數感教學策略融入國小一年級數學課程之研究

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國立臺中教育大學數學教育學系

國小教師在職進修教學碩士班碩士論文

指導教授：胡豐榮博士

數感教學策略融入國小一年級數學課

程之研究

研究生：吳奕萱撰

中華民國一○二年六月

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謝誌

論文終於完成了，回首這一年多來撰寫論文的歷程，從訂定研究主題、蒐集文獻、進行實驗、分析結果、撰寫論文、反覆校稿修正，直至定稿，完成論文，在此當中所經歷的甘苦，點滴在心頭，非三言兩語就能道盡。幸好在這段日子裡，有許多人在我身旁，給予鼓勵與指引，讓我倍感窩心，也心存感謝。首先，要感謝我的論文指導教授胡豐榮老師，在我遇到問題時，老師總會指引我方向，讓我豁然開朗，繼續向前，最後完成論文。也感謝許天維院長與辛俊德老師，細心審閱論文，提供寶貴的建議。接著，要感謝的是，我的研究所同學江美娟，總是熱心的幫我尋找問題的解答，我想對妳說：「有妳真好!」。當然，也感謝研究所其他同學們的鼓勵與支持，溫暖的友情是讓我繼續前進的推手。再來，要感謝服務學校的夥伴們，提供我教學與測驗編製上的建議，並協助我順利完成施測。最後，我要感謝摯愛的家人，在我就讀研究所的兩年中，幫我照顧家中的兩位寶貝，讓我無後顧之憂的專心完成研究所學業與論文。謝謝你們！我終於畢業了！~~~~~~

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I

數感教學策略融入國小一年級數學課程之研究

摘要

本研究主要的目的是將數感教學策略融入國小一年級的數學課程教學中，以探究學童數感能力的改變情形。研究者以臺中市某國小之一年級學童共計 52 人為研究對象，採用準實驗研究設計，以自編之「數感能力紙筆測驗」和「數感教學策略」作為研究工具，並以 SPSS 12 統計軟體分析後測結果，檢視教學實驗成效，另外針對 6 名實驗組學童進行後測訪談，以暸解實驗組學童的解題表現。本研究主要發現如下：一、教學實驗後，實驗組學童之數感能力測驗後測成績明顯優於控制組。二、實驗組學童在「暸解並辨別數字的意義」、「比較數字大小」、「透過數的合成與分解進行運算」、「瞭解運算性質對數的影響」等均有明顯的進步。三、實驗組學童在「暸解並辨別數字的意義」和「比較數字大小」上的表現明顯優於控制組。四、實驗組與控制組不同分組的學童中，以中分組學童表現明顯優於控制組。五、以實驗組六名學童的訪談結果顯示，數感教學實驗有助於學童使用數感策略解題。關鍵字：數感、一年級、數字的意義、比較數字大小、數與運算、估算

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II

The Study of Number Sense Teaching Strategies Integrated

into the First Grader’s Mathematics Curriculum

Abstract

The main purpose of this study is to investigate the changes in the ability of number sense, when number sense teaching strategies are integrated into the first

grader’s mathematics curriculum. The researcher takes the first graders who are a total

of 52 people in one elementary school, at Taichung county for research. Using

quasi-experimental design, and taking a number sense writing test and a number sense

teaching strategies as tools for this research. Then, using the software SPSS 12 to

proceed in analyzing statistical data to inspect the effects of experimental teaching.

Moreover, six samples of the experimental group were interviewed later in order to

look into the method of problem solving by the experimental group. The main discoveries of this research are as follow：

1.After the teaching experiment, students of the experimental group performed

significantly better than the control group in number sense post-test.

2.Students of the experimental group had imporved to “understand and identify the

number meaning”,”compare magnitude to numbers” ,”operate numbers by

decomposing and recomposing” and “understanding the relationship between

operation”.

3. Students in the experimental group performed significantly better than the control

group in “understand and identify the number meaning” and ”compare magnitude to

numbers”.

4.Middle level students of the experimental group performed significantly better than

the control group in number sense post-test.

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III

number sense teaching experiment can help students use number sense strategies in

problem solving.

Key words :Number Sense, First Grade, Number Meaning, Number Magnitud,Number Operations, Number Estimation.

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IV

第一章緒論………1 第一節研究動機………1 第二節研究目的與待答問題………3 第三節名詞釋義………4 第四節研究範圍與限制………5 第二章文獻探討………7 第一節數感的內涵………7 第二節數感的組成要素………11 第三節數感教學策略………16 第四節國小一年級上學期數感教材………20 第五節數感教學相關研究………25 第三章研究方法………31 第一節研究架構與流程………31 第二節研究對象………35 第三節研究工具………36 第四節資料蒐集與分析………48 第四章結果與討論………51 第一節實驗組學童在數感能力紙筆測驗前、後測的進步情形…………51 第二節實驗組與控制組學童在數感能力紙筆測驗前、後測的差異情形………54 第三節實驗組不同數感能力學童解題表現的差異性………68

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V 第五章結論與建議………97 第一節研究結論………97 第二節研究建議………99 參考文獻………101 中文文獻………101 英文文獻………104 附錄………106 附錄一數感能力紙筆測驗………106 附錄二數感教學活動設計………116

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VI

表次

表 2-4-1 九年一貫數與計算能力指標與數感要素關係表………21 表 2-4-2 南一版數學第一冊「數與計算」教材與數感要素………23 表 3-2-1 研究樣本人數分配表………36 表 3-3-1 教學活動大綱………37 表 3-3-2 數感五個要素與教學目標內容………42 表 3-3-3 數感前測試題雙向細目表………43 表 3-3-4 數感預試試題難度、鑑別度、通過率與信度分析………45 表 3-3-5 數感預試試題與前後測試題題號對應………47 表 3-4-1 訪談資料編碼說明………50 表 4-1-1 實驗組數感能力測驗前、後測總分表現………51 表 4-1-2 實驗組相依樣本t檢定摘要表………52 表 4-1-3 實驗組前、後測數感各要素相依樣本t檢定摘要表………53 表 4-1-4 實驗組不同數感能力前、後測相依樣本t檢定摘要表………54 表 4-2-1 總分之組內迴歸係數同質性檢定摘要表………55 表 4-2-2 總分之共變數分析摘要表………55 表 4-2-3 數感要素一之組內迴歸係數同質性檢定摘要表………56 表 4-2-4 數感要素一之共變數分析摘要表………57 表 4-2-5 數感要素二之組內迴歸係數同質性檢定摘要表………58 表 4-2-6 數感要素二之共變數分析摘要表………58 表 4-2-7 數感要素三之組內迴歸係數同質性檢定摘要表………59 表 4-2-8 數感要素三之共變數分析摘要表………59 表 4-2-9 數感要素四之組內迴歸係數同質性檢定摘要表………60 表 4-2-10數感要素四之共變數分析摘要表………61 表 4-2-11數感要素五之組內迴歸係數同質性檢定摘要表………62

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VII 表 4-2-12 數感要素五之共變數分析摘要表………62 表 4-2-13 高分組之組內迴歸係數同質性檢定摘要表………63 表 4-2-14 高分組之詹森－內曼資料分析摘要表………64 表 4-2-15 中分組之組內迴歸係數同質性檢定摘要表………65 表 4-2-16 中分組之共變數分析摘要表………65 表 4-2-17 低分組之組內迴歸係數同質性檢定摘要表………66 表 4-2-18 低分組之詹森－內曼資料分析摘要表………67 表 4-3-1 後測試題第1題答題分析表………69 表 4-3-2 後測試題第 17 題答題分析表………70 表 4-3-3 後測試題第 21 題答題分析表………72 表 4-3-4 後測試題第 5、7 題答題分析表………75 表 4-3-5 後測試題第 11 題答題分析表………79 表 4-3-6 後測試題第 10、14 題答題分析表………83 表 4-3-7 後測試題第 12、13 題答題分析表………85 表 4-3-8 後測試題第6題答題分析表………88 表 4-3-9 後測試題第2題答題分析表………89 表 4-3-10 後測試題第9題答題分析表………91 表 4-3-11後測試題第20題答題分析表………94

