原則在於因應其學習特質，如缺乏數概念、語言能力、注意力缺陷、學習態度及動機低落等，給予相對應的教學對策，包含教導早期數字技巧、計算技巧、運用視覺回饋、從生活中取材、加強數學表達能力以及趣味化活動等方式來提升其數學學習成效。. 小結：一般兒童在學前到學齡階段前期就已經具備基本數概念，包括能理解加法與減法的概念、進行一位數的加減運算，並覺知具體問題與算式之間的連結，從生理角度探討，發現數學學障兒童因大腦結構的缺陷，以至於數學問題與答案間無法形成各自的表徵，造成答案提取困難，加上處理速度過慢，無法發展出自動化的數感能力，導致依賴數數的學習歷程也比一般兒童長，若教學者能夠掌握數概念教學活動設計原則，將能協助學習者克服學習困難，提升數概念能力。. 26.

(38) 第三節遊戲式數學教學法的理念、實施原則與相關教學調整在數學教學中融入遊戲元素被認為能提升數學學習，且讓學習更具意義化的最佳的實施方式（Moore, 2012）。另一方面，遊戲鼓勵邏輯的數學性思考（Kamii & Rummelsburg, 2008）可以促進數學知識的發展，同時也能增進學習情境的情意因素（Booker, 2000），對學生的興趣和動機有正向的影響（Bragg, 2007）。Nisbet 與 Williams（2009）的研究中發現透過玩遊戲的過程小學生不僅表現出對數學的興趣和動機，學習態度更積極，數學焦慮感也降低了(引自 Cody, Rule, & Forsyth, 2015)。. 壹、遊戲的定義國外學者對遊戲的定義各有見解，以下就各方提出的論點整理如下： Juul（2005）將遊戲定義為一套有規則、其結果是可調整的系統，不同的結果被賦予不同的價值，與參與者所付出的努力有很大的相關，而且會感受到遊戲在情感上所帶來的附加價值。Sale 與 Zimmerman（2004）將遊戲定義為一種參與者根據規則來進行遊戲所產生的人為衝突，其結果是可以量化的。再來，從社會理論來談遊戲，強調遊戲是一種透過玩來溝通的情境，將學習視為一種參與社會實踐的過程（Ramirez & Squire, 2015）。Gough （1993）在談到遊戲組成時特別加入社交元素，當在進行團體遊戲和思考活動中需結合以下兩種特徵：（1）由一個以上的人組成；（2）遊戲參與者間彼此互動，一個參與者在輪流過程中會以某種方式讓下一個參與者接續下去，雖然某些運氣成分參雜其中（例如：骰子或牌卡），但參與者還是可以有一定程度的決定權，決定進行的過程要如何玩。Harvey 與 Bright（1985）認為遊戲的三個原則包括：（1）遊戲包含對任務和對手間的挑戰；（2）遊戲的組成源於一套明確的規則；（3）遊戲是自由參與的。雖然 Harvey 與 Bright 的定義很明確，但作為教育意義的遊戲必須具備明 27.

(39) 確的教育目標，因此 Oldfield’s（1991）補充關於數學教育的遊戲要有一個明確的結束，且活動內容要包含特定的數學教育目標(引自 Bragg, 2012)。 Lämsä、Hämäläinen、Aro、Koskimaa 與 Äyrämö（2018）進一步區分「教育遊戲」和以遊戲為學習基礎的「學習遊戲化」，學習遊戲化指的是應用遊戲的元素或功能來達成學習目的，例如：使用點數、獎勵、任務、挑戰或立即性回饋來促進學習目標達成，遊戲化目的在於透過一種有趣的方式和態度來學習。然而，遊戲過程中還需促進同儕間的對話討論，特別是在沒有教師協助的情況下，這些立即性的回饋是非常重要的（Booker, 1996）。對話式的社會參與有助於學童建構符合社會環境的知識（Wood, 1995）。綜合文獻，我們可以歸納遊戲需涵蓋：特定的數學教學目標、有趣刺激的元素，讓學生可以樂在其中。遊戲的設計是由一系列的規則組成，包含技能和策略的要素，經由一個或多個對手相互挑戰與競爭的過程以及師生、同儕間的對話達到教與學的目的。. 貳、遊戲在學習障礙的數學教育中之意涵教育性的遊戲能為學習有障礙的學生在基礎學科技能上的困難帶來一些幫助，首先，遊戲可以提供支持，讓學生有動機可以長時間練習他們有困難的數學技能（Hersh, 2014）。再來，遊戲的可調整性能根據個別學習者的學習階段進行修改（ Saine, Lerkkanen, Ahonen, Tolvanen, & Lyytinen, 2011），此外，遊戲還能根據教學目標中學生的表現，提供立即性、支持性和連貫性的回饋（Räsänen, Salminen, Wilson, Aunio, & Dehaene, 2009），最後，以遊戲為基礎的學習也是最具成本效益，可以減少學生進行大量練習時對教師的依賴，讓教學者有更多的時間進行其他教材設計。學者建議藉由遊戲提供增強和練習來提升數學學習（Gerdes, 2001; Nilsson, 2007 ; Peters, 1998）。遊戲在數學課中建立正向的學習環境（Bragg, 2007）增進學習興趣（Cai, Perry, Wong, &Wang, 2009）和提升學習動機（Sullivan, Clarke & O’Shea, 2009）的效益已經獲得證實，此外，還可為 28.

