以認知診斷模式為基礎的國小六年級數學建模能力測驗編製之研究

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國立臺中教育大學教育測驗統計研究所碩士論文

指導教授：施淑娟博士

以認知診斷模式為基礎的國小六年級

數學建模能力測驗編製之研究

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謝辭

到了提筆寫謝辭的時刻，代表研究所的課程已經進入尾聲了。讀研究所是我人生中的一個意外，這個美麗的意外不但充實了知識，更帶來了好運。能夠順利在兩年內完成研究所的課業並取成畢業證書，真是要感謝許多貴人的幫忙。首先要感謝的人是我的指導教授-溫柔美麗又賢淑的施淑娟教授，感謝教授在得知我考取正式教師時為我開心，也在我因為被分發至偏鄉部落，煩惱該如何繼續學業時給了我通融替代的方案，讓我得以順利完成課業，也在論文寫作上不厭其煩的為我解惑，使我得以順利完成論文。此外，也要感謝兩位口試委員郭伯臣教授和吳慧珉教授，在口試過程中，提出精闢見解並給予修改的建議，使論文內容得以更加完善。其次要感謝的是一路相互鼓勵、打氣的同儕們，感謝你(妳)的無私，每當老師出作業時，先完成的妳們總是大方地在班網上讓我們參考，並加以解說，讓大家都能準時完成作業，能跟妳們同班真是一件幸福又開心的事。尤其要特別感謝珣琪的幫忙，感謝妳每天辛苦的幫我錄影，並為我分擔了許多作業，感恩妳。再來要感謝秀巒國小的同事們，感謝你們的支持，在我必須趕回臺中時，幫忙處理課務，讓我能安心在學業上。此外還要感謝幫忙施測的老師們，感謝你們的幫忙讓我的研究得以順利完成。最後，要感謝我的家人，感謝你們一路上的支持，教甄落榜時妳們默默的在旁關心；教甄考取時妳們大聲地為我喝采；研究所遇到瓶頸時妳們為我打氣，因為有妳們，讓我能完成學業、成就理想，感恩妳們。蔡玉環中華民國一○三年七月

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摘要

本研究旨在發展以九年一貫數學學習領域五大能力指標為架構之六年級數學建模能力測驗，依據數學建模歷程將數學建模能力細分成「理解問題、模型建立、模型求解、模型應用」四個子能力向度，接著以認知診斷模式估計國小六年級學童的數學建模能力表現，最後探討不同背景變項對數學建模能力的影響。經由資料收集與統計分析，結果如下：一、「數學建模能力測驗」具有良好的信度及效度，內部一致性信度為 0.95。認

知診斷模式適配度經比較 BIC 指標之結果 HO-DINA 模式較 DINA 及 G-DINA 模式有較佳的模式適配度，因此本測驗採用 HO-DINA 模式進行學生表現分析。二、就國小六年級學童在四個子能力向度診斷結果而言，高能力組學童四個子能力皆已具備；中能力組學童在能利用數學模型解應用問題能力向度上表現較差；低能力組學童四個子能力皆缺乏。三、在背景變項對數學建模能力表現影響上之分析： 1.在「喜歡數學的程度、將學到的數學知識運用到日常生活中、將學到的數學知識應用到其他學科領域上、每星期閱讀課外書籍的時間」層面有顯著差異，且正向意見愈高者提升數學建模能力效果愈大。 2.在「家庭結構、父親教育程度」層面有顯著差異，家庭結構愈完整對於學童在數學建模能力上的表現有顯著的幫助。 3.在「是否曾與他人討論數學問題」層面有顯著差異，有良好的互動學習態度對於學童在數學建模能力上的表現有顯著的幫助。 4.在「性別、學習受環境影響情形、每天花多少時間練習數學、母親教育程度」層面皆無顯著差異。

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Abstract

The purpose of this research is to design the sixth graders’ mathematical modeling test according to the five ability indices of mathematical learning areas in Grade 1-9 curriculum guidelines. According to the process of mathematical modeling ability, it is subdivided into the understanding ability, the modeling constructive ability, problem-solving ability, and the application ability. Then, the cognitive diagnosis models are applied in order to estimate the mathematical modeling ability and cognitive attributes of sixth graders. Finally, the effects of different background factors on mathematical modeling ability are discussed. The results are:

1. The reliability and validity of mathematical modeling ability test are good.

The coefficient of internal consistency is .95. After comparing with the BIC index, HO-DINA model has better model-fit index than DINA and G-DINA model. Therefore, this test is conducted to analyze students’ performances by HO-DINA model.

2. According to the result of four dimensions in sixth graders, high achievers all have the ability of four dimensions; medium achievers have worse performance in applying mathematics models to solve problems; low achievers lack of the ability of four dimensions.

3. The students’ performances on mathematical modeling ability are significant differences among various degree of liking mathematic, whether students can apply mathematical knowledge in daily life, and whether students can apply mathematical knowledge to other subjects; also the time students spend on reading extracurricular books. Students who have more positive opinions improve mathematics modeling ability greater.

4. The students’ performances of mathematical modeling ability are significant differences among family structure and educational level of fathers. It can be inferred that the more complete family structure is significant effect for the performance of students’ mathematical modeling ability.

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differences among the experiences whether students discuss mathematical problems with others or not. It can be inferred that the students with good learning attitude and interaction have significant help for the performance of students’ mathematical modeling ability.

6. As to the gender, the effects of circumstantial factors, the time students spend on practicing mathematics, and educational level of mothers are not significant difference.

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中文摘要... I Abstract ... II 目錄 ... V 表目錄 ... VII 圖目錄 ... IX 第一章緒論 ... 1 第一節研究動機 ... 1 第二節研究目的 ... 4 第三節待答問題 ... 5 第四節名詞解釋 ... 6 第五節研究限制 ... 8 第二章文獻探討 ... 9 第一節數學建模的理論 ………... 9 第二節數學建模能力之相關研究 ... 25 第三節數學建模能力評量 ………... 36 第四節認知診斷模式及其相關研究 ... 41 第三章研究方法 ... 47 第一節研究架構 ... 47 第二節研究對象 ... 50 第三節研究工具 ... 52 第四節認知診斷模式建構與評估 ... 60 第五節資料分析 ... 64 第四章研究結果與討論 ... 65 第一節國小六年級數學建模能力測驗分析 ... 65 第二節以認知診斷模式探討六年級學童在數學建模能力與認知屬性之表現.... 69 第三節不同背景因素對六年級學童在數學建模能力表現之影響 ... 72 第五章結論與建議 ... 87 第一節結論 ... 87 第二節建議 ... 92 參考文獻 ... 95

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英文部分 ... 98 附錄 ... 101 附錄一預試之試題分析結果 ... 101 附錄二正式施測之試題分析結果 ... 103 附錄三坊間教材內容與學習能力指標雙向細目表 ... 105 附錄四坊間教材之對應分段能力指標次數統計表... 113 附錄五不同背景因素對數學建模能力之統計分析... 116 附錄六數學建模能力測驗卷... 129 附錄七國小六年級學生數學學習調查問卷... 143