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VIII

圖次

圖 3-1-1 研究架構圖………31 圖 3-1-2 研究流程圖………33 圖 4-2-1 高分組之詹森－內曼分析資料圖………64 圖 4-2-2 低分組之詹森－內曼分析資料圖………67 圖 4-3-1實驗組後測高、中、低分組第8題解題表現………74 圖 4-3-2實驗組後測高、中、低分組第3題解題表現………78 圖 4-3-3 實驗組後測高、中、低分組第19題解題表現………81

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第一章緒論

本研究旨在探究數感教學策略融入國小一年級數學課程的實施成效，因此，本章內容就研究動機、研究目的與待答問題、名詞釋義、研究範圍與限制等四節進行闡述。

第一節研究動機

人類出生後就具有對數與形的初等直覺，這些本能的直覺經過後天的文化陶冶與教育，因而形成數學知識與思維能力，因此，數學可說是人類天賦本能的延伸（教育部，2008）。然而這種對數字的直覺能力就是近幾十年來廣被討論、研

究的「數感」（number sense）（Dehaene, 1997）。「數感」（number sense）自 1954

年由 Dantzig 提出後，引起了多方的討論，雖然至今「數感」仍未有一個具體且

廣為人所接受的定義（Berch, 2005），但是在數學教育上，「數感」對於培養學童

理解與應用數學知識的能力有著不容忽視的重要性。

近二十年來，數感（number sense）已逐漸受到許多國家的重視。美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics,〔NCTM〕, 1989, 2000）在

其課程標準中，明確地將數感視作數學教育的重要教學重點。而中國於 2001 年時，在其「全日制義務教育數學課程標準」中，也將數感列作數學學習課題之一（郭民，2009）。而我國也逐漸有許多探究學童數感能力（李威進、李茂能、楊德清，2005；吳姿瑢，2008；楊德清、黃芳玉、林美如，2002；蘇佳河，2010），以及數感教學的研究（支毅君，1997；方惠珍，2005；吳明玲，2003；吳宛儒， 2006；林怡靜、曹雅玲，2005；陳慶林，2005；陳霈頡、楊德清，2010；莊璧徽， 2007；楊德清，2002；劉曼麗、侯淑芬，2006；劉穆樺，2007；劉逸書，2009；羅淑珍，2011），可見數感愈受國內數學教育研究者重視。

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1992) 。傳統的數學教育重視數學計算能力與背誦公式，而這些在科技發達的現代，一臺計算機就能取代（Sowder, 1992），但學童卻因此缺乏探究數與運算間關係的機會，使得數學的學習枯燥乏味，甚至害怕逃避上數學課；而數感教學則強調有意義且生活化的學習數知識，鼓勵學童發展多元的解題策略並靈活地應用於日常生活中，如此不僅能提升學童數學學習興趣，也能增進學童解決問題的能力（洪玉芬，2005；許清陽、楊德清，2001；張漢宜，2007）。但是這些能力必須透過多元的教學方式或學習課題，不斷的讓學童在學習過程中對數學知識進行有意義的理解，而逐漸的「培養」出數感能力，並非僅透過單一的教學課程就能夠

達到的（Garganus, 2004；Griffin, 2004a, 2004b；Kaminski, 2002；Yang, 2001；

Faulkner, 2009）。所以，要培養學童的數感能力必須不斷的透過數學課程進行，讓學童在探索數學知識的過程中，更了解數學知識內容，進而將所學得的數學知識內化成一種解決問題的能力。王國亨與簡清華（2008）在研究屏東縣國小ㄧ年級新生的數與計算能力時發現，國小ㄧ年級新生中有97%已受過學前教育，對於ㄧ位數以內的數字相對大小、數算與計算，大多能正確表現，不過，對於數字符號與表徵之間是否能有意義的理解與聯結則有待進一步了解。此外，其研究中強調養成良好數學學習態度才是數學學習的重要課題，數學教學活動應著重於引導學童對教材內容進行思考、解題，並且能透過同儕間的合作、溝通與分享促進數學學習。吳姿瑢（2008）研究國小一年級學童的數感能力發現，國小一年級學童的數感能力普遍不佳。而且國

小一年級的數感能力表現會影響學童的數學成就表現 (Jordan, Glutting, &

Ramineni, 2009）。因此，從國小一年級就應開始培養學童的數感能力，教學也應著重於引導學童能對數學學習內容進行有意義的理解。此外，吳明玲(2003)整理九年一貫各版本的低年級數學教材內容發現，屬於「數與計算」範疇的教材的約占全部的三分之二，因此教師有足夠的時間與資源於教學活動中，從數概念的起點進行教學，引導學童在數學課程內的教學活動中發展數感能力，而學童數學學習成就表現也相對反應出其數感能力表現。因此，

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數感教學可配合低年級的數學課程內容進行，以培養學童數感能力。雖然數感已逐漸受到國內數學教育研究者的重視，但針對國小階段數感能力與數感教學的研究中，多以中、高年級為主，相較之下，對於國小一年級學童數感能力與數感教學的研究較為缺乏。基於此，本研究擬以國小一年級學童為研究對象，探究在既有的「數與計算」課程中，融入數感教學策略以提升學童數感能力之成效，因此研究者配合國小一年級南一版數學第一册「數與計算」相關單元教材，將數感教學策略融入數學課程中，進行為期一學期共六個單元之數感教學實驗，以期透過數感教學策略融入數學課程的方式提升學童的數感能力，並作為教師進行提升學童數感能力教學的參考依據。

第二節研究目的與待答問題

壹、研究目的基於上述的研究動機，本研究之研究目的為：一、探討數感教學策略融入國小一年級數學課程後，學童數感能力的改變情形。二、探討數感教學策略融入國小一年級數學課程後，實驗組不同數感能力學童之解題表現。貳、待答問題依據上述的研究動機與目的，本研究之待答問題為：一、實驗組學童於教學實驗後，在數感能力紙筆測驗前、後測的進步情形為何？二、實驗組與控制組學童於教學實驗後，在數感能力紙筆測驗前、後測的差異情形為何？三、實驗組不同數感能力學童於教學實驗後，在數感能力紙筆測驗後測之解題表現的差異性為何？

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第三節名詞釋義

為使名詞意義更為明確，便於討論，避免讀者誤解，茲將本研究所使用之名詞界定如下：壹、國小一年級學童本研究之國小一年級學童係指 101 學年度入學實施九年一貫課程之國小一年級學童。貳、數感數感（number sense）亦稱作「數字常識」或「數字感」，它不但是一種數學概念，也是一種理解數學概念的認知思考能力，又是對數字或數字關係的一種整體性且有意義的瞭解，然後將理解後所獲得的概念透過多種數學能力展現，例如：心算、解題……等。它與個人的數學學習經驗有關而且會影響數學解題能力，對於數學成就表現有明顯的影響。簡而言之，數感可以說是個人的數學概念與數學能力的整合表現（支毅君，1997；張漢宜，2007；楊德清，2002；Dehaene, 1997；

Griffin, 2004b；Howden, 1989；Jordan 等, 2009；Reys, 1994；Sowder, 1992）。

本研究依據相關文獻（楊德清，2002；劉曼麗、侯淑芬，2006；Faulkner, 2009； McIntosh 等, 1992；NCTM, 1989；Sowder, 1992）與研究教材範圍，將組成數感的要素分為五個：一、瞭解並辨別數字的意義二、比較數字大小三、透過數的合成與分解進行運算四、瞭解運算性質對數的影響五、運用參考值判斷解題結果的合理性。而本研究亦依據此五個要素配合南一版數學第一冊教材內容，進行教學活

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動設計與試題編製。

參、數感教學策略

本研究依據所參閱的文獻（吳明玲，2003；陳美惠，2006；陳慶林，2005；張漢宜，2007；張雋，2009；楊德清，2002；劉曼麗、侯淑芬，2006；劉穆樺，

2007；劉逸書，2009；Faulkner, 2009；Garganus, 2004；Glatzar ＆ Glatzar, 1989；

Griffin, 2004a）與研究對象，本研究之數感教學策略為：以問題引導學習的教學方式，鼓勵學童主動探索數知識，過程中輔以遊戲或小組競賽的方式提升學童學習興趣，並讓學童以數學小白板展現與溝通解題策略。肆、數學課程本研究的數學課程係指 101 學年度國小一年級上學期依據九年一貫數學領域課程綱要所規劃之數學學習課程。伍、不同數感能力學童本研究所指的不同數感能力學童是依據數感能力紙筆測驗後測成績之高低，作為不同數感能力學童分類標準，其後測成績愈高則代表數感能力愈佳；反之，則愈差，即高分組學童為數感能力佳者，低分組學童為數感能力差者。

