第二章 文獻探討
第一節 數學建模的理論
本研究旨在編製一份國小高年級學童數學建模能力之測驗，並套用認知診斷 模式進行測驗分析，故在相關文獻資料蒐集整理上著重於以下文獻：一、數學建 模的定義；二、數學建模的歷程；三、數學建模的特點。
壹、數學建模的定義
數學建模的定義，在過往的文獻上有許多學者曾對它做出解釋與描述，茲將
近年來的內容整理如下表 2-1 所示：
表 2-1
數學建模的定義
作者 年代 數 學 建 模 的 定 義 鐘劍、
簡國明、
桂紹輝
2000 「數學建模」是指對現實世界的某一特定系統或特定問 題，為了一個特定的目的，運用數學的語言和方法，通過 抽象和簡化，建立一個近似描述系統或問題的數學結構 (亦即數學模型)，運用適當的數學工具以及計算機技術來 求解模型，最後將其結果接受實驗的檢驗，並反覆修改完 善。
Gerda de Vries
2001 數學建模是利用數學來描述真實世界現象、調查所觀察到的 (續下頁)
作者 年代 數 學 建 模 的 定 義
重要問題、解釋真實世界的現象、測試思路以及在現實世界 中作出預測，這些過程稱為「數學建模」。
岳忠玉 2002 數學模型是為一定目的而作的關於部分現實世界的抽象、簡 化的數學結構。用數學解決現實問題，首先要建立數學模 型，再用數學的理論方法及數學軟體系統對數學模型進行 求解，得到一個結果，最後將得到的結果應用到現實問題 中去，這個過程稱為「數學建模」。
馬德炎 2002 把數學應用到任何一個實際問題中去，都需要把這個問題的 內在規律運用數字、圖表、公式、符號表示出來，經過數 學的處理，得出供人們作出分析、預報、決策或者控制的 定量結果，這個過程就是「數學建模」。
袁震東 2003 數學建模是指根據具體問體，在一定假設下找出解決這個 問題的數學框架，求出模型的解，並對它進行驗證的全過 程。也可說是一個"迭代"過程，每次"迭代"包括實際問題 的抽象、簡化，作假設明確變量與參數，形成明確的數學 框架，求出模型的解並對所得結果解釋、分析和驗證，如 果與實際情況不符，需對假設進行修改，進入下一個"迭 代"，經過多次反覆"迭代"，最終求得令人滿意的結果。
這個過程就是「數學建模」。
趙 翌 2003 所謂「數學模型」是用數學語言對實際問題進行描述而得到
的一個數學結構，建造數學模型的過程就是「數學建模」。
(續下頁)
作者 年代 數 學 建 模 的 定 義 周永正、
詹棠、
方成鴻、
邱望仁
2010 「數學建模」是指對於現實世界的某一特定系統或特定問 題，為了某個特定的目的做出必要的簡化與假設，應用適 當的數學工具得到的一個數學結構，它或者可以解釋特定 的現實狀態，或者能預測對象的未來狀況，或者能提供處 理 對 象 的 最 優 決 策 或 控 制 。 數 學 建 模 (mathematical modelling)就是用數學知識和方法建立數學模型解決實際 問題的過程。
綜合上述學者對數學建模的解釋，所謂數學建模就是對於現實世界的一個特 定對象或目的，透過數學的語言和方法，而將實際問題抽象、簡化成數學模型，
最後再對數學模型進行求解，並供人們作出分析、預報、決策或控制的一個過程，
這個過程稱為「數學建模」。
貳、數學建模的歷程
要編製數學建模試題，除了瞭解數學建模的定義外，也要瞭解數學建模的歷
程，熟悉數學建模的進行步驟，有助於瞭解學生思緒，進而使學生從千頭萬緒中，
找到一個遵循的解題模式。
一、 Burghes 與 Wood (1980)所主張的數學建模歷程包含幾個步驟，如圖 2-1 所 示。
1.闡述真實世界的模型(formulate real model)：在這個步驟中，闡述真實世界的 模型與清楚確認欲解決的實際問題為何。“真實世界＂的問題並非總是定義 明確，這使得實際的問題不容易被陳述。
於真實世界的問題，哪些條件是必須？哪些條件是可以被忽略？如：對研究 問題而言什麼是基本的？什麼是不相關的？描述問題時，什麼資料必須被保 留？什麼數量可能被排除？
3.闡述數學問題(formulate mathematical problem)：根據「假定模型」，重要特 徵轉化為數學的數量，並運用數學符號建起這些數量之間彼此的關係，形成 數學模型。
4.解決數學問題(solve mathematical problem)：從「闡述數學問題」接下來，運 用數學語言進行運算，從數學模型中求得適當的解。
5.解釋答案(interpret solution)：將求解後獲得的答案放回到真實世界中，並解釋 在真實世界中所代表的意義為何。