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表目錄

表 2- 1 數學建模的定義...9 表 2- 2 數學建模能力相關研究………... 25 表 2- 3 PISA 2012數學素養評量各歷程的比例... 38 表 2- 4 試題Q矩陣示例 ... 42 表 3- 1 各主題內容領域的比例... 48 表 3- 2 國小學童預試樣本分配表... 50 表 3- 3 國小六年級學童正式施測樣本分配表... 51 表 3- 4 坊間版本各主題佔教材內容的比例... 52 表 3- 5 自編測驗工具設計………... 52 表 3- 6 預試測驗架構與試題分配... 53 表 3- 7 自編數學建模能力測驗之預試試題難度整理對照表... 55 表 3- 8 自編數學建模能力測驗之預試試題鑑別度整理對照表………... 56 表 3- 9 修審題結果表………... 56 表 3-10 修題後題目呈現之對照表... 57 表 3-11 認知屬性內容描述及對應試題編號... 60 表 3-12 Q矩陣設計表………... 61 表 4- 1 模式適配度比較 ... 66 表 4- 2 自編數學建模能力測驗之試題難度整理對照表... 66 表 4- 3 自編數學建模能力測驗之試題鑑別度整理對照表... 67 表 4- 4 學生數學建模能力表現之敘述統計摘要表 ... 69 表 4- 5 不同能力組學生具備認知屬性的個數及百分比 ... 69 表 4- 6「性別」之組別統計量及t檢定 ...………...72 表 4- 7「家庭結構」描述性統計量 ... 73 表 4- 8「家庭結構」變異數同質性檢定………...………. 74 表 4- 9「家庭結構」均等平均數的 Robust 檢定及事後比較 …... 74 表 4-10「父親教育程度」之描述性統計量 ... 75 表 4-11「父親教育程度」之變異數同質性檢定... 75 表 4-12「父親教育程度」之均等平均數的 Robust 檢定及事後比較…………... 75 表 4-13「母親教育程度」之描述性統計量 ... 76 表 4-14「母親教育程度」之變異數同質性檢定 …... 77 表 4-15「母親教育程度」之均等平均數的 Robust 檢定……….………... 77 表 4-16「學習受環境影響情況」之組別統計量及t檢定…... 77 表 4-17 「喜歡數學程度」之敘述統計量 ... 78 表 4-18「喜歡數學程度」之變異數同質性檢定……... 79 表 4-19「喜歡數學程度」之均等平均數的 Robust 檢定及事後比較………... 79 表 4-20「每天花多少時間練習數學」之敘述統計量 ………... 80

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表 4-22「每天花多少時間練習數學」之均等平均數的 Robust 檢定 …………. 81 表 4-23「將學到的數學知識運用到日常生活中」之敘述統計量 ... 81 表 4-24「將學到的數學知識運用到日常生活中」之變異數同質性檢定……….. 81 表 4-25「將學到的數學知識運用到日常生活中」之均等平均數的Robust 檢定及事後比較 ... 82 表 4-26「將學到的數學知識應用到其他學科領域上」之敘述統計量………... 83 表 4-27「將學到的數學知識應用到其他學科領域上」之變異數同質性檢定.….83 表 4-28「將學到的數學知識應用到其他學科領域上」之均等平均數的 Robust 檢定及事後比較 ... 83 表 4-29「是否曾與他人討論數學問題」之組別統計量及t檢定... 84 表 4-30「每星期閱讀課外書籍的時間」之敘述統計量... 85 表 4-31「每星期閱讀課外書籍的時間」之變異數同質性檢定... 85 表 4-32「每星期閱讀課外書籍的時間」之均等平均數的 Robust 檢定及事後比較 ... 86

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圖目錄

圖 2- 1 建模流程圖(Burghes與Wood，1980)... 12 圖 2- 2 數學建模流程圖（葉其孝，1998）... 14 圖 2- 3 數學建模流程圖（岳忠玉，2002） ... 15 圖 2- 4 數學建模流程圖（袁震東，2003 ）... 17 圖 2- 5 數學建模流程圖（楊啟帆、談之奕、何永，2006）... 18 圖 2- 6 數學建模流程圖（唐晤容，2009）... 20 圖 2- 7 數學模型與現實問題之關係圖(姜啟源，2011)... 21 圖 2- 8 建模流程圖（姜啟源，2011） ... 22 圖 2- 9 數學建模循環... 38 圖 2- 10 兩個屬性的DINA模式的機率分配圖 ... 44

圖 2-11 受試者i對試題j的反應程序圖 (de la Torre, 2009)... 44

圖 2-12 HO-DINA 模式反應程序圖(de la Torre, 2008)... 46

圖 3- 1 小學生數學建模歷程圖 ... 47

圖 3- 2 研究架構圖 ... 48

圖 3- 3 研究流程圖 ... 49

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第一章緒論

本章共分為五個部分，第一節為研究動機之說明；第二節說明研究目的；第三節列出待答問題；第四節名詞解釋；第五節提出研究限制。

第一節研究動機

自然界中處處蘊含著數學原理，只是人們幾乎不曾察覺。例如：一張薄薄的高鐵車票，其中可能蘊含了許多的數學問題，從停靠站多寡衍生的時間差、身分和購票時間不同的購票折扣等問題，在在都是數學問題，不少人都錯誤的認為學習數學就是不停的背誦或套公式，反覆練習類似題，以至於讓數學變成一門枯燥乏味的課程，降低了學生的學習興趣。因此，西方數學教育家 Hans Freudenthal(1991)以數學是人類活動的觀點，強調在數學教育中，它不是封閉體系，而是一種活動，是一種數學化(mathematization)過程（鍾靜，2005），也就是說，從實際的生活當中體驗或找尋數學的真諦（蘇恭弘，2011）。在先前研究中發現數學建模教學和傳統教學不同，在傳統教學的課堂中，學生常會依照老師所給的訊息或模式去思考問題，變成機械式的學習，教師在設計教材與安排教學時，都以獲取高分為第一考量，因此，強記公式、精熟演算、標準題型訓練等得高分的學習方式常出現在學習現場。教師很難幫助學生去欣賞數學並認同學習數學的潛在價值，也容易產生數學知識和現實世界脫節的看法，楊凱琳和林福來（2006）認為數學建模和傳統教學解題模式不同，數學建模在發現答案後，將它轉為詮釋情境資訊、建立模式，進一步詮釋數學解答的前提或假設中的誤差。基於此，近年來數學教育逐漸強調「問題解決」與「數學建模教學」。

美國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics，NCTM)在 1989 年的「中小學數學課程及評量標準」中，對各年級數學課程都列出了問題解決的能力標準，並強調以「數學建模」來作為解決問題的重要性（王明慧，2006）， NCTM(2000)並建議在數學教育改革中，應使學生能擁有更靈活且富創造性的問

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題解決能力，並能有效地使用數學工具（李郁涵，2013）。芬蘭在 2004 年修訂的國家核心課程綱領(national core curriculum program)中提及第二階段（3-5 年級）的核心任務是發展數學思維，引導數學模式思考的學習，強化基本運算能力和數的概念，以及提供同化數學概念和結構基礎的經驗。德國國家數學教育標準列出 1-4 年級須具備的全面性數學能力(mathematical competencies)有五個，其中建模 (modeling) 就是其中之一。荷蘭自 1960 年代推行的真實數學教育 (Realistic Mathematics Education, RME)指出，數學是人類的活動，它聚焦在學生的知識和數學了解成長的過程，在此過程中，模型扮演重要的角色，它的起源來

自脈絡情境，並且做為高層次了解的橋的功能。（引自李源順、楊瑞智譯（2000）

Bron: Web-site Freudenthal Instituut ）。在三年一次的國際學生評量計畫 ( Programme for International Student Assessment, PISA)亦在所提及的數學素養中，強調發展學生的能力，並提到學生在解決試題歷程時，需運用到許多不同的數學能力以解決現在和未來的生活數學問題，其中包含建模(modelling)，由此可見，國際間已相當重視建模活動。目前國內在高中課程 99 課綱中也出現了數學建模的字樣，可推知國內對於數學建模能力的培養越來越重視（教育部，2010）。但學習需要逐步培養、向下扎根，數學建模能力應該從國小高年級開始培養，為國、高中數學奠定良好基礎，在國小階段不僅要著重計算能力方面，重要的是要學生會思考，能看懂題目並將題目轉化成自己了解的數學符號，進而發展出自己的解題過程和解題模式（教育部，2008）。目前進行關於數學建模的研究有施羿如（2005）、楊子錕（2010）、黃淑娟（2012）、陳明峰（2012）、林玟余（2012）、李祥宇（2012）、林琬婷（2013）、蔣依珊（2013）及林裕晉（2013）。但在這些數學建模的研究中，研究對象為高中或國中學生，且聚焦在建模教學活動之個案研究或行動研究上。針對國小學童進行研究的並不多，僅陳冠州（2009）、唐晤容（2009）、陳盈盈（2011）及吳佳榮（2011）等四篇，研究方向亦聚焦在建模教學活動上。