第四節研究範圍與研究限制

壹、研究範圍本研究範圍以國小一年級學童為研究對象，所使用的教材為 101 學年度南一版數學第一冊，教學活動是選擇 101 學年度南一版數學第一冊教材中，與九年一

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貫數學領域課程「數與計算」能力指標相關之六個單元，進行數感教學策略融入數學課程的教學活動設計，以探討教學活動前後學童數感能力改變情形與教學後之解題表現，期待研究結果可作為國小一年級數感教學活動之參考，上述以外之其他內容則不包含於本研究探討之範圍。貳、研究限制本研究之研究對象為研究者所任教之班級學童，樣本較小，研究工具之設計也依研究對象的需要做設計，因此研究結果僅供作為教師教學時參考之用，不宜廣泛推論至其他樣本。

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第二章文獻探討

本章旨在探討數感教學的理論基礎及其內涵，經由文獻資料的歸納分析整理，詮釋數感的概念意涵，以及歸結出本研究欲研究之數感組成要素與符合研究內容的教學策略，以作為本研究規劃設計數感教學內容的依據。全章根據相關文獻內容共分作五個章節：第一節為探討數感的內涵；第二節為配合研究範圍教材內容分析數感的組成要素；第三節為數感教學策略；第四節為探討國小一年級上學期數感教材；第五節為數感教學相關研究。

第一節數感的內涵

近二十年來「數感」在數學教育中扮演著重要的角色，也獲得許多國家如美國、中國、英國、瑞典……等國的重視。其中，中國在其課程標準中明訂數感能力為數學教育的主要目標（郭民，2009），而美國數學教師學會（NCTM, 2000）也認為數感是數學教育的重要課題。因此數感能力的培養是當前數學教育的重要目標。壹、數感的意義數感（number sense）也被稱作「數字常識」（楊德清，2002）或是「數字感」。它在近二十年來倍受重視。不論是認知心理學者或是數學教育學者，都欲從不同的角度嘗試定義數感的內涵，但是「數感」涵蓋了許多種數學能力，非單一知識而已，因此至今對於數感仍無一個具體且可被廣為接受的定義（Berch, 2005）。

數感（number sense）一詞最早由 Dantzig 於 1954 年所提出，他認為數感是一種人類即使處在較早的發展階段仍具有的特殊能力，縱使不需要直接知道精確

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Howden（1989）也認為數感是一種有關於數字與數字關係的良好直覺，個人可運用這種良好直覺與周遭環境產生關聯。對此，法國數學家暨認知心理學家 Dehaene 也有相似的看法。Dehaene（1997）認為數感是人與生俱來的直覺，這種直覺可幫助人們解決其所面對的數量問題，數感佳者能將問題中的數字流暢的轉換成文字和數量，並謹慎的選擇出最佳的答案，不過，後天的數學學習經驗則會影響人們的數感能力發展。 Sowder（1992）認為數感是：讓人聯結數字與運算關係的良好概念組織網絡；一種可辨識的能力，不但能對數字相對大小和絕對大小進行質與量比較，也能辨認計算結果的不合理，且能運用非標準化的策略做心算與估算；可以靈活的運用創新且多元的策略，解決與數字相關的問題；一種不易經由教導獲得與測量的能力。Reys(1994)則認為數感必須透過數學課程的教導與學習，而逐漸養成的一種思維。即，數感是在學習數學過程中所逐漸發展而成的思維模式（Sowder, 1992）。支毅君（1997）認為數感是對數字與運算間的關係產生一種習慣性的想法，這個想法分別展現在對數字處理時具有自信、能夠發展多種解題策略和靈活運用數字上。楊德清（2002）認為數字常識不僅是一種概念，也是多種能力的組合。它一方面可以解釋為對數字、運算，以及兩者所產生的情境之關聯性理解，並且能夠靈活的運用這種理解，發展出有效的解題策略，以解決日常生活所遇到涵蓋數字與運算的情境問題；另一方面，它也包含了數字、運算、由數字和運算所產生之情境的多種複雜過程組合，因此，數字常識在數學教育上強調的是理解和有意義的學習。

數感除了強調數字與運算的關係外，有些研究者（Griffin, 2004a；Wagner &

Davis, 2010）認為擁有數感者要能掌握數的「量」感，並利用合乎規範的口語或符號表徵數字與運算關係的聯結，而這也是數感教學的重要核心。

然而，從認知心理學的角度來看，數感是對數字本身與數字關係具有敏銳的察覺，它不但是一種能夠影響解題策略能力的數學概念，也會監控計算過程與

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結果的合理性，因此數感在某種程度上與後設認知能力相似（張漢宜，2007）。綜上所述，由於學者們從不同的角度定義數感，因此對於數感的定義並沒有統一且具體的說法。不過，廣義而言，數感不但是一種數學概念，也是一種理解數學概念的認知思考能力，又是對數字或數字與運算關係的一種整體性且有意義的瞭解，然後將理解後所獲得的概念透過多種數學能力顯現，例如：心算、解題… 等。它與個人的數學學習經驗有關，而且不但會影響數學解題能力，也對數學成就表現有明顯的影響。簡而言之，數感可以說是個人的數學概念與數學能力的整合表現。

貳、數感教學的重要性

美國數學教師協會（NCTM, 2000）在課程標準中指出，學童數感（number sense）會隨著其對數字意義的理解、運算能力、數與運算的關聯性、解題能力等認知能力的增進而提升，因此強調學童不僅必須瞭解數字的意義，也要瞭解運算符號的意義與運算之間的關聯性，並且擁有流利的計算與合理估算的能力。這些能力不是單靠傳統數學科教科書或作業就能夠獲得，必須透過具有數字意義的情境或活動培養（Sowder,1992），讓學童透過對數概念進行探索與討論的活動，以發展數感（Griffin, 2004b）。數感教學強調有意義的學習數字的意義。數感較佳者對數字有較強的直覺力，透過對數字不同形式的暸解做數學上的判斷，並且跳脫紙筆運用各種有效的策略解決所面對的數字情境，換言之，數感教學不同於機械式的練習或紙筆計算求解，它強調有意義的理解且學習數知識，鼓勵學童探索不同的解題策略，能使學童靈活地運用數字解決生活情境所面對的問題，進而激發學童對數學學習的興趣，也因此在傳統考試中表現出色的學童不一定具備良好的數感能力（洪玉芬， 2005；許清陽、楊德清，2001）。值得注意的是，數學低成就的學童在接觸數學之初所得到的經驗，容易使他

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們認為，數學只是一門純學術性的知識，不具任何實際的功能和明顯的意義，他們容易否定自己學習數學的潛能。在這種情況下，對許多低成就的學童而言，學習算術已頗為困難，又加上心理障礙，最後使得他們對數學產生莫名的焦慮或恐懼感，因此必須透過數感教學協助學童建立數感，讓他們瞭解各種數學運算都具有直覺意義（Dehaene, 1997）。對此，Berch（2005）也認為數感能力與數學低成就有關，數學低成就者的數感能力普遍較弱，因此及時發現學童的數感能力，並且透過教學策略提升其數感能力頗為重要。但是目前對於學前或國小一年級階段，是否為早期偵測學童數感能力並施予教學提升數感能力的最佳時機，仍未有足夠的研究可提供證據。張漢宜（2007）認為數感教學不但能協助學童探索數字間的關係進而引發學童學習數學的興趣，也能協助學童運用分配律發展心算技巧，還能讓學童透過檢視解題結果的合理性，增進解題過程的後設認知能力。 Jordan 等（2009）認為數感與許多數學能力，例如：數數、運算、估算…… 等運作過程有著密切的關係，這項能力不僅能夠預測學童的數學學習成就表現，也能影響學童的解題能力。因此對於學前至三年級的學童的數學學習，應著重數感能力的培養，這項能力與學童往後的數學成就，以及數學學習表現有顯著的關聯性，數感能力愈佳則其數學成就與數學學習表現愈佳。總而言之，數感能力的優劣會影響學童對於數學概念的學習與應用能力，也會影響其數學成就表現，因此運用教學策略培養學童的數感能力，讓學童能將此能力運用於日常生活中，解決所面對的數字情境問題，不但能讓學童感受到數學是一門實用的技能與知識，進而觸發其數學學習興趣，也能提升學童的數學學習成就表現。

