數感的內涵

近二十年來「數感」在數學教育中扮演著重要的角色，也獲得許多國家如美 國、中國、英國、瑞典……等國的重視。其中，中國在其課程標準中明訂數感能 力為數學教育的主要目標（郭民，2009），而美國數學教師學會（NCTM, 2000）

也認為數感是數學教育的重要課題。因此數感能力的培養是當前數學教育的重要 目標。

壹、數感的意義

數感（number sense）也被稱作「數字常識」（楊德清，2002）或是「數字 感」。它在近二十年來倍受重視。不論是認知心理學者或是數學教育學者，都欲 從不同的角度嘗試定義數感的內涵，但是「數感」涵蓋了許多種數學能力，非單 一知識而已，因此至今對於數感仍無一個具體且可被廣為接受的定義（Berch, 2005）。

數感（number sense） 一詞最早由 Dantzig 於 1954 年所提出，他認為數感是 一種人類即使處在較早的發展階段仍具有的特殊能力，縱使不需要直接知道精確 的數量，人類仍然可透過這種能力辨識出小群體的變化（Jordan 等, 2009）。

Howden（1989）也認為數感是一種有關於數字與數字關係的良好直覺，個人可 運用這種良好直覺與周遭環境產生關聯。對此，法國數學家暨認知心理學家 Dehaene 也有相似的看法。Dehaene（1997）認為數感是人與生俱來的直覺，這種 直覺可幫助人們解決其所面對的數量問題，數感佳者能將問題中的數字流暢的轉 換成文字和數量，並謹慎的選擇出最佳的答案，不過，後天的數學學習經驗則會 影響人們的數感能力發展。

Sowder（1992）認為數感是：讓人聯結數字與運算關係的良好概念組織網絡；

一種可辨識的能力，不但能對數字相對大小和絕對大小進行質與量比較，也能辨 認計算結果的不合理，且能運用非標準化的策略做心算與估算；可以靈活的運用 創新且多元的策略，解決與數字相關的問題；一種不易經由教導獲得與測量的能 力。Reys(1994)則認為數感必須透過數學課程的教導與學習，而逐漸養成的一種 思維。即，數感是在學習數學過程中所逐漸發展而成的思維模式（Sowder, 1992）。

支毅君（1997）認為數感是對數字與運算間的關係產生一種習慣性的想法，

這個想法分別展現在對數字處理時具有自信、能夠發展多種解題策略和靈活運用 數字上。

楊德清（2002）認為數字常識不僅是一種概念，也是多種能力的組合。它 一方面可以解釋為對數字、運算，以及兩者所產生的情境之關聯性理解，並且能 夠靈活的運用這種理解，發展出有效的解題策略，以解決日常生活所遇到涵蓋數 字與運算的情境問題；另一方面，它也包含了數字、運算、由數字和運算所產生 之情境的多種複雜過程組合，因此，數字常識在數學教育上強調的是理解和有意 義的學習。

數感除了強調數字與運算的關係外，有些研究者（Griffin, 2004a；Wagner &

Davis, 2010）認為擁有數感者要能掌握數的「量」感，並利用合乎規範的口語或 符號表徵數字與運算關係的聯結，而這也是數感教學的重要核心。

然而，從認知心理學的角度來看，數感是對數字本身與數字關係具有敏銳 的察覺，它不但是一種能夠影響解題策略能力的數學概念，也會監控計算過程與

結果的合理性，因此數感在某種程度上與後設認知能力相似（張漢宜，2007）。

綜上所述，由於學者們從不同的角度定義數感，因此對於數感的定義並沒有 統一且具體的說法。不過，廣義而言，數感不但是一種數學概念，也是一種理解 數學概念的認知思考能力，又是對數字或數字與運算關係的一種整體性且有意義 的瞭解，然後將理解後所獲得的概念透過多種數學能力顯現，例如：心算、解題…

等。它與個人的數學學習經驗有關，而且不但會影響數學解題能力，也對數學成 就表現有明顯的影響。簡而言之，數感可以說是個人的數學概念與數學能力的整 合表現。

貳、數感教學的重要性

美國數學教師協會（NCTM, 2000）在課程標準中指出，學童數感（number sense）會隨著其對數字意義的理解、運算能力、數與運算的關聯性、解題能力等 認知能力的增進而提升，因此強調學童不僅必須瞭解數字的意義，也要瞭解運算 符號的意義與運算之間的關聯性，並且擁有流利的計算與合理估算的能力。這些 能力不是單靠傳統數學科教科書或作業就能夠獲得，必須透過具有數字意義的情 境或活動培養（Sowder,1992），讓學童透過對數概念進行探索與討論的活動，以 發展數感（Griffin, 2004b）。

數感教學強調有意義的學習數字的意義。數感較佳者對數字有較強的直覺 力，透過對數字不同形式的暸解做數學上的判斷，並且跳脫紙筆運用各種有效的 策略解決所面對的數字情境，換言之，數感教學不同於機械式的練習或紙筆計算 求解，它強調有意義的理解且學習數知識，鼓勵學童探索不同的解題策略，能使 學童靈活地運用數字解決生活情境所面對的問題，進而激發學童對數學學習的興 趣，也因此在傳統考試中表現出色的學童不一定具備良好的數感能力（洪玉芬，

2005；許清陽、楊德清，2001）。

值得注意的是，數學低成就的學童在接觸數學之初所得到的經驗，容易使他

們認為，數學只是一門純學術性的知識，不具任何實際的功能和明顯的意義，他 們容易否定自己學習數學的潛能。在這種情況下，對許多低成就的學童而言，學 習算術已頗為困難，又加上心理障礙，最後使得他們對數學產生莫名的焦慮或恐 懼感，因此必須透過數感教學協助學童建立數感，讓他們瞭解各種數學運算都具 有直覺意義（Dehaene, 1997）。對此，Berch（2005）也認為數感能力與數學低成 就有關，數學低成就者的數感能力普遍較弱，因此及時發現學童的數感能力，並 且透過教學策略提升其數感能力頗為重要。但是目前對於學前或國小一年級階 段，是否為早期偵測學童數感能力並施予教學提升數感能力的最佳時機，仍未有 足夠的研究可提供證據。

張漢宜（2007）認為數感教學不但能協助學童探索數字間的關係進而引發學 童學習數學的興趣，也能協助學童運用分配律發展心算技巧，還能讓學童透過檢 視解題結果的合理性，增進解題過程的後設認知能力。

Jordan 等（2009）認為數感與許多數學能力，例如：數數、運算、估算……

等運作過程有著密切的關係，這項能力不僅能夠預測學童的數學學習成就表現，

也能影響學童的解題能力。因此對於學前至三年級的學童的數學學習，應著重數 感能力的培養，這項能力與學童往後的數學成就，以及數學學習表現有顯著的關 聯性，數感能力愈佳則其數學成就與數學學習表現愈佳。

總而言之，數感能力的優劣會影響學童對於數學概念的學習與應用能力，也 會影響其數學成就表現，因此運用教學策略培養學童的數感能力，讓學童能將此 能力運用於日常生活中，解決所面對的數字情境問題，不但能讓學童感受到數學 是一門實用的技能與知識，進而觸發其數學學習興趣，也能提升學童的數學學習 成就表現。