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數學建模教學活動，在進行測驗時，常使用形成性評量，在成就評量方面，往往也沒有單元性的評量來檢核學生對數學建模能力的學習狀況，國內在數學建模能力測驗工具開發較缺乏，因此發展一份良好的評量工具是必要的。良好的評量工具不僅可以了解學生的學習情形，也可以做為日後教學的改善依據，更可作為一種教與學的互動關係。設計出良好的評量工具，也需要有良好的計量模式來搭配，良好的計量模式不僅能縮短分析的時間，更能為評量工具判斷出準確的結果。以往的計量模式大多套用古典測驗理論(classical test theory, CTT)的分析，也就是以整體的分數進行解釋真實分數的涵義，但隨著測驗理論的推陳出新，試題反應理論(item response theory, IRT)與認知診斷模式(cognitive diagnosis models, CDMs)彌補了古典測驗理論的不足。試題反應理論是利用個別試題的角度精準地估計及解釋測驗分數的意義（余民寧，2009）；認知診斷模式運用在測驗領域上，則是用來瞭解受試者技能的有無、認知過程及其解題策略(de la Torre, 2011)。近年來認知診斷模式(CDMs)，已陸續開發出至少十餘種模式(Rupp, Templin, & Henson, 2010)，由於數學建模能力是一種高層次的能力，本研究希望所編製的評量工具能提供教師更多的診斷資訊，因此，在評量結果的分析部分將採用認知診斷模式(主要以 DINA、G-DINA 和 HO-DINA 模式)進行評估，期使測驗結果能提供老師與學生更了解學習情形，進而及時改善教師之教法與學生之學習，提升教學效能。故本研究以九年一貫數學學習領域五大能力指標為架構，以認知診斷為計量模式自編一份測驗工具，用以探討國內國小六年級學童在數學建模能力上的表現；又由於數學建模測驗為國際間大型成就測驗重要的一環，研究者從學生個人、家庭背景、學習動機等背景因素，探討不同背景因素對數學建模能力的影響，藉以提供教學者在教學設計或評量的參考依據。

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第二節研究目的

基於第一節所提出的研究動機，本研究旨在依據九年一貫數學學習領域五年級能力指標，建置一個適用於國小六年級學童數學建模能力評量工具，以期達成下列之目的：一、編製一份具信度及效度的數學建模能力測驗，並評估應用認知診斷模式進行測驗分析之適配度。二、以較適配之認知診斷模式探討國小六年級學童在數學建模能力各能力向度之表現。三、探討不同背景因素對國小六年級學童在數學建模能力表現之影響。

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第三節待答問題

根據第二節所提出之研究目的，提出下列的研究待答問題：一、數學建模能力測驗之信度、效度與認知診斷模式適配度為何？二、數學建模能力測驗試題之難易度指數與鑑別度指數為何？三、國小六年級學童在數學建模能力各能力向度之表現如何？四、不同「性別」的學童在數學建模能力測驗上的表現是否具有顯著差異？五、不同「家庭結構型態」的學童在數學建模能力測驗上的表現具有顯著差異？六、不同「雙親之教育程度」的學童在數學建模能力測驗上的表現具有顯著差異？七、學童在「學習是否受環境影響」的因素在數學建模能力測驗上的表現是否具有顯著差異? 八、學童「不同喜歡數學程度」的因素在數學建模能力測驗上的表現是否具有顯著差異? 九、學童「每天花多少時間在練習數學」的因數在數學建模能力測驗上的表現是否具有顯著差異? 十、學童「能將學到的數學知識運用到日常生活中」的因素是否在數學建模能力測驗上的表現具有顯著差異? 十一、學童「能將學到的數學知識應用到其他學科領域上」的因素是否在數學建模能力測驗上的表現具有顯著差異? 十二、學童「是否曾與他人討論數學問題」的因素是否在數學建模能力測驗上的表現具有顯著差異? 十三、學童「每星期閱讀課外書籍的時間」因素是否在數學建模能力測驗上的表現具有顯著差異?

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第四節名詞解釋

為了能更清楚呈現本研究之用語，將本研究所使用的相關名詞解釋如下：

壹、數學模型

數學模型(mathematical model)是針對參照某種事物系統的特徵或數量依存關 係，採用數學語言，概括地或近似地表述出的一種數學結構，這種數學結構是藉助於數學符號刻劃出來的某種系統的純關係結構。從廣義理解，數學模型包括數學中的各種概念，各種公式和各種理論，因為它們都是由現實世界的原型抽象出來的（姜啟源，2011）。

貳、數學建模

數學建模(mathematical modeling)是一種解決現實生活問題的解題模式，把現實世界中的實際問題加以分析整理，寫成數學模型，求出模型的解，再驗證模型是否合理；並用該數學模型所提供的解答來解釋現實問題，做為解決現實問題的參考，這個數學知識的應用過程便稱為數學建模（Andrews & McLone, 1976）。

參、認知診斷模式

認知診斷模式(cognitive diagnostic models, CDMs)融合認知理論與診斷性評量的功能，並運用於教育上。認知診斷模式以知識概念作為診斷的目標，診斷學生是否精熟了某些知識概念，所以認知診斷模式，不僅可以協助教師對學生有個別化的診斷，其結果也能作為補救教學之參考依據，亦可提供能力較佳的學生自學的方向與參考。本研究所採用之認知診斷模式以DINA(Deterministic Input, Noisy “and”Gate Model)、G-DINA (Generalized DINA Model)、HO-DINA模式為主，再由其中選出模式適合度最佳的模式做為本研究數學建模測驗之測量模式。

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肆、能力分組

本研究依據認知診斷模式估計出數學建模能力值 θ，經標準化後，將受試者依照能力值高低排序之後，平均分成三等份，取前面 33.3%定義為高能力組；後面 33.3%定義為低能力組；中間 33.3%定義為中能力組。

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第五節研究限制

本研究以國內六年級學童為研究對象，發展一份以九年一貫數學學習領域能力指標為架構且具有信效度的「國小六年級學童數學建模評量工具」，以測量國小六年級學童之數學建模能力，但仍有許多限制，敘述如下：

壹、研究對象方面

本研究以國小六年級學童為研究對象，因此取樣為國內六年級學童，選取樣本僅分布於臺中市、彰化縣，有地域限制，因此所得的結果不宜做過度且廣泛的推論。

貳、評量工具方面

在試題的內容方面，由於考量到測驗的內容必須是六年級學生學過的教材，因此命題內容範圍以五年級教材為主，且因為試題內容要包含五大主題，試題要配合數學建模歷程，故題數較多，此外，為評估學生的思考歷程，測驗的題型皆採應用題形式，對習慣於傳統試題的學童，會無法適應，進而影響其作答的意願；施測方式方面，雖能控制施測時間一致，但因施測地點為各施測學校，因此無法確保施測情境之標準化；在評量架構方面，因建模能力涵蓋面向甚廣，有些能力指標無法有效地在此評量工具中測出，因此所得之結果不宜做過多的推論。

參、抽樣方法方面

礙於研究者的能力、時間與人力資源的不足，無法採用隨機抽樣的方式，改採用立意抽樣方式取樣，也因是立意抽樣進而會影響到測驗結果的外在效度。

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第二章文獻探討

本研究主要目的是在編製一份適用於國小高年級學童數學建模能力之測驗，並透過測驗了解六年級學童之建模能力。就文獻部分，全章共分為「數學建模理論」、「數學建模能力之相關研究」、「數學建模能力評量」以及「認知診斷模式」。

第一節數學建模的理論

本研究旨在編製一份國小高年級學童數學建模能力之測驗，並套用認知診斷模式進行測驗分析，故在相關文獻資料蒐集整理上著重於以下文獻：一、數學建模的定義；二、數學建模的歷程；三、數學建模的特點。

壹、數學建模的定義

數學建模的定義，在過往的文獻上有許多學者曾對它做出解釋與描述，茲將近年來的內容整理如下表 2-1 所示：表 2-1 數學建模的定義 作者年代數學建模的定義鐘劍、簡國明、桂紹輝 2000 「數學建模」是指對現實世界的某一特定系統或特定問題，為了一個特定的目的，運用數學的語言和方法，通過抽象和簡化，建立一個近似描述系統或問題的數學結構 (亦即數學模型)，運用適當的數學工具以及計算機技術來求解模型，最後將其結果接受實驗的檢驗，並反覆修改完善。 Gerda de Vries 2001 數學建模是利用數學來描述真實世界現象、調查所觀察到的 (續下頁)