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第二節數感的組成要素

壹、數感的組成要素 NCTM 在其課程標準（1989）中，將數感分成五個部分：（1）理解數的意義（2）透過具體物發展數字多重表徵的關係（3）理解數字的相對大小（4）透過直覺預測數字運算後的結果（5）瞭解日常生活中常用的量。 Sowder（1992）認為數感能力包含於數量、心算、估算與對運算結果合理性的評估等四個數學學習課題上，而此四個學習課題所包含的數感能力大致為，理解數字的意義、發展數與數間的多種關聯、理解數的相對與絕對大小，以及運算對數的影響。 McIntosh 等（1992）指出數感主要由數、運算與情境三個領域相互連結而構成，其組成要素主要有六個：（1）對數字意義的理解（2）比較數字大小（3）理解與運用數字的多重表徵形式（4）理解運算的意義及其對數字的影響（5）善用參考點做心算或估算（6）發展出多元的計算策略，並能知道結果的合理性。 楊德清（2002）則將數感的組成要素分為：（1）瞭解數字的基本意義（2）比較數字大小（3）瞭解運算對數字的意義和影響（4）發展並靈活運用參考點（5）發展估算策略，以及能夠判斷運算結果之合理性。

Berch（2005）綜覽自 1954 年數感（number sense）被提出後，相關的國外研究文獻，整理出了對數感要素的 30 種說法：對數字與數量的直覺；數量比較與數字分解能力；估算能力；發展解決複雜問題有效策略的能力；透過瞭解運算符號關聯理解十進位系統；透過使用數字和數量的方法與人溝通；擁有對各種層次的計算結果合理性的判斷直覺；透過發現新知識與舊經驗關係，對數字情境產生有意義的連結；瞭解運算對數字產生的效果；具有靈活運用數字的能力；能理解數字的意義與數字間複雜的關聯；可以識別基準數字和數字模型；可以識別總量的數值誤差；能理解和使用數字的等價形式和表徵；可運用數字來衡量生活情境中的事物；能將生活情境中的數量與數學上所使用的數字兩者作靈活的轉化；可

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以發展出新的解題策略；能根據情境與目的以多種方式表徵相同的數字；能以直覺代替精確計算的方式來思考和討論數字問題與表徵方式；產生對數字具有實用性與數學具有規律性的想法；一種對於數字不具有算則的想法；對於數字與運算間產生有組織的概念網絡；一種透過數學關係、數學原理和數學程序間環環相扣所形成的概念結構；一種在相似的數量表徵上可以操作的內在心理數線；一種非語言的，古老進化而來能處理近似數值的先天能力；一個關於數字的知識或技能，而不是一種內在的過程；一個隨著經驗和知識增長而發展的過程。劉曼麗與侯淑芬（2006）根據學者們對數感成分的定義、數學性質與小學四年級數學教材範圍，將數感的組成要素分為（1）瞭解整數的位值概念與比較大小（2）分解或合成數以便於運算（3）使用參考值以便於解題（4）瞭解運算的性質與運算對數的影響。 Jordan 等（2009）認為數感包含了數數、數知識、估算和數學運算等能力，而數感能力的發展始於精確的描述較小的數字，並透過估算的方式瞭解較大的數量。 Faulkner（2009）以教學的觀點討論數感組成的要素是以語言為中心，連結計算、等式、十進位、數字形式、等比的推理、代數與幾何的思考，以及數量等七個向度。綜合上述研究者的分類，以及本研究所涉及的國小一年級南一版第一冊數學的正整數教材，分析出本研究的數感組成要素為：暸解並辨別數字的意義、比較數字大小、透過數的合成與分解進行運算、暸解運算性質對數的影響、運用參考值判斷解題結果的合理性等五個，並將此五個要素作為研究學童數感能力的重點。貳、本研究數感要素內涵配合本研究的研究範圍，以及參考國小一年級南一版第一冊正整數教材內

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容，將各數感要素內涵說明如下：一、瞭解並辨別數字的意義： Howden（1989）曾詢問一年級的學童有關「24」的意義，學童給予他的回答有「二毛錢四分」、「四個五分錢和四個一毛錢」、「二打鉛筆」等迥異的答案。由此可知，不同的學童對於數字會有不同的解讀。以正整數而言，當它作為一個「基數」時，意指用正整數表達一特定群體中個體的個數；若把它作為一個「序數」時，意指用正整數來表達一個事物序列中，某特定事物的順序位置（甯自強，1992a）。所以，數字具有「基數」與「序數」兩種不同的意義，此兩種意義在日常生活中隨著情境的不同而不斷的轉換，學童必須要能夠分辨此兩種意義的不同，並將之靈活的運用於解決生活問題才算是真正理解數字的意義，而且有良好數感的學童能辨別使用何種數字意義的時機（吳明玲，2003）。學童以語音反覆唱出正確的數詞序列以熟悉數詞序列，即「唱數」；再透過一對一對的方式將被計數物和標準數詞序列作對應，進行計數具體物的活動，即「數物」，也就是將所唱數的數字與數量作連結，經由一再經驗上述兩個過程後，察覺兩個過程的聯結，以暸解數字與數量的關係，並能再次透過數字表達出正確的數量，才算具有數概念，日後才能進行數的演算活動（甯自強，1992a）。數感能力佳者，不但能夠將各種符號與數概念作連結以利於解題，也能夠透過演算活動提升數感能力（吳明玲，2003；McIntosh 等, 1992）。除了「基數」與「序數」外，對「位值」的掌握也是培養良好數感的基礎，具備位值概念，才能對數字進行分解與大小比較（McIntosh 等, 1992；Sowder, 1992）。因此本研究除了讓學童瞭解「基數」與「序數」的意涵，並將之與生活情境聯結外，也著重培養學童的「位值」概念，以強化學童對數字意義的暸解。二、比較數字大小：數字的比較大小包含比較數字的相對大小，例如：知道 7 大於 6，以及知道

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6 比 5 大但是比 7 小；與依數字大小，將數字排序，例如：5→6→7→8 等二種類型的數字比較能力（楊德清，2002；Markovits ＆ Sowder, 1994）。在比較活動中，透過兩類具體物件的數量所進行的比較活動較能讓學童理解數字大小與數量大小的關係，因此對於數字大小的比較，學童大多會把數字與數量進行連結而進行比較。但是要能真正進行數的大小比較則必須透過「標準數詞序列」進行，瞭解小數是蘊涵於大數之中，也就是小數與大數是「部分和全體」的關係。例如：5 和 7 兩數，7 是一個包含 1、2、3、4、5、6 等數為其一部分的全體，5 包含於其中，因此 7 大於 5（甯自強，1992b）。然而以國小一年級學童，此時期的數字大小概念發展水準而言，6 歲左右的學童已經能將數數與數量內化為一個心理數字量尺（mental number line）以進行

數字大小的比較，且已具備：透過數量理解數字大小；理解問題中與比較大小相關語詞的意義；知道數字的位置與數序是固定的，而且愈晚數到的數字愈大；數數時，前後數字間的數量差 1 等數知識，這些知識對於其往後數感能力的發展有著密切的關聯性（郭民，2009）。因此本研究除了引導學童利用數量進行數字的大小比較外，也引導學童透過標準數詞序列對 50 以內的數字進行數字的相對大小比較和依數字大小將數字排序。三、透過數的合成與分解進行運算：學童最初是將數作為表徵量的數值，經過量的合成和分解與數值化的過程完成數的合成與分解活動，但在過程中，數與數之間是無關係可言的。當學童瞭解兩數間的部分-全體關係（內嵌關係），便能運用「標準數詞序列」透過往下數和往上數方式解決數的分解與合成問題，亦即此時期的學童已具備「累進性合成運思」能力，真正理解能加減法情境的意義（甯自強，1992c）。而 McIntosh 等（1992）則認為數的合成與分解可以經由數的「等值」概念進行，並透過數字的多重表徵方式呈現。數感佳者進行數字的合成與分解時能夠流暢的轉換不同表徵方式，並選擇最適當的表徵方法（Sowder, 1992）。