(40) 學童在問題解決能力的發展上提供支持（Ernest, 1986）、增進社會互動（Booker, 2000）、增強數學討論的能力（Ernest, 1986 ; Oldfield, 1991），還能作為診斷工具（Booker, 2000）。數學遊戲也常和情感因素做連結，Ernest（1986）指出所有的數學教學是否成功取決於學習者的積極參與，孩子透過操作和使用數學技巧和概念來學習數學，遊戲需要參與，孩子若想贏，不能被動地玩遊戲，他們必須要主動參與，因此遊戲激勵孩子積極參與，讓他們對學習的接受度提高，當然學習動機也相對增加。根據一些心理學者提出的論點，這對學習過程相當重要，包含 Piaget、Bruner 和 Dienes 也都支持遊戲在學習過程中的重要性，特別在數學學習方面。 Bright 等人（1985）針對數學遊戲教學的認知成效做了一系列的研究，結論是遊戲可用於教導每一個層次的知識，然而，研究者呼籲在教導特定技巧的邏輯理解還是需要有明確的教學，不宜單靠遊戲帶過。以下簡述國外學者將遊戲應用於數學教學中，所產生正向的學習成效，簡述如下： (一) Ramani 與 Siegler（2008）發現數字遊戲（一種類似大富翁遊戲，旋轉轉盤，決定前進 1 格或 2 格，最先抵達終點獲勝）的正向影響不限於增進在數線上對數字的估計，透過遊戲也能改善兒童在計數、數字辨認和數字大小比較的技能。 (二) Siegler 與 Ramani（2008）表示針對低社經背景家庭的孩童，每週只要提供一小時在連續數字（讓學習者在數線上尋找指定位置）、數字排序……等方面的遊戲，就能有效提升他們在數學上的知識。 (三) Onslow（1990）透過直接教學介入，研究孩子經由遊戲融入教學克服概念學習上的障礙，研究結果發現，仍有近一半的學生未釐清乘法和除法的觀念，原因是因為沒有經歷討論這項過程，因此學生改正錯誤觀念的成效不佳。Onslow 還發現雖然學生想在遊戲中獲得勝利，但他們卻不會對和自己想法衝突的理念產生質疑，除非後來的討論活動中教學者明確的要求學生對與自己不同的觀點提出疑惑，否則他 29.

(41) 們不可能克服概念上的阻礙。從上述研究結果可得知，單獨使用遊戲無法提升數學學習的認知發展，遊戲需要結合討論、明確的教學法和學習目標才能發揮最大的成效，另外多數研究也提到，試圖向他人解釋某種知識的過程是提升自己對知識理解最好的方式之一，所以在遊戲進行中需要讓學習者有套論和闡述自己論點的機會。. 參、遊戲在數學教育中的重要原則 Russo、Russo 與 Bragg（2018）歸納出富教育性的遊戲需涵蓋以下原則。一、原則 1：學生要參與其中首先強調學生在數學遊戲中要能夠盡情投入，且能愉快的進行數學討論。遊戲常被視為一種提升學生數學能力的有效方式，因為遊戲能透過建立正向的學習環境來提升動機和增加數學討論的意願（Bragg, 2006 ; Oldfield, 1991）。實務上，有研究顯示以遊戲為基礎的課程設計下，學生可以花比較多的時間在學習任務上，且學生間的數學對話也增加（Bragg, 2012a）。學習者可以樂在其中、達到完全參與以及增進數學對話都是數學遊戲所帶了的好處，假使學生不參與遊戲，那麼教學者得再思考是否還有其他替代方式可以讓學習者獲得相同的數學概念，若學生連玩遊戲都沒有動力，就更別說其他的替代方式能夠達到更正向的學習效果。 Bragg（2012a）提及若是學習者熱衷於完成數學任務，而且在課堂中談論的話題都圍繞著數學，原則 1 的目標就有達成。基於此教師可以在課程設計之初充分掌握學習者的優弱勢能力，以及確認其數學的先備能力，再來挑選合適的遊戲融入課程，以達到原則 1。這裡要特別注意即使遊戲非常好玩，但仍要注意避免過度重複使用，否則即使新穎的教學方法，學生也會覺得無聊。. 30.