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作者年代數學建模的定義重要問題、解釋真實世界的現象、測試思路以及在現實世界中作出預測，這些過程稱為「數學建模」。岳忠玉 2002 數學模型是為一定目的而作的關於部分現實世界的抽象、簡化的數學結構。用數學解決現實問題，首先要建立數學模型，再用數學的理論方法及數學軟體系統對數學模型進行求解，得到一個結果，最後將得到的結果應用到現實問題中去，這個過程稱為「數學建模」。馬德炎 2002 把數學應用到任何一個實際問題中去，都需要把這個問題的內在規律運用數字、圖表、公式、符號表示出來，經過數學的處理，得出供人們作出分析、預報、決策或者控制的定量結果，這個過程就是「數學建模」。袁震東 2003 數學建模是指根據具體問體，在一定假設下找出解決這個問題的數學框架，求出模型的解，並對它進行驗證的全過程。也可說是一個"迭代"過程，每次"迭代"包括實際問題的抽象、簡化，作假設明確變量與參數，形成明確的數學框架，求出模型的解並對所得結果解釋、分析和驗證，如果與實際情況不符，需對假設進行修改，進入下一個"迭代"，經過多次反覆"迭代"，最終求得令人滿意的結果。這個過程就是「數學建模」。趙翌 2003 所謂「數學模型」是用數學語言對實際問題進行描述而得到的一個數學結構，建造數學模型的過程就是「數學建模」。 (續下頁)

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作者年代數學建模的定義周永正、詹棠、方成鴻、邱望仁 2010 「數學建模」是指對於現實世界的某一特定系統或特定問題，為了某個特定的目的做出必要的簡化與假設，應用適當的數學工具得到的一個數學結構，它或者可以解釋特定的現實狀態，或者能預測對象的未來狀況，或者能提供處理對象的最優決策或控制。數學建模 (mathematical modelling)就是用數學知識和方法建立數學模型解決實際問題的過程。綜合上述學者對數學建模的解釋，所謂數學建模就是對於現實世界的一個特定對象或目的，透過數學的語言和方法，而將實際問題抽象、簡化成數學模型，最後再對數學模型進行求解，並供人們作出分析、預報、決策或控制的一個過程，這個過程稱為「數學建模」。

貳、數學建模的歷程

要編製數學建模試題，除了瞭解數學建模的定義外，也要瞭解數學建模的歷程，熟悉數學建模的進行步驟，有助於瞭解學生思緒，進而使學生從千頭萬緒中，找到一個遵循的解題模式。一、 Burghes 與 Wood (1980)所主張的數學建模歷程包含幾個步驟，如圖 2-1 所示。

1.闡述真實世界的模型(formulate real model)：在這個步驟中，闡述真實世界的 模型與清楚確認欲解決的實際問題為何。“真實世界＂的問題並非總是定義

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於真實世界的問題，哪些條件是必須？哪些條件是可以被忽略？如：對研究

問題而言什麼是基本的？什麼是不相關的？描述問題時，什麼資料必須被保留？什麼數量可能被排除？

3.闡述數學問題(formulate mathematical problem)：根據「假定模型」，重要特

徵轉化為數學的數量，並運用數學符號建起這些數量之間彼此的關係，形成數學模型。

4.解決數學問題(solve mathematical problem)：從「闡述數學問題」接下來，運 用數學語言進行運算，從數學模型中求得適當的解。 5.解釋答案(interpret solution)：將求解後獲得的答案放回到真實世界中，並解釋 在真實世界中所代表的意義為何。 6.確認模型(validate model)：確認獲得的數學結果，數學解法應該與現實世界問 題觀察的結果有＂好的一致性＂。也就是說，獲得的數學結果應該令解題者滿意。然而，如果需要修改獲得的數學結果，則重複「假定模型」~「確認模型」，建立一個新數學模型。這過程可能經過多次的循環繼續著，數學模型在每個循環裡被修改以獲得更準確的結果。

7.使用模型去解釋，預言，決定，及設計(use model to explain, predict, decide, and design)：利用數學模型求得的解，對真實世界的問題提出適合的解決。

數學世界

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二、葉其孝（1998）認為數學建模可用圖形說明就是圖形的多次循環執行的過程，如圖 2-2 所示： 1.實際問題往往是極為複雜的。抓住主要方面來先進行定量研究，這是抽象和簡化的過程。正確的抽象和簡化常不是一次能完成的。而變量和參數的確定不僅重要，往往也是複雜和困難的。 2.應用某種「規律」建立變量、參數間的明確數學關係。「規律」可以是物理學或其他學科的定律，而明確數學關係可以是等式、不等式及其組合的形式，甚至是個明確的算法。在這一二兩個階段中，能用數學語言把實際問題的各方面「翻譯」成數學問題是極為重要的。 3.圖形中形成數學模型的求解，可能對數學提出挑戰性強的問題，因而從數學角度不一定能短時間求得完全解決；當不能完全解決時，先考慮近似求解。而這不僅限於數學模型的求解這一階段，而是遍及建模的每一階段之中，因此數學建模過程往往是多次循環執行的。 4.數學的求解將它們「翻譯」成與實際問題有關的語言，才能讓有關領域的專家來判定，培養「雙向」翻譯的能力是進行建模的重要基礎。建模是否正確必須驗證，通過才能付之使用，因而解釋和驗證是不可少的。 5.成功的數學建模特別需要想像力和聯想力，正如偉大的物理學家 A．Einstein 所指出的「想像力比知識更重要，因為知識是有限的；而想像力卻抓住了整個世界，激勵著產生進化的進步」。 6.好的數學建模必須要有各領域的專家合作，因此數學建模的過程是個跨學科的合作過程。

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圖 2-2 數學建模流程圖（葉其孝，1998） 三、岳忠玉（2002）指出現實問題是各種各樣的且大多較為複雜。因此，沒有一成不變建立數學模型的方法，但有一些共同的規律可循，如圖2-3如下： 1.問題的形成：要建立現實問題的數學模型首先要明確所要解決的問題以及要 達到的目的是什麼，也就是要對問題有一個清晰的提法。這就需要與有關專業人員討論、查閱相關資料、明確問題的背景以及初步確定它可能屬於什麼類型的模型等一些準備工作。通過投入使用通不過

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2.假設與簡化：由於現實問題的複雜性，抓住問題的主要因素，忽略次要因素， 對問題進行理想化處理是非常必要的，這樣也便於數學上的處理。這部分工作往往比較困難，沒有一般的方法，須具體問題、分析。 3.建立數學模型：根據所做的假設，分析研究各要素的關係，充分利用數學的 思想方法用適當的數學語言加以刻畫，就建立了問題的數學結構，從而得到了現實問題的數學模型。 4.模型求解：選擇合適的數學方法求解得到的數學模型。這其中往往需要應用 各種數值方法、數學軟體系統以及計算機等。 5.模型的評價及改進：數學模型總是在不斷地分析、檢驗、評價中，不斷地進 行改進和完善的。事實上，對模型的評價及改進應貫穿於整個數學建模的始終。建立數學模型的目的是為了解決現實問題，因此，一個模型必須反映現實問題，滿足解決問題的需求而且從數學上看模型是否便於求解也是評價模型優劣的一個重要標準。上述數學建模的過程可用流程圖表示，如下圖2-3：否是