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因此本研究除了引導學童面對加減法運算問題時，不僅能夠透過量進行數的合成與分解，也能運用往上數與往下數或其他符號表徵方式解決數的合成與分解問題，進而能視問題情境靈活運用各種表徵方式完成加減法計算。四、瞭解運算性質對數的影響：楊德清（2002）認為瞭解運算性質對數的影響就是，瞭解運算在不同的數字系統下（包括有理數與整數），和不同情境下所產生的影響。對國小一年級學童而言，其所使用的運算符號為「＋」、「－」與「＝」。學童不僅必須瞭解「＋」、「－」與「＝」符號的語意，也必須瞭解這三種符號在數字間所建立的關聯，而且要能視問題情境，正確的利用運算符號表徵數字間的關係（甯自強，1992c）。因此本研究要讓學童瞭解，數字透過運算符號聯結後，其結果與原本未經聯結前之間的差異性，例如：10 經過「－」運算之後，其結果一定會比 10 小。五、運用參考值判斷解題結果的合理性：參考值（benchmark）指的是用以檢驗其他數值或解題結果的參考指標（楊德清，2002；McIntosh 等, 1992）。參考值的參照標準依照問題情境可分成數值與數量兩種，學童要能根據題意，選擇適當的參考值對數量或數字做估算與判斷，並檢視解題結果的合理性。估算與數感能力之間有著極高的相關性，估算能力佳者，其數感能力相對也愈佳（支毅君，1997；方惠珍，2005；張雋，2009；

Reys, 1985）。而掌握住數「量」感，則是培養數感的基礎（Wagner & Davis, 2010）。因此配合本研究教材範圍與研究對象，在參考值部分，本研究要學童能採用數量

參照標準，進行數字或數量的估算或估測活動，並能判斷結果的合理性。例如：

計算班級班級人數時，以 10 作為參考值，知道男生與女生人數分別大於 10，則

班級人數一定會大於 10 人，以讓學童藉由感受數量的多少判斷解題結果的合理

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第三節數感教學策略

數感既然是來自於個人的數學概念與數學能力的整合表現，那麼在教學上就應該要能夠提供讓學童能夠運用其數學概念與數學能力解決問題的機會，並且讓

學童從中獲得新的數學概念與能力。

許多研究者（楊德清，2002；Berch, 2005；Dehaene, 1997；Faulkner, 2009；

Griffin, 2004a；Jordan 等, 2009；Wagner & Davis, 2010）認為數感與個人的天賦能力有關，透過適當的教學策略可以增進數感能力。不過，由於數感是一種內在的

能力，所以在教學上難以將數感作為單一教學目的進行教學，因此若要提升學童

的數感能力，必須將數感融入各主題的數學課程教學，培養學童透過思考，連結

所學得的數學知識與概念（Faulkner, 2009；Kaminski, 2002；Yang, 2001, 2003）。

Glatzar 與 Glatzar（1989）提出「No Answer Please」的教學活動，目的是讓學童思索與尋求問題的解題策略，專注於瞭解問題與數字的意義，因此設計了多種錯誤的問題類型，要求學童以口語或文字表達自己對問題答案的想法，在解題過程中不需要紙筆的計算或回答出正確解答，希望學童能夠檢視自己解題結果的合理性以獲得正確解答。這樣的教學活動，不但有助於學童真正理解數學教材所呈現的概念而非僅獲得程序性的知識，也有助於提升學童的數感能力。 Yang (2003)認為要培養學童數感，教師必須提供充滿挑戰性與生活情境化的數字問題，讓學童透過思考與小組討論的過程理解數字的意義，並且引導學童使用參考值對事物進行估算或估測，以培養數感，此外，教師在過程中是扮演引導者的角色。 Griffin（2004a, 2004b）對於數感教學則提出了下列的幾項原則：一、提供富有聯結數量、計算與符號關係為目的之教學活動，例如：對幼稚園到小二階段而言，「遊戲」是能有效建立數感的活動。二、讓學童在生活化的情境下主動探索與討論數概念，例如：利用小組合作競賽式的活動，讓學童為了獲得勝利而積極解題，達成目標。

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三、確保教學活動所呈現的概念能以舊經驗為出發，協助學童運用舊經驗建構新的概念。楊德清（2002）、吳宛儒（2006）、陳霈頡與楊德清（2010）運用「過程導向教學」發展學童的數字常識。「過程導向教學」指的是教師提供學童具有數學價值的學習情境與教材，讓學童在學習過程中透過討論、探索等活動對教材進行思考解題，並與他人溝通自己的想法，以提升學童的數感能力。其教學模式如下：一、佈題：教師提出有意義且情境化問題，並說明題意。二、學童提問：讓學童針對題意發問，以瞭解學童是否掌握題意。三、學童分組討論：將討論出的解題結果記錄下來。四、發表與分享討論結果：請學童詳盡報告討論結果，並鼓勵他組學童針對報告內容發問與質疑，透過兩者交互論證的過程能夠讓學童想法更加嚴謹，此外，教師要給予發表者正面的肯定。五、以學童發表的內容作為引導學習的基礎：教師除了鼓勵學童勇於發表外，並引導學童發展不同的解題策略以及適時尋求協助。六、總結：教師先鼓勵學童試著對解題討論的過程給予結論，最後再由教師予以總結。七、課後練習：教師於討論活動結束後，再佈類似的題型給予學童練習，並檢驗學童的學習狀況。 Garganus（2004）提出 20 項培養學童數感的教學原則：一、數字要實物聯結，以讓學童瞭解數字的意義。二、實物與符號透過語言逐步進行對應。三、數學課開始前可以利用數數活動當作課前熱身。四、擴展學童計數活動的數字型態，例如：1000-1050-1100-1150-？。五、提供數線的使用經驗，例如：在教室的牆上用色膠帶製作數線，數線上可以包含整數或小數。六、從學童的生活周遭所遇到的小範圍數量中提供學童足夠的估測練習。

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七、讓學童使用數字圖表，表徵不同範圍的數字探索數字的型態。八、運用含有數字表徵的教具，例如：骰子、撲克牌、錢幣……等。九、講述數學史或與數學有關的故事。十、引導學童找出數字方格中遺失的數字，然後根據相同的方式創作出另一神奇的數字方格考驗同儕。十一、引導學童運用不同的表徵方式（小數、分數……等）表徵相同的數量。十二、先讓學童透過測量工具瞭解測量單位，然後再讓學童根據測量單位對實物進行估測十三、讓學童試著探索非常大的數字的表徵方式。十四、引導學童蒐集資料，並將資料製成圖表方式呈現。十五、引導學童研究其他文化的數字表徵方式。十六、引導學童設計一個公式，透過計算與比較探索公式中各變項對式子結果的影響。十七、引導學童思考解題結果的合理性。十八、每天都能發掘數字在日常生活中所扮演的功能，例如：百貨公司的折扣、旅行的里程……等。十九、探索不尋常的數字（費波那契數列、黃金比例……等）。二十、教師要設計具有趣味性的數字教學活動或數字形式，供學童探索，以激發學童持續學習「數」的興趣。劉曼麗與侯淑芬（2006）認為教師可利用下列幾種方法提升學童數感能力：一、在正規課程中利用與生活情境相連結的問題作教學。二、讓學童透過具體物或實作進行估測以協助學童瞭解數與運算的關聯。三、教師在教學過程中適時提出心算與估算問題，以培養學童應用數與運算的能力。四、透過遊戲活動激發學童瞭解數與運算意義和關係的興趣。五、每日利用數學日記提供學童瞭解數與計算關係的機會。

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張漢宜（2007）認為教學時應透過「有意義」與「有目的」的活動發展學童數感，並且在教學活動中多鼓勵學童發問，以激發其求解的好奇心，此外，也讓學童透過說明自己解題答案的過程，以察覺答案的合理性。讓學童在學習的過程中能夠過反省思考學習內容的過程，以發展其數感。此外，也有研究者採用課室討論文化（陳美惠，2006）、建構式教學（陳慶林，2005；莊璧徽，2007）或後設認知教學策略（劉逸書，2009）作為數感教學策略發展學童的數感能力，均有顯著的成效。課室討論模式指的是透過師生與同儕間的質疑、辯證與講理的討論過程，溝通交流彼此的想法，以促使學童進行數學知識的內部與外部連結，並營造和諧的學習環境；建構式教學的策略是以學童為主體，營造相互溝通討論的教學氣氛，教師在教學過程中要適時引導學童運用舊經驗建構新知識，並尊重學童背景的差異性；後設認知教學策略則是先讓學童嘗試解題→針對解題錯誤類型進行討論→再次佈下類似題型讓學童自行解題與描述解題策略→進行分組討論→全班討論→學童省視自己解題策略並修正→發下回憶單記錄自己的後設認知經驗並嘗試自創類似題。參考上述研究所採行之數感教學原則或策略，以及國小一年級學童的學習能力與特質，所歸結出本研究的教學策略為：以問題引導學習的教學方式，鼓勵學童主動探索數知識，過程中輔以遊戲或小組競賽的方式提升學童學習興趣，並讓學童以數學小白板展現與溝通解題策略。其內容說明如下：一、問題引導學習的教學方式（一）設計與生活情境相關的問題生活化的情境佈題有助於學童對數字產生具體而直覺性的掌握能力，也有助於學童探索數概念，增進數感能力（楊德清，2002；Dehaene, 1997；Garganus ,

