數學建模能力評量

數學建模能力依課程設計來看，是屬於課程統整的理念，強調解決生活中實 際問題及重視數學概念間的統整，由於本研究試圖設計評量工具來探討學生其建 模能力的表現及發展，為瞭解數學建模能力的評量，本節將針對國外建模能力的 觀點進行闡述。

壹、學生基礎素養國際研究計畫對數學建模能力的觀點

經濟合作暨開發組織(OECD)從2000年開始舉辦，每三年進行一次調查，

針對各國15歲青少年所做的PISA（Programme for International Student Assessment）

測驗，測量數學、科學、閱讀等三科素養，將數學建模(mathematical modelling) 列為學生的數學素養之一，由此可見數學建模教育的重要性。

一、 PISA 2012數學素養的概念與定義

PISA 2012 定義數學素養為：在不同情境脈絡中，個人能辨識、做及運 用數學的能力，以及藉由描述、建模、解釋與預測不同現象，來瞭解數學在世界 上所扮演的角色之能力。數學素養是連續的，即數學素養愈高的人，愈能善用數 學工具做出有根據的判斷，這也正是具建設性、投入性及反思能力的公民所需具 備的 (臺灣PISA國家研究中心，2012) 。

PISA運用不同生活情境脈絡中的試題來評量學生的數學素養，主要的情境脈 絡包括個人(personal)、社會(social)、職業(occupational)或科學(scientific)四類。評 量時，PISA視學生為問題的解決者，強調學生是否能主動在這些情境脈絡中使用 數學。使用數學主要分成下列三個層面(OECD, 2010)：

1. 辨識：在不同情境脈絡中能辨識出使用數學的機會，包括將情境中的問 題數學化、列出數學式和根據問題提出相關的數學假設。

2. 做：應用數學推理和數學程序推導出數學答案，包括使用數學觀念和演

算法完成數學計算、使用代數列式、分析圖表資料以及利用數學工具 解題。

3. 運用：能夠在真實生活中主動並全面的使用數學，也就是能夠活用本身 的數學能力、數學觀念、數學知識和數學技巧於真實生活中所遇到的 各種挑戰。這三個層面整合PISA數學架構中最重要的基石 ─ 數學建模 的概念。

使用數學解決問題時，需經歷一系列不同的歷程，稱為數學建模循環，也就 是素養定義中所指的瞭解數學在生活中扮演的角色，即數學與生活的連結。整個 數學建模的歷程中最主要的關鍵程序為：問題的描述、數學模式的建立、答案的 解釋與預測三大項。

二、 數學素養的數學歷程

數學歷程主要是描述從問題的釐清與解決問題的過程中，學生需要將情境和 數學所做的連結，以及歷程背後為了解決問題所需要被引導出來的能力。

PISA 2012 的數學歷程最主要步驟有三項：

1. 轉化(translation)：此歷程包括將生活情境中的問題轉換成數學模式、將計算後 的數學答案換成生活情境的用語以及驗證數學答案是否適用於情境裡。

2. 解題(solution)：此歷程包括計算、數學模式或方程式的分析、圖表資訊的解讀、

數學推理或論證。

3. 建模(modeling)：此歷程即是整個數學建模循環（參見圖2-9）。即根據一些實 證經驗將情境中的問題轉化成數學，經計算後得到數學答案，再將數學答案 轉化回原問題的答案，並確認此答案在真實情境中是否合宜。(臺灣PISA國家 研究中心，2012)

圖 2-9 數學建模循環（引自：臺灣PISA國家研究中心，2012）

PISA指出每個人在使用數學解決不同情境中所遭遇的問題時，並不一定需要 整個數學建模循環的完整過程，有時只需利用表格資訊做簡單的計算或做一些數 學推論或論證。因此，PISA 的試題多數只涉及部分的過程，可能與形成模式有 關、或是與數學計算有關、或是與數學結果的詮釋或驗證答案在真實情境中是否 合宜有關。PISA 2012 數學試題在各歷程所佔的百分比如表2-3所示。

表2-3

PISA 2012數學素養評量各歷程的比例

轉化 解題 建模 合計

40-50% 40-50% 10-20% 100%

資料來源: 臺灣 PISA 國家研究中心，2012。

以下列舉一 PISA 數學建模試題（PISA 2006 試題樣本 M136）

1. M136：蘋果

農夫將蘋果樹種在正方形的果園。為了保護蘋果樹不怕風吹，他在蘋果樹的周圍 種針葉樹。

在下圖裡，你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數(n)，和蘋果樹數量及針葉樹數量 的規律：

問題1 完成下表的空格

N 蘋果樹數 針葉樹數

1 1 8

2 4

3 4 5

問題 2: 蘋果

你可以用以下的2個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律：

蘋果樹的數量 = n2 針葉樹的數量 = 8n n代表蘋果樹的列數

當n為某一個數值時，蘋果樹數量會等於針葉樹數量。找出n值，並寫出你的計算 方法。

………

問題 3: 蘋果

若農夫想要種更多列，做一個更大的果園，當農夫將果園擴大時，那一種樹會增 加得比較快？是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量？解釋你的想法。

………

從生活情境脈絡中尋找出問題，讓學童學童藉由觀察找出規則，建立出數學 問題型式，進而利用模型解出答案，經由轉化詮釋答案，讓學童能在不同的情境 脈絡中解出答案。本研究參考PISA之題型進行改編，編製適合國小學童之試題。