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四、袁震東（2003）認為數學建模是一個"迭代"的過程，可以用一個流程圖來表示，如圖 2-4 所示： 1.建模準備：要求建模者深刻了解實際問題的背景，明確建模的目的，進行深入細致的調查研究，盡量掌握建模對象的各種信息和數據，尋找實際問題的內在規律，一般來說，這是一個向實際工作者學習的過程。 2.作假設：現實問題涉及面廣，數學模型不能面面俱到，應該把實際問題適當地簡化或理想化，這就必須做一定的假設，假設應該符合實際背景。 3.建立模型：根據問題的要求和假設，利用恰當的數學方法建立各種量之間的數學關係，建立數學模型時應使用何種方法，應視實際問題而定。一般來說，在建立數學模型時可能用到數學的任何一個分支，同一個實際問題還可以用不同方法建立不同的數學模型，在達到預期目標前提下，應該採用盡可能簡單的數學方法建立容易實現的數學模型，以便讓更多人接受和使用這種模型。 4.模型求解：依照不同類型的數學模型使用適當的方法來求解，大多數模型求解需要用計算機計算，求解還包括畫圖、列表和證明定理以及製作計算機程式等。 5.討論與驗證：根據模型的特點和模型求解結果，進行分析討論，根據計算結果對問題作出解答、預測或提供最優決策和控制方法，最後將模型的結果與實際情況相比較，檢驗模型是否合理，並說明模型使用的範圍及注意事項。 6.模型應用：把所得到的數學模型應用到實際問題中。建立模型是一個過程，不是一種死板的步驟，如果在討論和驗證時發現模型確實合理，當然可將模型投入應用，如果發現模型不合理，那就必須修改假設，重新建模，重新求解，再作驗證，這一過程可以循環往復，直至獲得滿意的結果為止。

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圖 2-4 數學建模流程圖（袁震東，2003） 五、楊啟帆、談之奕、何永（2006）認為數學建模的過程可概括為圖 2-5 所示的流程。 1.實際問題：了解問題的實際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數據資料。這一步驟可以看成是建模準備，沒有對實際問題有較為深入的了解，建模就無從下手。 2.澄清問題：在明確建模目的，掌握必要資料的基礎上，通過對資料的分析計算，找出其主要作用的因素，經必要的精煉、簡化，提出若干符合客觀實際的假設。這一步驟實為建模的關鍵所在，因為其後的工作都是建立在這些假設的基礎之上的。它揭示的是：假如這些提出的假設是正確的，推導過程又正確無誤，那麼得到的結果也應當是正確的。 3.數學模型：在所作假設的基礎上，利用適當的數學工具去刻畫各變量之間的關係，建立相應的數學結構，即建立數學模型。採用什麼數學結構、數學工具要看實際問題的特徵，並無固定的模式，可以說，數學的任何分支在建模中都有可能被利用到，而同一實際問題也可以用不同的數學方法建立起不同的數學模型。一般來說，在能夠達到預期目的的前提下，所用的數學工具越簡單越好。合理不合理

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得以藉助計算機求出其解。 5.解釋數學解：把數學語言翻譯回現實對象，給出實際問題解答。 6.模型的檢驗與評價：把數學分析的結果翻譯回到實際問題，並用實際的現象、數據與之比較，檢驗模型的合理性和適用性。 7.應用：把所得到的數學模型應用到實際問題中。建立數學模型研究實際課題，得到的只是假如假設正確，就會有什麼結果。那麼，假設是否正確或者是否基本可靠呢？建模者還應當對結果進行檢驗。建立數學模型的目的是為了認識世界、改造世界、建模的結果應當能解釋已知現象，預測未來的結果，只有經得起實踐檢驗的結論才能被人們廣泛地接受。模型求解並非建模的終結，模型的檢驗也應當是建模的重要步驟之一，只有在證明了建模結果是經得起實踐檢驗以後，建模者才能認為大功告成，完成了預定的研究任務。如果檢驗結果與事實不符，只要不是在求解中存在推導或計算上的錯誤，那就應當分析檢查假設中是否含有不合理的地方或錯誤的地方，修改假設重新建模，直至結果滿意。 圖 2-5 數學建模流程圖（楊啟帆、談之奕、何永，2006） 六、楊凱琳與林福來（2006）認為數學建模過程所包含的步驟如下： 1.零散的想法：無關、模糊或純直覺的說明。實際問題澄清問題數學模型模型求解解釋數學解檢驗與評價應用

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2.清楚且完整的想法：此想法可合理解決問題，但不一定能一般化。 3.用數學語言表達：利用數學概念描述情境特徵。 4.解數學模式：求出數學模式的解答。 5.詮釋數學解的意義：清楚描述數學結構與情境結構間的關係。 6.推廣和應用至其他問題：進一步找出充分或必要因素，應用在其他非例行性問題。七、唐晤容（2009）研究著重於小六學生實施數學建模後的學習成就及學習態度的變化，其數學建模歷程分為：實際問題、分析簡化、模型建立、模型求解、模型解釋、模型驗證、模型應用等七階段，如圖2-6所示： 1.實際問題：陳述並清楚確認有關實際問題的背景。 2.分析簡化：釐清或分析實際問題，並對問題進行必要的簡化或排除。 3.模型建立：根據假設，利用規律和適當的數學工具，構造各個量(常量和變量) 之間的等式(或不等式)關係或其他數學結構。簡言之，將實際問題翻譯成數學問題，用數學語言確切地表述出來，建立合適的數學模型。 4.模型求解：利用適當的數學方法或計算機工具，對數學模型進行求解。 5.模型解釋：把數學語言表述的解答，放回到現實世界，解釋實際問題。 6.模型驗證：利用經解釋的實際問題，檢驗答案的合理性，以確認結果的正確性。當所得到的答案無法合理解決實際問題時，回到步驟3，檢視所建立的數學模型是否正確。 7.模型應用：進一步歸納推廣其中的數學規律，設計出數學模型；或使用模型去解釋、預言。

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圖 2-6 數學建模流程圖（唐晤容，2009） 八、姜啟源（2011）對數學建模的全過程可分為表述、求解、解釋、驗證四階段並通過這些階段完成從現實對象到數學模型，再從數學模型回到現實對象的循環，如圖2-7所示： 1.表述(formulation)：屬於歸納法，根據建模的目的和掌握的信息(如數據、現 象)，將實際問題翻譯成數學問題，用數學語言確切地表述出來。 2.求解(solution)：屬於演繹法，即選擇適當數學方法求得數學模型的解答。 3.解釋(interpretation)：把數學語言表述的解答翻譯回現實對象，給出實際問題 的解答。 4.驗證(interpretation)：用現實對象的信息檢驗得到的解答，以確認結果的正確 性。

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圖 2-7 數學模型與現實問題之關係圖(姜啟源，2011) 他提出建模要經過哪些步驟並沒有一定，通常與實際問題的性質、建模的目的等有關，如圖2-8所示： 1.模型準備：首先了解問題的實際背景，明確建模的目的，蒐集建模必需的各種訊息如現象、數據等，初步確定用哪類模型，做好建模的準備工作。 2.模型假設；根據對象的特徵和建模目的，對問題進行必要的、合理的簡化，用精確的語言作出假設，可以說是建模的關鍵一步。實際問題不簡化假設就很難翻譯成數學問題；不同的簡化假設會得到不同的模型。假設不合理或過份簡單，會導致模型失敗；假設作得過分詳細，可能很難繼續下一步的工作。 3.模型構成：根據假設，分析因果關係，利用規律和適當的數學工具，構造各個量(常量和變量)之間的等式(或不等式)關係或其他數學結構。這裡除需要相關學科的專門知識外，還常需要較廣闊的應用數學方面的知識，以開拓思路。建模時還應遵循的原則是盡量採用簡單的數學工具，因為建立的模型總是希望有更多的人了解和使用，而不是只供少數專家欣賞。 4.模型求解：可以採用解方程、畫圓形、證明定理、邏輯運算、數值計算等各種傳統的和近代的數學方法，特別是計算機技術。 5.模型分析：對模型解答進行數學上的分析，有時要根據問題的性質分析變量間的依賴關係或穩定狀況，有時是根據所得結果給出數學上的預報，有時則驗證表述(歸納) 求解(演譯) 解釋