2004；Griffin, 2004b；Howden, 1989；Wagner & Davis, 2010；Yang, 2003）。藉由生活情境的佈題，鼓勵學童對問題進行思考與討論以解決問題，如此以學童為中

心的學習方式較能引發學童的解題興趣，而其所獲得的知識也較具意義且易察覺

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宛儒，2006；陳美惠，2006；陳霈頡與楊德清，2010；劉曼麗、侯淑芬，2006；劉逸書，2009；Yang, 2003）。（二）運用數學小白板展現與溝通解題策略藉由與他人溝通、討論的過程獲得合理又多元的解題策略可促進數感能力發展（楊德清，2002；劉曼麗、侯淑芬，2006；陳美惠，2006；Trafon ＆ Hartman, 1997；Yang, 2003）。進行問題討論時，研究者認為可讓每位學童都使用「數學小白板」答題，如此每位學童都能充分表達與分享自己的解題想法，增進學童對於課程討論活動的參與感，也能讓教師瞭解每位學童對每道佈題內容的想法與理解程度，及時針對學童的作答內容給予回饋，或者調整自己的佈題內容或教學方式，更能增進師生間的互動交流與教學效能。二、透過遊戲或小組競賽活動提升學童學習興趣不同類型的遊戲或小組競賽活動，能讓學童在富趣味性的情境下學得不同的數概念表徵形式，進而提升數感能力（Griffin, 2004a, 2004b）。此外，也更能激發學童的學習興趣，在非紙筆的情境下，探索數字與運算的關係，並且應用所學達成目標（Glatzar ＆ Glatzar, 1989；劉曼麗、侯淑芬，2006）。玩樂是人類的天性，尤其是對國小一年級的學童而言，透過遊戲或競賽的方式學習是最自然又能保持學習興趣的學習方式。

第四節國小一年級上學期數感教材

壹、九年一貫數學領域課程與數感相關教材九年一貫的數學課程設計強調以學童為主體，以生活經驗為核心，期許學童能掌握數、量、形的概念與關係，進而培養學童的數學素養、發展解題、表達和溝通、批判分析與欣賞數學的能力（教育部，2008）。學童在學齡前，生活經驗中隱含的知識已悄悄的啟發他們的數學能力，因此

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對甫就讀國小一年級的學童而言，數學教材若能以日常生活經驗為基礎，與生活情境相互連結，一方面可引起學童的學習興趣，另一方面也可以讓學童體認生活中數學的實用性，對此，我國九年一貫數學領域課程標準下的國小一年級教材設計，以結合日常生活經驗為出發點進行設計，而且強調數學認知與情意的學習目標（楊德清、施怡真、徐偉民、尤欣涵，2011）。而數感的培養要與真實的生活情境作聯結，透過的實際的操作才能讓學童理解數的意義（Yang, 2003）。我國九年一貫數學領域課程標準雖未明確將數感列入，但其內涵與精神卻與數感相契合。因此研究者參閱數感文獻與九年一貫數學領域課程標準後，將本研究之研究範圍內的九年一貫第一階段數學領域「數與計算」主題之能力指標依本研究所欲探討之數感能力的五個要素歸納整理如表2-4-1：表2-4-1 九年一貫數與計算能力指標與數感要素關係表 數感要素九年一貫第一階段數學能力指標暸解並辨別數字的意義 N-1-01 能說、讀、聽、寫1000以內的數，比較其大小，並做位值單位的換算。 N-1-02 能理解加法、減法的意義，解決生活中的問題。 N-1-04 能理解乘法的意義解決生活中簡單整數倍問題。 N-1-06 能理解九九乘法。 N-1-08 能做長度的實測，認識「公分」、「公尺」，並能做長度之比較與計算。比較數字大小 N-1-01 能說、讀、聽、寫1000以內的數，比較其大小，並做位值單位的換算。 N-1-02 能理解加法、減法的意義，解決生活中的問題。 N-1-08 能做長度的實測，認識「公分」、「公尺」，並能做長度之比較與計算。透過數的合成與分解進行運算 N-1-02 能理解加法、減法的意義，解決生活中的問題。 N-1-03 能理解加減直式計算。 N-1-05 能在具體情境中，進行分裝與平裝活動。（續下頁）

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九年一貫數學領域課程綱要的內容指出：「數學能力」是指對數學綜合性掌握的能力以及對數學有整體性的感覺。在學習數學時，不但要重視觀念和演算，也要培養學童的數學經驗(或數學感覺)。此外，要能引導並利用學童的前置經驗，使學童能學得新的數學概念，而這種數學經驗就是數學的直覺或直觀。學童數學能力的深化，奠基在結合舊有的直觀和新的觀念或題材，進而擴展成一種新的直觀。在認知能力上，直觀是思維流暢的具體展現；在能力培養上，直觀讓學童能擺脫數學形式規則的束縛，豐富學童在抽象層次上的觀察力與想像力，此兩者是學童數學智能發展的重要指標（教育部，2008）。這種強調培養學童對數學有直觀感受力，整合數學新舊經驗以深化數學能力，並將數學能力靈巧的應用於生活中的理念，這恰巧與數感教學理念相符。貳、國小一年級年級上學期南一版教材與數感相關教材本研究所使用的教材版本為 101 學年度南一版數學第一冊。研究者參照南一版教師專用課本（李源順，2011）「數與計算」範圍之單元，以及其所含括的數感要素整理如下表 2-4-2 所示：數感要素九年一貫第一階段數學能力指標瞭解運算性質對數的影響 N-1-02 能理解加法、減法的意義，解決生活中的問題。 N-1-06 能理解九九乘法。 N-1-07 能在具體情境中，解決加、減、乘之兩步驟問題(不含連乘)。運用參考值判斷解題結果的合理性 N-1-02 能理解加法、減法的意義，解決生活中的問題。 N-1-07 能在具體情境中，解決加、減、乘之兩步驟問題(不含連乘)。 N-1-09 能做長度的簡單估測。

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表 2-4-2 南一版數學第一冊「數與計算」教材與數感要素 單元名稱能力指標單元教學目標數感要素第一單元數到 10 N-1-01 能說、讀、聽、寫 1000 以內的數，比較其大小，並做位值單位的換算。 1.進行 1～5 的唱數活動。 2.透過具體物操作，進行 1～5 的唱數活動。 3.進行 6～10 的唱數活動 4.透過具體物的操作，進行 6～ 10 的說、讀、寫活動。 5.進行 1～10 的做數活動。 6.在生活情境中認識 0 的意義與寫法。＊瞭解並辨別數字的意義第三單元分與合 N-1-02 能理解加法、減法的意義，解決生活中的問題。 1.能在具體情境中，解決 10 以內各數的分解問題。 2.在具體情境中，能解決 10 以內的合成問題，並記錄解題結果。 3.在具體情境中，配合操作，用語言、數字、半具體物描述 10 以內各數的分解與合成。 4.在具體情境中，能解決 10 以內數的分解與合成問題。＊暸解並辨別數字的意義＊透過數的合成與分解進行運算第四單元順序與多少 N-1-01 能說、讀、聽、寫 1000 以內的數，比較其大小，並做位值單位的換算。 1.能在具體情境及活動中，做 10 以內數的序列。 2.在具體情境中，比較 10 以內兩數量的多少。第五單元數到 30 N-1-01 能說、讀、聽、寫 1000 以內的數，比較其大小，並做位值單位的換算。 1.能透過具體的操作活動，進行 30 以內的聽、說、讀、寫活動。＊暸解並辨別數字的意義＊比較數字大小（續下頁）