6.確認模型(validate model)：確認獲得的數學結果，數學解法應該與現實世界問 題觀察的結果有＂好的一致性＂。也就是說，獲得的數學結果應該令解題者 滿意。然而，如果需要修改獲得的數學結果，則重複「假定模型」~「確認 模型」，建立一個新數學模型。這過程可能經過多次的循環繼續著，數學模 型在每個循環裡被修改以獲得更準確的結果。
7.使用模型去解釋，預言，決定，及設計(use model to explain, predict, decide, and design)：利用數學模型求得的解，對真實世界的問題提出適合的解決。
數學世界
現實世界
二、葉其孝（1998）認為數學建模可用圖形說明就是圖形的多次循環執行的過程，
如圖 2-2 所示：
1.實際問題往往是極為複雜的。抓住主要方面來先進行定量研究，這是抽象和 簡化的過程。正確的抽象和簡化常不是一次能完成的。而變量和參數的確定 不僅重要，往往也是複雜和困難的。
2.應用某種「規律」建立變量、參數間的明確數學關係。「規律」可以是物理 學或其他學科的定律，而明確數學關係可以是等式、不等式及其組合的形式，
甚至是個明確的算法。在這一二兩個階段中，能用數學語言把實際問題的各 方面「翻譯」成數學問題是極為重要的。
3.圖形中形成數學模型的求解，可能對數學提出挑戰性強的問題，因而從數學 角度不一定能短時間求得完全解決；當不能完全解決時，先考慮近似求解。
而這不僅限於數學模型的求解這一階段，而是遍及建模的每一階段之中，因 此數學建模過程往往是多次循環執行的。
4.數學的求解將它們「翻譯」成與實際問題有關的語言，才能讓有關領域的專 家來判定，培養「雙向」翻譯的能力是進行建模的重要基礎。建模是否正確 必須驗證，通過才能付之使用，因而解釋和驗證是不可少的。
5.成功的數學建模特別需要想像力和聯想力，正如偉大的物理學家 A．Einstein 所指出的「想像力比知識更重要，因為知識是有限的；而想像力卻抓住了整 個世界，激勵著產生進化的進步」。
6.好的數學建模必須要有各領域的專家合作，因此數學建模的過程是個跨學科 的合作過程。
圖 2-2 數學建模流程圖（葉其孝，1998）
三、岳忠玉（2002）指出現實問題是各種各樣的且大多較為複雜。因此，沒有一 成不變建立數學模型的方法，但有一些共同的規律可循，如圖2-3如下：
1.問題的形成：要建立現實問題的數學模型首先要明確所要解決的問題以及要 達到的目的是什麼，也就是要對問題有一個清晰的提法。這就需要與有關專 業人員討論、查閱相關資料、明確問題的背景以及初步確定它可能屬於什麼 類型的模型等一些準備工作。
通過
投入使用
通不過
2.假設與簡化：由於現實問題的複雜性，抓住問題的主要因素，忽略次要因素，
對問題進行理想化處理是非常必要的，這樣也便於數學上的處理。這部分工 作往往比較困難，沒有一般的方法，須具體問題、分析。
3.建立數學模型：根據所做的假設，分析研究各要素的關係，充分利用數學的 思想方法用適當的數學語言加以刻畫，就建立了問題的數學結構，從而得到 了現實問題的數學模型。
4.模型求解：選擇合適的數學方法求解得到的數學模型。這其中往往需要應用 各種數值方法、數學軟體系統以及計算機等。
5.模型的評價及改進：數學模型總是在不斷地分析、檢驗、評價中，不斷地進 行改進和完善的。事實上，對模型的評價及改進應貫穿於整個數學建模的始 終。建立數學模型的目的是為了解決現實問題，因此，一個模型必須反映現 實問題，滿足解決問題的需求而且從數學上看模型是否便於求解也是評價模 型優劣的一個重要標準。
上述數學建模的過程可用流程圖表示，如下圖2-3：
否
是
四、袁震東（2003）認為數學建模是一個"迭代"的過程，可以用一個流程圖來表 示，如圖 2-4 所示：
1.建模準備：要求建模者深刻了解實際問題的背景，明確建模的目的，進行深 入細致的調查研究，盡量掌握建模對象的各種信息和數據，尋找實際問題的 內在規律，一般來說，這是一個向實際工作者學習的過程。
2.作假設：現實問題涉及面廣，數學模型不能面面俱到，應該把實際問題適當 地簡化或理想化，這就必須做一定的假設，假設應該符合實際背景。
3.建立模型：根據問題的要求和假設，利用恰當的數學方法建立各種量之間的 數學關係，建立數學模型時應使用何種方法，應視實際問題而定。一般來說，
在建立數學模型時可能用到數學的任何一個分支，同一個實際問題還可以用 不同方法建立不同的數學模型，在達到預期目標前提下，應該採用盡可能簡 單的數學方法建立容易實現的數學模型，以便讓更多人接受和使用這種模 型。
4.模型求解：依照不同類型的數學模型使用適當的方法來求解，大多數模型求 解需要用計算機計算，求解還包括畫圖、列表和證明定理以及製作計算機程 式等。
4.模型求解：依照不同類型的數學模型使用適當的方法來求解，大多數模型求 解需要用計算機計算，求解還包括畫圖、列表和證明定理以及製作計算機程 式等。