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可能要給出數學上的最優決策或控制，不論哪種情況還常常需要進行誤差分析、模型對數據的穩定性或靈敏性分析等。 6.模型檢驗：把數學分析的結果翻譯回到實際問題，並用實際的現象、數據與之比較，檢驗模型的合理性和適用性。檢驗結果如果不符合實際，假設應該修改、補充假設，重新建模，有些模型要經過幾次反覆，不斷完善，直到檢驗結果獲得某程度的滿意。 7.模型應用：應用的方式自然取決於問題的性質和建模的目的。 圖2-8 建模流程圖（姜啟源，2011） 本研究著重於編製國小六年級學生數學建模能力測驗，乃參酌 Burghes 與 Wood(1980)、葉其孝（1998）、岳忠玉（2002）、袁震東（2003）、楊啟帆、談之奕與何永（2006）、楊凱琳與林福來（2006）、唐晤容（2009）、姜啟源（2011）等人之見解，將數學建模歷程分為：實際問題、理解問題、模型建立、模型求解、模型應用等五階段。

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叁、數學建模的特點

要編製數學建模試題，除了瞭解數學建模的定義、歷程外，也應熟悉數學建模的特點，有助於瞭解學生思緒，進而使學生從千頭萬緒中，找到一個遵循的解題模式。李佐鋒（2005）與姜啟源（2011）都曾針對數學建模提出特點，分別介紹如下：一、李佐鋒（2005）提出幾項特點： 1.數學建模不一定有唯一正確的答案，對於一個實際問題，不同的人、不同的建模目的、不同的建模方法、不同的時間場合、不同的分析假設都可能導致完全不同的結果，因此，數學建模的結果無所謂"對"與"錯"，但有優與劣的區別，評價一個模型優劣的唯一標準就是實踐檢驗。 2.數學建模沒有統一的方法，對同一個問題，個人因其特長和偏好等方面的差別，採取的方法可以不同，因為建模的目的是為了解決實際問題。 3.模型的逼真性與可行性:人們總是希望模型盡可能逼近研究對象，但是一個逼真的模型在數學上通常是難於處理的，因而達不到通過建模解決實際問題的目的，即實際上不可行，因此，在建模時不必追求模型的完美無缺，而只要符合實際問題的基本要求即可。 4.模型的漸進性：稍複雜一些的實際問題的建模通常不可能一次成功，往往要反覆幾次建模，包括由簡到繁，也包括由繁到簡，以期獲得越來越滿意的模型，這也符合人們認識問題的規律性。 5.模型的可轉移性：模型是對現實對象進行抽象化和理想化的產物，常常不為對象的所屬領域獨有，完全可能轉移到另外的領域中去，充分利用它，會取得意外的收穫。二、姜啟源（2011）認為建模也兼具有許多優缺點，歸納出若干特點： 1.模型的逼真性和可行性：希望模型逼近研究對象，在數學上便越複雜且難以處理。即使能處理，所需費用也相當高。故建模時常需要在模型的逼真性與

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可行性作出折衷和抉擇。 2.模型的漸進性：實際問題的建模通常不可能一次成功，要經過反覆的建模過程，由簡到繁，刪繁就簡，以獲得越來越滿意的模型。 3.模型的強健性：模型結構和參數常是由對象的信息(如觀測數據)確定的，所以允許有誤差。 4.模型的可轉移性：模型是現實對象抽象化、理想化的產物，可轉移到另外領域。 5.模型的非預制性：雖然已經發展了許多應用廣泛的模型，但是實際問題是變化萬千的，這種非預制性使得建模本身常常是事先沒有答案的問題 (open - ended problem)。 6.模型的技藝性：建模方法與其他數學方法是不同的，無法歸納出普遍適用的準則和技巧。建模與其說是一門技術不如說是一種藝術。經驗、想像力、洞察力、判斷力及直覺、靈感等起的作用，往往比具體的數學知識更大。 7.模型的局限性：（1）模型的結論雖具通用性和精確性，但因是現實對象簡化、理想化的產物，所以回到現實那些被忽視的因素必須考慮，結論只是相對的和近似的。（2）由於人們能力和科學技術，包括數學本身發展的限制，因此不少實際問題很難有實用的數學模型。（3）有些領域的問題尚未發展到用建模方法尋求數量規律的階段，如：中醫論斷過程。綜合上述，因為數學建模不一定有唯一的正確答案，故並沒有統一的解題方法，在設計模型時要考量研究對象，以實際問題為導向，由簡到繁觀察出問題的規律性，本研究設計參考以上之特點，以實際並符合學童認知之問題為導向，讓學童從問題中觀察出規律性並建構出數學模型，利用模型進行應用解題。

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第二節數學建模能力之相關研究

本節將介紹數學建模在國內的相關研究以及數學建模能力的背景因素相關研究，分述如下。

壹、國內數學建模能力相關研究

針對國內以課程教學內容探討學童的數學建模能力有許多的相關研究，茲將其整理如表2-2: 表2-2 數學建模能力相關研究研究者 (年代) 研究主題研究對象研究結果施羿如（2005）從數學建模的觀點探究高一生指數函數單元解題歷程之研究高中 1.解題歷程分為「實際問題」、「分析簡化」、「模型建立」、「模型求解」、「模型解釋」、「模型驗證」、「模型應用」等七階段。 2.數學建模之問題源於真實情境及重視解決問題的過程。 3.建模者的生活經驗與問題情境相關時，對實際問題產生共鳴，有助於對問題情境的理解及釐清題意。 4.數學模型容易從直觀的角度切入，求解的數學技巧受到課程進度影響。 5.學生計算能力普遍不佳，計算錯誤的機率很高，間接影響數學建模能力。胡政德（2007）準教師數學建模歷程分析研大學 1.「抽象化」過程主要的影響因素在於數學經驗的提取以及考慮因素的複雜性。 (續下頁)

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研究者 (年代) 研究主題 _研究對象研究結果究－以 Voronoi 圖為例 2.「形式化」過程包含了模式表徵的轉換，在過程中模式的操作以及數學知識的連結是形成數學模式與操作的重要關鍵。 3.動態幾何軟體提供準教師可以對理論模式進行模擬與操作及猜測與驗證。 4.在建構模式過程中，從複雜情境到數學模式中間有兩種不同的情境模式：物件-模式與操作-模式。情境模式蘊含著形成數學模式的概念。陳冠州（2009）數學建模活動下國小五年級學生代數思考及其發展歷程之研究國小 1.學生的代數解題表現可分成：從理解基本樣式的要素到運用一般化算術，再由運用一般化算術到使用符號的轉變，最後由使用符號到察覺代數結構的等價性等三個階段。 2.以E-S-F認知模式來看，五年級學生的代數思考歷程能藉由文章閱讀、語言溝通和活動操作逐漸進入具象化階段。 3.學生可以經由圖形-文字-算術-符號的階層性的心智壓縮，而從具象化階段進到符號化階段。 4.學生透過視覺-空間思維、算術或代數形式進入到形式化的階段。唐晤容數學建模教學對國小六年級國小 1.實驗組在解題能力提升有明顯幫助，其效果對於低學習成就的學生尤其顯著。 (續下頁)

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研究者 (年代) 研究主題 _研究對象研究結果（2009）學生解題能力提升及數學學習態度改變影響之研究 2.數學學習態度大多無顯著差異，但對於上課的學習信心明顯增加了，並且認為學數學是快樂的程度顯著提升。楊子錕（2010）以數學建模教學方式進行國中三年級學生相似形概念之補救教學國中 1.當學生面臨困難的時候，介由引導性的教學介入，能促使學生對自己的作圖進行反思，展現出察覺關鍵因素的潛力，進而克服困難。 2.數學建模進行教學能夠提升學生建立情境模式的能力。 3.補救教學確實能協助學生克服程序與知識方面的困難。陳盈盈（2011）試行建模活動於小五學生數學教室之行動研究國小 1.學生所展現的建模能力有：簡化任務、闡明目標、公式化問題、分配變數參數和常數、系統論述、選擇模型、解釋立場與連結回真實情境。 2.學生在建模學習過程中，由原先大量收尋數字進行算式的運算，到漸漸使用推理猜測與文字表達等能力解決數字與文字的問題。 3.學生解題特徵中，解題策略由單一答案逐漸增加至能提供多個解題策略，以及思考方式由天 (續下頁)