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單元名稱能力指標單元教學目標數感要素第五單元數到 30 N-1-04 能理解乘法的意義解決生活中簡單整數倍問題 2.透過具體活動做 30 以內的序列。 3.在具體情境中，能比較 30 以內兩量的多少。＊運用參考值判斷解題結果的合理性第六單元加一加 N-1-02 能理解加法、減法意義，解決生活中的問題。 1.能理解加法的意義，解決生活中有關和為 10 以內的加法問題。 2.在情境中經驗、察覺加法交換律。 3.透過心算卡的操作，熟練 10 以內的加法。＊暸解並辨別數字的意義＊透過數的合成與分解進行運算第七單元減一減 N-1-02 能理解加法、減法意義，解決生活中的問題。 1.能理解減法的意義，解決生活中有關被減數為 10 以內的減法問題。 2.在生活情境中，解決比較型加減法問題，並用算式記錄解題的過程和結果。 3.在情境中經驗、察覺加法和減法互逆的關係。 4.透過心算卡的操作，熟練 10 以內的減法。＊暸解並辨別數字的意義＊透過數的合成與分解進行運算＊瞭解運算性質對數的影響＊比較數字大小＊運用參考值判斷解題結果的合理性南一版數學第一冊的「數與計算」教材內容所涉及的正整數概念的範圍是「數與計算」領域的起始部分。換言之，第一冊的正整數教材內容可視為是正整數概念的啟蒙。以甯自強（1992a，1992b，1992c）的觀點，正整數的啟蒙概念的內涵如下：一、透過正整數的「說」、「讀」、「聽」、「寫」及「做」將數字與數量作一對一的對應。二、透過數詞標準序列進行量的多少與比較數的大小。三、能透過量的分解與合成活動和數值化活動，獲得數的分解與合成結果。四、算式符號的「說」、「讀」、「聽」、「寫」及「做」。

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正整數的啟蒙概念的教學分佈於第一冊的六個單元，教材比重是全冊的四分之

三，此六個單元均涉及本研究所強調的數感要素。

第五節數感教學相關研究

自從 Dantzig 於 1954 年提出數感（number sense）一詞以來，國內外的數學

教育領域學者對於數感的研究不曾間斷，可見數感在數學教育上扮演了不可忽視的角色。為了方便瞭解相關研究內容，研究者將其歸納整理如下： Markovits 與 Sowder（1994）以七年級學童為研究對象，設計長達六個月的數感教學活動，透過「數字大小」、「心算與估算」的教學活動，鼓勵學童主動探索數字的意義與數字間的關聯、運算的規則、解題策略等。研究發現：學童不但在數感後測與延後測的表現較前測進步不少，也更加喜愛使用數感策略解題。 Trafon 與 Hartman（1997）以低年級學童為研究對象，以問題討論的方式進行數學課程。在教學的過程中，不但鼓勵學童發表與嘗試創新解題策略，也讓學童相互分享思考歷程與解題策略。研究結果顯示：學童不但數感能力明顯提升，其解題策略也較多元。 Whitenack 與 Knipping (2005)以一位三年級的學童為對象進行教學實驗，設計了為期八個月總共 25 小時的數感教學遊戲與活動課程，以幫助該學童發展良好的數感與解題策略。研究發現，當學童在遊戲或自然情境下遭遇與數學相關的難題時，他們會試著運用各種方法解題，進而發展其數感能力。 Wang 與 Hung（2010）以一組 5 歲的幼稚園學童為研究對象，運用策略性的棋盤遊戲培養學童數感。研究發現，教師適性且適時的提供具有挑戰性的遊戲任務，有助於提高學童的數學學習興趣，使其積極主動參與解題，進而理解遊戲中所蘊含的數字意義，強化其數感能力。此外經由同儕間交流互助，使學童學會與他人分享與合作。

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支毅君（1997）以三年級學童為研究對象，透過教學觀察與個別訪談的方式瞭解學童的數感能力，並探究如何增進學童數感能力。研究發現：學童數感能力不佳，無法聯結符號表徵與結構意義，也缺乏對長度的量感，此外，學童對自我的數學成就缺乏自信，討論與發表能力無法符合紙筆測驗成就結果，且學童對數學的學習態度受教師影響。楊德清（2002）以南部二所公立小六學童各取一班為研究對象，採用教學實驗、數感紙筆測驗與個別訪談的方式，探討學童透過數感教學融入課堂活動後，數感提昇的情形。研究發現：教學實驗後，學童的數感明顯提升且具良好的保留概念，也較能以數感解題策略取代傳統算則方式解題。吳明玲（2003）以調查國小二年級學童數感能力，與數感教學後的數感表現為研究目的，採用教學實驗、數感紙筆測驗與訪談的方式蒐集資料。研究發現：數感能力在不同性別間無顯著差異，但與數學成就有顯著相關，其中數感能力五個向度中，「數與運算關係」表現最差，對於運用參考點進行估算的能力也較弱，此外，數感教學活動不但提升了學童數感測驗成績，也略微改變了學童的解題類型，顯示數感教學有助於提升數感能力。陳慶林（2005）以調查國小三年級學童數感表現與建構式教學法進行實驗教學後的數感表現為研究目的，採用教學實驗、數感紙筆測驗與訪談的方式蒐集資料。研究發現：學童於建構式教學實驗前的數感能力普遍不佳，建構式教學實驗後整體數感表現有顯著進步，尤其以「整數基本意義及大小之能力」和「整數的合成與分解」兩項進步最明顯，不同分組學童中，以中分組學童的表現最佳，高分組次之，低分組進步表現最不明顯。劉曼麗與侯淑芬（2006）以四年級學童為對象，探討四年級數感教學的實踐與成效，採用準實驗設計，紙筆測驗、學習單與晤談蒐集資料，研究發現：透過生活佈題、估測估算活動、遊戲與數學日記可協助學童發展數感能力，此外，實驗組學童不論在數感測驗或數學成就測驗的表現均顯著優於對照組，而在接受訪談的學童之數感均有頗佳的發展，尤其是運用參考值解題方面表現尤佳。

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陳美惠（2006）針對數學課室討論文化之養成，探討對國小二年級學童在數感表現之影響，採用準實驗研究法進行研究，於教學前，施予數學成就測驗，瞭解實驗組與控制組能力起點，並於教學後，再施予數感測驗以及個別晤談實驗組學童，研究結果發現，實驗組不僅在數感測驗上的整體表現均優於控制組，在不同成就學童整體解題得分表現上也優於控制組。吳宛儒（2006）將數常識情境活動融入國小三年級課室中，並運用過程導向教學，以行動研究的方式探究教學成效。研究結果顯示，學童不論是在數常識測驗表現上，或是數常識能力的提升上均達到顯著水準，學童的學習意願也因為教師的鼓勵與同儕的互助而明顯提升。莊璧徽（2007）以四年級學童為研究對象，以數感測驗、教師自我省思與晤談的方式，探究學童在建構式的教學情境下，數感能力與數學學習興趣的改變情形，研究結果為：建構式數感教學後，學童數感能力與學習興趣明顯提升，而教師在教學過程程中，不斷的省思與修正教學策略有助於提升教師專業能力。劉穆樺（2007）以二年級學童為研究對象，探討數感教學活動的成效，採用準實驗設計進行實驗教學，以數感紙筆測驗和晤談蒐集資料，研究結果為：教學活動後，實驗組學童的數感測驗整體成績優於控制組，且在「位值」、「數的運算」、「運算」等方面與控制組有著顯著差異，此外，研究者透過晤談後發現，數感教學活動有助於學童使用數感策略解題。吳姿瑢（2008）以一年級56位學童為對象，探究其經過一年國小常規教學後的數感能力表現，以自編數感教學測驗進行分析，研究發現國小一年級學童數感能力表現普遍不佳，而數感要素間在不同性別上無顯著差異，但要素間發展存在顯著差異，以「瞭解運算對數字的意義及影響」之表現最好，「運用參考點」之表現最差，此外，學童的保留概念良好，尤其是「瞭解數字的意義及大小」的保留概念表現最為顯著。劉逸書（2009）以五年級學童為研究對象，以後設認知策略融入數感教學，探究學童後設認知與數感能力的改變歷程與成效，採用教學實驗進行研究，並以

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教學晤談、學習單、教學實錄、數感測驗與分析教師手札等方式蒐集資料，研究結果為：高程度學童能清楚掌握數字概念與聯結，數感能力亦佳；中、低程度學童則因分數與小數等概念不清，無法靈活解題；而在數感評量中，後設認知能力在學童的解題過程中發揮影響，協助學童順利解題，此外，實驗組學童的數感能力優於控制組，透過後設認知的學習，可協助學童整合其數感能力，並應用於解題，形成真正的數學能力。張隽（2009）以低年級學童為研究對象，期望透過估算策略訓練促進學童數感能力。研究採用準實驗研究法，過程分為兩部分，第一部分先瞭解學童的估算表徵特點與能力，再進行策略訓練，然後再調查估算策略訓練對學童估算表徵能力與正確率的影響；第二部分則是透過自編的問卷，瞭解估算策略訓練對數感能力的影響。其研究發現：低年級學童在1000以內的數量範圍估算表徵上呈現線性表徵模式，且其估算能力與表徵能力明顯優於對照組，而在數感向度中的「理解數的意義與關聯性」、「數字比較大小」與「運用參考值解決問題」等三向度中的表現明顯優於對照組；而在「理解運算對數的影響」、「選擇適當策略解決問題並判斷結果合理性」等二個向度並未與對照組有明顯差異。陳霈頡與楊德清（2010）以國小三年級學童為對象，設計與實施數常識過程導向加強活動，以提升學童在小學數學第一階段（1-3年級）應有的數感能力，採用教學實驗方式，以數感測驗前、後測和訪談高、中、低數感能力學童的方式蒐集資料，研究結果為：學童在教學活動後提升了數感能力，且能於評量或訪談中靈活運用數感；透過漸進式佈題設計和過程導向加強的教學活動，能夠有效引導學童運用數概念判斷數線上的數值。羅淑珍（2011）以五年級學童為研究對象，探究數感教學活動之成效，採用自編的數感測驗與數感教學活動進行研究，其研究結果為：數感教學活動後，學童數感能力有顯著進步，尤其以「比較數字大小能力」進步幅度最大，且學童於數感後測中的成績普遍優於前測，尤其以中分組進步最多，但低分組前、後測成績無顯著差異，此外，學童性別與父母親教育程度不會影響學童數感能力表現，

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但數學成就與數感能力有顯著的相關。綜合上述的數感教學文獻內容，研究者發現：數感的研究對象多以中高年級或幼稚園幼兒為主，然而以低年級為研究對象者，教學實驗範圍也都設定在二年級，鮮少針對一年級學童進行教學實驗研究以提升其數感能力；教學實驗研究大多以單一班級進行實驗；研究蒐集資料的方式大多以數感測驗、個別晤談、學習單或數學日記的方法蒐集，尤其是數感測驗與晤談幾乎是進行數感教學研究均會採行的蒐集方式，只不過差別在於運用於不同的研究目的，其蒐集資料的時機亦有所不同；數感教學前需進行系統化的數感活動設計，始能有效提升學童之數感能力，不過數感能力的提升以數學成就表現中、高者較佳，數學低成就者的數感能力提升成效往往較不明顯。研究者由前述所整理的內容發現，數感教學的研究文獻提供本研究下列四個研究方向：一、教學法的選擇：在數感教學所使用的教學法有建構式教學法、課室討論教學法、過程導向教學法、問題討論教學法、遊戲式教學法、後設認知策略與估算策略訓練等方式均對學童的數感有著良好的助益，然而其共同特徵都是要營造有趣且生活化的學習情境，並透過生活化的佈題，鼓勵學童經由討論與溝通的過程主動探索數學知識，表達自己的想法，與反思自己的學習歷程，以增進數感能力。二、教學實驗研究設計：研究設計大致有兩種，一種是設有實驗組與控制組的準實驗設計，其研究目的除了瞭解教學實驗對學童數感能力的影響外，也要瞭解兩種教學法對提升學童數感能力的成效差異；另一種則是單一組別的前－後測設計，其研究目的主要是要瞭解經過實驗教學後，學童數感能力的進步情形與解題表現。三、數感測驗的編製與施測：研究者依據所欲瞭解的數感要素配合教材範圍編製數感測驗，施測時機可在教學前、後進行施測，以瞭解學童數感能力改變情形，另外也可進行實驗組與控制組同時實施測後進行比較，以瞭解教學實驗

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成效。

四、國小一年級學童數感能力：根據吳姿瑢（2008）的研究，國小一年級學童

在一年的常規數學課程教學後的數感能力普遍不佳。因此可嘗試對國小一年

級的學童進行數感教學，探究數感教學對國小一年級學童數感能力的提升成

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第三章研究方法

本章內容分作四節：第一節為研究架構與流程；第二節為研究對象；第三節為研究工具；第四節為資料蒐集與分析，依序說明本研究之研究方法。

第一節研究架構與流程

壹、研究架構本研究採取「準實驗設計」。「準實驗設計」為應用於研究者無法隨機分派受試者於實驗處理，而對現有的完整受試團體作最有效的實驗控制之研究設計（王文科、王智弘，2007）。因此研究者以現有的班級為實驗組與控制組，其中一組進行實驗處理，研究架構如圖 3-1-1。另考量研究中無法控制的因素，以及這些因素對實驗結果的影響，研究者盡量控制可能造成的誤差，在實驗處理前、後進行施測，據以進行研究分析。自變項＊教學方法：實驗組數感教學策略教學活動控制組傳統講述式教學活動＊數感能力分組：高、中、低分組控制變項＊教師背景＊教學內容＊教學時數依變項＊數感能力紙筆測驗後測＊學童在數感能力紙筆測驗後測成績的差異情形＊實驗組學童在數感能力紙筆測驗後測的解題表現 圖 3-1-1 研究架構圖 共變項＊數感起點行為（數感前測）

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本實驗研究的設計共分為三個變項：一、自變項：本研究自變項有兩項。第一項為教學方法，研究者先將受試者分成實驗組與控制組，實驗組依研究者設計的數感教學策略，將數感元素融入數學課程活動設計進行教學，控制組則依據教科書教學活動設計進行講述式的傳統教學活動為主。第二項為數感能力分組，依數感能力後測測驗成績將實驗組學童區分為高、中、低分組三組進行訪談，以瞭解學童的解題過程與想法。二、依變項：以研究者針對欲研究的數感五個要素所自編之數感能力紙筆測驗於教學實驗活動後實施後測。總分愈高，表示學童的數感能力愈佳；反之，則愈差；而各要素要素得分愈高，則表示學童在該要素的數感能力愈佳。三、控制變項（一）教師背景：為了能有效掌控教學實驗的進行，故以研究者所任教的班級為實驗組，並以同校同學年教師中，教學資歷相同，且教學方法相近，配合研究意願高的教師所任教之班級為控制組。（二）教學內容：實驗組依據研究者任教學校 101 學年度，所使用的南一版數學科第一册第一、三、四、五、六、八等六個單元為教材，將研究者自編之數感教學策略活動將數感元素融入課程中進行教學；控制組則依據教師手冊所編寫的教學活動內容進行講述式為主的傳統教學。（三）教學時數：實驗組與控制組教學時間一致，每節課 40 分鐘，每單元教學節數也相同。（四）共變項：依據實驗組與控制組在教學實驗前之數感能力紙筆測驗成績，作為暸解其數感能力起點行為的指標，得分愈高表示學童數感能力愈佳，反之則愈差。貳、研究流程待確定研究主題之後，研究者參閱相關文獻（方惠珍，2005；吳明玲，2003；

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吳宛儒，2006；陳慶林，2005；陳美惠，2006；劉穆樺，2007；劉逸書，2009；羅淑珍，2011）之研究流程，確立本研究的研究流程。本研究的研究流程如圖 3-1-2 可分為準備階段、實驗階段、資料蒐集階段與整理分析資料階段共四個階段，茲將四階段的工作內容詳述如下：瀏覽數學教育論文題目確定研究主題蒐集與閱讀文獻資料與指導教授討論確定研究問題與研究方法編製數感教學活動編製數感能力測驗試題專家修訂實施教學活動實驗組與控制組進行數感能力紙筆測驗後測資料整理與分析結論與建議試題預試實驗組與控制組進行數感能力前測進行實驗組分組訪談 圖 3-1-2 研究流程圖 準備階段實驗階段資料蒐集階段整理分析階段