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研究者 (年代) 研究主題研究對象研究結果馬行空至能與數學連結。吳佳榮（2011）國小五年級學童數學建模歷程的特徵及其數學態度改變影響之研究國小 1.實際問題愈貼近學童的生活經驗，或有類似的解題經驗有助於學童形成理想化的真實模型。 2.有無類似的解題經驗，影響學童建立的模型。 3.國小學童能利用計算機工具順利運算出數學結果。 4. 國小學童皆能將數學結果套回真實模型問題，解釋數學結果的意義。 5.雖然學童在學習數學的信心、數學動機並無明顯提升，但在認識數學有用性及降低數學焦慮有幫助，因而數學建模對學童數學態度是有所助益。黃淑娟（2012）以教科書內容為本的高中數學建模教學之行動研究高中 1.解決設計與實施建模活動所遭遇的困難，可促進教師提升教學知能。 2.改編教科書中的問題成為建模取向活動，本研究發展的改編模式依序為「選擇問題」、「分析問題」、「尋找脈絡」、「設計暖身活動」、「檢核與修改」、「試作與修正」、「課室教學與微調」等七個步驟。 3.建模取向的教學有助於學生的數學學習。 (續下頁)

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研究者 (年代) 研究主題研究對象研究結果陳明峰（2012）高中數學建模教學及學生數學建模之研究高中 1.教師對於進行之數學建模教學活動課程的認知一定要非常清楚，而且要知道如何引導學生解決問題的方向，事先預期學生會有哪些不同的解決方案產出，讓教師能在課程真正進行時，針對各種突發狀況做出冷靜的應對。 2.學生之建模歷程不一定全部發生，而且順序也不一定按照文獻上的順序發生，學生建模歷程主要模式呈現「數學化」、「解數學問題」以及「詮釋」。 3.數學建模教學活動可促進學生在數學建模活動中發展「去脈絡化」和「再脈絡化」以及其他為建模解題之相關能力。 4.進行數學建模活動先由開放型的開始，當學生熟悉了整體數學建模活動流程之後，在開始進行聚焦型的數學建模活動去研究更高深的數學概念模式，這樣會對學生比較有幫助。林玟余（2012）在高中發展數學建模教學活動之行動研究高中研究者以模式發展序列教學活動為設計基礎，發展出進行數學建模活動模式，共分成兩個階段，分別為「進行活動」以及「連結教科書內容」，進行活動流程為「閱讀報紙文章→發表暖身問題→討論任務問題→初步報告解決想法→ (續下頁)

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研究者 (年代) 研究主題研究對象研究結果發表任務問題→完成委託任務」，連結教科書內容是教師介紹教科書上與活動相關的內容。潘靜慧（2012）數學建模教學在國中二年級的行動研究國中學生數學建模的困難方面有 1.學生簡化分析生活化的問題不易。 2.學生不熟稔於討論活動。學生數學建模學習的獲得有 1.對於數學會嘗試解題。 2.覺得數學是有用的。 3.藉由分組活動，學習他人解題經驗。 4.發現數學是可以討論的。李祥宇（2012）數學建模教學對於高中生學習成效的影響之研究-以排列、組合為例高中 1.「數學建模教學」與「傳統教學」的學生在學習成就之立即效果上無顯著差異。 2.學習成就的保留效果上，接受「數學建模教學」的學生其表現高於接受「傳統教學」的學生表現。在數學學習態度量表分析顯示: 1.接受「數學建模教學」與「傳統教學」的學生在學習態度上無顯著差異。 2.但在「數學有用性」之分析顯示出接受「數學建模教學」的中分群學生高於接受「傳統教學」的學生。 (續下頁)

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研究者 (年代) 研究主題研究對象研究結果林琬婷（2013）數學建模教學對國三學生數學學習態度、機率迷思概念及機率學習成就之影響國中 1.接受數學建模教學之低能力學生在數學學習態度的提升高於接受傳統教學之低能力學生，其中以「數學焦慮」、「數學有用性」、「學習數學過程」是有顯著差異的。 2.接受數學建模教學之低成就能力學生在機率迷思概念的提升高於接受傳統教學之低成就能力學生，其中以「正負時近效應」的迷思概念是有顯著進步的；接受數學建模教學之高能力學生在機率迷思概念的提升高於低能力學生，其中以「結果取向」、「等機率偏誤」、「正負時近效應」、「有效性誘發」及「忽略母群分配」等五類迷思概念是有顯著進步的。 3.接受數學建模教學之低能力學生在機率學習成就的提升高於接受傳統教學之低能力學生。 4.數學建模教學下，低能力學生在「數學學習成就」（過去10次數學段考平均）、「機率迷思概念第三大類」、「學習數學的信心」、「機率迷思概念第一大類」對機率學習成就具預測力；高能力學生在「數學學習成就」（過去10次數學段考平均）、「機率迷思概念第四大類」對機率學習成就具預測力。蔣依珊（2013）高中數學低成就學高中 1.個案學生進行數學建模活動時所遭遇的困難是可解決的，且在解決過程中，可使學生發展 (續下頁)

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研究者 (年代) 研究主題研究對象研究結果生進行數學建模活動之個案研究出新的能力。 2.在數據分析、統計為主題的建模活動中，個案學生所展現之建模歷程著重在「詮釋」階段；以指數、對數為主題的建模活動對個案學生來說為較困難的主題，學生所展現之建模歷程著重在「數學運算」階段。 3.建模活動對個案學生之數學學習較正向的影響有： (1)在建模活動中，個案學生能展現抽象化能力、解題能力、溝通能力和使用計算工具的能力。 (2)個案學生數學學習態度由被動轉變為主動。 (3)進行建模活動後，學生數學學習成效有所提升。林裕晉 (2013) 數學建模活動應用於低成就中等學校學生之空間概念教學國中以數學建模活動融入高中二年級數學空間概念課程的方式，來帶領學生進行數學建模活動，以研究提升學生的學習動機和學習態度的可行性，進而培養學生解決現實社會中複雜問題的能力。經由實際帶領學生進行教學活動，並透過問卷調查及與學生的晤談，發現確實可以提升學習興趣與學習自信心。（續下頁）

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研究者 (年代) 研究主題研究對象研究結果梁堯淑 (2014) 從數學建模的觀點探究國三學生解應用問題歷程之研究國中研究採放聲思考法與晤談法，對研究對象之原案進行分析。從建模觀點看學生解題歷程，發現學生面對較難理解的題目時，修正次數甚至不只一次。建模題目的數學結構明確與否對解題者有影響，以及解題經驗影響建模的速度。建模問題若和生活經驗相關，能幫助理解及融入問題中的情境。建模完成進入求解階段時，數學成就高的成員大多主動參與。建模者很少會主動檢驗模型，並且無論高中低數學成就的建模者，皆有計算錯誤的情況。從過去國內文獻中發現，數學建模活動的研究對象大部分為國中或高中生（12篇，約占75%），利用建模活動進行較為抽象的空間、代數或幾何教學活動，藉由建模活動讓學生能提升建立情境模式的能力，進而提升數學解題的能力；在國小部分僅有少數研究（4篇，約占25%），其研究方向多在探究國小學童數學建模之歷程研究，少有只針對數學建模評量的測驗編製。對應國際間大型測驗的概念，顯示建模能力是不可或缺的，因此本研究對應九年一貫課程數學學習領域能力指標，研究現今國內國小高年級學童在數學建模能力的表現。 貳、數學建模能力的背景因素相關研究 學習能力會受背景因素影響，背景因素是指直接或間接影響研究結果之因素，

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PISA 2012年的學生問卷中，在探討學生的背景因素對數學素養、數學建模能力的影響，主要探討的背景分為十大部分，分別為「關於你的個人基本資料、你的家庭及家庭成員問題、你對數學學習的看法、關於你的解題經驗、你學習數學的方法、ICT的使用性、一般電腦使用情形、校外ICT的使用情形、學校ICT的使用情形、對電腦的態度」等因素。

國外學者Gatabi & Abdolahpour (2013)在其研究中探討年級、性別以及居住地點等因素對建模能力的影響。其研究結果，10年級學生較9年級學生有較好的建模表現；在男女生對建模能力的表現並無顯著差異；居住在鄉村與居住在城市的學童，在建模能力表現上也無顯著差異。學者Mehraein & Gatabi (2014)在其研究中探討六年級學生對數學建模能力和數學建模態度在性別上的差異。研究結果在性別上亦並無顯著差異，但數學建模活動讓男生對數學有更好的學習態度。國內在之前的文獻中，亦有關於學習態度對數學建模能力影響的研究，如唐晤容（2009）在其研究中將數學學習態度分成態度、數學焦慮、動機三方面來探討數學建模教學對數學解題能力的提升。其結果與其他研究結果約略相同，建模教學對於提升學生的數學態度是有幫助的。本研究旨在建立數學建模能力評量，數學建模能力是數學能力之一，能力之間相互影響，故參考了數學連結能力、創造力、數學推理能力等測驗等背景因素。陳美玲（2006）在其自編測驗來探討男、女性學童的表現結果發現，女性學童在統計初步概念之理解情形略優於男性；不同規模學校之學童在本自編測驗表現情形：就讀大規模與中規模學校學童在統計初步概念之理解情形優於小規模學校學童；洪川富（2008）在其研究中發現，國小四年級，學生數學家庭作業完成時間與學生數學學習成就為負相關；教師指派數學家庭作業頻率與學生數學學習成就之間為正相關，但並不顯著；賴培真（2011）在其編製數學學習調查問卷研究結果發現有符合以下條件者為數學學習成功者：1.雙親家庭；2.父親職業不限，母親職業為軍公教警；3.父母親教育程度為碩、博士以上；4.學生家長會參與學校活動；5.家中適合閱讀的書籍數量能在26本以上；6.適當參加數學科補習或安親

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班者；7.課後學習能與同學或家人一同討論數學問題；8.每天花不到1小時的時間在看電視與使用電腦；9.有閱讀科學類，語文/小說類和史地類等書籍等；盧金谷（2012）在其研究中將背景因素分為學生個人因素、家庭因素和學校因素，其中，「學生喜歡數學的程度、將學到的數學知識運用到日常生活當中、將學到的數學知識應用到其他學科領域、家庭結構狀況、父母親的教育程度、學校規模」等因素對數學連結能力表現皆有顯著差異。由上述資料可發現，影響學生學業成就的因素有許多面向，例如:家庭背景、教養方式、學習態度、智力因素……，然而有些因素是直接影響學業成就，有些則是透過一些中介因素間接影響（陳奎熹， 2011）。因數學建模能力是學習成就的一環，故本研究參考諸多文獻後，針對性別、家庭情況、父母親教育程度、學習情況、是否補習、喜歡數學程度、每天花多少時間練習數學、將學到的數學知識運用到日常生活中、將學到的數學知識運用到其他學科領域中、是否一起討論數學問題、每星期閱讀課外書籍時間等因素，深入探討其對數學建模能力的影響。

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第三節數學建模能力評量

數學建模能力依課程設計來看，是屬於課程統整的理念，強調解決生活中實際問題及重視數學概念間的統整，由於本研究試圖設計評量工具來探討學生其建模能力的表現及發展，為瞭解數學建模能力的評量，本節將針對國外建模能力的觀點進行闡述。

壹、學生基礎素養國際研究計畫對數學建模能力的觀點

經濟合作暨開發組織(OECD)從2000年開始舉辦，每三年進行一次調查，針對各國15歲青少年所做的PISA（Programme for International Student Assessment）測驗，測量數學、科學、閱讀等三科素養，將數學建模(mathematical modelling) 列為學生的數學素養之一，由此可見數學建模教育的重要性。

一、 PISA 2012數學素養的概念與定義

PISA 2012 定義數學素養為：在不同情境脈絡中，個人能辨識、做及運用數學的能力，以及藉由描述、建模、解釋與預測不同現象，來瞭解數學在世界上所扮演的角色之能力。數學素養是連續的，即數學素養愈高的人，愈能善用數學工具做出有根據的判斷，這也正是具建設性、投入性及反思能力的公民所需具 備的 (臺灣PISA國家研究中心，2012) 。 PISA運用不同生活情境脈絡中的試題來評量學生的數學素養，主要的情境脈絡包括個人(personal)、社會(social)、職業(occupational)或科學(scientific)四類。評量時，PISA視學生為問題的解決者，強調學生是否能主動在這些情境脈絡中使用數學。使用數學主要分成下列三個層面(OECD, 2010)： 1. 辨識：在不同情境脈絡中能辨識出使用數學的機會，包括將情境中的問題數學化、列出數學式和根據問題提出相關的數學假設。 2. 做：應用數學推理和數學程序推導出數學答案，包括使用數學觀念和演

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算法完成數學計算、使用代數列式、分析圖表資料以及利用數學工具解題。 3. 運用：能夠在真實生活中主動並全面的使用數學，也就是能夠活用本身的數學能力、數學觀念、數學知識和數學技巧於真實生活中所遇到的各種挑戰。這三個層面整合PISA數學架構中最重要的基石 ─ 數學建模的概念。使用數學解決問題時，需經歷一系列不同的歷程，稱為數學建模循環，也就是素養定義中所指的瞭解數學在生活中扮演的角色，即數學與生活的連結。整個數學建模的歷程中最主要的關鍵程序為：問題的描述、數學模式的建立、答案的解釋與預測三大項。 二、數學素養的數學歷程 數學歷程主要是描述從問題的釐清與解決問題的過程中，學生需要將情境和數學所做的連結，以及歷程背後為了解決問題所需要被引導出來的能力。 PISA 2012 的數學歷程最主要步驟有三項： 1. 轉化(translation)：此歷程包括將生活情境中的問題轉換成數學模式、將計算後的數學答案換成生活情境的用語以及驗證數學答案是否適用於情境裡。 2. 解題(solution)：此歷程包括計算、數學模式或方程式的分析、圖表資訊的解讀、數學推理或論證。 3. 建模(modeling)：此歷程即是整個數學建模循環（參見圖2-9）。即根據一些實證經驗將情境中的問題轉化成數學，經計算後得到數學答案，再將數學答案 轉化回原問題的答案，並確認此答案在真實情境中是否合宜。(臺灣PISA國家 研究中心，2012)

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圖 2-9 數學建模循環（引自：臺灣PISA國家研究中心，2012） PISA指出每個人在使用數學解決不同情境中所遭遇的問題時，並不一定需要整個數學建模循環的完整過程，有時只需利用表格資訊做簡單的計算或做一些數學推論或論證。因此，PISA 的試題多數只涉及部分的過程，可能與形成模式有關、或是與數學計算有關、或是與數學結果的詮釋或驗證答案在真實情境中是否合宜有關。PISA 2012 數學試題在各歷程所佔的百分比如表2-3所示。表2-3 PISA 2012數學素養評量各歷程的比例轉化解題建模合計 40-50% 40-50% 10-20% 100% 資料來源: 臺灣 PISA 國家研究中心，2012。 以下列舉一 PISA 數學建模試題（PISA 2006 試題樣本 M136） 1. M136：蘋果

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農夫將蘋果樹種在正方形的果園。為了保護蘋果樹不怕風吹，他在蘋果樹的周圍種針葉樹。在下圖裡，你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數(n)，和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律：問題1 完成下表的空格 N 蘋果樹數針葉樹數 1 1 8 2 4 3 4 5 問題 2: 蘋果 你可以用以下的2個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律： 蘋果樹的數量 = n2 針葉樹的數量 = 8n n代表蘋果樹的列數 當n為某一個數值時，蘋果樹數量會等於針葉樹數量。找出n值，並寫出你的計算 方法。 ………

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問題 3: 蘋果 若農夫想要種更多列，做一個更大的果園，當農夫將果園擴大時，那一種樹會增加得比較快？是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量？解釋你的想法。 ……… 從生活情境脈絡中尋找出問題，讓學童學童藉由觀察找出規則，建立出數學問題型式，進而利用模型解出答案，經由轉化詮釋答案，讓學童能在不同的情境脈絡中解出答案。本研究參考PISA之題型進行改編，編製適合國小學童之試題。

以認知診斷模式為基礎的國小六年級數學建模能力測驗編製之研究

國立臺中教育大學教育測驗統計研究所碩士論文

指導教授：施淑娟 博士